专题1.1 集合（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 元素与集合的关系】..................................................................................................................................2
【题型2 集合中元素个数问题】..............................................................................................................................3
【题型3 子集的个数问题】......................................................................................................................................3
【题型4 判断集合间的关系】..................................................................................................................................4
【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】.........................................................................................................4
【题型6 集合的交、并、补集运算】......................................................................................................................5
【题型7 与集合的运算有关的含参问题】..............................................................................................................5
【题型8 集合中的新定义问题】..............................................................................................................................5
1、集合
考点要求
真题统计
考情分析
(1)集合的概念
(2)集合间的基本关系
(3)集合的基本运算
2023 年I 卷：第1 题，5 分、Ⅱ
卷：第2 题，5 分
2024 年新课标I 卷：第1 题，5 分
2025 年全国一卷：第2 题，5 分
2025 年全国二卷：第3 题，5 分
2025 年北京卷：第1 题，4 分
2025 年天津卷：第1 题，5 分
集合是高考数学的必考考点，新高考
对集合的考查相对稳定，考查内容、
频率、题型、难度均变化不大.常见以
一元一次、一元二次不等式的形式，
结合有限集、无限集来考查集合的
交、并、补集等运算，偶尔涉及集合
的符号辨识，一般出现在高考的单选
题的前3 题中，以简单题为主.
知识点 集合
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
A∩B
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
A∪B
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
∁UA
4．集合的运算性质
(1)
，
，
．
(2)
，
，
．
(3)
，
，
．
【常用结论】
(1)若有限集
中有
个元素，则
的子集有
个，真子集有
个，非空子集有
个，非空真子集
有
个．
(2)空集是任何集合
的子集，是任何非空集合
的真子集．
(3)
．
(4)
,
．
【题型1 元素与集合的关系】
【例1】（2025·辽宁·三模）已知集合A = {1,2),B ={x
2−y
2∣x , y ∈A)，则下列判断错误的是（ ）
A．1∈B
B．0∈B
C．3∈B
D．−3∈B
【变式1-1】（2025·辽宁·二模）设集合A = {x|2 x−1>m).若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m≥3
C．m<3
D．m>3
