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一轮复习 81 练答案精析
第一章 集合、常用逻辑用语、不等式
§1.1 集 合
1．A 2.C 3.C 4.B 5.B 6.A
7．AD [因为A∪B＝A，所以B⊆A.
因为A＝{1,3，m2}，B＝{1，m}，
所以m2＝m或m＝3，解得m＝0或m＝1或m＝3.
当m＝0时，A＝{1,3,0}，B＝{1,0}，符合题意；
当m＝1时，集合A、集合B均不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当m＝3时，A＝{1,3,9}，B＝{1,3}，符合题意．
综上，m＝0或3.]
8．CD [令 U＝{1,2,3,4}，A＝{2,3,4}，B＝{1,2}，满足(∁U A)∪B＝B，但 A∩B≠ ∅，
A∩B≠B，故A，B均不正确；
由(∁U A)∪B＝B，知∁U A⊆B，
∴U＝A∪(∁U A)⊆(A∪B)，
∴A∪B＝U，
由∁U A⊆B，知∁U B⊆A，
∴(∁U B)∪A＝A，故C，D均正确．]
9．{1,5} 8 10.{－1,2,3}
11．0，－，
解析 由x2＋x－6＝0，
得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，
因为A∪B＝A，所以B⊆A，
当B＝∅时，B⊆A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
当B≠ ∅时，得m≠0，则集合B＝{x|mx＋1＝0}＝，
因为B⊆A，
所以－＝－3或－＝2，
解得m＝或m＝－，
综上，m＝0，m＝或m＝－.
12．[－5,3] [0,2]∪(4，＋∞)
解析 A＝{x|－3≤x≤3}，
当m＝－1时，B＝{x|－5≤x≤0}，
此时A∪B＝[－5,3]．
由A∩B＝B可知B⊆A.
若B＝∅，则2m－3>m＋1解得m>4；
若B≠ ∅，则
解得0≤m≤2，
综上所述，实数m的取值范围为
[0,2]∪(4，＋∞)．
13．BD [由log x<3得0<x<23，
2
即0<x<8，于是得全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，
因为∁U (A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，
则有A∩B＝{3},3∈B，C不正确；
若B＝{2,3,4}，则A∩B＝{2,3}，
∁U
(A∩B)＝{1,4,5,6,7}，矛盾，A不正确；
若B＝{3,4,5}，则A∩B＝{3}，
∁U
(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，B正确；
若B＝{3,5,6}，则A∩B＝{3}，
∁U
(A∩B)＝{1,2,4,5,6,7}，D正确．]
14．160 290
解析 根据题意画出Venn图，如图所示，
a表示只参加第一天的人，
b表示只参加第二天的人，c表示只参加第三天的人，
d表示只参加第一天与第二天的人，
e表示只参加第一天与第三天的人，
f表示只参加第二天与第三天的人，
g表示三天都参加的人，
∴要使总人数最少，则令g最大，其次d，e，f也尽量大，d＋g＝30，f＋g＝40，
∴a＋e＝160，即第一天参加但第二天没参加的有160人，
∴g ＝30，d＝0，f＝10，
max
a＋d＋g＋e＝190，
∴c＋e＝140，
∴e ＝140，∴c＝0，a＝20，
max
则这三天参加活动的最少有a＋b＋c＋…＋g＝20＋90＋0＋0＋140＋10＋30＝290(人)．
15．BD [对于选项A，因为M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x>0}，M∪N＝{x∈Q|x≠0}≠Q，
故A错误；
对于选项B，设M＝{x∈Q|x<0}，N＝{x∈Q|x≥0}，满足戴德金分割，则M没有最大元素，
N有一个最小元素0，故B正确；
对于选项C，若M有一个最大元素m，N有一个最小元素n，若m≠n，一定存在k∈(m，n)
使M∪N＝Q不成立；若m＝n，则M∩N＝∅不成立，故C错误；
对于选项D，设M＝{x∈Q|x<}，N＝{x∈Q|x≥}，满足戴德金分割，此时M没有最大元素，
N也没有最小元素，故D正确．]
16．2 021
解析 由题意得，M的“长度”为2 022，N的“长度”为2 023，
要使M∩N的“长度”最小，则M，N分别在{x|0≤x≤2 024}的两端．
当m＝0，n＝2 024时，得M＝{x|0≤x≤2 022}，N＝{x|1≤x≤2 024}，
则M∩N＝{x|1≤x≤2 022}，此时集合M∩N的“长度”为2 022－1＝2 021；
当m＝2，n＝2 023时，M＝{x|2≤x≤2 024}，N＝{x|0≤x≤2 023}，
则M∩N＝{x|2≤x≤2 023}，此时集合M∩N的“长度”为
2 023－2＝2 021.
故M∩N的“长度”的最小值为2 021.
§1.2 常用逻辑用语
1．B 2.C 3.B 4.C 5.B 6.CD7．AB [由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，
所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋，
当x∈(0,2)时，由基本不等式可得
2x＋≥2＝2，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以λ≤2.]
8．B [命题：如果“S，S 不总相等”，那么“V，V 不相等”的等价命题是：如果“V，
1 2 1 2 1
V 相等”，那么“S，S 总相等”．
2 1 2
根据祖暅原理，当两个截面的面积S，S 总相等时，这两个几何体的体积V，V 相等，所以
1 2 1 2
逆命题为真，故是必要条件；
当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，
故是不充分条件，所以“S，S 不总相等”是“V，V 不相等”的必要不充分条件．]
1 2 1 2
9．∃x∈，sin x≥cos x
10．x<－1(答案不唯一)
11．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
12.
解析 设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{x|x<2或x≥4}，
若α是β的必要条件，则B⊆A，
当2m－1>－m，即m>时，
此时A＝R，B⊆A成立；
当2m－1≤－m，即m≤时，
若B⊆A，此时无解．
综上，m>.
13．AB [∵∃x∈M，x>3为假命题，
∴∀x∈M，x≤3为真命题，
可得M⊆(－∞，3]，
又∀x∈M，|x|>x为真命题，
可得M⊆(－∞，0)，
∴M⊆(－∞，0)．]
14．乙
解析 四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说
的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、
丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、
丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话， 可知罪犯是乙．15．B [当k＝1时，a ＝a＋1，则{a}为等差数列，必要性成立；
n＋1 n n
若{a}为等差数列，由a＝1，a＝2k，a＝2k2＋k，
n 1 2 3
有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或.
当k＝时，a ＝a＋，此时a＝1，充分性不成立．]
n＋1 n n
16．C [在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.
设f(x)＝x＋cos x，x∈(0，π)，
则f′(x)＝1－sin x，x∈(0，π)时，
sin x∈(0,1]，
∴f′(x)≥0，
∴f(x)在(0，π)上单调递增，
∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cos A>B＋cos B．]
§1.3 等式性质与不等式性质
1．B 2.A 3.AD 4.C 5.C 6.BCD
7．AD [因为a>b>0>c>d，
所以a>b>0,0>c>d，
对于A，因为0>c>d，由不等式的性质可得c2<cd，故选项A正确；
对于B，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则a－c＝3，b－d＝3，
所以a－c＝b－d，故选项B错误；
对于C，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，
则ac＝－2，bd＝－2，
所以ac＝bd，故选项C错误；
对于D，因为a>b>0，d<c<0，
则ad<bc，
所以>，
故－>0，故选项D正确．]
8．ABC [对于非零实数a，b满足a>|b|＋1，
则a2>(|b|＋1)2，
即a2>b2＋2|b|＋1>b2＋1，故A一定成立；
因为a>|b|＋1≥b＋1⇒2a>2b＋1，故B一定成立；
又(|b|－1)2≥0，即b2＋1≥2|b|，所以a2>4|b|≥4b，故C一定成立；
令a＝5，b＝3，满足a>|b|＋1，
此时＝<b＋1＝4，故D不一定成立．]
9．> 10.－3，－1,0(答案不唯一)
11．(2,10)
12．eπ·πe<ee·ππ
解析 ＝＝π－e，
又0<<1,0<π－e<1，
∴π－e<1，
即<1，即eπ·πe<ee·ππ.
13．A [因为0<a<b<1，则>1，
且ln a<ln b<0，即有>1，
因此，ln>0，即p>0，
又m<0，n<0，则＝＝·>1，于是得m<n<0，所以m<n<p.]
14．b>d>c>a
解析 由题意知d>c①，由②＋③得2a＋b＋d<2c＋b＋d，化简得a<c④，由②式a＋b＝c＋
d及a<c可得到，要使②成立，必须b>d⑤成立，综合①④⑤式得到b>d>c>a.
15．BD [∵
两式相减得2b＝2a2＋2，
即b＝a2＋1，∴b≥1.
又b－a＝a2＋1－a
＝2＋>0，
∴b>a.
而c－b＝4－4a＋a2＝(a－2)2≥0，
∴c≥b，从而c≥b>a.]
16．A [∵9m＝10，∴m∈(1,2)，
令f(x)＝xm－(x＋1)，x∈(1，＋∞)，
∴f′(x)＝mxm－1－1，
∵x>1且1<m<2，
∴xm－1>1，∴f′(x)>0，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
又9m＝10，∴9m－10＝0，
即f(9)＝0，
又a＝f(10)，b＝f(8)，∴f(8)<f(9)<f(10)，
即b<0<a.]
§1.4 基本不等式
1．C 2.A 3.C 4.A 5.BCD
6．BD [因为a>0，b>0，所以ab≤2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则ab≤2＝4或2≤，当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则≥，a2＋b2≥8，≤，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，
则log a＋log b＝log ab≤log 4＝2，
2 2 2 2
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故A，C不恒成立，D恒成立；
对于B选项，＋＝＝≥4×＝1，
当且仅当a＝b＝2时等号成立，故B恒成立．]
7．0 8.6
9．解 (1)y＝(2x－3)＋＋＝－＋.
当x<时，有3－2x>0，
所以＋
≥2＝4，
当且仅当＝，
即x＝－时，取等号．
于是y≤－4＋＝－，故函数的最大值为－.
(2)因为0<x<2，
所以4－x2>0，
则y＝x＝≤＝2，
当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，取等号，
所以y＝x的最大值为2.
10．解 (1)当0<x<40时，W(x)＝700x－(10x2＋100x)－300＝－10x2＋600x－300，
当x≥40时，W(x)＝700x－－300＝－＋9 150，
∴W(x)＝
(2)若0<x<40，
W(x)＝－10(x－30)2＋8 700，当x＝30时，W(x) ＝8 700(万元)．
max
若x≥40，W(x)＝－＋9 150≤9 150－2＝8 950，
当且仅当x＝时，即x＝100时，取等号．
∴W(x) ＝8 950(万元)．
max
∴今年产量为100千部时，企业所获利润最大，最大利润是8 950万元．
11．A [因为β为锐角，所以tan β>0，
由题意可得tan α＝＝≤＝，
当且仅当tan β＝时取等号，
故tan α的最大值为.]
12．4
解析 若a>0，b>0，则(a＋b)2＋≥(2)2＋＝4ab＋≥4，
当且仅当
即a＝b＝时取等号，
故所求的最小值为4.
13．C [根据图形，利用射影定理得CD2＝DE·OD，
又OD＝AB＝(a＋b)，
CD2＝AC·CB＝ab，
所以DE＝＝，
由于OD≥CD，
所以≥(a>0，b>0)．
由于CD≥DE，
所以≥＝(a>0，b>0)．]
14．BC [因为ab≤2≤(a，b∈R)，
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x＋y)2－1＝3xy≤32，
解得－2≤x＋y≤2，
当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，
当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；
由x2＋y2－xy＝1可变形为
(x2＋y2)－1＝xy≤，
解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，所以C正确；
因为x2＋y2－xy＝1可变形为
2＋y2＝1，
设x－＝cos θ，y＝sin θ，所以x＝cos θ＋sin θ，
y＝sin θ，
因此x2＋y2
＝cos2θ＋sin2θ＋sin θcos θ
＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋
＝＋sin∈，所以D错误．]
§1.5 一元二次方程、不等式
1．CD 2.D 3.A 4.C 5.BCD
6．AB 7.(－∞，－1)∪(1,5) 8.－4
9．解 (1)选①：
>1，若x＋1>0，即x>－1时，>1，即4>x＋1，
解得－1<x<3，
若x＋1<0，则<0，
则>1无解，
所以>1的解集为(－1,3)，
故A＝(－1,3)，由m＝0，可得x2－x<0，即x(x－1)<0，解得0<x<1，
故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选②：
x2－2x－3<0，解得－1<x<3，
故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0<x<1，故B＝(0,1)，
则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
选③：
|x－1|<2，－2<x－1<2，
解得－1<x<3，
故A＝(－1,3)，
m＝0，x2－x<0，即x(x－1)<0，
解得0<x<1，
故B＝(0,1)，则A－B＝(－1,0]∪[1,3)．
(2)由(1)可知，条件①②③求出的集合A相同，即A＝(－1,3)．
由x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0，
即(x－m)[x－(m＋1)]<0，
解得B＝(m，m＋1)，
因为p是q成立的必要不充分条件，所以BA，所以
或
解得－1≤m≤2，
故m的取值范围为[－1,2]．
10．解 (1)∀x∈R，f(x)≥－2恒成立等价于∀x∈R，ax2＋(1－a)x＋a≥0，
当a＝0时，x≥0，对一切实数x不恒成立，则a≠0，
此时必有
即解得a≥，
所以实数a的取值范围是.
(2)依题意，因为a<0，则f(x)<a－1⇔ax2＋(1－a)x－1<0⇔(x－1)>0，
当a＝－1时，－＝1，
解得x≠1；
当－1<a<0时，－>1，
解得x<1或x>－；
当a<－1时，0<－<1，
解得x<－或x>1，
所以，当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，原不等式的解集为；
当a<－1时，原不等式的解集为.
11．CD [∵|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0时，a∈R；
②当x≠0时，|f(x)|≤5⇔－5≤x2－ax－1≤5
⇔x－≤a≤x＋，
当x∈(0,3]时， ＝2＋＝4， ＝3－2＝1，
min max
∴1≤a≤4，
综上，1≤a≤4.]
12．B [假设只有甲是假命题，当n＝－1，m＋n＝－2时，m＝－1，所以mn＝1＝>0，所
以ac<0是假命题，与已知矛盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有乙是假命题，当m＝－3，m＋n＝－2时，n＝1，所以mn＝－3＝<0，所以ac<0，符合题意；
假设只有丙是假命题，m＝－3，n＝－1，所以mn＝3＝>0，所以ac<0是假命题，与已知矛
盾，所以这种情况不符合题意；
假设只有丁是假命题，m＝－3，n＝－1时，m＋n≠－2，与已知矛盾，所以这种情况不符
合题意．]
13．A [因为x＝0不是不等式＋<0的解，
所以不等式＋<0等价于＋<0，
所以－2<－<－1或1<－<3，解得－1<x<－或<x<1.]
14．m≥－
解析 ∵cos2θ＋2msin θ－2m－2<0，
∴1－sin2θ＋2msin θ－2m－2
＝－sin2θ＋2msin θ－2m－1<0.
设x＝sin θ(0<x<1)，
f(x)＝－x2＋2mx－2m－1.
由题意可知，0<x<1时，f(x)<0恒成立．
当对称轴x＝m≤0时f(x)在x∈(0,1)上单调递减，
则f(x)<f(0)＝－2m－1≤0，
即－≤m≤0，
当对称轴0<x＝m<1时，f(x)≤f(m)＝－m2＋2m2－2m－1＝m2－2m－1<0，
解得1－<m<1＋，
即0<m<1，
当对称轴x＝m≥1时，f(x)在x∈(0,1)上单调递增，
则f(x)<f(1)＝－1＋2m－2m－1＝－2<0，即m≥1.
综上所述，m≥－.
第二章 函 数
§2.1 函数的概念及其表示
1．D 2.B 3.C 4.A 5.B
6．B [当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4，
当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋log x的值域为(－∞，4]的子集，
a
当a>1时，f(x)＝6＋log x在(2，＋∞)上单调递增，
a
此时f(x)>f(2)＝6＋log 2>6，不符合题意，
a
当0<a<1时，f(x)＝6＋log x在(2，＋∞)上单调递减，
a
此时f(x)<f(2)＝6＋log 2≤4，即log 2≤－2，
a a
所以a2≥，可得≤a<1，
所以实数a的取值范围是.]
7．ABD [对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为
(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
对D，因为函数
y＝＝2＋，
所以函数的定义域为
(－∞，2)∪(2，＋∞)，
值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
所以ABD是定义域和值域相同的函数．]
8．AD [令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义；
令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定
义；
设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义；
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．]
9. 10.x2－1(x≥0) 11.[－1,0]
12．1或－3 [－，－1]
13．B [∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，
解得f(1)＝1.]
14．B [作出函数f(x)的图象，如图所示．因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3<a＋2，
所以即－2<a≤3，
此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，
f(a＋2)＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，
则f(a)＝.]
15．B [当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，
则x≤－1，
所以M(x)＝
若M(n)<1，
则当－1<n<1时，
1－n2<1⇒－n2<0⇒n≠0，
即－1<n<0或0<n<1，
当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，
解得－2<n≤－1或1≤n<2，
综上，－2<n<0或0<n<2.]
16．BD [∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，
F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；
因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意 x∈R，恒有F(x)＝
F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T
是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不
为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x ＝－，x ＝0，x ＝，可得F(x)＝
1 2 3 1
0，F(x)＝1，F(x)＝0，所以A，B(0,1)，C，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．]
2 3
§2.2 函数的单调性与最值
1．B 2.B 3.C 4.A 5.BC 6.BCD
7．(－∞，－3]，[0,3]8．f(x)＝(x－1)2，x∈(0,4)(答案不唯一，如f(x)＝只要满足题意即可)
9．解 (1)f(x)＝x|x－4|
＝
函数图象如图所示．
(2)由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4)．
10．解 (1)f(0)＝a－＝a－1.
(2)f(x)在R上单调递增．证明如下：
∵f(x)的定义域为R，
∴任取x，x∈R且x<x，
1 2 1 2
则f(x)－f(x)＝ ，
1 2
∵y＝2x在R上单调递增且x<x，
1 2
∴ ，
∴ － <0, ＋1>0, ＋1>0.
∴f(x)－f(x)<0，即f(x)<f(x)．
1 2 1 2
∴f(x)在R上单调递增．
11．D [在函数f(x)＝ln(ax－2)中，令u＝ax－2，函数y＝ln u在(0，＋∞)上单调递增，
而函数f(x)＝ln(ax－2)在(1，＋∞)上单调递增，则函数u＝ax－2在(1，＋∞)上单调递增，且
∀x>1，ax－2>0，因此解得a≥2，
所以实数a的取值范围为[2，＋∞)．]
12．(0，＋∞) (0,1)∪(1,2)
解析 由题意得f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为f(x)＝f(－x)，所以f(x)是偶函数．
当x>0时，f(x)＝x2 022－＋5，f(x)单调递增，因此当x<0时，f(x)单调递减．又因为f(1)＝f(－
1)＝5，所以由f(x－1)<5可得－1<x－1<0或0<x－1<1，即0<x<1或1<x<2.
13．A [不妨令x<x，∴x－x<0，
1 2 1 2
∵>－1⇔f(x)－f(x)<－(x－x)⇔f(x)＋x<f(x)＋x，
1 2 1 2 1 1 2 2
令g(x)＝f(x)＋x，
∴g(x)<g(x)，
1 2又x<x，∴g(x)＝f(x)＋x是增函数．]
1 2
14.D [∵a＝ln 3>ln e＝1，b＝lg 5<lg 10＝1，c＝log 6<log 12＝1，
12 12
∴a>b，a>c，
∵lg 5＝＝，
log 6＝＝，
12
∴构造函数f(x)＝＝1－(x>0)，
显然函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵0<log 5<log 6，
2 2
∴f(log 5)<f(log 6)，
2 2
即lg 5<log 6，
12
∴a>c>b.]
§2.3 函数的奇偶性、周期性
1．ABD 2.A 3.D 4.C 5.B 6.AC
7．cos 2x(答案不唯一) 8.(，＋∞)
9．解 (1)设x<0，则－x>0，
所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)
＝－x2－2x.
又f(x)为奇函数，
所以f(－x)＝－f(x)，
于是x<0时，f(x)＝x2＋2x
＝x2＋mx，
所以m＝2.
(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，结合f(x)的图象(如图所示)知
所以1<a≤3，
故实数a的取值范围是(1,3]．
10．(1)证明 ∵f(x＋2)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．
∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)解 当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，
由已知得f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2.
又f(x)是奇函数，
∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2.
∴f(x)＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)．
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，f(x)＝x2－6x＋8.
(3)解 f(0)＝0, f(1)＝1，
f(2)＝0，f(3)＝－1.
又f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)
＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0.
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 023)＝0.
11．C [因为∀x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，
取x＝1，y＝0可得f(1)＋f(1)＝f(1)f(0)，
又f(1)＝1，所以f(0)＝2，A对；
取x＝0，y＝x可得f(x)＋f(－x)＝f(0)f(x)，
因为f(0)＝2，所以f(－x)＝f(x)，
所以f(x)为偶函数，C错，B对；
取x＝1，y＝1可得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，
又f(1)＝1，f(0)＝2，
所以f(2)＝－1，D对．]
12．f <f <f
解析 由题意知f(x＋1)＝，
则f(x＋2)＝＝f(x)，
故函数y＝f(x)的周期为2，
f ＝f ，f ＝f ＝f ＝f ，
f ＝f ＝f ，
∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x＋ex单调递增，
∴f <f <f ，故f <f <f .
13．－ ln 2
解析 f(x)＝ln＋b
＝ln＋ln eb
＝ln.
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＋f(x)
＝ln＝0，
∴
＝|1－x2|.
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝1－x2时，
[(a＋1)2e2b－1]＋(1－a2e2b)x2＝0对任意的x恒成立，
则
解得
当(a＋1)2e2b－a2e2bx2＝x2－1时，
[(a＋1)2e2b＋1]－(a2e2b＋1)x2＝0对任意的x恒成立，
则无解．
综上，a＝－，b＝ln 2.
14．2
解析 f(x)＝＝＝＋1，
令g(x)＝f(x)－1＝，
则g(－x)＝－＝－g(x)，
∴函数g(x)在[－3,3]上为奇函数，则g(x) ＋g(x) ＝0，
max min
即M－1＋N－1＝0，∴M＋N＝2.
§2.4 函数的对称性
1．A 2.B 3.B 4.C
5．C [因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)
上恒有<0(x≠x)，当x<x 时，f(x)>f(x)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)
1 2 1 2 1 2
上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2|⇒1<ln x<3，解得e<x<e3.]
6．AD [根据题意，
若f(x＋1)＝－f(x)，则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，
则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．]
7．y＝e2－x
8．2sin x(答案不唯一)
9．解 (1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，
即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>的解集为.
(2)g(x)＝＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)．
10．解 (1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，
g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，
故g(－x)＝－g(x)，
故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．11．ABD [对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)
的图象向右平移1个单位长度得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位长度，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对
称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位长度得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－
x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自
身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象
自身关于直线x＝1对称，故正确．]
12．2n
解析 因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位长度得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|
＝|(x－2)2－9|，
所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
所以x＋x＋…＋x＝·4＝2n.
1 2 n
13．B [作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．]
14．A [当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，
当x>2时，
f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，
f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4
＝2|x－2|－4＝f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋log x)>f(1－log x)可得|2＋log x－2|>|1－log x－2|，
4 4 4 4
即|log x|>|1＋log x|，不等式|log x|>|1＋log x|两边平方得log x<－，解得0<x<.]
4 4 4 4 4
§2.5 函数性质的综合应用
1．A 2.C 3.C 4.C
5．C [令f(0)＝lg(2＋a)＝0，
得a＝－1，
所以f(x)＝lg＝lg ，定义域为(－1,1)，
f(－x)＝lg ＝－lg
＝－f(x)，满足f(x)为奇函数，
因为y＝＝－1在(－1,1)上单调递减，
所以f(x)在(－1,1)上单调递减，
又f(0)＝0，f ＝1，所以使得0<f(x)<1的x的取值范围是.]
6．ABD [因为f(x)为R上的奇函数，且g(x)＝f(x＋1)为偶函数，
所以f(x)的图象关于直线x＝－1对称，
所以f(x)＝f(2－x)，A，D正确；
由A分析知f(x)＝f(2－x)
＝－f(－x)，
故f(2＋x)＝－f(x)，
所以f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，
所以f(x)是周期为4的周期函数，
则g(2 023)＝f(2 024)＝f(0)＝0，B正确；
但不能说明g(x)的最小正周期为4，C错误．]
7．ABC [对于选项A，B，∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∵f(x)＋f(2－x)＝0，
∴f(－x)＋f(2＋x)＝0，
则－f(x)＋f(2＋x)＝0，
即f(2＋x)＝f(x)，
故函数f(x)是最小正周期为2的周期函数，由此可知选项A，B正确；
对于选项C，令F(x)＝f(x－1)，则F(－x)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)．
在f(x)＋f(2－x)＝0中，将x换为x＋1，得f(x＋1)＋f(1－x)＝0，∴f(x＋1)＝－f(1－x)，
∴F(－x)＝－f(x＋1)＝f(1－x)
＝－f(x－1)＝－F(x)，
则函数F(x)＝f(x－1)为奇函数，
∴选项C正确．
对于选项D，由函数f(x)是以2为最小正周期的周期函数，
则函数f(x)在[5,6)上的单调性等价于函数f(x)在[－1,0)上的单调性，
又奇函数f(x)在(0,1]上单调递减，∴函数f(x)在[－1,0)上单调递减．∴选项D不正确．]
8．ACD [因为f(2x＋1)是偶函数，
所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，
令t＝2x＋1，则2x＝t－1，
故－2x＋1＝2－t，
所以f(t)＝f(2－t)，
即f(x)＝f(2－x)，
所以函数f(x)关于直线x＝1对称，
因为f(x－1)是奇函数，所以f(－1)＝0，且函数f(x－1)关于(0,0)对称，
又因为函数f(x－1)是由函数f(x)向右平移1个单位长度得到，
所以f(x)关于(－1,0)对称，
所以f(－x－1)＝－f(x－1)，
所以f(x)＝－f(－x－2)，
所以f(2－x)＝－f(－x－2)，
则f(x)＝－f(x－4)＝f(x－8)，
即f(x)＝f(x＋8)，
所以函数f(x)的一个周期为8，
故有f(x)＝f(x＋(－2)×8)
＝f(x－16)，故A正确；
由函数f(x)关于直线x＝1对称，
f(－1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝0，
所以f(11)＝f(3)＝0，故B错误；
因为f(2 022)＝f(8×253－2)
＝f(－2)，
因为f(x)关于(－1,0)对称，
所以f(－2)＝－f(0)，所以f(2 022)＝－f(0)，故C正确；
又f(2 021)＝f(8×253－3)
＝f(－3)，故D正确．]
9.
