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第07 讲：第一章 集合与常用逻辑用语、不等式、复数
章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：集合的表示
1．（2025 高三·全国·专题练习）无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，例：
0.3333……就是一个无限循环小数，可记为
，同理：
……，若集合
，则A 中所有元素的和为（ ）
A．44
B．110
C．132
D．143
2．（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）已知集合
，则A 子集的个数
为（ ）
A．2
B．4
C．8
D．16
3．（多选）（23-24 高三上·江苏南通·阶段练习）下列四个命题中正确的是（ ）
A．由
所确定的实数集合为
B．同时满足
的整数解的集合为
C．集合
可以化简为
D．
中含有三个元素
4．（24-25 高三上·福建厦门·阶段练习）已知集合
，
，记非空集合S 中元素的个数为
，已知
，记
实数
的所有可能取值构成集合是T，则
.
5．（24-25 高三上·江西抚州·阶段练习）集合
中的所有元素中最大
的元素为 ，最小的元素为 .
题型二：集合的基本关系
1．（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三上·全国·专题练习）已知集合
，若
，则符合题意的一个集合C 为 （写出符合题意的一个集合即可，不
必写出所有集合）；集合
，若
，且
，则
．
3．（24-25 高三上·湖北武汉·阶段练习）设集合
，
，则满足
且
的集合有 个
4．（24-25 高三上·四川巴中·阶段练习）设
，关于
的不等式
的
解集为
．
(1)求
；
(2)设集合
，若
，求实数
的取值范围．
题型三：集合的基本运算
1．（多选）（2025 高二·全国·专题练习）（多选）设
、
、
是全集
的三个非空子
集，且
，则下面结论一定正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高二上·全国·课后作业）已知集合
．
(1)若
，求实数m 的取值范围；
(2)若
且
，求实数m 的取值范围．
3．（25-26 高三上·全国·课后作业）已知集合
，
．
(1)若
，求实数
的取值范围；
(2)若
，求实数
的值；
(3)若
，求实数
的取值范围；
(4)若将题干中集合
，
变为集合
，
或
．若
，求实数
的取值范围．
4．（24-25 高三上·山西太原·阶段练习）我们知道，如果集合A⊆S，那么把S 看成全集时，
S 的子集A 的补集为
，且
. 类似的，对于集合A，B，我们把集合
，且
叫作集合A 与B 的差集，记作
.据此回答下列问题:
(1)在图中用阴影表示出集合
(其中U 是全集，A，B 为U 的子集);
(2)若A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，求
;
(3)若集合
，集合
，且A-B=⌀，求实数a 的取值范围.
题型四：充分条件与必要条件
1．（2025·天津红桥·二模）已知命题
，命题
，则命题
是命题
的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·云南昆明·二模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·江西景德镇·三模）函数
为偶函数的充要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·河南开封·二模）设
，则
的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024 高三·全国·专题练习）若不等式
的一个充分条件为
，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（多选）（2025·河南·三模）若
，则“
”的一个充分不必要条件是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知集合
，
，若“
”是“
”的必要不充分条件，则实数
的可能取值
为（ ）．
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·山东潍坊·阶段练习）已知集合
，若“
”是“
”的充分不必要
条件，则实数
的所有取值组成的集合是 .
9．（2025 高三·全国·专题练习）已知集合
，非空集合
.
是
的充分不必要条件，求
的取值范围.
题型五：“的”字结构与“是”字结构对比
1．（24-25 高三上·广东阳江·阶段练习）设
，则“
”是“
”的（
）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（2025·辽宁·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（2025·江苏·一模）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（24-25 高二上·河南南阳·期末）“
，
”成立的一个必要不充分条
件是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二上·陕西西安·期末）二次函数
在区间
上单调递增
的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025 高三·全国·专题练习）使得“
”成立的一个充分条件是 ．
题型六：全称量词与存在量词
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若
，则（ ）
A．
是真命题，且
B．
是真命题，且
C．
是假命题，且
D．
是假命题，且
2．（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知命题“
，使
”是假命
题，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
或
D．
3．（24-25 高三上·辽宁·阶段练习）已知命题p：
，
；q：
，
.均为真命题，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高三上·河南·阶段练习）若命题“
”是假命题，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·辽宁·模拟预测）已知命题
“
，
”的否定为真命题，则
的
取值范围为 ．
6．（2024 高三·全国·专题练习）已知命题
，命题
，若
为假命题且
为真命题，求实数
的取值范围为
.
7．（24-25 高三上·上海嘉定·阶段练习）若命题“对任意的
，都有
”为
假命题，则实数
的取值范围为 .
题型七：一元二次不等式
1．（2026 高三·全国·专题练习）若关于
的不等式
的解集中恰有3 个
整数，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·湖南长沙·阶段练习）命题
：
，
为真的一个充分
不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·陕西渭南·阶段练习）关于
的不等式
，其中
，则该不等式的解集不可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·湖北·三模）已知
.
(1)解关于
的不等式
(2)若不等式
的解集为
，求实数
的值.
5．（20-21 高三上·辽宁沈阳·阶段练习）解关于
的不等式
.