【变式1-2】（2025·陕西汉中·二模）已知集合A ={2m+ ❑√3n|m∈Z ,n∈N ))，则（ ）
A．❑√3∉A
B．−2+5 ❑√3∉A
C．4∈A
D．−1+2❑√3∈A
【变式1-3】（2025·河南·一模）已知集合A = {x∣3ax−2≤0)，若1∈A且2∉A，则（ ）
A．1
3 <a< 2
3
B．a<0
C．1
3 <a≤2
3
D．a> 2
3
【题型2 集合中元素个数问题】
【例2】（2025·全国一卷·高考真题）设全集U ={x|x 是小于9的正整数)}，集合A ={1,3,5}，则∁U A
中元素个数为（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
【变式2-1】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知集合A ={(x , y)|x = y))，B ={(x , y)|x = y
3))，则A ∩B中元素
的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-2】（2025·新疆喀什·二模）已知集合A ={1,2}，B ={2,4 }，则C ={xy ∣x∈A , y ∈B}的元素
个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式2-3】（2025·安徽合肥·三模）已知集合A ={0,1,2,3,4,5},B ={0,2,4,6,8}，则图中阴影部分所示集
合的元素个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【题型3 子集的个数问题】
【例3】（2025·甘肃平凉·模拟预测）已知集合A = {0,2)，B = {−1,1,2)，C ={ab|a∈A ,b∈B))，则集
合C 的子集有（ ）
A．64 个
B．63 个
C．16 个
D．15 个
【变式3-1】（2025·安徽安庆·二模）若集合P ={x ∣−2≤x <m−m
2, x ∈Z)，当m= 1
2
时，集合P的非空
真子集个数为（ ）
A．8
B．7
C．6
D．4
【变式3-2】（2025·黑龙江·三模）已知集合A ={2,3}， B ={x|0< x<5，x∈N }，，则满足
A ⊆C ⊆B的集合C 的个数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式3-3】（2025·贵州遵义·模拟预测）已知集合A = {0,1,2)，B = {1,2,3)，若集合
C ={z∈N
*|z = xy , x∈A)且y ∈B}，则C的子集的个数为（ ）
A．8
B．16
C．32
D．64
【题型4 判断集合间的关系】
【例4】（2025·四川·模拟预测）已知集合A ={x| x = n
2),n∈Z),B ={x| x = n
4),n∈Z)
，则（ ）
A．A = B
B．A ⊆B
C．A ⊇B
D．A ∩B =∅
【变式4-1】（2025·宁夏吴忠·一模）已知集合A ={x|x = k
2 + 1
4),k ∈Z),B ={y|y = l
4 + 1
2),l∈Z)
，则
（ ）
A．A ∩B =∅
B．A = B
C．A⫋B
D．B⫋A
【变式4-2】（2025·山西·三模）设集合S =¿是4 与6 的公倍数}，T =¿，则（ ）
A．S∈T
B．T ⊆S
C．S⊆T
D．S =T
【变式4-3】（2025·天津·一模）已知集合M ={x|x =m+ 1
6 ,m∈Z))
，N ={x|x = n
2 −1
3 ,n∈Z))
，
P={x|x = p
2 + 1
6 , p∈Z))
，则M、N、P的关系满足（ ）
A．M = N ⊆P
B．M ⊆N = P
C．M ⊆N ⊆P
D．N ⊆P⊆M
【题型5 与集合间的关系有关的含参问题】
【例5】（2025·河南·模拟预测）已知集合A = {0,1)，B = {0,a+1,a−1)，若A ⊆B，则a=（ ）
A．2
B．0
C．0或2
D．−2或2
【变式5-1】（2025·河南·二模）已知集合A ={x||x−3
2)≤1
2))
，B ={x|a< x<a+2))，若A ⊆B，则a 的
取值范围为（ ）
A．(1,2)
B．(0,1)
C．[1,2)
D．[0,1)
【变式5-2】（2025·河南·模拟预测）已知集合A ={x|−1≤x ≤3)),B = {−t ,t )，若B⊆A，则实数t的取值
范围是（ ）
A．[−1,0)
B．[0,1)
C．[−1,0)∪(0,1)
D．[−2,0)∪(0,2)
【变式5-3】（2025·陕西铜川·三模）已知集合A ={x∣x<m},B ={x∣−2< x<3}，若A ⊇B，则实数m
的取值范围为（ ）