10.
解析 令g(x)＝e|x|－cos x，将其向右平移1个单位长度，
得y＝e|x－1|－cos＝e|x－1|－sin x，
所以f(x)＝e|x－1|－sin x是由函数g(x)向右平移1个单位长度得到的．
而易知g(x)是偶函数，
当x>0时，g(x)＝ex－cos x，
g′(x)＝ex＋sin x；
当0<x≤2时，显然g′(x)>0；
当x>2时，ex>e2，
－≤sin x≤，
所以g′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减．
从而可知f(x)在(1，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减．
所以当f(x)>f(2x)时，有|x－1|>|2x－1|，解得0<x<.
§2.6 二次函数与幂函数
1．D 2.A 3.C 4.C 5.ABD 6.BC
7．f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为
f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴所求函数的解析式为
f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3.
8．3
解析 因为二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[1，＋∞)，
则a>0，
所以f(x) ＝＝＝1，
min
即ac－1＝a，可得a＝>0，
则c>1，
所以＋＝c＋－1≥2－1＝3，
当且仅当c＝2时，等号成立，
因此＋的最小值为3.
9．解 (1)由幂函数可知2m2－m－2＝1，解得m＝－1或m＝，
当m＝－1时，f(x)＝x2，函数为偶函数，符合题意；
当m＝时，f(x)＝x7，函数为奇函数，不符合题意，
故f(x)的解析式为f(x)＝x2.
(2)由(1)得，g(x)＝f(x)－2(a－1)·x＋1＝x2－2(a－1)x＋1.
函数的对称轴为x＝a－1，开口向上，f(0)＝1，f(4)＝17－8(a－1)，
由题意得，在区间[0,4]上，f(x) ＝f(4)＝17－8(a－1)＝9，解得a＝2，经检验a＝2符合题意，
max
所以实数a的值为2.
10．解 (1)由题意知，函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，且方程f(x)＝0的两根为－3
和1，
设f(x)＝a(x＋3)(x－1)，
又f(0)＝－，
则f(0)＝－3a＝－，解得a＝.
故f(x)＝x2＋x－.
(2)只要x∈[1，m](m>1)，就有f(x＋t)≤x－1，即x2＋2(t－1)x＋(t＋1)2≤0，
取x＝1，t2＋4t≤0，－4≤t≤0；
取x＝m，[m＋(t－1)]2≤－4t，
即1－t－2≤m≤1－t＋2，
由－4≤t≤0得0≤－t≤4,1－t＋2≤1＋4＋2×＝9，
故当t＝－4时，m≤9；
当m＝9时，存在t＝－4，
只要x∈[1,9]，
就有f(x－4)－(x－1)＝(x－1)(x－9)≤0成立，满足题意．
故满足条件的实数m的最大值为9.
11．B [由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1
时，(m2)a>(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为
ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.]
12．7
解析 由题意有
且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，
解得m≤－2或m≥1，
α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5
＝4m2＋2m＋1，
令f(m)＝4m2＋2m＋1，
而f(m)图象的对称轴为m＝－，
且m≤－2或m≥1，
所以f(m) ＝f(1)＝7.
min
13．D [存在两个实数x，x，
1 2
使|f(x)－f(x)|≥1
1 2
⇔f(x) －f(x) ≥1，
max min
当a＝0时，f(x)＝－2 022x－2 023，f(t－1)－f(t＋1)＝2×2 022>1，显然符合；
当a≠0时，f(x)＝2ax2－2 022x－2 023与y＝2ax2的图象完全“全等”，
即可以通过平移完全重合．
因为t－1≤x≤t＋1且t∈R，即用一个区间宽度为2的任意区间去截取函数图象，
使得图象的最高点与最低点间的纵坐标之差大于等于1，
因此取纵坐标之差最小的状态为
f(x)＝2ax2(－1≤x≤1)，
当a>0时，此时f(x) －f(x) ＝2a－0≥1，
max min
故a≥；
当a<0时，此时f(x) －f(x) ＝0－2a≥1，
max min
故a≤－，
综上，a的取值范围是∪{0}∪.]
14．C [函数f(x)＝x2－4x＋1在[1,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增．
由绝对值的几何意义，
∴|f(x)－f(x)|＋|f(x)－f(x)|＋…＋|f(x )－f(x)|表示将函数f(x)在(x ，x)上分成n－1段，取
1 2 2 3 n－1 n 1 n
每段两端点函数值差的绝对值总和．又根据f(x)的单调性知原式最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(2)－f(4)|＝f(1)－f(2)＋f(4)－f(2)＝5，
∴M≥5，则M的最小值为5.]
§2.7 指数与指数函数
1．C 2.D 3.D 4.B 5.CD 6.C
7．(1)0.09 (2)
解析 (1) ＝()2＋－＝0.09＋－＝0.09.
(2)
＝
＝
＝
8．(－1,1)
解析 因为函数
f(x)＝3x＋1－4x－5，
所以不等式f(x)<0即为3x＋1<4x＋5，
在同一平面直角坐标系中作出y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象，如图所示，
因为y＝3x＋1，y＝4x＋5的图象都经过A(1,9)，
B(－1,1)，
所以f(x)<0，即y＝3x＋1的图象在y＝4x＋5图象的下方，
所以由图象知，不等式f(x)<0的解集是(－1,1)．
9．解 (1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0
＝1－(k－1)＝0，
∴k＝2，
经检验k＝2符合题意，∴k＝2.
(2)f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，
∵f(1)<0，
∴a－<0，又a>0，且a≠1，
∴0<a<1，
从而y＝ax在R上单调递减，
y＝a－x在R上单调递增，
故由单调性的性质可判断f(x)＝ax－a－x在R上单调递减，
不等式f(m2－2)＋f(m)>0
可化为f(m2－2)>f(－m)，
∴m2－2<－m，即m2＋m－2<0，
解得－2<m<1，
∴实数m的取值范围是(－2,1)．
10．解 由f(x)＝a2x＋ax＋1，
令ax＝t，则t>0，
则y＝t2＋t＋1＝2＋，其对称轴为t＝－.
该二次函数在上单调递增．
①若a>1，由x∈[－1,1]，得t＝ax∈，
故当t＝a，即x＝1时，
y ＝a2＋a＋1＝13，解得a＝3或a＝－4(舍去)．
max
②若0<a<1，由x∈[－1,1]，
可得t＝ax∈，
故当t＝，即x＝－1时，
y ＝2＋＋1＝13.
max
解得a＝或a＝－(舍去)．
综上可得，a＝3或.
11．ABD [∵函数f(x)＝a·|x|＋b的图象过原点，
∴a＋b＝0，即b＝－a，f(x)＝a·|x|－a，
且f(x)的图象无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，
∴b＝2，a＝－2，f(x)＝－2·|x|＋2，故A正确；由于f(x)为偶函数，
故若f(x)＝f(y)，且x≠y，
则x＝－y，即x＋y＝0，故B正确；
由于在(－∞，0)上，f(x)＝2－2·2x单调递减，
故若x<y<0，则f(x)>f(y)，故C错误；
∵|x|∈(0,1]，
∴f(x)＝－2·|x|＋2∈[0,2)，故D正确．]
12．1＋2ln 2
解析 依题意，ex＝ey＋e，ey>0，
则e2x－y＝＝
＝ey＋＋2e
≥2＋2e＝4e，
当且仅当ey＝，即y＝1时取“＝”，
此时，(2x－y) ＝1＋2ln 2，
min
所以当x＝1＋ln 2，y＝1时，2x－y取最小值1＋2ln 2.
13．A [根据题意，函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(x＋1)＝f(1－x)，
则有＝1，即b＝2，
又由f(0)＝3，得c＝3，
所以bx＝2x，cx＝3x，
若x<0，则有cx<bx<1，
而f(x)在(－∞，1)上单调递减，
此时有f(bx)<f(cx)，
若x＝0，则有cx＝bx＝1，
此时有f(bx)＝f(cx)，
若x>0，则有1<bx<cx，
而f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
此时有f(bx)<f(cx)，
综上可得f(bx)≤f(cx)．]
14.
解析 ∵f(x)＝3x＋m－1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，
∴存在x∈[－1,1]满足f(－x)＝－f(x)，
0 0 0
∴ ＋m－1＝－ －m＋1，
∴2m＝－ － ＋2，构造函数y＝－ － ＋2，
x∈[－1,1]，
0
令t＝ ，t∈，
则y＝－－t＋2＝2－在上单调递增，
在(1,3]上单调递减，
∴当t＝1时，函数取得最大值0，
当t＝或t＝3时，
函数取得最小值－，
∴y∈，
又∵m≠0，∴－≤2m<0，
∴－≤m<0.
§2.8 对数与对数函数
1．A 2.B 3.A 4.B 5.B
6．ACD [将(0,0)代入函数f(x)＝|log (x＋1)|(a>1)，成立，故A正确；
a
当x∈(0，＋∞)时，x＋1∈(1，＋∞)，又a>1，所以f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)，由复合函
a a
数单调性可知，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)单调递增，故B错误；
a a
当x∈时，x＋1∈，所以f(x)＝|log (x＋1)|≥log 1＝0，故C正确；
a a
当x∈[1,2]时，f(x)＝|log (x＋1)|＝log (x＋1)≥1恒成立，所以由函数为增函数知log 2≥1，
a a a
解得1<a≤2，故D正确．]
7．10 8.－
9．解 (1)当a＝2时，f(x)＝ ，
令t＝x2－2x＋10＝(x－1)2＋9，
∴t≥9，f(x)≤ ＝－2，
∴f(x)的值域为(－∞，－2]．
(2)令u(x)＝x2－ax＋5a，
∵y＝ (x)为减函数，
∴u(x)＝x2－ax＋5a在(1，＋∞)上单调递增，
∴解得－<a≤2，
∴a的取值范围是.
10．解 (1)∵f(x)是偶函数，
∴f(－x)＝f(x)，
即log (9－x＋1)－kx＝log (9x＋1)＋kx对任意x∈R恒成立，
3 3
∴2kx＝log (9－x＋1)－log (9x＋1)＝log ＝log 3－2x＝－2x，
3 3 3 3
∴k＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝log (9x＋1)－x＝log (9x＋1)－log 3x＝log ＝log (3x＋3－x)，
3 3 3 3 3
则不等式f(x)≥log (7·3x－1)等价于3x＋3－x≥7·3x－1>0，
3
由7·3x－1>0，解得x>－log 7；
3
由3x＋3－x≥7·3x－1，
得6·(3x)2－3x－1≤0，
得0<3x≤，
即x≤－log 2，
3
综上，不等式的解集为(－log 7，－log 2]．
3 3
11．A [由已知，得2a＝3b＝6c＝k，
得a＝log k，b＝log k，c＝log k，
2 3 6
所以＝log2，＝log3，＝log6，
k k k
而2×3＝6，所以＋＝.]
12．BC [函数f(x)＝log x＋log (4－x)＝log (4x－x2)(0<x<4)，
2 2 2
当x＝2 时，4x－x2 取到最大值4，
故此时f(x)＝log x＋log (4－x)取到最大值log 4＝2 ，A错误；
2 2 2
f(x)＝log (4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log u，u＝－x2＋4x(0<x<4) 复合而成，而y＝
2 2
log u是定义域上的增函数，
2
u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0,2)上单调递增，在(2,4)上单调递减，
故f(x)在区间(0,2)上为增函数，在(2,4)上为减函数，故B正确；
因为函数f(4－x)＝log (4－x)＋log x＝f(x)，故f(x)的图象关于直线x＝2对称，C正确；
2 2
因为f(4－x)＝log (4－x)＋log x＝f(x)≠－f(x)，故f(x)的图象不关于点(2,0)对称，D错误．]
2 2
13．D [因为>1，不妨设x>x，
1 2
则f(x)－x>f(x)－x，令g(x)＝f(x)－x，
1 1 2 2
则g(x)在R上单调递增，
又f(0)＝1，
则不等式f(ln(ex－1))<1＋ln(ex－1)，等价于f(ln(ex－1))－ln(ex－1)<1＝f(0)－0，
即g(ln(ex－1))<g(0)，所以ln(ex－1)<0，
则0<ex－1<1，解得 0<x<ln 2.]
14．AC [作函数f(x)＝
的图象如图所示，
f(x)＝a有四个解，即y＝a与y＝f(x)的图象有4个交点x，x，x，x 且x<x<x<x，
1 2 3 4 1 2 3 4
可得0<a<1，故选项A正确；
由图象可得x·x＝1，则＝x，
1 2 2
∴x＋2x＝x＋，
1 2 1
∵<x<1，且1<x<2，对勾函数y＝x＋在区间上单调递减，故当<x<1时，x ＋2x ＝x ＋∈，
1 2 1 1 2 1
故B错误；
x＋x＝＋x，∵<x<1，
1 2 1 1
∴＋x∈，
1
∵x＋x＝8，
3 4
∴x＋x＋x＋x∈，故选项C正确；
1 2 3 4
令x2－8x＋13＝0，解得x＝4±，
由图象可知x∈(4＋，6)，故选项D错误．]
4
§2.9 指、对、幂的大小比较
1．B 2.C 3.A 4.A 5.B
6．D [a＝sin 2>sin ＝>，
＝e3>24⇒ >2⇒ ＝>ln 2，
即b<，∴a>b；
∵ ＝＝，3＝，
∴ >，
∴c>b；∵6＝， ＝＝，
∴> ，
∴a>c，∴b<c<a.]
7．B [令f(x)＝sin x－x，
则f′(x)＝cos x－1≤0，
所以f(x)为减函数，
所以当x>0时，f(x)<f(0)＝0，即sin x<x，
所以b＝9sin <9×＝<1，
又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，
所以b<c<a.]
8．C [令f(x)＝(x≥e)，
则f′(x)＝，
可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
∴>，
∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b，
同理可得>，
∴4ln π>πln 4，
∴π4>4π，
∴5ln π4>5ln 4π，
∴c>a，∴b<a<c.]
9．D [由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，
令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，
则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，
又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，
所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
所以f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以f(1)>f(0)>f(－1)，
即a>b>c.]
10．A [因为b＝cos ＝1－2sin2，
所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2.
令f(x)＝x－sin x，则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
所以>sin ，得>sin2，所以b>a.
因为＝＝4tan ，
所以令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝－1＝≥0，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
所以tan >，即4tan >1，
所以>1，又b>0，所以c>b.
综上，c>b>a.]
§2.10 函数的图象
1．A 2.A 3.A 4.C
5．A [因为f(x)是定义在[－5,5]上的偶函数，观察图象结合偶函数性质得f(x)>0的解集为
[－5，－2)∪(2,5]，f(x)<0的解集为(－2,2)，
当x∈[－5,5]时，sin x>0的解集为[－5，－π)∪(0，π)，sin x<0的解集为(－π，0)∪(π，5]，
不等式<0等价于
或
由
解得x∈(－π，－2)∪(π，5]，
由解得x∈(0,2)，
所以不等式<0的解集为
(－π，－2)∪(0,2)∪(π，5]．]
6．BD [对于选项A，f(4)＝4，f(－1)＝1－e，
显然函数f(x)的图象不关于直线x＝对称；
对于选项B，f(x)＝x2－3x的图象是开口向上的抛物线，所以函数f(x)在区间(3，＋∞)上单调
递增；
作出函数y＝|f(x)－1|的图象，如图所示，对于选项C，当m∈(1,2)时，2－m∈(0,1)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有2个
不同的实数根；
对于选项D，当m∈(－1,0)时，2－m∈(2,3)，结合图象可知方程|f(x)－1|＝2－m(m∈R)有4
个不同的实数根．]
7．－2 8.2
9．解 (1)由题得f(x)＝其图象如图所示，
(2)由题可得或
解得x≤－或0<x≤，
所以实数x的取值范围为(－∞，－]∪.
10．解 (1)根据题意，列表如下，
x －2 －1 0 1 2
f(x) 0 －1 0 1 0
f(x)的大致图象如图所示，其中有A，O，B三个零点，
(2)由(1)的函数图象可知，要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，则－1<a－2≤1，即1<a≤3，
故a的取值范围为1<a≤3.
(3)φ(x)＝f(x)－ex的零点即为f(x)与y＝ex图象交点的横坐标，
又y＝ex在R上单调递增，值域为(0，＋∞)，
结合(1)的图象，易知f(x)与y＝ex的图象在(－∞，0)有一个交点，即φ(x)只有一个零点．
11．AB [函数的定义域为
{x|x≠－c}，由图可知－c>0，则c<0，
由图可知f(0)＝<0，所以b<0，
由f(x)＝0，得ax＋b＝0，x＝－，
由图可知－>0，得<0，
所以a>0，
综上，a>0，b<0，c<0.]
12．B [作出函数y＝x2＋2x(x<0)的图象关于原点对称的图象(如图中的虚线部分)，看它与
函数y＝(x≥0)的图象的交点个数即可，观察图象可得交点个数为2，
即f(x)的“和谐点对”有2个．]
13．B [∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，
∴当x∈(1,2]时，f(x)＝2f(x－1)，即f(x)向右平移1个单位长度，纵坐标变为原来的2倍．
当x∈(2,3]时，f(x)＝4f(x－2)
＝4(x－2)(x－3)，如图所示，
令4(x－2)(x－3)＝－，
解得x＝，x＝，
1 2
∴要使对任意x∈(－∞，m]，
都有f(x)≥－，
则m≤，
∴m∈.]
14．BCD [由题意得，当－4≤x<－2时，点B的轨迹是以(－2,0)为圆心，2为半径的圆；
当－2≤x<2时，点B的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆；
当2≤x<4时，点B的轨迹是以(2,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示．此后依次重复，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，由图象可知，函数f(x)为偶函数，
故A错误；
因为f(x)以8为周期，所以f(x＋8)＝f(x)，
即f(x＋4)＝f(x－4)，故B正确；
由图象可知，f(x)的值域为[0,2]，故C正确；
由图象可知，f(x)在[－2,0]上单调递增，因为f(x)以8为周期，所以f(x)在[6,8]上的图象和在
[－2,0]上的图象相同，即单调递增，故D正确．]
§2.11 函数的零点与方程的解
1．B 2.D 3.C 4.D
5．A [因为函数g(x)＝f(x)－m有三个零点，
所以函数f(x)的图象与直线y＝m有三个不同的交点，
作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图可知，1<m≤2，即m的取值范围是(1,2]．]
6．C [函数f(x)＝x－(x>0)，g(x)＝x＋ex，h(x)＝x＋ln x(x>0)的零点，即为 y＝x与y＝
(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的交点的横坐标，
作出y＝x与y＝(x>0)，y＝－ex，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示．
可知x<x<x.]
2 3 1
7．ABC [由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.]
8．BCD [选项A，若f(x)＝x，则 ＝0，该方程无解，
0 0
故该函数不是“不动点”函数；
选项B，若f(x)＝x，则x－2x－3＝0，
0 0 0
解得x＝3或x＝－1，故该函数是“不动点”函数；
0 0
选项C，若f(x)＝x，则 ＋1＝x，
0 0 0
可得x－3x＋1＝0，且x≥1，
0 0
解得x＝，故该函数是“不动点”函数；
0
选项D，若f(x)＝x，则|log x|－1＝x，
0 0 2 0 0
即|log x|＝x＋1，
2 0 0
作出y＝|log x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
2
由图可知，方程|log x|＝x＋1有实数根x，
2 0
即存在x，使|log x|－1＝x，
0 2 0 0
故该函数是“不动点”函数．]
9．1 10.f(x)＝x2－1 (答案不唯一)
11．(1，＋∞)
解析 方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，即f(x)＝－x＋a有且只有一个实根，
即函数y＝f(x)的图象与直线y＝－x＋a有且只有一个交点．
如图，在同一直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线y＝－x＋
a在y轴上的截距．由图可知，当a≤1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)有两个交点，
当a>1时，直线y＝－x＋a与y＝f(x)只有一个交点．
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
12.
解析 y＝f(x)－a有四个不同的零点x，x，x，x，
1 2 3 4
即方程f(x)＝a有四个不同的解，
即y＝f(x)的图象与直线y＝a有四个交点．
在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝a的图象，如图所示，
由二次函数的对称性可得，x＋x＝4.因为1－ ＝ －1，
3 4
所以 ＋ ＝2，故 ＝.
13．A [令t＝f(x)，则函数g(t)＝t2＋(a－2)t－2a，由t2＋(a－2)t－2a＝0得，t＝2或t＝－a.
f(x)＝|ex－1|＋1＝作出函数f(x)的图象，如图所示，由图可知，当t＝2时，方程f(x)＝|ex－1|
＋1＝2有且仅有一个根，则方程f(x)＝|ex－1|＋1＝－a必有两个不同的实数根，此时由图可
知，1<－a<2，
即－2<a<－1.]
14．0
解析 因为函数f(x)＝－sin x－1＝－sin x，
所以f(x)的对称中心是(0,0)，
令f(x)＝0，得＝sin x，
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝，y＝sin x的图象，如图所示，由图象知，两个函数图象有8个交点，即函数f(x)有8个零点，
由对称性可知，零点之和为0.
15．B [∵f(x)＝f(2－x)，
∴函数f(x)关于直线x＝1对称，
又f(x)为定义在R上的偶函数，
∴函数f(x)关于直线x＝0对称，
作出函数y＝f(x)与直线y＝m(x＋1)的图象，如图所示，
要使关于x的方程f(x)＝m(x＋1)(m>0)恰有5个实数解，
则函数y＝f(x)的图象与直线
y＝m(x＋1)有5个交点，
∴即<m<.]
16.
解析 由题意可知f(2)＝0，
且f(x)在R上单调递减，
所以函数f(x)只有一个零点2，
由|2－β|<1，得1<β<3，
所以函数g(x)＝x2－aex在区间(1,3)上存在零点．
由g(x)＝x2－aex＝0，得a＝.
令h(x)＝，
则h′(x)＝＝，
所以h(x)在区间(1,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，
且h(1)＝，h(2)＝，
h(3)＝>，
要使函数g(x)在区间(1,3)上存在零点，
只需a∈.
§2.12 函数模型的应用
1．D 2.C 3.A 4.D 5.D
6．AD [若选y＝4×x－2 018，计算可得对应数据近似值为4,6,9,13.5，若选y＝sin ＋4，计算可得对应数据近似值不会大于5，
显然A正确，B错误；
按照选择函数模型y＝4×x－2 018，
令y>40，即4×x－2 018>40，
∴x－2 018>10，
∴x－2 018> 10，
∴x－2 018>＝≈5.678 6，
∴x>2 023.678 6，
即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．]
7．462 8.6 10 000
9．解 (1)由题意得当，0<x≤4时，v＝2；
当4<x≤20时，设v＝ax＋b(a≠0)，
显然v＝ax＋b在(4,20]内单调递减，
由已知得解得
所以v＝－x＋.
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得f(x)＝
当0<x≤4时，f(x)单调递增，
故f(x) ＝f(4)＝4×2＝8；
max
当4<x≤20时，f(x)＝－x2＋x＝－(x2－20x)＝－(x－10)2＋，f(x) ＝f(10)＝12.5.
max
所以当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.
即当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
10．解 (1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝ ＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上
均为增函数，
随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，而函数y＝ ＋k(p>0，k>0)
的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为
y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝·0＝，故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，即x>10，
故x> 10＝＝，
由于≈≈5.7，又x∈N，故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11．D [依题意，当t＝5 730时，P＝，而P与死亡年数t之间的函数关系式为P＝ ，
则有＝ ，解得a＝5 730，于是得P＝ ，t>0，当P＝0.75时， ＝
0.75，
所以＝ 0.75＝－log 0.75≈0.4，
2
解得t≈5 730×0.4＝2 292，
由2 021－2 292＝－271得，对应时期为战国，
所以可推断该文物属于战国．]
12．D [由题意，ln＝ln k＋ln(1－e－12k)⇒e－12k＝⇒－12k＝－2ln 2，
0
即6k＝ln 2≈0.69 3，
解得k≈0.115 5.]
13．CD [甲、乙、丙、丁的路程f(x)(i＝1，2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f(x)
i 1
＝2x－1，f(x)＝x2，f(x)＝x，f(x)＝log (x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、
2 3 4 2
二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f(2)＝3，f(2)＝4，所以A不正确；
1 2
当x＝5时，f(5)＝31，f(5)＝25，所以B不正确；
1 2
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、
丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最
后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数
型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．]
14．D [设模式A：y＝－300t＋3 000，模式B：y＝p·，其中p为初始电量．
A模式用了m小时，电量为3 000－300m，
m小时后B模式用了(10－m)小时，
∴(－300m＋3 000)·>3 000·5%，
2m－10(10－m)>，令10－m＝x，
∴>，
∴2x－1－x<0，令f(x)＝2x－1－x，
即求f(x)<0时，x的取值范围．
∵f(1)＝0，f(2)＝0，又由指数函数与一次函数图象知，当1<x<2时，f(x)<0，
∴1<10－m<2，∴8<m<9.]
第三章 一元函数的导数及其应用
§3.1 导数的概念及其意义、导数的运算
1．A 2.A 3.C 4.B 5.B
6．ABC [对于A，g′(x)＝2x＋x·2x·ln 2，
由x·2x＝2x＋x·2x·ln 2，
解得x＝，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故A正确；
对于B，g′(x)＝－ex－2，
由－ex－2＝－ex－2x，得x＝1，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故B正确；
对于C，g′(x)＝，
根据y＝ln x和y＝的图象可看出ln x＝只有一个实数根，
∴g(x)只有一个“新不动点”，故C正确；
对于D，g′(x)＝cos x－2sin x，
由sin x＋2cos x＝cos x－2sin x，
得3sin x＝－cos x，
∴tan x＝－，
根据y＝tan x和y＝－的图象可看出方程tan x＝－有无数个解，
∴g(x)有无数个“新不动点”，故D错误．]
7．ln x(答案不唯一) 8.12
9．解 (1)∵f(x)＝2xf′(e)＋ln x，
∴f′(x)＝2f′(e)＋，
f′(e)＝2f′(e)＋，∴f′(e)＝－，f(x)＝－＋ln x，
∴f(e)＝－＋ln e＝－1.
(2)∵f(x)＝－＋ln x，
f′(x)＝－＋，
∴f(e2)＝－＋ln e2＝2－2e，
f′(e2)＝－＋，
∴f(x)在点(e2，f(e2))处的切线方程为y－(2－2e)＝(x－e2)，
即(2e－1)x＋e2y－e2＝0.