6．（23-24 高三上·重庆沙坪坝·期中）已知函数
(1)求函数
的解析式；
(2)求关于x 的不等式
解集.（其中
）
题型八：一元二次不等式中的恒成立与有解问题
1．（2025·江西上饶·二模）若不等式
恒成立，则
的取值集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高三上·河南许昌·期中）
，
恒成立，则实
数
的最大值为（ ）
A．
B．3
C．
D．6
3．（23-24 高二上·浙江·期中）若关于x 的不等式
在区间
上有解，
则实数m 的最小值为（ ）
A．9
B．6
C．
D．5
4．（24-25 高三上·广东广州·期末）若对
，
恒成立，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·安徽池州·期中）已知关于
的不等式
在
上有解，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高三下·上海·阶段练习）若不等式
对任意
恒成
立，则实数m 的值为
7．（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知关于
的不等式
的解集为
．
(1)求实数
的值；
(2)
，都有
，求实数的取值范围
(3)若存在实数
，使不等式
成立，求实数的取值范围．
题型九：基本不等式及其应用
1．（2025·河南·模拟预测）若
，且
，则
的最大值为
（ ）
A．
B．1
C．
D．
2．（2025·山东济宁·二模）若圆
关于直线
对称，其中
，
，则
的最小值为（ ）
A．2
B．
C．4
D．
3．（多选）（2025·河北张家口·三模）已知
，
，且
，若
，则（ ）
A．
B．
的最小值为
C．
的最小值为
D．
的取值范围为
4．（多选）（2025·江西·模拟预测）已知实数
满足
，那么不存在这样的
，使得（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·甘肃白银·模拟预测）若正实数
，
满足
，则
的最小值是
．
6．（2025 高三上·全国·专题练习）若两个正实数x，y 满足
，且不等式
有解，则实数m 的取值范围是 ．
7．（24-25 高三上·吉林通化·阶段练习）（1）已知
，
， 求
的最小值；
（2）已知
，求
的最大值；
题型十：复数的综合应用
1．（24-25 高一下·山东济宁·期中）已知
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．2
D．
2．（2025·山东临沂·二模）若复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·浙江嘉兴·二模）已知复数
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·贵州黔东南·三模）已知复数z 满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·湖北·模拟预测）已知复数
满足
（是虚数单位），复数
在复
平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．（2025·湖北·模拟预测）在复平面内，
对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
7．（2025 高三·全国·专题练习）设复数
在复平面内对应的点为
，则
的虚部为
（ ）
A．
B．
C．1
D．3
8．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数
，则（ ）
A．
B．
在复平面内对应的点位于第四象限
C．
D．复数
满足
，则
的最大值为
第二部分：新定义题
1．（24-25 高一下·湖北黄石·阶段练习）当一个非空数集G 满足“如果
，则
，且
时，
”时，我们称G 就是一个数域，以下四个关于数
域的命题：①
是任何数域的元素；②若数域G 有非零元素，则
；③集合
是一个数域；④有理数集是一个数域，其中真命题有（ ）
A．4 个
B．3 个
C．2 个
D．1 个
2．（多选）（25-26 高一上·全国·课后作业）给定数集M，若对于任意x，
，都有
，且
，则称集合M 为闭集合.下列说法错误的是（ ）
A．自然数集是闭集合
B．无理数集是闭集合
C．集合
为闭集合
D．若集合
，
为闭集合，则
也为闭集合
3．（多选）（2025·浙江温州·模拟预测）给定
，若集合
，且存在
，满足
，则称P 为“广义等差集合”．记P 的元素个
数为
，则（ ）
A．
是“广义等差集合”
B．
是“广义等差集合”
C．若P 不是“广义等差集合”，当
时，
的最大值为4
D．若P 不是“广义等差集合”，若
的最大值为4，则n 可以是13
4．（24-25 高一上·四川眉山·期中）已知集合
是实数集
的非空子集，若
，则称集合
为闭集合.
(1)若集合
均是闭集合.求证：
是闭集合；
(2)若集合
均是闭集合.集合
一定是闭集合吗？如果是请证明，如果不是请举出反
例；
(3)若
均是闭集合，且
都是
的真子集.求证：存在常数
，但
.
5．（2025·广东·模拟预测）已知
.设集合
或
，且
，集合
.若集合
中的元素
满足
，则称
为
的
“相邻元”.对于整数
，若集合
存在一个子集
满足：（i）集合
中的元素个数为
；
（ii）
，在集合
中都至少有
个“相邻元”，则称
是“好数”.
(1)当
时，直接写出
的“相邻元”；
(2)当
时，求证：
是“好数”；
(3)当
时，若整数
满足
，且
，求
证：
是“好数”.
6．（24-25 高三上·山东烟台·开学考试）若
为定义域D 上的单调函数，且存在区间
（其中
），使得当
时，
的取值范围恰为
，则称函数
是D 上的“优美函数”.
(1)写出
的一组值，使得函数
为“优美函数”，并说明理由;
(2)若函数
为“优美函数”，求实数t 的取值范围;
(3)若函数
为“优美函数”，求实数m 的取值范围.