A．(−∞,−2)
B．(−∞,−2)
C．(3,+∞)
D．[3,+ ∞)
【题型6 集合的交、并、补集运算】
【例6】（2025·全国二卷·高考真题）已知集合A ={−4,0,1,2,8},B ={x∣x
3= x),则A ∩B =（ ）
A．{0,1,2}
B．{1,2,8}
C．{2,8}
D．{0,1}
【变式6-1】（2025·河南·模拟预测）已知集合M ={x∈Z|2< x<5))，N = {1,2,3)，则M ∪N =（ ）
A．{3)
B．{1,2,3)
C．{3,4)
D．{1,2,3,4)
【变式6-2】（2025·广东茂名·二模）已知集合M ={x∈N|| x|≤2},N ={−3,−2,−1,0,1,2,3}，则
M ∩N =（ ）
A．{0,1,2)
B．{−2,−1,0,1,2)
C．[−2,2)
D．{1,2)
【变式6-3】（2025·天津·高考真题）已知集合U = {1,2,3,4,5), A = {1,3),B = {2,3,5)，则∁U ( A ∪B)=
（ ）
A．{1,2,3,4)
B．{2,3,4)
C．{2,4)
D．{4)
【题型7 与集合的运算有关的含参问题】
【例7】（2025·山东威海·三模）已知集合A ={1,2,❑√m},B ={1,m}，若A ∩B = B，则m=（ ）
A．0
B．0 或2
C．1 或2
D．0 或1
【变式7-1】（2025·贵州·二模）已知集合A ={x|−3≤x<3))，B ={y|y <m))，若A ∩B =∅，则m的取值
范围是（ ）
A．(−∞,−3)
B．[−3,+ ∞)
C．(−∞,−3)
D．[3,+∞)
【变式7-2】（2025·北京海淀·二模）已知集合A = {−1,0,1,2),B ={x∣a< x<2}．若a∈Z，且
A ∩B = {1)，则a=（ ）
A．−1
B．0
C．1
D．2
【变式7-3】（2025·河南驻马店·模拟预测）已知集合M ={x|−3< x<2)), N ={x|a< x<4))，若
M ∪N ={x|−3< x<4))，则实数a的取值范围为（ ）
A．[−3,2)
B．(−3,2)
C．[−3,2)
D．[2,4)
【题型8 集合中的新定义问题】
【例8】（2025 高三·全国·专题练习）已知集合P = {4,5,6)，Q = {1,2,3)，定义
P−Q ={x|x = p−q , p∈P ,q∈Q))，则集合P−Q的所有真子集的个数为（ ）
A．32
B．31
C．30
D．29
【变式8-1】（2025·黑龙江·二模）已知集合A = {1,2)，B = {3,4)，定义集合：
A ∗B ={(x , y)|x∈A , y ∈B))，则集合A ∗B的非空子集的个数是（ ）个．
A．16
B．15
C．14
D．13
【变式8-2】（2025·浙江绍兴·模拟预测）对于集合A，B，定义A\B={x| x∈A且x∉B}，则对于集合
A={x| x =6n+5，n∈N}，B={y | y =3m+7，m∈N}，C = x| x∈A B且x<1000}，以下说法正
确的是（ ）
A．若在横线上填入
∩
，则
”
”
C 的真子集有212
1
﹣
个.
B．若在横线上填入
∪
，则
”
”
C 中元素个数大于250.
C．若在横线上填入”\”，则C 的非空真子集有2153
2
﹣个.
D．若在横线上填入
∪
”
∁N
，则
”
∁NC 中元素个数为13.
【变式8-3】（2025·北京·高考真题）已知集合A = {1,2,3,4,5,6,7,8), M ={(x , y)∣x∈A , y ∈A)，从M
中选取n 个不同的元素组成一个序列：(x1, y1),(x2, y2),…,(xn, yn)，其中(xi, yi)称为该序列的第i 项
(i=1,2,…,n)，若该序列的相邻项(xi, yi),(xi+1, yi+1)满足：{
|xi+1−xi)=3,
|yi+1−yi)= 4)
或
{
|xi+1−xi)= 4 ,
|yi+1−yi)=3)
(i=1,2,…,n−1)，则称该序列为K 列．
(1)对于第1 项为(3,3)的K 列，写出它的第2 项．
(2)设Γ为K 列，且Γ中的项(xi, yi)(i=1,2,…,n)满足：当i 为奇数时，xi∈{1,2,7,8}：当i 为偶数时，
xi∈{3,4,5,6}.判断(3,2)，(4,4)能否同时为Γ中的项，并说明理由；
(3)证明：由M 的全部元素组成的序列都不是K 列．
一、单选题
1．（2025·北京·高考真题）已知集合M ={x∣2 x−1>5}, N ={1,2,3}，则M ∩N =（ ）
A．{1,2,3}
B．{2,3}
C．{3}
D．∅
2．（2025·辽宁·二模）设集合A = {x|2 x−1>m).若2∈A，则m的取值范围是（ ）
A．m≤3
B．m≥3
C．m<3