10．解 (1)当x＝－1时，f(－1)＝0，
1
所以切点坐标为(－1,0)．
由f(x)＝x3－x，
得f′(x)＝3x2－1，
所以切线斜率k＝f′(－1)＝2，
所以切线方程为y＝2(x＋1)，
即y＝2x＋2.
将y＝2x＋2代入y＝x2＋a，
得x2－2x＋a－2＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，
得Δ＝(－2)2－4(a－2)＝0，
解得a＝3.
(2)由(1)知，y＝f(x)在点(x，f(x))处的切线斜率k＝f′(x)＝3x－1，
1 1 1
又f(x)＝x－x，所以切线方程为
1 1
y－(x－x)＝(3x－1)(x－x)，
1 1
即y＝(3x－1)x－2x.
将y＝(3x－1)x－2x代入y＝x2＋a，
得x2－(3x－1)x＋a＋2x＝0.
由切线与曲线y＝g(x)也相切，得
Δ＝(3x－1)2－4(a＋2x)＝0，
整理，得4a＝9x－8x－6x＋1.
令h(x)＝9x4－8x3－6x2＋1.
则h′(x)＝36x3－24x2－12x
＝12x(3x＋1)(x－1)．
由h′(x)＝0，得x＝－，0,1，当x变化时，h′(x)，h(x)的变化如表所示，
x (－∞，－) － (－，0) 0 (0,1) 1 (1，＋∞)
h′(x) － 0 ＋ 0 － 0 ＋
h(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表知，当x＝－时，h(x)取得极小值h＝，
当x＝1时，h(x)取得极小值
h(1)＝－4，
易知当x→－∞时，h(x)→＋∞，
当x→＋∞时，h(x)→＋∞，
所以函数h(x)的值域为[－4，＋∞)，
所以由4a∈[－4，＋∞)，
得a∈[－1，＋∞)，
故实数a的取值范围为[－1，＋∞)．
11．B [已知曲线y＝ex在点(x， )处的切线方程为y－ ＝ (x－x)，
1 1
即y＝ x－ x＋ ，
1
曲线y＝ln x在点(x，ln x)处的切线方程为y－ln x＝(x－x)，
2 2 2 2
即y＝x－1＋ln x，
2
由题意得
解得x＝ ，
2
－ x＝－1＋ln x
1 2
＝－1＋ ＝－1－x，
1
则 ＝，
又x＝ ，
2
所以x＝，
2
所以x－1＝－1＝，
2
所以(x＋1)(x－1)＝－2.]
1 2
12.
解析 lim ＝lim ＝lim ＝lim＝ln 1＋＝.13．D [函数y＝ln的导函数为y′＝，令y′＝＝1，解得x＝1－，所以切点为，
代入y＝x－，得a＋b＝2，
因为a，b为正实数，所以a∈(0,2)，
则＝，
令g(a)＝，a∈(0,2)，则g′(a)＝>0，
则函数g(a)在(0,2)上单调递增，所以0＝g(0)<g(a)<g(2)＝1，即g(a)∈(0,1)，
所以∈(0,1)．]
14．2 021
解析 因为x2 022＝a＋a(x－1)＋a(x－1)·(x－2)＋…＋a (x－1)(x－2)…(x－2 022)，
0 1 2 2 022
则令x＝1，可得a＝1.
0
对x2 022＝a＋a(x－1)＋a(x－1)(x－2)＋…＋a (x－1)(x－2)…(x－2 022)两边求导可得
0 1 2 2 022
2 022x2 021＝a＋a[(x－1)(x－2)]′＋…＋a [(x－1)(x－2)…(x－2 022)]′，
1 2 2 022
令f(x)＝(x－1)(x－2)…(x－n)，
n
则f′(x)＝(x－1)[(x－2)(x－3)…(x－n)]′＋(x－2)(x－3)…(x－n)，
n
所以f′(1)＝(1－2)×…×(1－n)
n
＝(－1)n－1(n－1)！，
所以2 022×12 021＝a＋a×(－1)1×1＋a×(－1)2×2！＋…＋a ×(－1)2 0212 021！，
1 2 3 2 022
故2 022＝a－a＋2！a－…－2 021！a ，
1 2 3 2 022
所以－a＋a－a＋2！a－3！a＋4！a－…＋2 020！a －2 021！a ＝2 022－1＝2 021.
0 1 2 3 4 5 2 021 2 022
§3.2 导数与函数的单调性
1．C 2.D 3.B 4.A
5．AC [令f(x)＝ex－ln(x＋1)且x∈(0,1)，
则f′(x)＝ex－>0，
故f(x)在区间(0,1)上单调递增，
因为0<x<x<1，
1 2
所以f(x)<f(x)，
1 2
即 －ln(x＋1)< －ln(x＋1)，
1 2
故 － >ln ，
所以A正确，B错误；
令f(x)＝且x∈(0,1)，
则f′(x)＝<0，故f(x)在区间(0,1)上单调递减，
因为0<x<x<1，
1 2
所以f(x)>f(x)，
1 2
即 > ，
故x >x ，
2 1
所以C正确，D错误．]
6．ACD [依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数．
对于A，g(x)＝xex，
g′(x)＝(x＋1)ex，
当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0，
∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”；
对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”；
对于C，g(x)＝xln x，
g′(x)＝1＋ln x，x>0，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故C中函数不是“F函数”；
对于D，g(x)＝xsin x，
g′(x)＝sin x＋xcos x，
当x∈时，g′(x)<0，
∴g(x)在上单调递减，
故D中函数不是“F函数”．]
7.
8.<a<1
解析 f′(x)＝－4x＋，若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，
即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0在[1,2]上恒成立，
即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．
令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，
所以≥h(2)或≤h(1)，
即≥或≤3，
又a>0，所以0<a≤或a≥1.
因为f(x)在[1,2]上不单调，故<a<1.9．解 (1)因为a＝1，
所以f(x)＝ex－x，
则f′(x)＝ex－1，
所以f′(1)＝e－1，f(1)＝e－1，
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程是
y－(e－1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x.
(2)因为f(x)＝aex－x，a∈R，x∈R，
所以f′(x)＝aex－1，
当a≤0时，f′(x)＝aex－1<0，
则f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时，令f′(x)＝0，
得x＝－ln a，
当x<－ln a时，f′(x)<0，
当x>－ln a时，f′(x)>0，
所以f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，
在(－ln a，＋∞)上单调递增，
综上，当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减；
当a>0时， f(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增．
10．解 (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，f′(x)＝－(x2－2)ex，
令f′(x)>0，即x2－2<0，
解得－<x<，
∴f(x)的单调递增区间是(－，)．
(2)f′(x)＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，若f(x)在(－1,1)上单调递增，
即当－1<x<1时，f′(x)≥0，
即－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)恒成立，
即a≥x＋1－对x∈(－1,1)恒成立，
令y＝x＋1－，
则y′＝1＋>0，
∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
∴y<1＋1－＝，
∴a≥，
∴a的取值范围是.11．ACD [f(ln 2)＝ln(e2ln 2＋1)－ln 2＝ln 5－ln 2＝ln ，A正确；
f(x)＝ln(e2x＋1)－x＝ln(ex＋e－x)定义域为R，其中f(－x)＝ln(e－x＋ex)＝f(x)，故f(x)是偶函数，
B错误；
f′(x)＝，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增，C正确；
根据f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(x)是偶函数，可得f(x)在(－∞，0)上单调递减，故f(x)
的最小值为f(0)＝ln 2，D正确．]
12．C [设g(x)＝ex－e－x＋sin x，则g(x)＝f(x)－1，
f(3a＋b)＋f(a－1)<2，
即g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∵g(－x)＝e－x－ex－sin x＝－g(x)，∴函数g(x)是奇函数，
∵g′(x)＝ex＋e－x＋cos x
≥2＋cos x
＝2＋cos x>0，
∴g(x)是增函数，
∵g(3a＋b)＋g(a－1)<0，
∴g(3a＋b)<－g(a－1)
＝g(1－a)，
则3a＋b<1－a，即4a＋b<1.]
13．AD [设y＝x－1－ln x(x>1)，
则y′＝1－>0，
∴y＝x－1－ln x在(1，＋∞)上单调递增，
∴x－1－ln x>0，
∴ln x<x－1，x∈(1，＋∞)，
∴0<ln x<x－1，
∴>>0.
又f >f 在(1，＋∞)上恒成立，
∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝(a2－1)ex－1－x≥0对∀x∈(1，＋∞)恒成立，
即a2－1≥在x∈(1，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，g′(x)＝，
当x>1时，g′(x)<0，
故g(x)<g(1)＝1，
∴a2－1≥1，
解得a≥或a≤－，∴a的值可以为－，.]
14．2 024
解析 因为x· ＝x·log x＝2 024，
1 2 2 2
所以 log ＝x·log x＝2 024，
2 2 2 2
则 >1，x>0，x>1，
1 2
设f(x)＝xlog x(x>1)，则f′(x)＝log x＋>0，
2 2
即f(x)在(1，＋∞)上单调递增，所以 ＝x，
2
所以xx＝x· ＝2 024.
1 2 1
§3.3 导数与函数的极值、最值
1．BCD 2.D 3.A 4.B
5．C [由f(x)＝ax2－2x＋ln x(x>0)，
得f′(x)＝2ax－2＋＝(x>0)，
若函数f(x)＝ax2－2x＋ln x有两个不同的极值点x，x，
1 2
则方程2ax2－2x＋1＝0有两个不相等的正实根，
所以
解得0<a<.]
6．AC [因为f(x)＝x3－x＋1，所以f′(x)＝3x2－1.令f′(x)＝3x2－1＝0，得x＝±.由f′(x)＝
3x2－1>0得x>或x<－；由f′(x)＝3x2－1<0得－<x<.所以f(x)＝x3－x＋1在，上单调递增，
在上单调递减，所以f(x)有两个极值点，故A正确；
因为f(x)的极小值f＝3－＋1＝1－>0，f(－2)＝(－2)3－(－2)＋1＝－5<0，所以函数f(x)在R
上有且只有一个零点，故B错误；
因为函数g(x)＝x3－x的图象向上平移一个单位长度得函数f(x)＝x3－x＋1的图象，函数g(x)
＝x3－x的图象关于原点(0,0)中心对称且g(0)＝0，所以点(0,1)是曲线f(x)＝x3－x＋1的对称
中心，故C正确；
假设直线y＝2x是曲线y＝f(x)的切线，切点为(x ，y)，则f′(x)＝3x－1＝2，解得x ＝±1；
0 0 0 0
若x ＝1，则切点坐标为(1,1)，但点(1,1)不在直线y＝2x上；若x ＝－1，则切点坐标为(－
0 0
1,1)，但点(－1,1)不在直线y＝2x上，所以假设不成立，故D错误．故选AC.]
7．sin x(答案不唯一) 8.80
9．解 (1)f′(x)＝－＋2a2
＝
＝，x>0，∵a>0，
∴－<0<.
∴在上，f′(x)<0，f(x)单调递减；
在上，f′(x)>0，f(x)单调递增．
综上所述，f(x)在上单调递减，在上单调递增．
(2)由(1)可知，f(x) ＝f
min
＝aln ＋3a＋2a－4a
＝aln ＋a＝a(1－ln a)，
∵y＝f(x)的图象与x轴没有公共点，
∴1－ln a>0，∴0<a<e.
∴a的取值范围为(0，e)．
10．(1)证明 当a＝1时，
f(x)＝ex＋e－x－x2－2，
f′(x)＝ex－e－x－2x.
令φ(x)＝ex－e－x－2x，
当x>0时，φ′(x)＝ex＋e－x－2>0，
所以函数f′(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，
故f′(x)>f′(0)＝0，
故函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．
(2)解 由题意知，
g(x)＝ex－ax2－2，
当a＝0时，g(x)＝ex－2单调递增，无极值点，
当a≠0时，g′(x)＝ex－2ax，
由g′(0)＝1，得x＝0不是极值点．
令ex－2ax＝0(x≠0)，得2a＝，
令h(x)＝，则h′(x)＝，
当x<0时，h(x)<0，且h′(x)<0，
当a<0时，方程2a＝有唯一小于零的解，
故函数g(x)存在一个极值点；
当0<x<1时，h′(x)<0，
当x>1时，h′(x)>0，
故函数h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，h(1)＝e为函数h(x)的极小值，
所以当0<a<时，方程2a＝无解，函数g(x)无极值点；当a＝时，方程2a＝有一个解，
但当0<x<1时，>2a，
g′(x)＝ex－2ax>0，
当x>1时，>2a，
g′(x)＝ex－2ax>0，
故函数g(x)无极值点．
当a>时，方程2a＝有两解，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
综上，当a<0时，函数g(x)存在一个极值点，
当0≤a≤时，函数g(x)无极值点，
当a>时，函数g(x)存在一个极大值点和一个极小值点．
11．D [当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图1所示，观察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，如图2所示，
观察可知a>b.
图1 图2
综上，可知必有ab>a2成立．]
12．D [令f(a)＝f(b)＝t(t>0)，因为f(x)＝且a<b，
所以－＝t，ln b＋1＝t，
所以a＝－，b＝et－1，
因此b－a＝et－1＋，
令f(t)＝et－1＋(t>0)，
则f′(t)＝et－1－，
当t∈(0,1)时，f′(t)<0，f(t)单调递减；当t∈(1，＋∞)时，f′(t)>0，f(t)单调递增，
所以f(t)在t＝1处取得极小值，也是最小值，f(1)＝e1－1＋＝2，因此b－a的最小值为2.]
13．C [由题意得，
F(x)＝kx＋m－f(x)，
则F′(x)＝k－f′(x)，
设直线y＝kx与曲线y＝f(x)的两个切点的横坐标分别为x，x 且x<x，
1 2 1 2
所以F′(x)＝0的两个零点为x，x，
1 2
由图知，存在x∈(x，x)使F′(x)＝0，
0 1 2 0
综上，F′(x)有三个不同零点x<x<x，
1 0 2由图可得在(0，x)上F′(x)<0，在(x ，x)上F′(x)>0，在(x ，x)上F′(x)<0，在(x ，＋∞)
1 1 0 0 2 2
上F′(x)>0，
所以F(x)在(0，x)上单调递减，在(x ，x)上单调递增，在(x ，x)上单调递减，在(x ，＋∞)
1 1 0 0 2 2
上单调递增．
故F(x)至少有两个极小值点和一个极大值点．]
14.
解析 设函数g(x)＝x2ex，x∈[－3,1]，则g′(x)＝x(x＋2)ex.
当－3≤x<－2或0<x≤1时，g′(x)>0，g(x)单调递增；
当－2<x<0时，g′(x)<0，g(x)单调递减．
又g(－3)＝，g(0)＝0，
g(－2)＝，g(1)＝e，
所以g(x)的值域为[0，e]．
当m≥0时，2×1>me＋1，
解得0≤m<；
当m<0时，2(me＋1)>1，
解得－<m<0.
综上可得，－<m<.
§3.4 函数中的构造问题
1．B 2.A
3．B [令g(x)＝f(x)－x2，
因为f(x)是偶函数，
则g(－x)＝f(－x)－(－x)2
＝g(x)，
所以函数g(x)也是偶函数，
g′(x)＝f′(x)－2x，
因为当x≥0时，f′(x)－2x>0，
所以当x≥0时，
g′(x)＝f′(x)－2x>0，
所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
不等式f(x)>x2＋2即为不等式g(x)>2，
由f(1)＝3，得g(1)＝2，所以g(x)>g(1)，
所以|x|>1，解得x>1或x<－1，
所以f(x)>x2＋2的解集是
(－∞，－1)∪(1，＋∞)．]
4．D [由f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，f(x)的图象关于点(0,0)对称，则f(x)为奇函数，
令g(x)＝f(x)sin x，
则g(x)为偶函数，
又x>0时，f′(x)sin x＋f(x)cos x>0，即[f(x)sin x]′>0，
则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
则有g＝g<g
<g，
即－f <f
<－f ，
即－f <f <－f .]
5．AC [令函数g(x)＝ln x·f(x)，
则g′(x)＝＋ln x·f′(x)>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又g(1)＝0，
所以g(e)＝f(e)>0，
g＝－f <0，
所以f ＋f(e)>0，
f >0，f(1)的大小不确定．]
6．A [由题意可知，m>0，n>0，
则ln m－m＋2m2＝ln n－n＋2e2n2＋1>ln(en)－en＋2e2n2，
构造函数f(x)＝2x2－x＋ln x，其中x>0，则f′(x)＝4x＋－1
≥2－1＝3>0，
当且仅当x＝时，等号成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
由ln m－m＋2m2>ln(en)－en＋2e2n2可得f(m)>f(en)，
所以m>en>0，则>e，
故A对，B错，无法判断C，D选项的正误．]
7．C [由题意可知，函数f(x)在R上单调递减，f(x)＋f′(x)<0，f′(x)－f(x)>0.
构造函数h(x)＝exf(x)，定义域为R，则h′(x)＝exf(x)＋f′(x)ex＝ex[f(x)＋f′(x)]<0，所以h(x)
在R上单调递减，所以h(2)<h(1)，所以e2f(2)<ef(1)，即ef(2)<f(1)，故A，B错误；构造函数g(x)＝，定义域为R，
则g′(x)＝＝>0，所以g(x)在R上单调递增，所以g(2)>g(1)，所以>，即f(2)>ef(1)，故D错
误．]
8．B [由题意得log m＋2m＝2n＋1＋n，
2
log m＋2m＝2×2n＋n
2
＝log 2n＋2×2n，
2
令g(x)＝log x＋2x(x>0)，
2
则g′(x)＝＋2>0，
所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为g(m)＝g(2n)，
所以m＝2n，所以＝1.]
9．(2，＋∞)
10．λ≥
解析 由题意，得eλx·λx≥xln x＝eln x·ln x，
令f(t)＝t·et，t∈(0，＋∞)，
则f′(t)＝(t＋1)·et>0，
所以f(t)在(0，＋∞)上单调递增，
又f(λx)≥f(ln x)，
即当x∈(1，＋∞)时，λx≥ln x，
即λ≥恒成立，
令g(x)＝，x∈(1，＋∞)，
则g′(x)＝，
所以在(1，e)上，g′(x)>0，
则g(x)单调递增；
在(e，＋∞)上，g′(x)<0，
则g(x)单调递减；
所以g(x)≤g(e)＝，故λ≥.
§3.5 利用导数研究恒(能)成立问题
1．解 (1)依题意f′(x)＝(x－1)ex，
令f′(x)＝0，解得x＝1，
当x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，
∴f(x)在[－1,1)上单调递减，
在(1,3]上单调递增，
而f(1)＝－e，f(3)＝e3，
f(－1)＝－，
∴f(x)在[－1,3]上的最小值为－e，最大值为e3.
(2)依题意，2(x－2)ex＋2ax≥ax2在[2，＋∞)上恒成立．
当x＝2时，4a≥4a，∴a∈R；
当x>2时，原不等式化为a≤＝，
令g(x)＝，
则g′(x)＝，
∵x>2，∴g′(x)>0，
∴g(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴g(x)>g(2)＝e2，∴a≤e2，
综上，实数a的取值范围是(－∞，e2]．
2．解 (1)函数f(x)＝aln x－x(a∈R)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝－1＝，
①当a≤0时，f′(x)<0恒成立，
∴函数的单调递减区间为(0，＋∞);
②当a>0时，由f′(x)＝0，
解得x＝a；
当x∈(0，a)时，f′(x)>0，
当x∈(a，＋∞)时，f′(x)<0，
∴函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞).
综上可得，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a>0时，f(x)的单调递增区间为
(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．
(2)由已知，
转化为f(x) <g(x) .
max min
由(1)知，当a>0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，a)，单调递减区间为(a，＋∞)．
故f(x)的极大值即为最大值，
f(x) ＝f(a)
max
＝aln a－a，
∵g(x)＝x－ln x－1，则g′(x)＝1－＝，当0<x<1时，g′(x)<0，当x>1时，g′(x)>0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
故g(x)的极小值即为最小值，
∴g(x) ＝g(1)＝0，
min
∴aln a－a<0，即ln a－1<0，
解得0<a<e.
∴a的取值范围为(0，e)．
3．解 (1)f′(x)＝ln x＋1，f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
故f(x)在点(1,0)处的切线方程为y＝x－1.
(2)当x≥1时，令g(x)＝xln x－a(x2－1)，
得g(1)＝0，g′(x)＝ln x＋1－2ax，
令h(x)＝ln x＋1－2ax，
则h′(x)＝－2a＝.
①若a≤0，得h′(x)>0，
则g′(x)在[1，＋∞)上单调递增，
故g′(x)≥g′(1)＝1－2a≥0，
所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，
所以g(x)≥g(1)＝0，
从而xln x－a(x2－1)≥0，不符合题意；
②若a>0，令h′(x)＝0，得x＝.
(ⅰ)若0<a<，则>1，
当x∈时，h′(x)>0，
g′(x)在上单调递增，
从而g′(x)>g′(1)＝1－2a>0，
所以g(x)在上单调递增，
此时g(x)≥g(1)＝0，不符合题意；
(ⅱ)若a≥，
则0<≤1，h′(x)≤0在[1，＋∞)上恒成立，
所以g′(x)在[1，＋∞)上单调递减，g′(x)≤g′(1)＝1－2a≤0，
从而g(x)在[1，＋∞)上单调递减，
所以g(x)≤g(1)＝0，
所以xln x－a(x2－1)≤0恒成立．
综上所述，a的取值范围是.4．解 (1)∵f(x)＝e2x－ax，
∴f′(x)＝2e2x－a，
当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增，函数f(x)无极值．
当a>0时，令f′(x)＝0，得2e2x－a＝0，
得x＝ln ，
易知当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)的极小值为f ＝ －a×ln ＝－ln ，f(x)无极大值．
综上，当a≤0时，f(x)无极值；
当a>0时，f(x)的极小值为－ln ，f(x)无极大值．
(2)由a≤f(x)得，
e2x－ax≥aln x－ax＋a，
整理得e2x－aln x－a≥0.
令h(x)＝e2x－aln x－a(x>0)，
则h(x)≥0恒成立，h′(x)＝2e2x－(x>0)，
当a<0时，h′(x)>0，h(x)单调递增，
且当x→0＋时，h(x)<0，不满足题意．
当a＝0时，h(x)＝e2x>0，满足题意．
当a>0时，由h(x)≥0得≥.
令p(x)＝，
则p′(x)＝＝，
令q(x)＝－2ln x－1(x>0)，
则q′(x)＝－－<0，∴q(x)单调递减，
又q(1)＝0，
故当x∈(0,1)时，q(x)>0，
即p′(x)>0，p(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，q(x)<0，
即p′(x)<0，p(x)单调递减，
∴p(x) ＝p(1)＝，
max
∴≥，即0<a≤2e2.
综上，实数a的取值范围为[0,2e2]．§3.6 利用导数证明不等式
1．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1＋a，
由题意知，f′(e)＝2＋a＝4，则a＝2.
(2)证明 由(1)知，f(x)＝2x＋xln x，
令g(x)＝f(x)－(4x－3)＝xln x－2x＋3，
则g′(x)＝ln x－1，
由ln x－1>0得x>e，
由ln x－1<0得0<x<e，
故g(x)在(0，e)上单调递减，
在(e，＋∞)上单调递增，
∴g(x) ＝g(e)＝3－e>0，
min
即g(x)>0，即f(x)>4x－3.
2．(1)解 易知函数f(x)的定义域为R，
∵f(x)＝ex－x－1，
∴f′(x)＝ex－1，
令f′(x)>0，解得x>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
令f′(x)<0，解得x<0，f(x)在(－∞，0)上单调递减，
即f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)，
∴函数f(x)的极小值为f(0)＝0，无极大值．
(2)证明 要证f(x)＋x＋1≥x2＋cos x，
即证ex－x2－cos x≥0，
设g(x)＝ex－x2－cos x，要证原不等式成立，即证g(x)≥0成立，
∵g′(x)＝ex－x＋sin x，sin x≥－1，
∴g′(x)＝ex－x＋sin x≥ex－x－1
(当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时等号成立)，
由(1)知，ex－x－1≥0(x＝0时等号成立)，
∴g′(x)>0，∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴在区间[0，＋∞)上，
g(x)≥g(0)＝0，
∴当x≥0时，f(x)＋x＋1≥x2＋cos x得证．
3．(1)解 函数f(x)＝xln x－ax的定义域为(0，＋∞)，
当a＝－1时，f(x)＝xln x＋x，f′(x)＝ln x＋2，
由f′(x)＝0，得x＝，
当0<x<时，f′(x)<0；
当x>时，f′(x)>0，
所以f(x)在上单调递减，在上单调递增，
因此f(x)在x＝处取得最小值，即f(x) ＝f＝－，无最大值．
min
(2)证明 当x>0时，
ln x＋1>－，
等价于x(ln x＋1)>－，
由(1)知，当a＝－1时，
f(x)＝xln x＋x≥－，
当且仅当x＝时取等号，
设G(x)＝－，x∈(0，＋∞)，
则G′(x)＝，
易知G(x) ＝G(1)＝－，
max
当且仅当x＝1时取到，从而可知对一切x∈(0，＋∞)，都有f(x)>G(x)，即ln x＋1>－.
4．(1)解 当a＝1时，
f(x)＝(x－1)ex，x∈R，
则f′(x)＝xex，
当x<0时，f′(x)<0，
当x>0时，f′(x)>0，
故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．
(2)解 设h(x)＝xeax－ex＋1，
则h(0)＝0，
又h′(x)＝(1＋ax)eax－ex，
设g(x)＝(1＋ax)eax－ex，
则g′(x)＝(2a＋a2x)eax－ex，
若a>，
则g′(0)＝2a－1>0，
因为g′(x)为连续不间断函数，
故存在x∈(0，＋∞)，
0
使得∀x∈(0，x)，总有g′(x)>0，
0
故g(x)在(0，x)上单调递增，
0故g(x)>g(0)＝0，
故h(x)在(0，x)上单调递增，
0
故h(x)>h(0)＝0，与题设矛盾．
若0<a≤，
则h′(x)＝(1＋ax)eax－ex
＝eax＋ln(1＋ax)－ex，
下证：对任意x>0，
总有ln(1＋x)<x成立，
证明：设S(x)＝ln(1＋x)－x，x>0，
故S′(x)＝－1＝<0，
故S(x)在(0，＋∞)上单调递减，
故S(x)<S(0)＝0，
即ln(1＋x)<x成立．
由上述不等式有eax＋ln(1＋ax)－ex<eax＋ax－ex＝e2ax－ex≤0，
故h′(x)≤0总成立，
即h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，满足题意．
若a≤0，则h′(x)＝eax－ex＋axeax<1－1＋0＝0，
所以h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
所以h(x)<h(0)＝0，满足题意．
综上，a≤.