D．m>3
3．（2025·广东揭阳·二模）已知集合A ={(x , y)|
x
2
4 + y
2
3 ≤1), x∈Z, y ∈Z)
，则A 中元素的个数为
（ ）
A．7
B．9
C．11
D．13
4．（2025·山西·三模）已知集合A = {x∣0≤x ≤3)，B = {x∣m−1≤x ≤m+1)，且B⊆A，则m的取值范
围是（ ）
A．[1,2)
B．(−∞,1¿∪)2,+∞¿¿
C．(1,2) D．[2,+∞)
5．（2025·辽宁·三模）已知集合M ={( x , y)|y = 1
2 −x)), N ={( x , y)|x
2=−2 y))，则M ∩N的子集个数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．4
6．（2025·四川·模拟预测）已知集合A ={x| x = n
2),n∈Z),B ={x| x = n
4),n∈Z)
，则（ ）
A．A = B
B．A ⊆B
C．A ⊇B
D．A ∩B =∅
7．（2025·湖北武汉·模拟预测）设集合A = {3,4,5)，B = {2,3,4,8)，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．{2,8)
B．{3,4)
C．{2,5,8)
D．{3,4,5)
8．（2025·山西临汾·三模）已知全集U = {1,2,3,4,5)，集合A = {1,2)，B = {1,3,5)，则A ∪(∁U B)=
（ ）
A．{1,2,4)
B．{1,2,3)
C．{1,2,3,5)
D．{1,2,3,4)
二、多选题
9．（2025·江西·模拟预测）已知集合A ={x|ax ≤6))，B = {2,3)，下列结论正确的是（ ）
A．若a=0，则A = R
B．若a=0，则A =∅
C．若B⊆A，则a≤2
D．若B⊆A，则a可以取3
10．（2025·河南新乡·三模）已知非空数集M 具有如下性质：
若
①
x , y ∈M，则x
y ∈M；
若
②
x , y ∈M，则x + y ∈M.下列说法中正确的有（ ）
A．−1∈M.
B．2025∈M.
C．若x , y ∈M，则xy ∈M.
D．若x , y ∈M，则x−y ∈M.
11．（2025·河南·三模）已知全集U ={x||x)<4 , x∈Z))，集合M ={−1,2,a
2)，N = {−1,1,2,a)，
P = {−3,−1,2,3)，若M ⊆N，则（ ）
A．a的取值有3个
B．M ∩P = {−1,2)
C．P∪N = {−3,−1,0,1,2,3)
D．(∁U M )∩(∁U P)所有子集的个数为4
三、填空题
12．（2025·上海青浦·模拟预测）已知集合A ={x∣2 x ≤1},B ={−1,0,1,2}，则A ∩B =
.
13．（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合A ={1,|a−1),a+2)，且2∈A，则实数a的值为
．
14．（2025·上海崇明·二模）已知全集U = R，集合A ={1,2,4},B ={2,4,5}，则A ∩∁U B =
．
四、解答题
15．（24-25 高一上·四川眉山·期末）已知集合A ={1,a−2,2a
2+5a)，且−3∈A.
(1)求a的值；
(2)写出集合A的所有真子集.
16．（24-25 高一上·浙江杭州·期末）已知集合A ={x ¿.
(1)当m=1时，求A ∩(∁R B)；
(2)若A ∩B = B，求实数m 的取值范围.
17．（23-24 高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合
P ={x∈R|x
2−3 x +b=0)),Q ={x∈R|(x +1)(x
2+3 x−4)=0)).
(1)若b= 4，存在集合M使得P为M 的真子集且M为Q的真子集，求这样的集合M；
(2)若集合P是集合Q的一个子集，求b的取值范围.
18．（24-25 高一上·广西河池·期末）已知集合U = {1,2,3,5,7,9), A = {2,3,5),B = {1,3,5,9).
(1)求A ∩(∁U B),(∁U A)∩(∁U B)；
(2)若集合C ={x ∣(x −2)(x −a)=0)，是否存在实数a，使得A ∪C = A？若存在，试求出实数a的值；若
不存在，请说明理由.
19．（2025·湖北武汉·二模）已知集合A ={x|x =m+ ❑√3n,m∈Z ,n∈Z))，集合B 满足
B ={x|x∈A 且1
x ∈A))
．
(1)判断2+ ❑√3，3−❑√3，0，7+ 4 ❑√3中的哪些元素属于B；
(2)证明：若x∈B，y ∈B，则xy ∈B；
(3)证明：若x =m+ ❑√3n∈B，则m
2−3n
2=1．