(3)证明 取a＝，
则∀x>0，总有 －ex＋1<0成立，
令t＝ ，则t>1，t2＝ex，x＝2ln t，
故2tln t<t2－1，即2ln t<t－对任意的t>1恒成立．
所以对任意的n∈N*，
有2ln<－，
整理得ln(n＋1)－ln n<，
故＋＋…＋>ln 2－ln 1＋ln 3－ln 2＋…＋ln(n＋1)－ln n
＝ln(n＋1)，
故不等式成立．§3.7 利用导数研究函数的零点
1．(1)解 若a＝0，则f(x)＝，其定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝，
由f′(x)＝0，得x＝e，
∴当0<x<e时，f′(x)>0；
当x>e时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，
在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x) ＝f(e)＝.
max
(2)证明 f′(x)＝＝，
由(1)知，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∵0<a<1，
∴当x>e时，
f(x)＝＝a＋>0，
故f(x)在(e，＋∞)上无零点；
当0<x<e时，f(x)＝，
∵f ＝a－e<0，
f(e)＝a＋>0，
且f(x)在(0，e)上单调递增，
∴f(x)在(0，e)上有且只有一个零点，
综上，f(x)有且只有一个零点．
2．解 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a＋ln x＋1，
由f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1.
则f(x)＝－x＋xln x，
∴f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.
∴f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．
(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，
则函数y＝f(x)与y＝m＋1的图象在(0，＋∞)内有两个不同的交点．
由(1)知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x) ＝f(1)＝－1，f(e)＝0，
min
作出f(x)图象如图．由图可知，当－1<m＋1<0，即－2<m<－1时，y＝f(x)与y＝m＋1的图象有两个不同的交点．
因此实数m的取值范围是(－2，－1)．
3．解 (1)f(x)＝(x－1)ex－ax3＋a，
则f′(x)＝x(ex－ax)．
∵函数f(x)在[0，＋∞)上单调递增，
∴f′(x)＝x(ex－ax)≥0在[0，＋∞)上恒成立，
则ex－ax≥0，x≥0.
当x＝0时，则1≥0，即a∈R；
当x>0时，则a≤，
构建g(x)＝(x>0)，
则g′(x)＝(x>0)，
令g′(x)>0，则x>1，
令g′(x)<0，则0<x<1，
∴g(x)在(0,1)上单调递减，
在(1，＋∞)上单调递增，
则g(x)≥g(1)＝e，
∴a≤e，
综上所述，a≤e.
(2)f(x)＝(x－1)ex－ax3＋a＝(x－1)，
令f(x)＝0，
则x＝1或ex－a(x2＋x＋1)＝0，
对于ex－a(x2＋x＋1)＝0，
即＝a，
构建h(x)＝，
则h′(x)＝，
令h′(x)>0，则x>1或x<0，
令h′(x)<0，则0<x<1，
∴h(x)在(－∞，0)，(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
h(0)＝1，h(1)＝且h(x)>0，
当x∈R时恒成立，则当a＝e时，＝a有两个根x＝1，x<0；
1 2
当0<a<e时，＝a只有一个根x<0；
3
当a≤0时，＝a无根．
综上所述，当a≤0时，f(x)只有一个零点；
当0<a≤e时，f(x)有两个零点．
4．解 (1)当a＝0时，
f(x)＝－－ln x(x＞0)，
所以f′(x)＝－＝.
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝－1.
max
(2)由f(x)＝ax－－(a＋1)ln x(x＞0)，得f′(x)＝a＋－＝(x＞0)．
当a＝0时，由(1)可知，f(x)不存在零点；
当a＜0时，
f′(x)＝，
当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，
所以f(x) ＝f(1)＝a－1＜0，
max
所以f(x)不存在零点；
当a＞0时，
f′(x)＝，
当a＝1时，f′(x)≥0，
f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为f(1)＝a－1＝0，
所以函数f(x)恰有一个零点；
当a＞1时，0＜＜1，故f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1＞0，
所以f ＞f(1)＞0，
当x→0＋时，f(x)→－∞，由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，所以a＞1满足条件，
当0＜a＜1时，＞1，故f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减．
因为f(1)＝a－1＜0，
所以f ＜f(1)＜0，
当x→＋∞时，f(x)→＋∞，由零点存在定理可知f(x)在上必有一个零点，即0＜a＜1满足条件．
综上，若f(x)恰有一个零点，则a的取值范围为(0，＋∞)．
§3.8 隐零点与极值点偏移问题
1．(1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝ax－(2a＋1)＋＝，
当0<<2，即a>时，f(x)在，(2，＋∞)上单调递增．
当＝2，即a＝时，f′(x)≥0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当>2，即0<a<时，f(x)在(0,2)，上单调递增．
综上所述，当a>时，f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)；
当a＝时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)；
当0<a<时，f(x)的单调递增区间为(0,2)，.
(2)证明 当a＝0时，由f(x)<2ex－x－4化简得ex－ln x－2>0，
构造函数h(x)＝ex－ln x－2(x>0)，
h′(x)＝ex－，令g(x)＝h′(x)，则g′(x)＝ex＋>0，h′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
h′＝－2<0，h′(1)＝e－1>0，
故存在x∈，使得h′(x)＝0，即 ＝.
0 0
当x∈(0，x)时，h′(x)<0，h(x)单调递减；
0
当x∈(x，＋∞)时，h′(x)>0，h(x)单调递增．
0
所以当x＝x 时，h(x)取得极小值，也是最小值．
0
h(x) ＝h(x)＝ －ln x－2＝－ －2＝＋x－2>2－2＝0，
min 0 0 0
所以h(x)＝ex－ln x－2>0，故f(x)<2ex－x－4.
2．(1)解 g(x)＝xex－mx2－2mx(x∈R)，g′(x)＝(x＋1)(ex－2m)，
当m>0时，令g′(x)＝0，得x＝－1，x＝ln(2m)，
1 2
若－1>ln(2m)，即0<m<，
则当x>－1和x<ln(2m)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当ln(2m)<x<－1时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
若－1<ln(2m)，即m>，
则当x<－1和x>ln(2m)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
当－1<x<ln(2m)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，
当－1＝ln(2m)，即m＝时，g′(x)≥0，g(x)在R上单调递增，综上所述，当0<m<时，g(x)在(－1，＋∞)，(－∞，ln(2m))上单调递增， 在(ln(2m)，－1)上
单调递减，
当m>时，g(x)在(－∞，－1), (ln(2m)，＋∞)上单调递增， 在(－1，ln(2m))上单调递减，
当m＝时，g(x)在R上单调递增．
(2)证明 令f(x)＝xex－mx2＝0，因为x>0，所以ex＝mx，
令F(x)＝ex－mx(x>0), F(x)＝0，F(x)＝0，则 ＝mx， ＝mx，两式相除得，
1 2 1 2
＝， ①
不妨设x>x，令t＝x－x，则t>0，x＝t＋x，
2 1 2 1 2 1
代入①得，et＝，x＝，
1
则x＋x＝2x＋t＝＋t，
1 2 1
故要证x＋x>2，即证＋t>2，
1 2
又因为et－1>0，
等价于证明2t＋(t－2)(et－1)>0，
构造函数h(t)＝2t＋(t－2)(et－1)(t>0)，
则h′(t)＝(t－1)et＋1，
令h′(t)＝G(t)，则G′(t)＝tet>0，
故h′(t)在(0，＋∞)上单调递增，h′(t)>h′(0)＝0，
从而h(t)在(0，＋∞)上单调递增，h(t)>h(0)＝0.
即x＋x>2.
1 2
第四章 三角函数与解三角形
§4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．A 2.D 3.C 4.B 5.D 6.D
7.
8．2π－2
解析 由条件可知，弧长 ＝ ＝ ＝，等边三角形的边长AB＝BC＝AC＝＝2，则
以点A，B，C为圆心，圆弧AB，BC，AC所对的扇形面积为××2＝，中间等边△ABC的面
积S＝×2×＝.所以莱洛三角形的面积是3×－2＝2π－2.
9．解 (1)由＝－，
得sin α<0，
由lg(cos α)有意义，可知cos α>0，
所以α是第四象限角．
(2)因为|OM|＝1，
所以2＋m2＝1，解得m＝±.
又α为第四象限角，故m<0，
从而m＝－，
sin α＝＝＝＝－.
10．解 (1)由题意知，若点B的横坐标为－，可得B的坐标为，∴sin α＝，
于是α＝＋2kπ，k∈Z，
与角α终边相同的角β的集合为.
(2)△AOB的高为1×cos ，
AB＝2sin ，
故S ＝×2sin ×cos
△AOB
＝sin α，
故弓形AB的面积S＝·α·12－sin α＝(α－sin α)，α∈.
11．D [∵α与β的终边互相垂直，
∴β＝α±90°＋k·360°(k∈Z)．]
12．AD [由点P(sin x－cos x，－3)在第三象限，可得sin x－cos x<0，即sin x<cos x，所
以－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是，当k＝1时，x所在的一个区间
是.]
13．B [因为△ABC为锐角三角形，所以A＋B>，A＋C>，
即A>－B，C>－A，
所以sin A>cos B，sin C>cos A，
所以θ是第四象限角，
所以＋＋
＝－1＋1－1＝－1.]
14．C [扇形PON的弧长为31.425－×28.85＝17，故∠PON＝＝2.]
15．B [设直角三角形的短直角边为x，一个直角三角形的面积为
＝20，
小正方形的面积为20，则边长为2.大正方形的面积为100，则边长为10.
直角三角形的面积为
·x(x＋2)＝20⇒x＝2.
则直角三角形的长直角边为4.
故sin α＝，cos α＝，
即sin αcos α＝.]
16．3 (＋2)π
解析 正方形滚动一轮，圆周上依次出现的正方形顶点为B→C→D→A，
顶点两次回到点P时，正方形顶点将圆周正好分成六等份，
又4和6的最小公倍数为3×4＝2×6＝12，
所以到点A首次与P重合时，正方形滚动了3轮．
这一轮中，点A路径A→A′→A″→A是圆心角为，半径分别为2,2，2的三段弧，故路径长
l＝·(2＋2＋2)＝，
所以点A与P重合时总路径长为(＋2)π.
§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
1．A 2.A 3.D 4.A 5.ABC 6.A
7.
8．0
解析 因为cos＝，
所以cos＝cos
＝－cos＝－，
sin＝－sin
＝－sin
＝－cos
＝－，
所以cos－sin
＝－－＝0.
9．解 (1)∵cos＝－sin α
＝－，∴sin α＝，又α是第二象限角，
∴cos α＝－＝－，
则tan α＝＝－.
(2)f(α)＝
＝＝cos α，
由(1)知，cos α＝－，
则f(α)＝cos α＝－.
10．解 (1)由θ为第四象限角，终边与单位圆交于点P，得2＋y2＝1，y<0，
解得y＝－，
所以tan θ＝＝－.
(2)因为tan θ＝－，
所以＝＝＝＝2－.
11．AC [当k为奇数时，原式＝＋＝(－1)＋(－1)＝－2；
当k为偶数时，原式＝＋＝1＋1＝2.
所以原表达式的取值为－2或2.]
12．D [根据“数字黑洞”的定义，任取数字2 021，经过第一步之后变为314，经过第二
步之后变为123，再变为123，再变为123，
所以数字黑洞为123，即a＝123，
所以sin＝sin＝sin＝－cos ＝－.]
13．－
解析 原式＝sin·
cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
14．18
解析 由sin(3π＋θ)＝，
可得sin θ＝－，
∴＋
＝＋
＝＋
＝
＝＝＝18.
15．AC [若α与β广义互余，则α＋β＝＋2kπ(k∈Z)，
即β＝＋2kπ－α(k∈Z)．
又由sin(π＋α)＝－，
可得sin α＝.
若α与β广义互余，则sin β＝sin＝cos α＝±＝±，故A正确；
若α与β广义互余，则cos β＝cos＝sin α＝，而由cos(π＋β)＝，可得cos β＝－，故B错误；
由A，B可知sin β＝±，cos β＝，所以tan β＝＝±，故C正确，D错误．]
16．0
解析 ∵sin(75°＋k°)
＝sin(90°－(15°－k°))
＝cos(15°－k°)，
∴P(sin(15°－k°)，cos(15°－k°))，
k
∴cos θ
k
＝
＝sin(15°－k°)，
∴cos θ＋cos θ＋cos θ＋…＋cos θ ＝sin 14°＋sin 13°＋sin 12°＋…＋sin(－14°)，
1 2 3 29
又sin(15°－k°)＋sin(k°－15°)
＝sin(15°－k°)－sin(15°－k°)＝0，
∴cos θ＋cos θ＋cos θ＋…＋cos θ ＝sin 0°＝0.
1 2 3 29
§4.3 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1．D 2.C 3.A 4.D 5.B
6．C [因为α∈，
则α＋∈，
又tan＝－2<0，
故α＋∈，
则cos＝，
sin＝－，
故cos＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝－.]
7. 8.－9．解 (1)因为α，β∈，
所以cos α>0，cos β>0，
由
解得cos α＝，cos β＝，
所以sin α＝＝，
sin β＝＝，
cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
因为α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝.
(2)因为α＋β＝，
sin ＝
>sin α＝>sin β＝，
且函数y＝sin x在上单调递增，
所以0<β<α<，所以0<α－β<，
所以sin (α－β)
＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝.
10．解 (1)若选①，
tan(π＋α)＝tan α＝＝3，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，
所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若选②，因为
sin(π－α)－2sin
＝cos(－α)，
化简得sin α＝3cos α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×＝.
若选③，因为3sin＝cos，化简得3cos α＝sin α，
又因为sin2α＋cos2α＝1,0<α<，所以sin α＝，cos α＝，
所以sin＝sin αcos －cos αsin ＝×－×
＝.
(2)因为0<β<α<，且cos(α＋β)＝－，所以<α＋β<π，所以sin(α＋β)＝
＝，
所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝×－×＝，
又因为0<β<，所以β＝.
11．D [3sin x－4cos x
＝5
＝5sin(x＋φ)，其中sin φ＝－，
cos φ＝，
所以φ所在的象限为第四象限．]
12．BD [由已知可得
所以1＝sin2γ＋cos2γ
＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2
＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)
＝2－2cos(β－α)，
所以cos(β－α)＝，
因为α，β，γ∈，
则－<β－α<，
因为sin γ＝sin α－sin β>0，函数y＝sin x在上单调递增，则α>β，则－<β－α<0，故β－α
＝－.]
13．B [∵sin＝2cos αsin ，
∴sin αcos －cos αsin
＝2cos αsin ，
即sin αcos ＝3cos αsin ，
∴tan α＝3tan ，
∵cos＝cos
＝sin
＝sin αcos ＋cos αsin ，
∴
＝
＝＝
＝.]
14．CD [对于A，左边＝－[cos(α－β)cos(β－γ)－sin(α－β)sin(β－γ)]＝－cos[(α－β)＋(β－γ)]＝－cos(α－γ)，故A错误；
对于B,3sin x＋3cos x
＝6
＝6sin，故B错误；
对于C，f(x)＝sin ＋cos
＝sin，
所以f(x)的最大值为，故C正确；
对于D，由sin 50°(1＋tan 10°)＝sin 50°·
＝sin 50°·
＝
＝＝＝1，故D正确．]
15．2
解析 依题意，＝
＝
＝＝－3，
整理得tan α＝2tan ，
所以＝2.
16．(－1，)
解析 点A(1,0)，OA与x轴的正方向的夹角θ＝0且|OA|＝1.进行一次T变换，即将线段OA
绕原点O按逆时针方向旋转，再将OA的长度伸长为原来的2倍得到点A，即坐标为A.
1 1
因为对点B进行一次T(θ，ρ)变换后得到点B(－3，－4)，
1
|OB|＝＝1，
|OB|＝＝5，
1
所以ρ＝5，
所以|OB|＝|OB|·ρ＝5×5＝25，
2 1
设OB与x轴的正方向的夹角为α，则sin α＝，cos α＝，tan α＝， 并且sin(α＋θ)＝－，
cos(α＋θ)＝－，tan(α＋θ)＝，
根据tan θ＝tan[(α＋θ)－α]
＝
＝＝，
因为π<θ<，所以sin θ＝－，
cos θ＝－，
所以cos[(α＋θ)＋θ]＝cos(α＋θ)·cos θ－sin(α＋θ)sin θ＝×－×＝，sin[(α＋θ)＋θ]＝sin(α＋
θ)cos θ＋cos(α＋θ)sin θ＝×＋×＝，所以B，
2
即B.
2
§4.4 简单的三角恒等变换
1．D 2.B 3.A 4.C 5.BD 6.B 7. 8.－3＋2
9．解 (1)原式＝
＝
＝
＝＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝
＝
＝＝32.
10．解 (1)因为tan(α＋β)＝，
tan＝，
所以tan
＝tan
＝
＝＝.
(2)由<θ<，得<2θ<π，
∴sin 2θ＝＝，
sin 4θ＝2sin 2θcos 2θ
＝2××＝－，
cos 4θ＝2cos22θ－1
＝2×2－1＝－1＝.
(3)由0<β<<α<，
得0<2β<，－<－2β<0，
则－<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，
所以cos(α－2β)＝＝＝.
由0<β<<α<，
得<2α<π，－<－β<0，
则<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－，
所以sin(2α－β)＝.
因为<α＋β<，
又cos(α＋β)
＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝－×＋×＝，
所以α＋β＝.
11．B [tan α＝
＝
＝＝
＝tan.
∵α∈，β∈，
∴α＝＋β，即α－β＝.]
12．A [将π＝4sin 52°代入，
可得＝
＝＝－
＝－＝－
＝－.]
13．AC [∵sin ＝，α∈(0，π)，
∴∈，
cos ＝＝.
∴cos α＝1－2sin2＝1－2×2＝，故A正确；
sin α＝2sin cos ＝2××＝，故B错误；
sin＝sin cos ＋cos ·sin ＝×＋×＝，故C正确；
sin＝sin cos －cos ·sin ＝×－×＝，故D错误．]
14.
解析 因为sin＝cos＝－，
sin＝，
所以α＋为第二象限角，β－为第一象限角，
所以sin
＝＝，
cos＝
＝，
所以sin(α＋β)
＝sin
＝sincos＋
cos·sin＝.
cos(2α－β)＝－cos(2α－β＋π)
＝－cos
＝－
＝－cos 2－sin 2
＝－－·sin·cos＝.
15．C [a＝sin 7°sin 83°＝sin 7°cos 7°＝sin 14°，b＝＝＝sin 16°，
c＝cos ＝sin ＝sin 15°，
∴a<c<b.
由题意得，∀x，x∈(0,1)且x≠x，都有<0，
1 2 1 2
即<0，
∴y＝在(0,1)上单调递减，
∴<<.]
16. 5＋
解析 因为cos 54°＝cos(90°－36°)＝sin 36°，所以4cos318°－3cos 18°＝2sin 18°cos 18°，
即4cos218°－3＝2sin 18°，即4(1－sin218°)－3
＝2sin 18°，
即4sin218°＋2sin 18°－1＝0，
因为0<sin 18°<1，解得sin 18°＝＝.
在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，
故△EHG≌△EHI，
从而可得∠HEG＝∠CEB＝18°，∠EHG＝∠IHG＝54°，
过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，则∠GHM＝18°，于是cos∠GHM＝，
从而有HM＝GHcos∠GHM
＝2cos 18°，
于是EH＝＝，
所以HE·HG＝|HE|·|HG|cos 54°
＝2××sin 36°
＝8cos218°＝8－8sin218°
＝8－8×2
＝8－(3－)＝5＋.
§4.5 三角函数的图象与性质
1．D 2.A 3.A 4.B
5．AB [f(x)＝sin x－cos x
＝sin，
对于A，f(x) ＝，A正确；
max
对于B，当x∈时，x－∈，
由正弦函数在上单调递增可知f(x)在上单调递增，B正确；
对于C，当x＝时，x－＝，则f(x)关于直线x＝成轴对称，C错误；
对于D，f(x)的最小正周期T＝2π，D错误．]
6．ACD [f(x＋π)＝|sin(x＋π)|＋cos 2(x＋π)＝|sin x|＋cos 2x＝f(x)，
所以π是函数f(x)的一个周期，故D正确；
对于A，因为f(x)的一个周期为π，令x∈[0，π]，此时sin x≥0，
所以f(x)＝sin x＋1－2sin2x，
令t＝sin x，g(t)＝－2t2＋t＋1＝－22＋，t∈[0,1]，可知其值域为，故A正确；
对于B，由A可知，g(t)在上单调递增，在上单调递减，
因为t＝sin x，t∈[0,1]，
所以f(x)在上不单调，故B不正确；
对于C，因为f(0)＝1，f ＝0，所以f(0)≠f ，
所以f(x)的图象不关于直线x＝对称，故C正确．]
7．tan x(答案不唯一)
8.≤φ≤π
9．解 (1)f(x)＝cos xsin x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋
＝sin＋，
∴函数f(x)的最小正周期为＝π，
令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，则－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
则sin∈[－1,1]，
∴f(x)∈，
∴函数f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.
10．解 (1)选择条件①②：
由条件①及已知得T＝＝π，所以ω＝2.
由条件②f(0)＝0，即sin φ＝0，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0，所以f(x)＝sin 2x.经检验φ＝0符合题意．
选择条件①③：
由条件①及已知得T＝＝π，
所以ω＝2.
由条件③得2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<，所以φ＝0.所以f(x)＝sin 2x.
(2)由题意得g(x)＝sin 2x＋sin，
化简得g(x)＝sin 2x＋cos 2x＝sin.因为0≤x≤，所以≤2x＋≤，
所以当2x＋＝，即x＝时，
g(x)取最大值.
11．B [当x∈(0,1)时，
因为ω>0，所以0<ωx<ω，
因为－<φ<，
所以－<ωx＋φ<＋ω，
令ωx＋φ＝t，
所以y＝sin t，当－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z时，y＝sin t单调递增，
故f(x)在(0,1)上不可能单调递减．]
12．AD [因为函数f(x)的图象关于点中心对称，
所以sin＝0，
可得＋φ＝kπ(k∈Z)，
结合0<φ<π，得φ＝，
所以f(x)＝sin.
对于A，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上单调递减，故A正确；
对于B，当x∈时，2x＋∈，所以函数f(x)在区间上只有一个极值点，故B不正确；
对于C，因为f ＝sin＝sin 3π＝0，所以直线x＝不是曲线y＝f(x)的对称轴，故C不正确；
对于D，因为f′(x)＝2cos，若直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，
则由2cos＝－1，
得2x＋＝2kπ＋或2x＋＝2kπ＋(k∈Z)，
所以x＝kπ或x＝kπ＋(k∈Z)．
当x＝kπ(k∈Z)时，f(x)＝，
则由＝－kπ(k∈Z)，解得k＝0；
当x＝kπ＋(k∈Z)时，
f(x)＝－，
方程－＝－kπ－(k∈Z)无解．
综上所述，直线y＝－x为曲线y＝f(x)的切线，故D正确．]
13．2sin(答案不唯一)
解析 对于①，若f(3－x)＝－f(x)，则f(x)的图象关于点中心对称；
对于②，若f(x)＝f(1－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称；
设f(x)＝2sin(ωx＋φ)，
则T＝4×＝4，ω＝，
又f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)在上单调递减，
则＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
得φ＝＋2kπ，k∈Z.
所以可令f(x)＝2sin，答案不唯一．
14.
解析 ∵sin x＋cos y＝，sin x∈[－1,1]，
∴sin x＝－cos y∈[－1,1]，
∴cos y∈，
即cos y∈，∵sin x－sin2y
＝－cos y－(1－cos2y)
＝cos2y－cos y－
＝2－1，
又cos y∈，
利用二次函数的性质知，
当cos y＝－时，
(sin x－sin2y) ＝2－1＝.
max
15．B [令f(x)＝＋3sin πx＝0，
则＝－3sin πx，
所以f(x)的零点就是函数y＝与函数y＝－3sin πx图象交点的横坐标，
因为y＝的图象关于点(1,0)对称，函数y＝－3sin πx的周期为2，其图象关于点(1,0)对称，两
函数图象如图所示，
共有4个交点，这4个点关于点(1,0)对称，
所以其横坐标的和为4，
所以函数f(x)在[－1,3]上的所有零点的和为4.]
16.
解析 当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x＋cos x
＝2sin，
当x∈，k∈Z时，
f(x)＝sin x－cos x
＝2sin，
令－≤x＋≤，
则－≤x≤，
所以函数f(x)的一个单调递增区间为.
f(x)＝
则函数f(x)在上单调递增，在上单调递减，则当x∈时，f(x)∈[1,2]，且f(0)＝，f ＝1，
令－≤x－≤，
则－≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递增，此时f(x)∈[1,2]．
令≤x－≤，则≤x≤，
所以函数f(x)在上单调递减，
当x∈时，令f(x)＝1，
则x＝，
因为当x∈[0，a]时，函数f(x)的值域为[1,2]，
所以≤a≤.
§4.6 函数 y＝Asin(ωx＋φ)
1．C 2.A 3.ABD
4．C [观察图象得A＝1，令函数f(x)的周期为T，则有＝－＝，解得T＝π，则ω＝＝2，
而当x＝时，f(x) ＝1，
max
则有2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
又|φ|<，则φ＝，
因此，f(x)＝sin，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度得f＝sin，
所以将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin.]
5．C [由题先将其图象上的所有点的横坐标伸长到原来的4倍(纵坐标不变)得y＝cos；
再将所得图象向右平移个单位长度得
y＝cos
＝cos，
所以g(x)＝cos，其最小正周期为4π，最小值为－1.排除A，B；
其单调递增区间为－π＋2kπ≤x－≤2kπ(k∈Z)，解得x∈(k∈Z)，C正确；
对称中心为x－＝－＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋2kπ(k∈Z)，所以其图象关于点(k∈Z)对称，排除
D.]
6．B [函数f(x)＝－sin2ωx＝(ω>0)的最小正周期为＝π，所以ω＝1，
所以f(x)＝，
若将其图象沿x轴向右平移a(a>0)个单位长度，
可得y＝的图象，
再根据所得图象关于直线x＝对称，可得2×－2a＝kπ，k∈Z，令k＝0，可得实数a的最小值为.]
7. 8.－
9．解 (1)由题设，可得f(x)＝sin，当x∈时，
2x＋∈，
所以f(x)∈.
(2)
2x＋ 0 π 2π
x －
y 0 2 0 －2 0
所以y＝2sin的图象如图．
10．解 (1)f(x)＝sin ωx＋2cos2＋m＝sin ωx＋cos ωx＋1＋m＝2sin＋1＋m，
∵函数f(x)的最小值为－2，
∴－2＋1＋m＝－2，解得m＝－1，
则f(x)＝2sin，
∴函数f(x)的最大值为2.
(2)由(1)可知，把函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位长度，
可得函数y＝g(x)＝2sin ωx的图象．
∵y＝g(x)在上单调递增，
∴函数g(x)的周期T＝≥，
∴ω≤4，即ω的最大值为4.
11．D [由图象知
∴ω＝，b＝1，A＝，
∴f(x)＝sin＋1.
由f(x)的图象过点得
sin＋1＝，
∴φ＝2kπ，k∈Z，
又|φ|<，则φ＝0.∴f(x)＝sin x＋1，
∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)
＝＋＋＋＝4.
又2 024＝4×506，
∴S＝4×506＝2 024.]
12．A [由题意可知，
f(x)＝2sin·
sin＋sin x
＝2sincos＋sin x
＝sin＋sin x
＝cos x＋sin x＝2sin，
将函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得y＝2sin的图象，
然后再向左平移φ(φ>0)个单位长度，
可得y＝2sin的图象，
因为所得的图象关于y轴对称，为偶函数，
所以4φ＋＝kπ＋(k∈Z)，解得φ＝＋(k∈Z)，
取k＝0，得φ＝.无论k取任何整数，无法得到B，C，D的值．]
13.
解析 由三角函数的最大值可知A＝2，
不妨设＝m，则x＋x＝2m，
1 2
由三角函数的性质可知，
2m＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
则f(x＋x)＝2sin[2(x＋x)＋φ]
1 2 1 2
＝2sin(2×2m＋φ)
＝2sin[2×(2m＋φ)－φ]
＝2sin
＝2sin(4kπ＋π－φ)＝2sin φ＝，
则sin φ＝，
结合|φ|≤，得φ＝.
14．S＝60－30cos t(t>0) 4
解析 因为风车6秒旋转一圈，则其转动的角速度为rad/s，经过t秒时，叶片转过的圆心角
为t，此时离地面的高度为30＋30，故S＝60－30cos t(t>0)．
由S＝60－30cos t≥45，
得cos t≤，因为0≤t≤6，cos t≤，
所以≤t≤，解得1≤t≤5，
故一圈内点P离地面的高度不低于45米的时长为4秒．
15．B [设干扰信号对应的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
.
由题图得，－＝T(T为干扰信号的周期)，
解得T＝，
∴ω＝＝＝4.
∵函数的最大值为，∴A＝.
将代入
y＝sin(4x＋φ)，
解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
∵|φ|<，∴φ＝.
∴y＝sin.
∴欲消除y＝sin的波需要选择相反的波，
即y＝－sin，
∴A＝－，ω＝4，φ＝.]
0 0 0
16．B [由题意得，函数f(x)＝cos 2x＋sin＝sin，
因为0<x<α，
所以<2x＋<2α＋，
又由f(x)在(0，α)上恰有2个零点，所以2π<2α＋≤3π，
解得<α≤，
所以α的取值范围为.]
§4.7 三角函数中有关 ω 的范围问题
1．A 2.B 3.D 4.B
5．B [由正弦函数性质，
得2kπ－≤ωx＋≤2kπ＋，k∈Z，
即－≤x≤＋(k∈Z)，
∵f(x)在上单调递增，
∴(k∈Z)，
则(k∈Z)，又ω>0，则0<ω≤，
又存在唯一x∈，
0
使得f(x)＝1，
0
而此时ωx＋∈，
0
∴≤＋<，
得≤ω<，
综上，有≤ω≤.]
6．D [由方程|f(x)|＝＝1，
可得sin＝±，
所以ωx＋＝kπ±(k∈Z)，
当x∈(0,2π)时，ωx＋∈，
所以ωx＋的可能取值为，，，，，，…，
因为原方程在区间(0,2π)上恰有5个实根，
所以<2ωπ＋≤，
解得<ω≤，即ω的取值范围是.]
7．CD [因为f(x)＝1－2cos2
＝－cos
＝sin，
所以周期T＝＝.对于A，由条件知，周期为2π，所以ω＝，故A错误；
对于B，函数图象向右平移个单位长度后得到的函数为
y＝sin，
其图象关于y轴对称，
则－＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝－1－3k(k∈Z)，
故对任意整数k，ω∉(0,2)，所以B错误；
对于C，由条件得
7π≤2ω·2π＋<8π，
解得≤ω<，故C正确；
对于D，由条件得
解得ω≤，
又ω>0，所以0<ω≤，故D正确．]
8．D [由条件可得，
g(x)＝cos，又f(x)＝sin＝cos ωx，
作出两个函数图象，如图，
A，B，C为连续三个交点，不妨设B在x轴下方，D为AC的中点．
由对称性可得△ABC是以∠B为顶角的等腰三角形，
AC＝T＝＝2CD，
由cos ωx＝cos，
整理得cos ωx＝sin ωx，
得cos ωx＝±，
则y ＝－y ＝，
C B
所以BD＝2|y |＝，
B
要使△ABC为钝角三角形，只需∠ACB<即可，
由tan∠ACB＝＝<1，
所以0<ω<.]
9.
10．3
解析 因为T＝，f ＝，
所以cos＝，
即cos φ＝.
又0<φ<π，所以φ＝.
所以f(x)＝cos.
因为x＝为f(x)的零点，
所以ω＋＝＋kπ(k∈Z)，
解得ω＝9k＋3(k∈Z)．
又ω>0，所以当k＝0时，ω取得最小值，
且最小值为3.
11.∪
解析 y＝f(x)的图象是由y＝cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得，
故f(x)＝cos，
∵当x∈(π，2π)，
即ωx＋∈时，函数y＝f(x)单调，∴kπ≤ωπ＋<2ωπ＋≤kπ＋π，k∈Z，
∴
∴
由＋>k－，得k<，
又k∈Z，得k＝0或k＝1，
∴0<ω≤或≤ω≤，
综上，ω的取值范围为
∪.
12．0 ∪
解析 由函数f(x)＝·cos－sin
＝cos＝sin ωx，
当ω＝3时，f(x)＝sin 3x，
可得f ＝sin π＝0；
令t＝ωx，则函数y＝sin t在区间[ωπ，2ωπ]上存在两个极大值点，
则≤π，可得ω≥2，
当2T＝2×≤π时，即ω≥4，显然符合题意；
当ωπ≤时，即ω≤时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω≤；
当4π>ωπ>，即<ω<4时，2ωπ≥，即ω≥，所以≤ω<4，
综上，ω的取值范围是∪.
§4.8 正弦定理、余弦定理
1．B 2.D 3.B 4.A 5.C
6．C [∵2cos B(acos C＋ccos A)＝b，
∴根据正弦定理得，2cos B(sin A·cos C＋cos Asin C)＝sin B，
∴2cos Bsin(A＋C)＝sin B，
∴2cos Bsin(π－B)＝sin B，
即2cos Bsin B＝sin B，
∵B∈(0，π)，∴sin B≠0，
∴cos B＝，∴B＝.
∵lg sin C＝lg 3－lg 2，
∴lg sin C＝lg ，∴sin C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝或，∵B＝，∴C≠，∴C＝，
∴A＝B＝C＝，即△ABC为等边三角形．]
7.－1
解析 设BD＝k(k>0)，
则CD＝2k.
根据题意作出大致图形，如图．
在△ABD中，由余弦定理得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝22＋k2－2×2k·
＝k2＋2k＋4.
在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC＝22＋(2k)2－2×2×2k·
＝4k2－4k＋4，
则＝
＝
＝4－＝4－
＝4－.
∵k＋1＋≥2(当且仅当k＋1＝，即k＝－1时等号成立)，
∴≥4－＝4－2
＝(－1)2，
∴当取得最小值－1时，
BD＝k＝－1.
8.
9．解 (1)由正弦定理，得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C，
即sin Bcos C＋cos Bsin C
＝2sin Acos B，
∴sin(B＋C)＝2sin Acos B，
∴sin A＝2sin Acos B，
又∵sin A≠0，∴cos B＝，
∵B为三角形内角，∴B＝.
(2)∵sin C＝2sin A，∴由正弦定理得c＝2a，
∴由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋4a2－2a2＝9，即3a2＝9，
∴a＝，c＝2，∴△ABC的面积为S＝acsin B＝××2×＝.
10．解 (1)∵bsin＝asin B，由诱导公式得bcos A＝asin B，
由正弦定理得
sin Bcos A＝sin Asin B，
∵sin B≠0，∴cos A＝sin A，
即tan A＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)∵b，a，c成等比数列，∴a2＝bc，
由余弦定理得cos A＝＝＝，
即b2＋c2－bc＝bc，
∴(b－c)2＝0，∴b＝c，
又由(1)知A＝，
∴△ABC为等边三角形．
11．ABD [对于A，若cos A＝cos B，则A＝B，所以△ABC为等腰三角形，故A正确；
对于B，若A>B，则a>b，由正弦定理＝＝2R，得2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B成立，
故B正确；
对于C，由余弦定理可得b＝＝，只有一解，故C错误；
对于D，若sin2A＋sin2B<sin2C，则根据正弦定理得a2＋b2<c2，cos C＝<0，所以C为钝角，
所以△ABC是钝角三角形，故D正确．]
12．B [由题可得absin C＝2，
则sin C＝，
代入sin Asin Bsin C＝，
得＝，
即R2＝8，即R＝2，C正确；
abc＝8R3sin Asin Bsin C＝128×＝16，A正确；
若a＝，则sin A＝＝＝，此时A≠，B错误；
因为sin A>0，sin B>0，
所以(sin A＋sin B)2≥4sin Asin B，
所以≥，
由sin Asin Bsin C＝，
得＝32sin C，
所以≥32sin C，即2≥32sin C，D正确．]
13．6解析 ∵csin A＝acos C，根据正弦定理得sin Csin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，故tan C＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝，
再由余弦定理得cos C＝＝＝，
代入c＝2，ab＝8，得a＋b＝6.
14．9
解析 在△ABD中，结合余弦定理得cos∠ADB＝，
在△ACD中，结合余弦定理得
cos∠ADC＝，
由题意知BD＝CD，
∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
所以＋＝0，
即＋＝0，
解得CD＝，
所以BC＝9.
15．ABD [因为△ABC满足
sin A∶sin B∶sin C＝2∶3∶，
所以a∶b∶c＝2∶3∶，
设a＝2t，b＝3t，c＝t，t>0，
利用余弦定理cos C＝
＝＝，
由于C∈(0，π)，
所以C＝.
对于A，因为S ＝，
△ABC
所以absin C＝·2t·3t·
＝，解得t＝1.
所以a＝2，b＝3，c＝，
所以△ABC的周长为5＋，故A正确；
对于B，因为C＝，
所以A＋B＝，
故A＋B＝2C，故B正确；
对于C，利用正弦定理 ＝＝＝2R，解得R＝，所以△ABC的外接圆半径为，故C错误；
对于D，如图所示，在△ABC中，利用正弦定理＝，解得sin A＝，
又a<c，所以cos A＝，
在△ACD中，利用余弦定理CD2＝AC2＋AD2－2AC·AD·cos A＝9＋－2×3××＝，
解得CD＝，故D正确．]
16. 2
解析 在△ABC中，由余弦定理知cos B＝，
而a2＋c2＝b2＋ac，
∴cos B＝，
又0<B<π，则B＝，
在△BCE中，设∠CEB＝θ，
则＝，可得CE＝，
又AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，
则∠ECA＝∠EAC＝，
∴sin＝＝，
可得cos ＝，而0<θ<π，
故＝，即θ＝.
∴CE＝2，BE＝2，故△BCE的面积为·CE·BE＝2.
§4.9 解三角形及其应用举例
1．D 2.B
3．B [方法一 由题意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PD＝x，记∠PBD＝α，∠PCD＝β，
∴tan α＝，tan β＝x，
∴tan∠BPC＝tan(β－α)
＝＝＝，
解得x＝1或x＝2，
又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.
方法二 由题意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.设PA＝x，
则PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
由tan∠BPC＝，可得cos∠BPC＝，
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1＝2··，解得x2＝3，
进而PD＝＝2.]
4．D
5．C [依题意b＝2asin B，
由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，
因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，
所以sin A＝，
由于△ABC是锐角三角形，
所以A＝，cos A＝，
由⇒<B<.
所以cos B＋sin C
＝cos B＋sin
＝cos B＋cos B＋sin B
＝cos B＋sin B
＝sin，
由于<B＋<，
所以sin∈.]
6．ABD [∵(acos C＋ccos A)＝2bsin B，
由正弦定理得
(sin Acos C＋sin Ccos A)
＝2sin B·sin B，
∴sin B＝，∴B＝.故A正确；
又∵∠CAB＝，
∴∠ACB＝，故B正确；
由于S ＝×1×3sin D＝sin D，由于角D无法确定，故C不一定正确；
△ACD
在等边△ABC中，设AC＝x，x>0，
在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos D，
由于DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cos D，
∴四边形ABCD的面积S＝S ＋S ＝x·xsin ＋×1×3sin D＝x2＋sin D
△ABC △ACD＝(10－6cos D)＋sin D
＝3sin＋，
∴当D＝时，四边形ABCD的面积取最大值，最大值为＋3，故D正确．]
7．14
8．2＋
解析 ccos B＋(2a＋b)cos C＝0，
由正弦定理得sin Ccos B＋(2sin A＋sin B)cos C＝0，
即sin Ccos B＋sin Bcos C＋2sin Acos C＝0，
所以sin(B＋C)＋2sin Acos C＝0，
即sin A(1＋2cos C)＝0，
因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，
所以cos C＝－，
因为C∈(0，π)，所以C＝，
因为△ABC的外接圆面积为π，所以△ABC的外接圆半径为1，
所以由正弦定理得＝＝2，解得c＝，
由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos ＝(a＋b)2－ab＝3，
则ab＝(a＋b)2－3，
由基本不等式得ab≤，当且仅当a＝b时等号成立，
所以(a＋b)2－3≤，
解得a＋b≤2，
所以△ABC周长的最大值是2＋.
9．解 (1)选择条件①：由＋＋1＝及正弦定理，
得＋＋1＝，
即a2＋b2－c2＝－ab，由余弦定理得cos C＝＝＝－，
因为0<C<π，所以C＝.
选择条件②：由(a＋2b)cos C＋ccos A＝0及正弦定理，
得(sin A＋2sin B)cos C＋sin Ccos A＝0，
即sin Acos C＋cos Asin C
＝－2sin Bcos C.
即sin(A＋C)＝－2sin Bcos C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
即sin B＝－2cos Csin B，
因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos C＝－，
因为0<C<π，所以C＝.
选择条件③：由asin ＝csin A及正弦定理，
得sin Asin ＝sin Csin A，
因为0<A<π，所以sin A≠0，
所以sin ＝sin C.
在△ABC中，A＋B＋C＝π，
则sin ＝cos ，
故cos ＝2sin cos .
因为0<C<π，所以cos ≠0，
则sin ＝，故C＝.
(2)因为∠ADC＋∠BDC＝π，
所以＋＝0，
整理得2CD2＝a2＋b2－8，
在△ABC中，由余弦定理得42＝a2＋b2－2abcos ＝a2＋b2＋ab.
因为ab≤，当且仅当a＝b时取等号，
所以16＝a2＋b2＋ab≤a2＋b2＋
(a2＋b2)＝(a2＋b2)，
即a2＋b2≥，
所以2CD2＝a2＋b2－8≥－8＝，即CD≥，
即CD长度的最小值为.
10．解 (1)由sin Asin Bsin C＝(sin2A＋sin2B－sin2C)及正弦定理，
得absin C＝(a2＋b2－c2)，
又由余弦定理得
absin C＝abcos C.
所以tan C＝，C为锐角，
则C＝，
所以sin C＝.
(2)由2R＝＝得R＝1.
所以△ABC的周长为
a＋b＋c＝2R(sin A＋sin B)＋
＝2(sin A＋sin B)＋
＝2sin A＋2sin B＋＝2sin A＋2sin＋
＝3sin A＋cos A＋
＝2sin＋，
因为A∈，－A∈，
所以A∈，
A＋∈，
所以2sin＋∈(3＋，3]，
即a＋b＋c∈(3＋，3]．
所以△ABC周长的取值范围为(3＋，3]．
11．ABD [如图，在△ABD中，B＝45°，
由正弦定理得＝，
则AD＝＝24，故A正确；
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cos 30°，
因为AC＝12，AD＝24，
所以CD＝12，故B正确；
由正弦定理得＝，
所以sin∠CDA＝，
故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，
因为AD>AC，故∠CDA为锐角，
所以∠CDA＝60°，故C不正确，D正确．]
12．A [因为＝，
所以tan C＝，
又tan C＝，
所以＝，
所以sin Bcos C＝sin C(1－cos B)，
所以sin Bcos C
＝sin C－sin Ccos B，
所以sin C＝(sin Bcos C＋cos Bsin C)＝sin(B＋C)
＝sin A，
由正弦定理得c＝a，因为b＝2，
所以△ABC的面积
S＝
＝
＝，
将a2看成整体并利用二次函数性质得，当 a2＝4即 a＝2时， △ABC 的面积S 有最大值，
最大值为. ]
13.
解析 依题意可得∠ADC＝β，∠BDC＝α，AB＝h，
在Rt△ADC中，＝tan β，在Rt△BDC中，＝tan α，
又AC－BC＝h，所以＝，
解得BC＝.
14．3
解析 因为bsin＝asin B，
所以由正弦定理得
sin Bsin＝sin Asin B，
又sin B≠0，
故sin＝sin A，
即cos ＝sin A.
由二倍角公式有
cos ＝2sin cos ，
因为∈，
故cos ≠0，
所以sin ＝，
所以＝，即A＝.
由余弦定理得
()2＝b2＋c2－2bccos ，
结合基本不等式有2＝(b＋c)2－3bc≥(b＋c)2－3×2，
化简得(b＋c)2≤2，即(b＋c)2≤8，故b＋c≤2，
当且仅当b＝c＝时取等号．
故△ABC周长的最大值为＋2＝3.
15．B [因为∠ABC与∠ADC互补，则sin∠ABC＝sin∠ADC，且A，B，C，D四点共圆．
所以∠CBD＝∠DAC＝30°，
在△ADC中，由正弦定理得＝，
在△ABC中，由正弦定理得＝，
所以＝，
得sin∠BAC＝，所以∠BAC＝60°或∠BAC＝120°.
设四边形ABCD的外接圆半径为R，则＝2R，解得R＝1.
设AB＝a，AD＝b.
(1)如图1，当∠BAC＝60°时，则∠BAD＝90°，故∠BCD＝90°，此时S ＝×1×＝，且BD
△BCD
＝2，在Rt△ABD中，4＝a2＋b2≥2ab，所以ab≤2，即S ＝×ab≤1.
△ABD
所以四边形ABCD的面积S＝S ＋S ≤＋1，当且仅当a＝b时，等号成立，故四边形
△BCD △ABD
ABCD面积的最大值为＋1.
(2)如图2，当∠BAC＝120°时，则∠BAD＝150°，故∠BCD＝30°，
所以S ＝×1××sin 30°＝.
△BCD
因为＝2R，所以BD＝1，
则在△ABD中，由余弦定理得
1＝a2＋b2－2abcos 150°，
所以ab＝1－(a2＋b2)<1，
即ab<.
所以S ＝×absin 150°
△ABD
＝ab<，
此时四边形ABCD的面积
S＝S ＋S <<＋1.
△BCD △ABD
综上，四边形ABCD面积的最大值等于＋1.
16. 4
解析 设BC＝a，AC＝b，AB＝c.如图，连接AF，BD.由拿破仑定理知，△DEF为等边三角形．
因为D为等边三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，设AD
＝BD＝x，
由余弦定理得
c2＝x2＋x2－2x2cos 120°，
即c2＝3x2，
解得＝，即＝，
所以AD＝，同理AF＝，
又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，
在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝ AD2＋AF2－2AD·AF·cos 120°，
即12＝＋－2··，化简得(b＋c)2＝bc＋36，
由基本不等式得(b＋c)2≤2＋36，
解得b＋c≤4(当且仅当b＝c＝2时取等号)，
所以(AB＋AC) ＝4.
max
第五章 平面向量与复数
§5.1 平面向量的概念及线性运算
1．B 2.BC 3.B 4.A 5.B 6.D 7.C
8．D [∵线段OC与线段AB交于点P，设OC＝xOP(x≥1)，
则xOP＝λOA＋μOB，即OP＝OA＋OB，
又∵P，A，B三点共线，则＋＝1，即λ＋μ＝x，
∵OA＝OB＝1，∴当P为AB中点时|OP|最小，此时x最大，
又∠AOB＝，故此时|OP|＝，又因为|OC|＝，
∴OC＝2OP，
即x＝2，即λ＋μ的最大值为2.]
9. 10.311．B [由OA－4OB＋3OC＝0，得OA－OB＝3(OB－OC)，即BA＝3CB，
所以CA＝CB＋BA＝BA，
所以|AB|＝|CA|，
即＝.]
12．D [如图，M为△ABC的重心，则MA＋MB＋MC＝0，A错误，B错误；
BM＝BD＋DM＝BD＋DA
＝BD＋(BA－BD)
＝BA＋BD，C错误；
由DM＝AD得S
△MBC
＝S ，D正确．]
△ABC
13．D [如图，设AM＝AB，AN＝AC，
∴AP＝AB＋AC＝AM＋AN，
由平行四边形法则知NP∥AB，
∴△ABP的面积与△ABC的面积之比为，
同理，由AQ＝AB＋AC，可得△ABQ的面积与△ABC的面积之比为，
∴△ABP的面积与△ABQ的面积之比为∶＝.]
14．4＋2
解析 由题意知点D满足AD＝AC，故AQ＝xAB＋yAC＝xAB＋3yAD，由点Q，B，D三点共
线可得x＋3y＝1，x>0，y>0，则＋＝·(x＋3y)＝4＋＋≥4＋2，当且仅当＝，即x＝，y＝时等
号成立．
15．ACD [A选项，AM＝AB＋BM＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AC＋AB，A正确；
B选项，假设点M，B，C三点共线，则MB＝λBC，即AB－AM＝λ(AC－AB)，
整理得AM＝－λAC＋(1＋λ)·AB，故当λ＝－2时，即AM＝2AC－AB，与条件中的AM＝2AC
－3AB不一致，所以点M，B，C三点不共线，B错误；
如图，取BC中点H，连接AH，若点M是△ABC的重心，则点M在AH上，且MA＝2MH，
则MB＋MC＝2MH，则MA＋MB＋MC＝0，C正确；D选项，由于AM＝xAB＋yAC，而x＋y＝，所以3AM＝3xAB＋3yAC，其中3x＋3y＝1，不
妨设AQ＝3AM，则Q点在直线BC上，由于△MBC与△ABC同底，而高线之比等于MQ与
AQ的比，即比值为2∶3，所以△MBC的面积是△ABC面积的，D正确．]
16.
解析 连接AD，交EC于G点，设正六边形边长为a，由正六边形的性质知，AD⊥CE，
AD∥CB，G点为EC的中点，且AG＝a，
则CA＝CG＋GA＝CE＋CB，
又＝＝r(r>0)，
则CA＝，CE＝，
故＝＋CB，
即CM＝CN＋CB，
若B，M，N三点共线，由共线定理知＋＝1，
解得r＝或－(舍)．
§5.2 平面向量基本定理及坐标表示
1．D 2.D 3.D 4.A 5.C
6．ACD [由平面向量基本定理知，当a，b不共线时，若ka＋kb＝0，
1 2
则k＝k＝0，
1 2
当a与b共线时，k＝k＝0只是其中一组解，此时解不唯一，所以A错误，B正确；
1 2
而当a，b不共线时，不一定有a与b垂直，所以C错误；
当a与b中至少有一个为0时，k，k 中至少有一个可以不为零，所以D错误．]
1 2
7．C [分别以AB ，AD为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，不妨设正方形ABCD边长为
2，则A(0,0)，
B(2,0)，P(2,1)，Q(1,2)，C(2,2)，
则AP＝(2,1)，AC＝(2,2)，BQ＝(－1,2)，
又AP＝xAC＋yBQ，
则有2＝2x－y 且 1＝2x＋2y，
解得x＝.]
8．C [各选项代入验证，若A，B，C三点不共线即可构成三角形．因为AB＝OB－OA＝
(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC＝OC－OA＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假设
A，B，C三点共线，则1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1.所以只要m≠1，A，B，C三点就可构
成三角形．]
9．－2 10.0
11．B [如图所示，设AB＝m，
AD＝n，
且BD＝xa＋yb，
则BD＝xa＋yb
＝x·＋y·
＝n－m，
又因为BD＝n－m，
所以
解得
所以BD＝a＋b.]
12．D [依题意作图，如图所示，
设BD＝μBA＝μ(CA－CB)＝－μCB＋μCA ，
由条件BD＝CB＋CA ,
得μ＝－，＝μ＝－，
BD＝－BA，
∴点D在AB的延长线上，并且AD＝AB，
∴＝＝.]
13.
解析 因为a∥b，所以sin2θ＝2cos2，
所以4sin2cos2＝2cos2，
因为0<θ<π，cos ≠0，
所以sin2＝，所以sin ＝，
因为0<θ<π，
所以＝， 即θ＝.
14．1
解析 由题意得，OA·OB＝0，
|OA|＝|OB|＝1，
所以|OC|＝1，
由OC＝xOA＋yOB，等式两边同时平方，
得|OC|2＝x2|OA|2＋y2|OB|2＋2xyOA·OB，
所以1＝x2＋y2，
令∠AOC＝α，则x＝cos α，y＝sin α，α∈，
则2x＋y＝2cos α＋sin α
＝sin(α＋θ)，
其中sin θ＝，
cos θ＝，θ∈，
因为θ≤α＋θ≤＋θ，
所以≤sin(α＋θ)≤1，
所以1≤sin(α＋θ)≤，
即2x＋y的最小值为1.
15．ACD [设OA＝a，OB＝b，
OC＝ta＋(1－t)b，
则C为线段AB上一点，
因此一个集合E是“凸”的就是E表示的平面区域上任意两点的连线上的点仍在该区域内，
四个选项所表示的平面区域如图中阴影所示，观察选项A，B，C，D所对图形知，B不符合题意，A，C，D符合题意．]
16.
解析 如图，建立平面直角坐标系，由LM＝6，
sin∠MLN＝，
解得MN＝，
则M，N(3,0)，L，设P(cos θ，sin θ)，
因为MP＝λML＋μMN，
MP＝，
ML＝(－6,0)，MN＝.
所以MP＝＝λ(－6,0)＋μ，
即
解得
所以λ＋μ＝＋sin θ－cos θ＝＋sin(θ＋φ)，当sin(θ＋φ)＝－1时， λ＋μ取最小值.
§5.3 平面向量的数量积
1．C 2.A 3.B 4.B 5.C 6.A
7．B [由题设，AB＝OB－OA＝(2，a)，且|AB|＝|OA|＝4，
所以＝4，则a＝±2，故OB＝(6，±2)，
由∠AOC＝2∠AOB∈(0，π)，
则0<∠AOB<，
又cos∠AOB＝＝＝，则∠AOB＝，
所以∠AOC＝.]
8．B [甲：PA＋PB＋PC＝0，则PA＋PB＝－PC，故P为△ABC的重心；乙：PA·(PA－PB)＝PC·(PA－PB)，则(PA－PB)·CA＝BA·CA＝0，故AB⊥AC，即△ABC为直
角三角形；
丙：点P到三角形三个顶点的距离相等，故P为△ABC的外心；
丁：PA·PB＝PB·PC，则(PA－PC)·PB＝CA·PB＝0，同理可得BA·PC＝CB·PA＝0，即P为
△ABC的垂心，
当△ABC为等边三角形时，三心重合，此时甲、丙、丁均成立，乙不成立，满足要求，当乙
成立时，其他三个至少有两个等式不成立．]
9. 10.11
11．ACD [由题意知，F 的大小等于重力G与水平拉力F 的合力大小，由图①知|F |＝5
2 1 2
N，故A正确；
如图②，物体所受合力应等于向量AD与F 的和向量的大小，显然B错误；
2
当物体所受合力为F 时，说明G与F 的合力为0，所以|F |＝4 N，C正确；
1 2 2
由上知，重力G与水平拉力F 的合力为AD，|AD|＝5 N，易知当F 与AD同向时合力最大，
1 2
最大值为7 N；反向时合力最小，最小值为3 N，
即3 N≤|F ＋F ＋G|≤7 N，故D正确．]
1 2
12．C [因为a＝(2，m)，b＝(3,1)，
所以a·b＝6＋m，
因为向量a，b的夹角是锐角，所以
解得m>－6，且m≠.
所以实数m的取值范围是∪.]
13．ABD [由题意OA＝(1,0)，OPi的坐标等于P的坐标(i＝1,2,3)，
i
|OP1|＝|OP2|＝1，A正确；
|AP2|＝＝，
|P1P3|＝＝＝，所以|AP2|＝|P1P3|，B正确；
OA·OP1＝cos α，OP2·OP3＝cos βcos(α－β)＋sin βsin(α－β)＝cos(2β－α)，C错误；
OA·OP3＝cos(α－β)，OP1·OP2＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)，D正确．]
14．－
解析 设AF＝λAB，则DF＝AF－AD＝λAB－AD，
AE＝AB＋BE＝AB＋AD.
所以AE·DF＝·(λAB－AD)＝λAB2＋AB·AD－AD2＝5λ－4＝0，
解得λ＝.
则EF＝AF－AE
＝－AB－AD，
故BD·EF＝(AD－AB)·
＝AB2＋AB·AD－AD2
＝－.
15．－16
解析 由题设，|AM|＝3，|BC|＝10，
AB·AC＝·(4|AM|2－|BC|2)＝×(36－100)＝－16.
16．6
解析 在图③中，以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，
|OM|＝2，OM＝＝(1,)，
|MP|＝，即MP＝，
|PN|＝，由分形知PN∥OM，所以PN＝，
所以ON＝OM＋MP＋PN＝，
所以OM·ON＝1×＋×＝6.
§5.4 平面向量的综合应用
1．A 2.BC 3.D 4.C 5.A
6．D [向量a，b，c满足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，
不妨设a＝(1,0)，b＝(0,2)，c＝(x，y)，∵c·(a＋b－c)＝0，
∴(x，y)·(1－x,2－y)＝x(1－x)＋y(2－y)＝0，
即x2＋y2－x－2y＝0，
整理可得2＋(y－1)2＝，则|c|表示圆心为，半径为的圆上的点到原点的距离，
则|c|的最大值为＋＝.]
7．AC [选项A，设D为BC的中点，由于OA＝－(OB＋OC)＝－2OD，所以O为BC边上
中线的三等分点(靠近点D)，同理可证O为AB，AC边上中线的三等分点，所以O为△ABC
的重心，选项A正确；
选项B，向量，分别表示在边AC和AB上的单位向量，设为AC′和AB′，则它们的差是向量
B′C′，则当OA·＝0，即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的角平分线上，同理由OB·＝0，知点O
在∠ABC的角平分线上，故O为△ABC的内心，选项B错误；
选项C，由(OA＋OB)·AB＝0，得(OA＋OB)·(OB－OA)＝0，即OB2＝OA2，故|OA|＝|OB|，同
理有|OB|＝|OC|，于是O为△ABC的外心，选项C正确；
选项D，由OA·OB＝OB·OC，得OA·OB－OB·OC＝0，所以OB·(OA－OC)＝0，即OB·CA＝
0，所以OB⊥CA，同理可证OA⊥CB，OC⊥AB，所以OB⊥CA，OA⊥CB，OC⊥AB，即点
O是△ABC的垂心，选项D错误．]
8．B [如图所示，取AF的中点Q，根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，易得|OQ|
＝，
又PM·PN＝(PO＋OM)·(PO＋ON)＝|PO|2＋PO·ON＋PO·OM＋OM·ON＝|PO|2＋PO·(ON＋
OM)－1＝|PO|2－1，
根据图形可知，当点P位于正六边形各边的中点时，|PO|有最小值为，此时|PO|2－1＝2，
当点P位于正六边形的顶点时，|PO|有最大值为2，此时|PO|2－1＝3，
故PM·PN的取值范围是[2,3]．]
9．7
10．5
解析 取BC的中点O，
∵△ABC为等边三角形，∴AO⊥BC，则以O为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(－2,0)，C(2,0)，A(0,2)，
设P(x，y)，
∴AP＝(x，y－2)，
AB＝(－2，－2)，
AC＝(2，－2)，
∴AP＝λAB＋(2－2λ)AC＝(4－6λ，2λ－4)，则
∴P(4－6λ，2λ－2)，
∴PA＝(6λ－4,4－2λ)，
PC＝(6λ－2,2－2λ)，
∴PA·PC＝(6λ－4)(6λ－2)＋(4－2λ)(2－2λ)＝48λ2－72λ＋32，由二次函数性质知，
当λ＝时，PA·PC取得最小值5.
11.
解析 ∵λ，μ为正实数，AD＝DC，故AC＝4AD，
∴AP＝λAB＋4μAD，
又P，B，D三点共线，∴λ＋4μ＝1，
∴λμ＝·λ·4μ≤2＝，当且仅当λ＝，μ＝时取等号，故λμ的最大值为.
12．[12＋2，16]
解析 以圆心为原点，AA 所在直线为x轴，AA 所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如
7 3 5 1
图所示，
则A(0,1)，
1
A，A(1,0)，
2 3
A，A(0，－1)，
4 5
A，
6
A(－1,0)，A，
7 8设P(x，y)，
于是PA＋PA＋…＋PA
＝8(x2＋y2)＋8，
因为cos 22.5°≤|OP|≤1，
所以≤x2＋y2≤1，
故PA＋PA＋…＋PA的取值范围是[12＋2，16]．
§5.5 复 数
1．B 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C
7．C 8.D 9.1 10.
11．C [对于A，eiπ＝cos π＋isin π＝－1，则实部为－1，A错误；
对于B，e2i＝cos 2＋isin 2在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)，
∵cos 2<0，sin 2>0，
∴e2i在复平面内对应的点位于第二象限，B错误；
对于C，|eiθ|＝|cos θ＋isin θ|＝＝1，C正确；
对于D，eiπ＝cos π＋isin π，则其共轭复数为cos π－isin π＝－1，D错误．]
12．ABD [对于A，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(－2,1)，该点位于第二象限，故
1
A正确；
对于B，＝＝＝－－i，故B正确；
对于C，z－1＋2i＝(x－1)＋(y＋2)i，
2
∵|z－1＋2i|＝2，
2
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝4，故C错误；
对于D，z－1＋2i＝－3＋3i，
1
则|z－1＋2i|＝
1
＝3.
|z－z|＝|(z－1＋2i)－(z－1＋2i)|≤|z－1＋2i|＋|z－1＋2i|＝2＋3，故D正确．]
2 1 2 1 2 1
13．A [因为复数(x－3)＋yi(x，y∈R)的模为2，
所以(x－3)2＋y2＝4，
表示以(3,0)为圆心，2为半径的圆，如图所示，表示过原点和圆上的点(x，y)的直线的斜率，由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，
设切线方程为y＝kx，
则＝2，解得k＝±，
所以的最大值为.]
14．－2
解析 依题意知，＝zz－zz，
1 4 2 3
因为z＝，
3 2
且z＝＝＝，
2
所以zz＝|z|2＝，
2 3 2
因此有(1＋i)z－＝－i，
4
即(1＋i)z＝3－i，
4
故z＝＝＝1－2i.
4
所以z 的虚部是－2.
4
15．C [令z＝a＋bi(a，b∈R)，
则a2－b2＋2abi－4＋3＝0，
得
当b＝0时，a2－4|a|＋3＝0，
a＝±1或a＝±3；
当a＝0时，b2＋4|b|－3＝0，
|b|＝－2＋或|b|＝－2－(舍)，
即b＝±(－2)．
综上共有6个解，
z＝±1，z＝±3，z＝±(－2)i.]
16.
解析 ∵复数＝
＝，
故复数为虚数需满足
n2－m2≠0，即m≠n，
故有6×6－6＝30(种)情况，
∴复数为虚数的概率为
＝.第六章 数 列
§6.1 数列的概念
1．B 2.D 3.D 4.C 5.C
6．BCD [假设第n项为{a}的最大项，则即
n
所以又n∈N*，所以n＝4或n＝5，故数列{a}中a 与a 均为最大项，且a ＝a ＝，当n≥5
n 4 5 4 5
时，数列{a}递减．]
n
7．a＝ 8.2n－11 3
n
9．解 (1)选择①：a－2a＝1×2，
2 1
则a＝4.
2
2a－3a＝2×3，则a＝9.
3 2 3
选择②：a＝S－S＝2×22－1－1＝6.
2 2 1
a＝S－S＝2×32－1－2×22＋1
3 3 2
＝10.
(2)选择①：由na －(n＋1)a
n＋1 n
＝n(n＋1)，
得－＝1，
所以＝－＋－＋…＋－a＋a＝n－1＋1＝n，
1 1
所以a＝n2.
n
选择②：当n≥2时，a＝S－S ＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；
n n n－1
当n＝1时，a＝S＝1，不符合上式，
1 1
故{a}的通项公式为
n
a＝
n
10．证明 (1)因为c＝，
1
＝，
所以c≠1，c≠0，
n n
两边分别取倒数可得
1－＝－，
整理可得－＝2>0，
所以数列为递增数列．(2)由＝可得
＝，
即＝c＋，
n
所以c＝－，
n
所以S＝c＋c＋…＋c
n 1 2 n
＝－＋－＋…＋－
＝－＝＋2，
又≥＝2，所以c ∈，
n＋1
所以<－1，即S<1.
n
11．D [因为a＝(n，a)，b＝(a ，n＋1)，且a⊥b，
n n＋1
所以na ＋(n＋1)a＝0，
n＋1 n
所以＝－，所以＝－，
＝－，…，＝－.
以上各式左右分别相乘，
得＝－100，
因为a＝1，所以a ＝－100.]
1 100
12．D [方法一 当n取奇数时，
由已知b＝1＋，
1
b＝1＋，
3
因为>，所以b>b，
1 3
同理可得b>b，b>b，…，于是可得b>b>b>b>…，故A不正确；
3 5 5 7 1 3 5 7
当n取偶数时，
由已知b＝1＋，
2
b＝1＋，
4
因为>，所以b<b，
2 4
同理可得b<b，b<b，…，于是可得b<b<b<b<…，故C不正确；
4 6 6 8 2 4 6 8
因为>，所以b>b，
1 2
同理可得b>b，b>b，b>b，
3 4 5 6 7 8
又b>b，所以b>b，故B不正确；故选D.
3 7 3 8
方法二 (特殊值法)
不妨取α＝1(k＝1,2，…)，
k
则b＝1＋＝2，
1
b＝1＋＝1＋
2＝1＋＝，
b＝1＋＝1＋
3
＝1＋＝，
所以b＝1＋＝1＋＝，
4
b＝1＋＝1＋＝，
5
b＝1＋＝1＋＝，
6
b＝1＋＝1＋＝，
7
b＝1＋＝1＋＝.
8
逐一判断选项可知选D.]
13．3
解析 ∵S ＝a ，∴当n≥2时，a ＝S －S ＝a －a ，可化为＝＝1＋，由函数y＝在区间
n n n n n－1 n n－1
(1，＋∞)上单调递减，可得当n＝2时，取得最大值2.∴的最大值为3.
14．3 4 965
解析 ∵a＝[lg n]，
n
∴当1≤n≤9时，a＝[lg n]＝0；
n
当10≤n≤99时，a＝[lg n]＝1；
n
当100≤n≤999时，a＝[lg n]＝2；
n
当1 000≤n≤9 999时，
a＝[lg n]＝3.
n
∴a ＝[lg 2 024]＝3，S ＝9×0＋90×1＋900×2＋1 025×3＝4 965.
2 024 2 024
15．B [由a ＝a ＋(－1)n得a ＝a ＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
2n＋1 2n 2n－1 2n－2
又由a ＝a ＋2n得a ＝a ＋2n＋(－1)n－1(n∈N*，n≥2)，
2n 2n－1 2n 2n－2
所以a＝a＋22＋(－1)，a＝a＋23＋(－1)2，a＝a＋24＋(－1)3，…，
4 2 6 4 8 6
a ＝a ＋21 012＋(－1)1 011，将上式相加得a ＝a ＋(－1)1＋(－1)2＋…＋(－1)1 011＋22＋23
2 024 2 022 2 024 2
＋…＋21 012 ＝2＋－1
＝21 013－3.]
16.
解析 由n2a－S＝n2a －S (n≥2，n∈N*)，
n n n－1 n－1
得n2a－(S－S )＝n2a ，
n n n－1 n－1
所以(n2－1)a＝n2a ，
n n－1
所以＝×.
令c＝，则c＝c ×，
n n n－1
所以＝.
由累乘法得＝，又c＝a＝1，
1 1
所以c＝，所以＝，
n
所以a＝，
n
所以b＝＝
n
＝2×，
所以T ＝2×
2 025
＝2×＝.
§6.2 等差数列
1．D 2.B 3.B 4.A 5.B
6．ABD [在△ABC中，若，，依次成等差数列，则＝＋，整理得＝＋，利用正弦定理和余
弦定理得2·＝＋，整理得2b2＝a2＋c2，即a2，b2，c2依次成等差数列，此时对等差数列a2，
b2，c2的每一项取相同的运算得到数列a，b，c或，，或a3，b3，c3，这些数列都不一定是等
差数列，除非a＝b＝c，但题目中未说明△ABC是等边三角形．]
7．2 8.200
9．解 选择①作为补充条件：
(1)因为a＝1，a＝－1，所以d＝1，
5 3
所以a＝1＋(n－5)×1
n
＝n－4(n∈N*)．
(2)由(1)可知a＝－3，
1
所以S＝＝n(n－7)．
n
因为n∈N*，所以当n＝3或4时，S 取得最小值，且最小值为－6.故存在正整数n＝3或4，
n
使得S 有最小值，且最小值为－6.
n
选择②作为补充条件：
(1)因为a＝1，d＝2，
5
所以a＝1＋(n－5)×2
n
＝2n－9(n∈N*)．
(2)由(1)可知a＝－7，
1
所以S＝＝n2－8n.
n
所以当n＝4时，S 取得最小值，且最小值为－16.
n
故存在正整数n＝4，使得S 有最小值，最小值为－16.
n
不可以选择③作为补充条件．10．解 (1)∵a －2a ＋a＝0，
n＋2 n＋1 n
∴a －a ＝a －a，
n＋2 n＋1 n＋1 n
∴数列{a}是等差数列，
n
设其公差为d，
∵a＝8，a＝2，
1 4
∴d＝＝－2，
∴a＝a＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
n 1
(2)设数列{a}的前n项和为S，
n n
则由(1)可得，
S＝8n＋×(－2)＝9n－n2，n∈N*.
n
由(1)知a＝10－2n，
n
令a＝0，得n＝5，
n
∴当n>5时，a<0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a－(a＋a＋…＋a)
1 2 5 6 7 n
＝S－(S－S)＝2S－S
5 n 5 5 n
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)
＝n2－9n＋40；
当n≤5时，a≥0，
n
则T＝|a|＋|a|＋…＋|a|
n 1 2 n
＝a＋a＋…＋a＝9n－n2，
1 2 n
∴T＝
n
11．AC [根据题意，数列{a}是等差数列，若a＋5a＝S，
n 1 3 8
即a＋5a＋10d＝8a＋28d，变形可得a＝－9d.
1 1 1 1
又由a＝a＋(n－1)d＝(n－10)d，
n 1
得a ＝0，故A正确；
10
不能确定a 和d的符号，不能确定S 最小，故B不正确；
1 10
又由S＝na＋
n 1
＝－9nd＋
＝×(n2－19n)，
得S＝S ，故C正确；
7 12
S ＝20a＋d
20 1
＝－180d＋190d＝10d.因为d≠0，
所以S ≠0，故D不正确．]
20
12．D [＝
＝＝，
所以＝，
所以＝＝
＝.]
13．3n2－2n
解析 将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{a}，则{a}是以1为首项，
n n
以6为公差的等差数列，故它的前n项和为S＝n×1＋×6＝3n2－2n.
n
14．12
解析 由S>S>S ，得S ＝S ＋a<S ，S ＝S ＋a ＋a>S ，所以a<0，a ＋a>0，所以S ＝
6 7 5 7 6 7 6 7 5 6 7 5 7 6 7 13
＝13a<0，S ＝＝6(a＋a)>0，所以S S <0，即满足SS <0的正整数n的值为12.
7 12 6 7 12 13 n n＋1
15．B [由题意知，在三角形数阵中，前14行共排了1＋2＋3＋…＋14＝＝105个数，则第
15行第3个数是数阵的第108个数，即所求数字是首项为1，公差为2的等差数列的第108
项，则a ＝1＋(108－1)×2＝215.]
108
16．B [∵数列{a}的“优值”H＝2n＋1，∴H＝＝2n＋1，∴a＋2a＋…＋2n－1a＝n·2n＋1，∴2n
n n n 1 2 n
－1a＝n·2n＋1－(n－1)·2n(n≥2)，∴a＝4n－2(n－1)＝2n＋2(n≥2)，又a＝4，满足上式，
n n 1
∴a ＝2n＋2(n∈N*)，∴a －20＝2n－18，∴{a －20}是以－16为首项，2为公差的等差数列，
n n n
所以{a－20}的前n项和S＝n2－17n.由得8≤n≤9，∴S 的最小值为S＝S＝－72.]
n n n 8 9
§6.3 等比数列
1．A 2.C 3.C 4.B 5.ACD
6．C [由已知得数列{a}的公比满足q3＝＝，
n
解得q＝，∴a＝2，a＝，故数列{aa }是首项为2，公比为＝的等比数列，
1 3 n n＋1
∴aa＋aa＋…＋aa ＝
1 2 2 3 n n＋1
＝∈，故选C.]
7．3 202 8.a＝3n－1(答案不唯一)
n
9．解 (1)设数列{a}的公比为q，由题设得a＝qn－1.
n n
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.
故a＝(－2)n－1或a＝2n－1(n∈N*)．
n n
(2)若a＝(－2)n－1，
n则S＝.
n
由S ＝63得(－2)m＝－188，
m
此方程没有正整数解．
若a＝2n－1，则S＝2n－1.
n n
由S ＝63得2m＝64，解得m＝6.
m
综上，m＝6.
10．解 (1)由题意可得
解得a＝1，q＝3，
1
所以a＝3n－1，S＝＝.
n n
(2)假设存在常数λ，使得数列{S＋λ}是等比数列．
n
因为S＋λ＝λ＋1，S＋λ＝λ＋4，S＋λ＝λ＋13，
1 2 3
所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，
解得λ＝，
此时S＋＝×3n，
n
则＝3.
故存在常数λ＝，使得数列是等比数列．
11．AD [对于A，k不可能为0，正确；
对于B，当a＝1时，{a}为等差数列，但不是“等差比数列”，错误；
n n
对于C，当等比数列的公比q＝1时，a －a ＝0，分式无意义，所以{a}不是“等差比数
n＋1 n n
列”，错误；
对于D，数列0,1,0,1,0,1，…，0,1是“等差比数列”，且有无数项为0，正确．]
12．A [根据题意，等比数列{a}中，a＝8，a＝－1，则q3＝＝－，
n 1 4
则q＝－，
则S＝＝
n
＝，
若n为奇数，则S＝，此时有S>S>…>S>；
n 1 3 n
若n为偶数，则S＝，此时有S<S<…<S<，
n 2 4 n
故S 最大，S 最小．]
1 2
13．－9
解析 {b}有连续四项在{－53，－23，19,37,82}中，b ＝a ＋1，则a ＝b －1，{a}有连续
n n n n n n
四项在{－54，－24，18,36,81}中．又{a}是等比数列，等比数列中有负数项则q<0，且负数
n
项为相隔两项，
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值由小到大的顺序排列上述数值：18，－24,36，－54,81，
相邻两项相除＝－，
＝－，＝－，＝－，
很明显，－24,36，－54,81是{a}中连续的四项，
n
q＝－或q＝－(|q|>1，
∴此种情况应舍)，
∴q＝－，∴6q＝－9.
14.
解析 由题意得a ＝1－a ，故a ＝.当n≥2时，由得a ＝－a ＋a ，则＝，故数列{a}是
1 1 1 n n n－1 n
以为首项，为公比的等比数列，故数列{a}的通项公式为a ＝.由等比数列的性质可得aa ＝
n n 1 3
a，aa ＝a，…，a a ＝a，所以数列{a a }是以a＝为首项，为公比的等比数列，
3 5 2n－1 2n＋1 2n－1 2n＋1
则T＝a＋a＋…＋a＝
n
＝.
15．11 1 001
解析 由题意得第n行有2n－1个数，前10行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＝
＝1 023(个)数，前11行共有20＋2＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28＋29＋210＝＝2 047(个)数，
故2 024在表中第11行，又表中第11行有210＝1 024(个)数，故2 024是表中第11行的第1
001个数．
16．解 (1)由4S＋S＝S，
1 2 3
得4a＋a＋a＝a＋a＋a，
1 1 2 1 2 3
整理得4a＝a，
1 3
所以4a＝aq2.
1 1
因为a≠0，所以q2＝4，
1
由题意得q>0，所以q＝2.
(2)由(1)得S＝
n
＝a(2n－1)，
1
a＝a·2n－1，
n 1
所以＝.
所以不等式＋n2＋≥6n＋t恒成立，等价于＋n2＋≥6n＋t恒成立，
所以t≤＋n2－6n＋.
令f(n)＝＋n2－6n＋＝(n－3)2－.
当n＝1时，f(1)＝4－＝；
当n＝2时，f(2)＝1－＝；
当n≥3时，f(n)单调递增，所以f(n)≥f(3)＝－.
所以t≤－，
故实数t的最大值为－.
§6.4 数列中的构造问题
1．B 2.C 3.A 4.A 5.D
6．D [∵a ＋a＝2n，
n－1 n
两边同时除以2n得，
＋·＝1.
令c＝，
n
则c＝－c ＋1.
n n－1
两边同时加上－得
c－＝－·.
n
∴数列是以c－为首项，－为公比的等比数列，
1
∴c－＝·n－1＝·n，
n
∴c＝＋·n，
n
∴a＝2n·c＝＋·(－1)n.]
n n
7．CD [因为a ＝，
n＋1
所以＝＝＋3，
所以＋3＝2，
且＋3＝4≠0，
所以是以4为首项，2为公比的等比数列，即＋3＝4×2n－1，
所以＝2n＋1－3，
可得a＝，
n
故选项A，B错误；
因为＝2n＋1－3单调递增，
所以a＝单调递减，
n
即{a}为递减数列，故选项C正确；
n
的前n项和T＝(22－3)＋(23－3)＋…＋(2n＋1－3)＝(22＋23＋…＋2n＋1)－3n
n
＝22×－3n＝2n＋2－3n－4，
故选项D正确．]
8．B [记第n行的第一个数为a，
n则a＝1，a＝3＝2a＋1，a＝8＝2a＋2，a＝20＝2a＋4，…，a＝2a ＋2n－2，
1 2 1 3 2 4 3 n n－1
∴＝＋1，即是以＝2为首项，1为公差的等差数列．
∴＝2＋(n－1)×1＝n＋1，
∴a＝(n＋1)×2n－2.
n
又每行比上一行的数字少1个，
∴最后一行为第2 023行，
∴M＝a ＝2 024×22 021.]
2 023
9．(n＋1)3n－1
10．4
解析 由a ＝3a－2a (n≥2，n∈N*)可得
n＋1 n n－1
a －a＝2(a－a )，
n＋1 n n n－1
若a－a ＝0，则a＝a＝…＝a，与题中条件矛盾，故a－a ≠0，
n n－1 6 5 1 n n－1
所以＝2，即数列{a －a}是以a－a 为首项，2为公比的等比数列，
n＋1 n 2 1
所以a －a＝a·2n－1，
n＋1 n 2
所以a－a＝a－a＋a－a＋a－a＋a－a＋a－a＝a·20＋a·21＋a·22＋a·23＋a·24
6 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 2 2 2 2 2
＝31a＝124，所以a＝4.
2 2
11.·3n－1－n－
解析 ∵a ＝3a＋2n①，∴a＝3a ＋2(n－1)(n≥2)，两式相减得，
n＋1 n n n－1
a －a ＝3(a －a )＋2，令b ＝a －a ，则b ＝3b ＋2(n≥2)，利用求a ＝pa ＋q的
n＋1 n n n－1 n n＋1 n n n－1 n＋1 n
方法知，b＝5·3n－1－1，即a －a＝5·3n－1－1②，再利用累加法知，
n n＋1 n
a＝·3n－1－n－
n
(或联立①②解出a＝·3n－1－n－)．
n
12．2n－1
解析 ∵f(x)＝2x2－8，
∴f′(x)＝4x，
又∵x ＝x－
n＋1 n
＝x－＝，
n
∴x ＋2＝，
n＋1
x －2＝，
n＋1
∴＝2，
又x>2，
n
∴ln ＝ln2
＝2ln ，
又a＝ln ，且a＝1，
n 1∴a ＝2a，
n＋1 n
∴数列{a}是首项为1，公比为2的等比数列，
n
∴{a}的前n项和
n
S＝＝2n－1.
n
§6.5 数列求和
1．解 (1)设数列{a}的公差为d(d>0)，
n
由题意得
即
解得或(舍)，
所以a＝2＋(n－1)·2＝2n.
n
(2)由(1)得，a＝2n，
n
所以b＝4(n＋1)－3n＋2，
n
所以T ＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋
n
2)
＝4n·－
＝2n2＋6n＋－.
2．解 (1)由已知得，当n＝1时，aa －2(a －a)＋1＝0，又a ＝1，代入上式，解得a ＝
2 1 2 1 1 2
3，同理可求得a＝5.猜想a＝2n－1.
3 n
(2)由(1)可知a＝2n－1，经检验符合题意，所以S＝n2，
n n
则b＝
n
＝
＝＋，
所以T＝＋＋…＋
n
＝＋＝.
3．(1)证明 在4S＝(a＋1)2中，
n n
令n＝1，可得a＝1，
1
因为4S＝(a＋1)2，①
n n
所以当n≥2时，4S ＝(a ＋1)2，②
n－1 n－1
①－②得，4a＝(a＋1)2－(a ＋1)2，
n n n－1
整理得(a＋a )(a－a －2)＝0，
n n－1 n n－1
因为a>0，
n所以a－a ＝2(n≥2)，
n n－1
所以数列{a}是以1为首项，2为公差的等差数列．
n
(2)解 由(1)得a＝2n－1，
n
所以a·b＝(2n－1)·2n，
n n
所以T＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n，
n
2T＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，
n
两式相减得，－T＝2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n＋1
n
＝－6＋(3－2n)·2n＋1，
所以T＝6＋(2n－3)·2n＋1.
n
4．解 (1)由题意知，b ＝a
n＋1 2n＋1
＝2a ＝2(a ＋1)＝2b＋2，
2n 2n－1 n
所以＝2，
又b＋2＝a＋2＝4，
1 1
所以{b＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，
n
则b＋2＝4·2n－1＝2n＋1，
n
所以b＝2n＋1－2.
n
(2)数列{a}的前2n项和为S ＝a＋a＋a＋…＋a
n 2n 1 2 3 2n
＝(a＋a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a )
1 3 5 2n－1 2 4 2n
＝(a＋a＋a＋…＋a )＋(a＋a＋…＋a ＋n)
1 3 5 2n－1 1 3 2n－1
＝2(a＋a＋a＋…＋a )＋n
1 3 5 2n－1
＝2(b＋b＋…＋b)＋n
1 2 n
＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n
＝2×－3n＝2n＋3－3n－8.
5．解 (1)设数列{a}的公差为d，
n
则d>0，
选择条件①：
因为a，a，a＋1成等比数列，
2 3 4
所以a＝a·(a＋1)，
2 4
所以(2＋2d)2＝(2＋d)·(2＋3d＋1)，
化简得d2－d－2＝0，
解得d＝2或d＝－1(舍)，
所以数列{a}的通项公式为
n
a＝2＋(n－1)×2＝2n.
n选择条件②：因为S＋1，S，S 成等比数列，
1 2 3
所以S＝(S＋1)·S，所以(2×2＋d)2＝(2＋1)·(3×2＋3d)，化简得d2－d－2＝0，
1 3
解得d＝2或d＝－1(舍)，
所以数列{a}的通项公式为a＝2＋(n－1)×2＝2n.
n n
选择条件③：
因为S＝(n∈N*)，
n
所以当n≥2时，S ＝，
n－1
两式相减得，a＝a(a －a )，
n n n＋1 n－1
因为a≠0，所以a －a ＝4，
n n＋1 n－1
即2d＝4，所以d＝2，
所以数列{a}的通项公式为a＝2＋(n－1)×2＝2n.
n n
(2)因为是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以＝2·2n－1＝2n，
所以b＝2n·2n，
n
所以T＝2·21＋4·22＋6·23＋…＋2n·2n，
n
2T＝2·22＋4·23＋6·24＋…＋(2n－2)·2n＋2n·2n＋1，
n
两式相减得，－T＝2·21＋2·22＋2·23＋2·24＋…＋2·2n－2n·2n＋1＝2×－2n·2n＋1
n
＝(1－n)2n＋2－4，
所以T＝(n－1)2n＋2＋4.
n
6．解 (1)由2S＝a＋a，当n≥2时，2S ＝a＋a ，
n n n－1 n－1
两式相减得，2a＝a－a＋a－a ，
n n n－1
整理可得(a＋a )(a－a －1)＝0，
n n－1 n n－1
因为a>0，所以a－a －1＝0，
n n n－1
即a－a ＝1(n≥2)，
n n－1
在2S＝a＋a 中，令n＝1，
n n
则a＝1，
1
所以数列{a}是首项为1，公差为1的等差数列，
n
故a＝n.
n
(2)b＝acos＝n2cos，
n
设c
k
＝b
3k－2
＋b
3k－1
＋ b
3k
＝(3k－2)2cos＋(3k－1)2·
cos＋(3k)2cos 2kπ
＝－(3k－2)2＋(3k－1)2＋(3k)2＝9k－，所以T ＝c＋c＋c＋…＋c
3n 1 2 3 n
＝＋＋＋…＋
＝9(1＋2＋3＋…＋n)－n
＝9×－n＝.
§6.6 数列中的综合问题
1．A 2.C 3.C 4.A
5．ABD [对于A，f(2)＋f(5)＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，2f()＝2lg＝1，
故f(2)，f()，f(5)成等差数列，故是真命题；
对于B，f(2)＋f(8)＝lg 2＋lg 8
＝lg 16,2f(4)＝2lg 4＝lg 16，
故f(2)，f(4)，f(8)成等差数列，故是真命题；
对于C，f(2)·f(72)＝lg 2×lg 72<2＝lg212＝f2(12)，
故f(2)，f(12)，f(72)不成等比数列，故是假命题；
对于D，f(2)f(16)＝lg 2×lg 16＝4lg22＝(2lg 2)2＝lg24＝f2(4)，
故f(2)，f(4)，f(16)成等比数列，故是真命题．]
6．B [因为F ＝ ＋1(n＝0,1,2，…)，所以a ＝log (F －1)＝log ( ＋1－1)＝log ＝
n n 4 n 4 4
2n－1，所以{a}是等比数列，首项为1，公比为2，所以S＝＝2n－1.
n n
所以32(2n－1)＝63×2n－1，解得n＝6.]
7．120 8.
9．解 (1)由不等式x2－4nx＋3n2≤0可得，n≤x≤3n，
∴a＝2n＋1，
n
T＝×3n＋1－n－，
n
当n＝1时，b＝T＝1，
1 1
当n≥2时，b＝T－T
n n n－1
＝×3n－，
∵b＝1适合上式，
1
∴b＝×3n－.
n
(2)由(1)可得，
c＝3n－1＋(－1)n－1λn，
n
∴c ＝3n＋1－1＋(－1)nλn＋1，
n＋1
∵c<c ，
n n＋1∴c －c＝2×3n＋(－1)n·λn>0，
n＋1 n
∴(－1)nλ>－×2n，
当n为奇数时，λ<×2n，
由于×2n随着n的增大而增大，当n＝1时，×2n的最小值为，
∴λ<，
当n为偶数时，λ>－×2n，
由于－×2n随着n的增大而减小，
当n＝2时，－×2n的最大值为－，
∴λ>－，
综上可知，－<λ<.
10．解 (1)选择条件①：
因为a 是2与S 的等差中项，所以2a＝2＋S，
n n n n
所以当n≥2时，2a ＝2＋S ，
n－1 n－1
两式相减得，2a－2a ＝a，
n n－1 n
即a＝2a (n≥2)，
n n－1
在2a＝2＋S 中，令n＝1，
n n
可得a＝2，
1
所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，
n
故a＝2·2n－1＝2n.
n
选择条件②：
由a＝2，S ＝a(S＋1)，
1 n＋1 1 n
知S ＝2(S＋1)，
n＋1 n
当n＝1时，可求得a＝4，
2
所以当n≥2时，S＝2(S ＋1)，
n n－1
两式相减得，a ＝2a(n≥2)，
n＋1 n
又a＝2，a＝4也满足上式，
1 2
所以数列{a}是首项为2，公比为2的等比数列，
n
故a＝2·2n－1＝2n.
n
选择条件③：在S＝2n＋1－2中，令n＝1，则a＝21＋1－2＝2，
n 1
当n≥2时，有S ＝2n－2，
n－1
两式相减得，a＝2n(n≥2)，
n
当n＝1时，a＝2满足上式，
1
所以a＝2n.
n(2)因为{a·b}是以2为首项，4为公差的等差数列，
n n
所以a·b＝2＋(n－1)·4
n n
＝4n－2，
由(1)知，a＝2n，所以b＝，
n n
所以T＝1×0＋3×1＋5×2＋…＋，
n
T＝1×1＋3×2＋…＋＋，
n
两式相减得，T＝1×0＋2×1＋2×2＋…＋2×n－1－＝1＋2×－＝3－，
n
所以T＝6－.
n
11．C [设无穷等差数列{a}的公差为d(d≠0)，则a ＝a ＋(n－1)d＝dn＋a －d.若{a}为递
n n 1 1 n
增数列，则d>0，则存在正整数N ，使得当n>N 时，a ＝dn＋a －d>0，所以充分性成立；
0 0 n 1
若存在正整数N ，使得当n>N 时，a ＝dn＋a －d>0，即d>对任意的n>N ，n∈N*均成立，
0 0 n 1 0
由于n→＋∞时，→0，且d≠0，所以d>0，{a}为递增数列，必要性成立．故选C.]
n
12．B [因为ln x≤x－1(x>0)，所以a＋a＋a＋a＝ln(a＋a＋a)≤a＋a＋a－1，
1 2 3 4 1 2 3 1 2 3
所以a＝a·q3≤－1.
4 1
由a>1，得q<0.
1
若q≤－1，则ln(a＋a＋a)＝a＋a＋a＋a＝a(1＋q)·(1＋q2)≤0.
1 2 3 1 2 3 4 1
又a＋a＋a＝a(1＋q＋q2)≥a>1，所以ln(a＋a＋a)>0，矛盾．因此－1<q<0.
1 2 3 1 1 1 2 3
所以a－a＝a(1－q2)>0，a－a＝aq(1－q2)<0，
1 3 1 2 4 1
所以a>a，a<a.]
1 3 2 4
13．f(x)＝x2 f(x)＝2(答案不唯一)
解析 由题意，可知在x∈[1，＋∞)这个区间上是增函数的函数有许多，可写为f(x)＝x2.
第二个填空是找一个数列是递增数列，而对应的函数不是增函数，可写为f(x)＝2.
则这个函数在上单调递减，在上单调递增，
∴f(x)＝2在[1，＋∞)上不是增函数，不满足①.
而对应的数列为a＝2在n∈N*上越来越大，属于递增数列．
n
14．(－∞，－3]∪{－2,1}
解析 画出函数f(x)的图象如图所示，
当a≤－3时，a＝f(a)＝a－4≤－7，a＝f(a)＝a－4≤－11，…，
1 2 1 1 3 2 2数列{a}是首项为a，公差为－4的等差数列，符合题意，
n 1
当a>－3时，因为{a}是等差数列，
1 n
①若其公差d>0，则∃k∈N*，使得 >2，这与a ＝f(a)＝2－a≤2矛盾，
0 n＋1 n
②若其公差d＝0，则a＝－a＋2＝a，即a＋a－2＝0，解得a＝－2或a＝1，
2 1 1 1 1
则当a ＝－2时，a ＝－2为常数列，当a ＝1时，a ＝1为常数列，此时{a}为等差数列，
1 n 1 n n
符合题意，
③若其公差d<0，则∃k∈N*，使得 >－3且 ≤－3，则等差数列的公差必为－4，
0
因此 ＝－4，所以2－ ＝－4，解得 ＝－3(舍去)或 ＝2.
又当 ＝2时， ＝…＝－2，这与公差为－4矛盾．
综上所述，a 的取值范围是(－∞，－3]∪{－2,1}．
1
15．D [∵a>0，∴a＋a≥2aa ，∵aa ＝n＋1，
n n n＋1 n n＋1
∴{aa }的前n项和为2＋3＋4＋…＋n＋1＝＝，
n n＋1
∴数列{a＋a}的前n项和为S≥2×＝n2＋3n.]
n
16．(1)解 由已知＝(n∈N*)，
整理得S＝(a＋2)2，
n n
所以S ＝(a ＋2)2.
n＋1 n＋1
所以a ＝S －S
n＋1 n＋1 n
＝[(a ＋2)2－(a＋2)2]
n＋1 n
＝(a＋4a －a－4a)，
n＋1 n
整理得(a ＋a)(a －a－4)＝0，
n＋1 n n＋1 n
由题意知a ＋a≠0，所以a －a＝4，而a＝2，
n＋1 n n＋1 n 1
即数列{a}是a＝2，d＝4的等差数列，
n 1
所以a＝a＋(n－1)d＝4n－2.
n 1
(2)证明 令c＝b－1，
n n
则c＝
n
＝
＝－.
故b＋b＋…＋b－n＝c＋c＋…＋c＝＋＋…＋＝1－<1.故b＋b＋…＋b<1＋n.
1 2 n 1 2 n 1 2 n
§6.7 子数列问题
1．解 (1)设等差数列{a}的公差为d，
n等比数列{b}的公比为q(q≠0)，
n
∵a＝3，b＝1，b＋S＝10，a－2b＝a，
1 1 2 2 5 2 3
∴解得
∴a＝2n＋1，b＝2n－1.
n n
(2)由(1)知，S＝＝n(n＋2)，
n
∴c＝
n
∴T ＝＋(21＋23＋25＋…＋22n－1)
2n
＝1－＋＝－.
2．解 (1)方法一 因为{a}是公比q>1的等比数列，
n
所以由
得
即
两式相除得＝，
整理得3q2－10q＋3＝0，
即(3q－1)(q－3)＝0，
解得q＝3或q＝，
又q>1，所以q＝3，故a＝＝1，
1
所以a＝aqn－1＝3n－1.
n 1
方法二 因为{a}是公比q>1的等比数列，
n
所以由
得
即
则
故
解得或(舍去)，
故q2＝＝9，则q＝3，
所以a＝aqn－1＝3n－1.
n 1
(2)当n为奇数时，b＝a＝3n－1，
n n
当n为偶数时，b＝b ＋n＝3n－2＋n，
n n－1
所以T ＝b＋b＋b＋b＋…＋b ＋b
2n 1 2 3 4 2n－1 2n
＝(b＋b＋…＋b )＋(b＋b＋…＋b )
1 3 2n－1 2 4 2n
＝(30＋32＋…＋32n－2)＋(30＋2＋32＋4＋…＋32n－2＋2n)
＝2×(30＋32＋…＋32n－2)＋(2＋4＋…＋2n)＝2×＋
＝＋n(n＋1)．
3．解 将数列{a}和{b}的公共项从小到大排列组成数列{d}．
n n n
设a＝b ，则3k＋6＝2m＋7，
k m
即m＝，所以k为奇数，
设k＝2n－1，则m＝3n－2，d＝a＝3(2n－1)＋6＝6n＋3.
n k
(1)三个最小的数依次为9,15,21.
(2)由数列c，c，c，…，c，…的构成可知，
1 2 3 n
d ＝6m＋3与d ＝6m＋9均为数列{c}中的项，
m m＋1 n
在d 和d 中还有以下项：6m＋5,6m＋6,6m＋7，
m m＋1
又c＝d＝9，
1 1
因此数列{c}中的项从第1项起，连续的4项中只有第3项是数列{a}中的偶数项，不是数
n n
列{b}中的项，
n
所以数列c，c，c，…，c 中有10个不是数列{b}中的项．
1 2 3 40 n
(3)由(2)可知，数列{c}的前4n项中，
n
由数列{b}中的前3n项和数列{a}中的前n项偶数项构成，
n n
因此S ＝＋＝12n2＋33n.
4n
4．解 根据士兵报数结果可得，士兵的总数是三个等差数列{3n＋2}，{5n＋3}，{7n＋4}的
公共项所组成的数列中的项．
记a＝3n＋2，b＝5n＋3，c＝7n＋4，新数列记为{d}．
n n n n
从小到大列举数列{c}中的项，并判断是否为数列{a}与{b}中的项，
n n n
可得数列{d}的首项为d＝53，
n 1
设a＝b ＝c＝d，则3k＋2＝5m＋3＝7p＋4，
k m p n
所以c ＝7(p＋1)＋4＝7p＋4＋7＝5＋3不是数列{b}中的项；
p＋1 n
c ＝7(p＋2)＋4＝7p＋4＋14＝5＋3不是数列{b}中的项；
p＋2 n
c ＝7(p＋3)＋4＝7p＋4＋21＝5＋3不是数列{b}中的项；
p＋3 n
c ＝7(p＋4)＋4＝7p＋4＋28＝5＋3不是数列{b}中的项；
p＋4 n
c ＝7(p＋5)＋4＝7p＋4＋35＝5(m＋7)＋3＝3＋2不是数列{a}中的项；
p＋5 n
c ＝7(p＋6)＋4＝7p＋4＋42＝5＋3不是数列{b}中的项；
p＋6 n
…；
c ＝7(p＋15)＋4＝7p＋4＋105＝5(m＋21)＋3＝3(k＋35)＋2是数列{a}和{b}中的项．
p＋15 n n
所以d ＝c ，
n＋1 p＋15
则d －d＝105，
n＋1 n所以数列{d}的通项公式为
n
d＝105n－52.
n
当n＝5时，d＝473<500，
n
当n＝6时，d＝578>500，
n
所以最多有473个士兵．
5．(1)证明 当a∈(0,3]时，
n
则a ＝2a∈(0,6]，
n＋1 n
当a∈(3,6]时，
n
则a ＝a－3∈(0,3]，
n＋1 n
故a ∈(0,6]，
n＋1
所以当0＜a≤6时，
n
总有0＜a ≤6.
n＋1
(2)解 当a ＝a＝5时，a ＝a －3＝2，a ＝2a ＝4，a ＝a －3＝1，a ＝2a ＝2，a ＝2a ＝
1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5
4，a＝a－3＝1，
7 6
所以数列{a}为5,2,4,1,2,4,1,2,4,1，…，
n
所以从第2项起，{a}中的项以3为周期，其和为2＋4＋1＝7，
n
所以S ＝5＋7×674＋2＝4 725.
2 024
(3)解 由m∈N*，可得2m－1≥1，
故a＝≤3，
当1＜k≤m，k∈N*时，2k－1a≤＝<＝3.
故a＝2k－1a且a ＝2ma.
k m＋1
又a ＝＞3，
m＋1
所以a ＝a －3＝2ma－3
m＋2 m＋1
＝2m·－3＝a.
故S ＝S －a －a
4m＋2 4(m＋1) 4m＋3 4m＋4
＝4(a＋a＋…＋a )－(2m－1＋2m)a
1 2 m＋1
＝4(1＋2＋…＋2m)a－3×2m－1a
＝4(2m＋1－1)a－3×2m－1a
＝(2m＋3－4－3×2m－1)a
＝.
6．解 (1)设各项均不相等的等差数列{a}的公差为d(d≠0)，∵a ＝1，且a ，a ，a 成等比
n 1 1 2 5
数列，
∴a＝a·a，即(1＋d)2＝1＋4d，解得d＝2，
1 5∴a＝1＋2(n－1)＝2n－1.
n
∴S＝＝n2.
n
(2)在数列{b}中，b＝log (a＋1)＝log 4＝2，
n 1 2 2 2
∵b ＝4b＋2n＋1，n∈N*.
n＋1 n
∴b ＋2n＋1＝4(b＋2n)，b＋2＝4.
n＋1 n 1
∴数列{b＋2n}是等比数列，首项为4，公比为4，
n
∴b＋2n＝4n，
n
∴b＝4n－2n.
n
(3)①当n＝2k，k∈N*时，c＝c ＝＝，
n 2k
∴数列{c }的前k项的和A＝＋＋…＋，
2k k
∴A＝＋＋…＋＋，
k
∴A＝＋2－
k
＝＋2×－，
化简为A＝－＝－.
k
②当n＝2k－1，k∈N*时，
c＝c ＝
n 2k－1
＝＝
＝＝，
∴数列{c }的前k项的和B＝
2k－1 k
＝＝ ，
∴数列{c}的前2n项的和T ＝A＋B＝－＋ .
n 2n k k
第七章 立体几何与空间向量
§7.1 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
1．B 2.C 3.ABC 4.D 5.A
6．C [如图，由已知得该棱台的高为157．5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积
V ＝ ×9×(140 ＋ ＋ 180)×106 ＝ 60×(16 ＋ 3)×106≈60×(16 ＋ 3×2.65)×106 ＝
1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.]
7．A [棱锥A－BCD 的体积可以看成是正四棱锥P－ABCD的体积减去角上的四个小棱锥
1 1
的体积得到的．
因为B 为PB的中点，D 为PD的中点，
1 1
所以棱锥B－ABC的体积和棱锥D－ACD的体积都是正四棱锥P－ABCD的体积的，
1 1
棱锥C－PBD 的体积与棱锥A－PBD 的体积之和是正四棱锥P－ABCD的体积的，
1 1 1 1
则中间剩下的棱锥A－BCD 的体积 ＝V －3×V ＝V ，
1 1 P－ABCD P－ABCD P－ABCD
则 ∶V ＝1∶4.]
P－ABCD
8．AC [如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，
则SH⊥AB，
设底面边长为2a 米．
因为∠SHO＝30°，
所以OH＝AH＝a 米，OS＝a 米，SH＝a 米．
在Rt△SAH中，a2＋2＝21，
解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝×6×2×4＝24(平方米)．]
9．8 10.2
11.V
解析 如图，连接AN，对于三棱锥B－ACN，B－AMN，显然它们等底同高，
故V ＝V ，
B－ACN B－AMN
而V ＝V ，
B－ACN N－ABC
注意到CN＝C N，
1于是三棱锥N－ABC的高是三棱柱ABC－ABC 的一半，且它们都以△ABC为底面，
1 1 1
故V ＝×V＝V，
N－ABC
故V ＝2×V＝V.
B－AMNC
12．8 18
解析 公共部分是两个正四棱锥且底面重叠的空间几何体，共8面．
四棱锥底面是以3为边长的正方形，S＝18，
其中一个正四棱锥的高为.
∴V＝×18××2
＝18(cm3)．
13．C [如图为圆柱的轴截面图，过M作容器壁的垂线，垂足为F，因为MN平行于地面，
故∠MNF＝30°，
因为椭圆长轴上的顶点M，N到容器底部的距离分别是12和18，
故NF＝18－12＝6，
在Rt△MFN中，MF＝NF×tan 30°＝2，即圆柱的底面半径为，
所以容器内液体的体积等于一个底面半径为，高为(12＋18)的圆柱体积的一半，
即为×π×()2×(12＋18)
＝45π.]
14．C [方法一 由甲、乙两个圆锥的母线长相等，
结合＝2，
可知甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.
不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，
1 2 1
h，
2
则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，
所以2πr＝4π，2πr＝2π，
1 2
得r＝2，r＝1.
1 2
由勾股定理得，
h＝＝，
1
h＝＝2，
2
所以＝＝＝.
故选C.方法二 设两圆锥的母线长为l，甲、乙两圆锥的底面半径分别为r ，r ，高分别为h ，h ，
1 2 1 2
侧面展开图的圆心角分别为n，n，
1 2
则由＝＝＝2，
得＝＝2.
由题意知n＋n＝2π，
1 2
所以n＝，n＝，
1 2
所以2πr＝l,2πr＝l，
1 2
得r＝l，r＝l.
1 2
由勾股定理得，h＝＝l，
1
h＝＝l，
2
所以＝＝＝.
故选C.]
15．ACD [因为在直三棱柱ABC－ABC 中，AA＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
1 1 1 1
所以△ABC和△ABC 是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋×2＝
1 1 1
4＋2，故A正确；
直三棱柱的体积V＝S ·AA＝×1×1×2＝1，故B不正确；
△ABC 1
如图所示，由BB∥平面AAC C，且点E是侧棱BB 上的一个动点，
1 1 1 1
所以三棱锥E－AAO的高为定值， ＝××2＝，
1
所以 ＝××＝，为定值，故C正确；
由该棱柱的侧面展开图易知(图略)，AE＋EC 的最小值为＝＝2，故D正确．]
1
16.
解析 设圆锥的底面半径为r cm，
圆柱形冰块的底面半径为x cm，
高为h cm，
由已知可得，××(2r)2＝16，解得r＝4，
h＝(r－x)·tan 60°＝(4－x)，0＜x＜4.
设圆柱形冰块的体积为V，
则V＝πx2(4－x)，0＜x＜4.
令f(x)＝πx2(4－x)，0＜x＜4.则f′(x)＝πx(8－3x)，
则当x∈时，f′(x)＞0，
当x∈时，f′(x)＜0，
∴f(x) ＝f ＝.
max
∴酒杯可放置圆柱冰块的最大体积为 cm3.
§7.2 球的切、接问题
1．B 2.A 3.BCD 4.C 5.C
6．ABC [设正方体的棱长为a，
则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，
即a；内切球的半径为棱长的一半，即.
∵M，N分别为外接球和内切球上的动点，
∴MN ＝a－＝a
min
＝－1，
解得a＝2，即正方体的棱长为2，
∴正方体外接球的表面积为
4π×()2＝12π，
内切球的体积为，则A，B，C正确；
线段MN的最大值为＋1，则D错误．]
7．A [将该多面体放入正方体中，如图所示．
由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为，
因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得，
所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线
长，即2R＝，所以R＝1，
所以该多面体外接球的体积
V＝πR3＝.]
8．C [该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大．
设圆锥的高为h(0<h<1)，底面半径为r，则圆锥的体积
V＝πr2h＝π(1－h2)h，
则V′＝π(1－3h2)，
令V′＝π(1－3h2)＝0，得h＝，
所以V＝π(1－h2)h在上单调递增，
在上单调递减，
所以当h＝时，四棱锥的体积最大，故选C.]
9. 10.π
11．50π
解析 因为AB＝4，BC＝3，PA＝AC＝5，
所以AB2＋BC2＝AC2，所以△ABC为直角三角形，∠ABC＝90°，
所以△ABC的面积为定值，
所以当PA⊥平面ABC时，该三棱锥体积最大．
如图，取线段PC的中点O，
则OP＝OA＝OB＝OC，
所以点O为三棱锥外接球的球心，
因为PA＝AC＝5，所以PC＝5，
所以OC＝，
即外接球的半径R＝，
所以所求外接球的表面积为
4πR2＝4π×2＝50π.
12．32π
解析 ∵BD⊥平面ABC，故可将三棱锥补为直三棱柱，如图所示，
∵AB＝BC＝2，AC＝2，故三棱柱的上、下底面三角形的外接圆圆心在底边中线的延长线上，
设为O，O，易得∠OBC＝60°，故OB＝OC＝BC＝2，
1 2 1 1 1∴三棱柱外接球球心为上、下底面外心所连线段的中点O，即为三棱锥D－ABC外接球球心，
设该外接球半径为R，
则在Rt△OCO 中，
1
R2＝2＋22＝8，
故三棱锥D－ABC外接球的表面积为4πR2＝32π.
§7.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．D 2.ACD 3.B 4.D
5．B [将正四面体补成正方体如图所示，
可得EF⊥平面CHBG，且正方体的棱长为2.
由于EF⊥平面α，且平面α 与四面体的每一个面都相交，
故截面为平行四边形MNKL，且KL＋KN＝4，
又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，
∴KN⊥KL，
∴ 平行四边形MNKL 为矩形，
∴S ＝KN·KL≤2＝4，
矩形MNKL
当且仅当KN＝KL＝2 时取等号．]
6．D [方法一 如图，
连接 C P，因为 ABCD－ABC D 是正方体，且 P 为 BD 的中点，所以 C P⊥BD ，又
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
C P⊥BB ，所以 C P⊥平面 BBP.又 BP⊂平面 BBP，所以 C P⊥BP.连接 BC ，则
1 1 1 1 1 1 1
AD∥BC ，所以∠PBC 为直线PB与AD 所成的角．设正方体 ABCD－ABC D 的棱长为
1 1 1 1 1 1 1 1
2，则在Rt△C PB中，C P＝BD＝，BC ＝2，sin∠PBC＝＝，所以∠PBC＝.
1 1 1 1 1 1 1
方法二 以B 为坐标原点，BC ，BA ，BB所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直
1 1 1 1 1 1
角坐标系(图略)，设正方体ABCD－ABC D 的棱长为2，则B(0,0,2)，P(1,1,0)，D(2,2,0)，
1 1 1 1 1A(0,2,2)，PB＝(－1，－1,2)，AD1＝(2,0，－2)．设直线PB与AD 所成的角为θ，则cos θ＝
1
＝＝.因为θ∈，所以θ＝.
方法三 如图所示，连接BC ，AB，AP，PC ，则易知AD∥BC ，所以直线PB与AD 所
1 1 1 1 1 1 1
成的角等于直线PB与BC 所成的角．根据P为正方形ABC D 的对角线BD 的中点，易知
1 1 1 1 1 1 1
A ，P，C 三点共线，且P为AC 的中点．易知AB＝BC ＝AC ，所以△ABC 为等边三角
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
形，所以∠ABC ＝，又P为AC 的中点，所以可得
1 1 1 1
∠PBC＝∠ABC ＝.]
1 1 1
7．AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)
8．8
9．证明 (1)因为E，F分别为AB，AD的中点，
所以EF∥BD.
在△BCD中，＝＝，
所以GH∥BD，
所以EF∥GH.
所以E，F，G，H四点共面．
(2)因为EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，
所以P∈平面ABC.
同理P∈平面ADC.
所以P为平面ABC与平面ADC的公共点．
又平面ABC∩平面ADC＝AC，
所以P∈AC，
所以P，A，C三点共线．
10．解 (1)S ＝×2×2
△ABC
＝2，
三棱锥P－ABC的体积V＝S ·PA＝×2×2＝.
△ABC
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，
则ED∥BC，
所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
11．ABD [将三棱锥补形为长方体，如图所示．
其中BE＝BN＝1，BF＝2，
所以AB＝CD＝，AD＝BC＝AC＝BD＝，
连接MF，
则AM∥BF，AM＝BF，
所以四边形AMFB为平行四边形，
所以AB∥MF，
又四边形MCFD为正方形，
所以MF⊥CD，
所以AB⊥CD，故A正确；
长方体的体积V＝1×1×2＝2，
1
三棱锥E－ABC的体积V＝V ＝××1×2×1＝，
2 三棱锥A－BEC
同理，三棱锥N－ABD，三棱锥F－BCD，三棱锥M－ACD的体积也为，
所以三棱锥A－BCD的体积V＝2－4×＝，故B正确；
长方体的外接球的直径为＝，
所以长方体的外接球的半径为，
长方体的外接球也是三棱锥A－BCD的外接球，
所以三棱锥A－BCD外接球的半径为，故C错误；
连接MN，交AD于点O，
因为MN∥BC，
所以∠AOM(或其补角)为异面直线AD与BC所成的角，
由已知OA＝AD＝，
OM＝MN＝，AM＝2，所以cos∠AOM＝＝－，
所以异面直线AD与BC所成角的余弦值为，故D正确．]
12．C [连接EF，作直线EF分别与直线DC，DD 的延长线相交于点P，Q，
1
连接AP交BC于点M，连接AQ交AD 于点N，连接NF，ME.
1 1
则五边形AMEFN即为过A，E，F三点的截面，如图所示．
由题意知AP＝AQ＝3，PQ＝9，
∴S ＝，
△APQ
又ME∥AQ，且＝，
∴S ＝S ＝S ，
△MPE △QNF △APQ
∴S ＝S ＝.]
五边形AMEFN △APQ
13．60°
解析 在平面ABD中，过E作EG∥AB，交DB于点G，连接GF，如图，
∵＝，
∴＝，
又＝，∴＝，
则GF∥CD，
∴∠EGF(或其补角)即为AB与CD所成角，
在△EGF中，EG＝AB＝2，
GF＝CD＝1，EF＝，
∴cos∠EGF＝
＝－，
∴∠EGF＝120°，
∴AB与CD所成角的大小为60°.
14．(1)52π (2)4π
解析 (1)由题意，根据勾股定理可得AC⊥AB，则可将三棱锥P－ABC放入以AP，AC，AB
为长方体的长，宽，高的长方体中，则体对角线为外接球直径，设外接球半径为 r，即2r＝＝2，则r＝，所以球O的表面积为4πr2＝4π×()2＝52π.
(2)由题意，得△ABC为直角三角形，所以D为底面ABC的外接圆圆心，当DO⊥截面时，截
面面积最小，即截面为平面ABC的外接圆，半径为2，故截面面积的最小值为π×22＝4π.
15．3＋
解析 如图所示，取AC的中点D，连接BD，取AC 的中点D ，连接BD ，取AD的中点
1 1 1 1 1
G，连接EG，连接EF，
分别取C D，BC 的中点M，N，连接MN，FN，GM，
1 1 1 1
可得EG∥BD，BD∥BD，MN∥BD，
1 1 1 1
即有EG∥MN，
又由AB＝BC，
可得BD⊥AC，
因为AA⊥平面ABC，
1
可得AA⊥BD，
1
又AC∩AA＝A，AC，AA⊂平面AAC C，
1 1 1 1
所以BD⊥平面AAC C，
1 1
可得EG⊥平面AAC C，
1 1
由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AAC C，
1 1
则平面EGMNF即为平面α，
由EG＝BD＝，GM＝＝，MN＝BD＝，NF＝＝，FE＝＝，
1 1
则所得截面的周长为×2＋＋×2＝3＋.
16．解 (1)存在．当G为PA的中点时满足条件．
如图，连接GE，GD，则GE是△PAB的中位线，
所以GE∥AB.
又AB∥DC，
所以GE∥DC，所以G，E，C，D四点共面．
(2)因为E是PB的中点，
所以V ＝V ＝V .
P－ACE B－ACE P－ACB
因为AD⊥DC，AB∥DC，
所以AC＝，CB＝，
故由题易知AC⊥BC，
所以S ＝AC·BC
△ABC
＝××＝1，
V ＝PC·S ＝，
P－ACB △ABC
所以V ＝.
P－ACE
§7.4 空间直线、平面的平行
1．B 2.C 3.B 4.C
5．AC [对于A，AB∥DE，
AB⊄平面DEF，
DE⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故A正确；
对于B，如图1，作平面DEF交正方体的棱于点G，连接FG并延长，交AB的延长线于点
H，则AB与平面DEF相交于点H，故B错误；
对于C，AB∥DF，AB⊄平面DEF，DF⊂平面DEF，
∴直线AB与平面DEF平行，故C正确；
对于D，如图2，连接AC，取AC的中点O，连接OD，
又D为BC的中点，∴AB∥OD，
∵OD与平面DEF相交，∴直线AB与平面DEF相交，故D错误．]
6．D [由于B，E，F三点共面，F∈平面BEF，
M∉平面BEF，故MF，EB为异面直线，
故A错误；
由于B ，N，E三点共面，B∈平面BNE，A∉平面BNE，故AB ，NE为异面直线，故B
1 1 1 1 1 1 1
错误；
∵在平行四边形AABB中，
1 1
AM＝2MA ，
1
BN＝2NB ，
1
∴AM∥BN，AM＝BN，
故四边形AMNB为平行四边形，
∴MN∥AB.
又MN⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
∴MN∥平面ABC.
又MN⊂平面MNEF，
平面MNEF∩平面ABC＝EF，
∴MN∥EF，∴EF∥AB，
显然在△ABC中，EF≠AB，
∴EF≠MN，
∴四边形MNEF为梯形，故C错误，D正确．]
7. 8.矩形
9．证明 (1)如图，设DF与GN的交点为O，连接AE，则AE必过点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO，
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，
GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，
BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，
DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
10．解 E，F分别为BP，CD的中点时，可使平面MEF∥平面ABC，
证明如下：
如图，取BP的中点E，CD的中点F，
连接ME，MF，EF.
∵M，F分别为AD，CD的中点，
∴MF∥AC.
∵MF⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴MF∥平面ABC，
又E为BP的中点，且四边形PBCD为梯形，
∴EF∥BC.
∵EF⊄平面ABC，BC⊂平面ABC，∴EF∥平面ABC，
∵MF∩EF＝F，
MF，EF⊂平面MEF，
∴平面MEF∥平面ABC.
11．ACD [由题图，显然A是正确的，B是错误的；对于C，因为AD∥BC，BC∥FG，
1 1
所以AD∥FG且FG⊂平面EFGH，AD⊄平面EFGH，所以AD∥平面EFGH(水面)，所
1 1 1 1 1 1
以C是正确的；
因为水是定量的(定体积V)．所以S ·BC＝V，即BE·BF·BC＝V，所以BE·BF＝(定值)，即
△BEF
D是正确的．]
12．C [∵PD与平面CEF交于点H，∴平面CEF∩平面PCD＝CH.
∵EF∥平面PCD，∴EF∥CH，过点H作HM∥PA交AD于点M，连接CM，如图所示．∵EF∩AP＝F，CH∩HM＝H，
∴平面AEF∥平面CHM.
∵平面AEF∩平面ABCD＝AE，平面CHM∩平面ABCD＝CM，∴AE∥CM.又BC∥AM，
∴四边形ABCM为平行四边形，∴AM＝BC＝2.又AD＝4，∴M是AD的中点，则H为PD的
中点，∴CH＝＝＝2.]
13．相交 平行
解析 AB 与截面ADC相交，
1 1 1
由题意得AB∥DC，而AB⊄平面DD C C，DC⊂平面DD C C，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以AB∥平面DD C C.
1 1 1
14．平面ABC，平面ABD
解析 如图，连接AM并延长交CD于E，连接BN并
延长交CD于F，由重心性质可知，E，F重合为一点，且该点为CD的中点，由＝＝，得
MN∥AB，又AB⊂平面ABC，AB⊂平面ABD，MN⊄平面ABC，MN⊄平面ABD，因此，
MN∥平面ABC且MN∥平面ABD.
15．B [如图，取BC 的中点M，BB 的中点N，连接AM，AN，MN，
1 1 1 1 1
可以证明平面AMN∥平面AEF，所以点P位于线段MN上．
1
因为AM＝AN＝＝，
1 1
MN＝＝，
所以当点P位于M，N点时，AP最大，当点P位于MN的中点O时，AP最小，此时AO
1 1 1
＝＝，所以≤|AP|≤，所以线段AP长度的取值范围是.]
1 116．解 (1)取AD中点N，连接CN，MN，OM，ON，如图，
因为ABCD为矩形，O，N分别为BC，AD中点，
所以AO∥CN，
所以∠MCN(或其补角)就是异面直线AO与CM所成角，
因为平面ABCD⊥平面BCM，平面ABCD∩平面BCM＝BC，
在矩形ABCD中，NO⊥BC，NO⊂平面ABCD，
所以NO⊥平面BCM，
又OM⊂平面BCM，所以NO⊥OM，
在△MON中，∠MON＝90°，OM＝NO＝1，
所以MN＝，
又M是圆周上一点，且∠CBM＝30°，
所以CM＝1，
在△MCN中，CN＝，
由余弦定理的推论可得cos∠MCN＝＝，
所以异面直线AO与CM所成角的余弦值为.
(2)如图，连接PB，PD，连接BD交AC于点Q，连接PQ，
因为直线CM∥平面BPD，直线CM⊂平面ACM，平面BPD∩平面ACM＝PQ，
所以CM∥PQ，
因为矩形ABCD的对角线交点Q为AC中点，
所以PQ为△AMC的中位线，
所以P为AM中点，AP＝PM，
又AP＝λPM，
所以λ的值为1.§7.5 空间直线、平面的垂直
1．ACD 2.B 3.A 4.BD
5．ABD [由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，
在A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；
在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；
在C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；
在D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．]
6．AD [如图，连接BD，易知∠BDB 是直线BD与平面ABCD所成的角，
1 1
所以在Rt△BDB 中，∠BDB ＝30°，
1 1
设BB＝1，则BD＝2BB＝2，
1 1 1
BD＝＝.
易知∠ABD是直线BD与平面AABB所成的角，
1 1 1 1
所以在Rt△ADB 中，
1
∠ABD＝30°.
1
因为BD＝2，
1
所以AD＝BD＝1，
1
AB＝＝，
1
所以在Rt△ABB 中，AB＝＝＝AD，所以A项正确；
1
易知∠BAB 是直线AB与平面ABC D所成的角，
1 1 1
因为在Rt△ABB 中，sin∠BAB＝＝≠，
1 1
所以∠BAB≠30°，所以B项错误；
1
在Rt△CBB 中，CB ＝＝，
1 1
而AC＝＝，所以C项错误；
易知∠DBC是直线BD与平面BBC C所成的角，
1 1 1 1
因为在Rt△DBC中，CB ＝CD＝，所以∠DBC＝45°，所以D项正确．]
1 1 1
7．②(或③)
8．②
解析 ①假设AC与BD垂直，过点A作AE⊥BD于点E，连接CE，如图所示．则⇒BD⊥平面AEC，则BD⊥CE，而在平面BCD中，CE与BD不垂直，
故假设不成立，①不正确；
②假设AB⊥CD，∵AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，由AB<BC可知，
存在这样的直角三角形，使AB⊥AC，故假设成立，②正确；
③假设AD⊥BC，∵CD⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AC，即△ABC为直角
三角形，且AB为斜边，而AB<BC，故矛盾，假设不成立，③不正确．
9．(1)证明 在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，
所以BG⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG⊂平面ABCD，所以BG⊥平面
PAD.
(2)证明 如图，连接PG，因为△PAD为正三角形，G为线段AD的中点，
所以PG⊥AD.
由(1)知BG⊥AD，又PG∩BG＝G，所以AD⊥平面PGB.
因为PB⊂平面PGB，
所以AD⊥PB.
(3)解 能，当F为线段PC的中点时，平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
如图，取线段PC的中点F，连接DE，EF，DF.
在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中，GB∥DE.
而 FE⊂平面 DEF，DE⊂平面 DEF，EF∩DE＝E，PB⊂平面 PGB，GB⊂平面 PGB，
PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.
因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PG⊂平面PAD，PG⊥AD，
所以PG⊥平面ABCD.
又PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，
所以平面DEF⊥平面ABCD.
10．(1)证明 如图，作AD⊥PC交PC于点D，因为平面PAC⊥平面PBC，平面PAC∩平面PBC＝PC，
AD⊂平面PAC，
所以AD⊥平面PBC，
又BC⊂平面PBC，所以AD⊥BC，
又因为PA⊥平面ABC，
BC⊂平面ABC，
所以PA⊥BC，
又PA，AD⊂平面PAC，PA∩AD＝A，
所以BC⊥平面PAC.
(2)解 如图，作AD⊥PC交PC于点D，DE⊥PB交PB于点E，
连接AE，
由(1)知AD⊥平面PBC，
因为PB⊂平面PBC，则AD⊥PB，
又AD，DE⊂平面ADE，AD∩DE＝D，
所以PB⊥平面ADE，
因为AE⊂平面ADE，
所以PB⊥AE，
则∠AED即为二面角A－PB－C的平面角．
又DE⊂平面PBC，则AD⊥DE，
不妨设AC＝BC＝PA＝1，
则PC＝，AD＝＝，
又由(1)知BC⊥平面PAC，
因为AC⊂平面PAC，
所以BC⊥AC，
所以AB＝，PA⊥平面ABC，又AB⊂平面ABC，
则PA⊥AB，则PB＝，
AE＝＝，
则sin∠AED＝＝＝，
由图知二面角A－PB－C的平面角为锐角，
所以∠AED＝，
即二面角A－PB－C的平面角的大小为.
11．A [如图，取AD的中点E，连接PE，PC，CE.
因为△PAD为正三角形，
所以PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
所以PE⊥平面ABCD，
从而平面PEC⊥平面ABCD，分别取PC，AB的中点F，G，
连接DF，DG，FG，
由PD＝DC知DF⊥PC，
易得DG⊥EC，
则DG⊥平面PEC，
又PC⊂平面PEC，
所以DG⊥PC，
又DF∩DG＝D，
所以PC⊥平面DFG，
又点F是PC的中点，
因此，线段DG上的点满足
MP＝MC.]
12．BC [由题意得该多面体是一个三棱锥，故A错误；∵AP⊥BP，AP⊥CP，BP∩CP＝
P，
∴AP⊥平面BCD.
又∵AP⊂平面BAD，∴平面BAD⊥平面BCD，故B正确；同理可证平面BAC⊥平面ACD，
故C正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径R＝a，所以该多面体外接球的表面
积为5πa2，故D错误．]13．ABD [A项，如图，连接BD，
1 1
由正方体可得AC ⊥BD，
1 1 1 1
且BB⊥平面ABC D，
1 1 1 1 1
又AC ⊂平面ABC D，
1 1 1 1 1 1
则BB⊥AC ，
1 1 1
因为BD∩BB＝B，
1 1 1 1
所以AC ⊥平面BDB，
1 1 1 1
又BD⊂平面BDB，
1 1 1
所以AC ⊥BD.
1 1 1
同理，连接AD，易证得AD⊥BD，
1 1 1
因为AD∩AC ＝A，AD，AC ⊂平面AC D，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
所以BD⊥平面AC D，故A正确；
1 1 1
B项， ，
因为点P在线段BC上运动，
1
所以 ＝AD·AB，为定值，
1
且C 到平面APD的距离即为C 到平面ABCD的距离，也为定值，
1 1 1 1 1
故三棱锥P－AC D的体积为定值，故B正确；
1 1
C项，当点P与线段BC的端点重合时，AP与AD所成角取得最小值，最小值为，故 C错
1 1
误；
D项，因为直线BD⊥平面AC D，
1 1 1
所以若直线C P与平面AC D所成角的正弦值最大，
1 1 1
则直线C P与直线BD 所成角的余弦值最大，
1 1
即点P运动到BC中点处，直线C P与直线BD 所成角为∠C BD，
1 1 1 1 1
设正方体棱长为1，在Rt△DC B中，
1 1
cos∠C BD＝＝＝，故D正确．]
1 1
14.
解析 如图，取线段EF的中点H，AF的中点G，连接A′G，A′H，GH.由题意，知A′E＝A′F及H是EF的中点，
所以A′H⊥EF.
又因为平面A′EF⊥平面BEF，平面A′EF∩平面BEF＝EF，A′H⊂平面A′EF，
所以A′H⊥平面BEF.
又AF⊂平面BEF，故A′H⊥AF.
又因为G，H分别是AF，EF的中点，
所以GH∥AB，
所以GH⊥AF，
又A′H∩GH＝H，
于是AF⊥平面A′GH，
所以AF⊥A′G.
所以∠A′GH为二面角A′－FD－C的平面角．
在Rt△A′GH中，A′H＝2，
GH＝2，A′G＝2，
所以cos∠A′GH＝＝，
故二面角A′－FD－C的平面角的余弦值为.
15．C [设正方体的棱长为a，则由题意知，AC ＝AC＝a，AB＝a，AC＝a，当点P为
1 1 1 1
AA的中点时，因为PA⊥平面ABC，则∠PAC＝∠PAB＝90°，∠ABC＝90°.
1
由BC⊥平面PAB，得BC⊥PB，即∠PBC＝90°，则△PAB，△PAC，△ABC，△PBC是直角三角
形，即此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AB的中点时，
1
因为BC⊥平面ABBA，
1 1
所以BC⊥PB，BC⊥AB，
所以△PBC，△ABC为直角三角形．因为ABBA 是正方形，
1 1
所以AP⊥BP，
则△PAB是直角三角形，又AP⊥BC，BP∩BC＝B，所以AP⊥平面PBC，所以AP⊥PC，所
以△PAC是直角三角形，则此时四面体P－ABC是鳖臑；
当点P为AC的中点时，此时PA＝PC＝AC＝，又AC＝a，由勾股定理可知，△PAC不是直
1 1
角三角形，则此时四面体P－ABC不是鳖臑．]
16．(0,1]解析 因为C C⊥平面ABCD，ED⊂平面ABCD，可得C C⊥ED，
1 1
由EC ⊥ED，EC ∩C C＝C ，EC ，C C⊂平面ECC ，可得ED⊥平面ECC ，
1 1 1 1 1 1 1 1
所以ED⊥EC，
在矩形ABCD中，设AE＝a,0≤a≤2，则BE＝2－a，
由∠DEA＋∠CEB＝90°，
可得tan∠DEA·tan∠CEB
＝·＝＝1，
即t2＝a(2－a)＝－(a－1)2＋1，
当a＝1时，t2取得最大值1，
即t的最大值为1；
当a＝0或2时，t2取得最小值0，
但由于t＞0，
所以t的取值范围是(0,1]．
§7.6 空间向量的概念与运算
1．D 2.ACD 3.A 4.B 5.B
6．BC [对于A，a·c＝－16－10＋6≠0，b·c＝－24＋24＝0，
故a，c不垂直，故A错；
对于B，设d＝ma＋nb，
则m(2，－2,1)＋n(3,0,4)
＝(1，－4，－2)，
所以解得
即2a－b＝d，故B对；
对于C，因为cos〈a，b〉＝＝＝，
所以异面直线l 与l 所成角的余弦值为，故C对；
1 2
对于D，向量a在向量b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·＝3×××(3,0,4)＝，故D错．]
7．2 8.VA∥平面PMN
9．解 (1)2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝
＝5.
(2)令AE＝tAB (t∈R)，
AB＝(1，－1，－2)，
所以OE＝OA＋AE＝OA＋tAB＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)
＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，
若OE⊥b，则OE·b＝0，
所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝.
因此存在点E，使得OE⊥b，此时点E的坐标为.
10．证明 (1)∵E，H分别是线段AP，AB的中点，∴PB∥EH.
∵PB⊄平面EFH，且EH⊂平面EFH，∴PB∥平面EFH.
(2)建立如图所示的空间直角坐标系．
则A(0,0,0)，
D(0,2,0)，
P(0,0,2)，
F(0,1,1)，
H(1,0,0)．
PD＝(0,2，－2)，AH＝(1,0,0)，
AF＝(0,1,1)，
∴PD·AF＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0，
PD·AH＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0.
∴PD⊥AF，PD⊥AH，
∴PD⊥AF，PD⊥AH.
∵AH∩AF＝A，且AH，AF⊂平面AHF，∴PD⊥平面AHF.
11．B [如图，建立空间直角坐标系，则 A(1,0,1)，C(0，，0)，D(0,0,1)，A(1,0,0)，
1 1
B(1，，1)，D(0,0,0)，
1B(1，，0)，C (0，，1)，
1
当A1C＝2A1P时，A1P＝，
DP＝DA1＋A1P＝，
而DB1＝(1，，1)，
∴DP＝DB1，∴B，P，D三点共线，A正确；
1
设A1P＝λA1C，A1C＝(－1，，－1)，则AP＝AA1＋A1P＝AA1＋λA1C＝(－λ，λ，1－λ)．
当AP⊥A1C时，有AP·A1C＝5λ－1＝0，
∴λ＝，
∴AP·D1P＝·＝－≠0，∴AP与D1P不垂直，B不正确；
当A1C＝3A1P时，A1P＝，
D1P＝A1P－A1D1＝，
又DB＝(1，，0)，DC1＝(0，，1)，
∴D1P＝DB－DC1，∴D1P，DB，DC1共面，又DP⊄平面BDC ，∴DP∥平面BDC ，C正
1 1 1 1
确；
当A1C＝5A1P时，A1P＝，从而AP＝，
又AD1·A1C＝(－1,0,1)·(－1，，－1)＝0，
∴AC⊥AD，
1 1
AP·A1C＝·(－1，，－1)＝0，
∴AC⊥AP，∵AD∩AP＝A，AD，AP⊂平面DAP，∴AC⊥平面DAP，D正确．]
1 1 1 1 1 1
12．ACD [在正方体ABCD－ABC D 中，以点D为原点，射线DA，DC，DD 分别为x，
1 1 1 1 1
y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
则A(3,0,3)，D(0,0,3)，C(0,3,0)，B(3,3,0)，
1 1
设 M(3，y,0)，N(3,3，z)，y，z∈(0,3)，D1M＝(3，y，－3)，MN＝(0,3－y，z)，而
DM⊥MN，
1则D1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，
即z＝y(3－y)．
对于 A 选项，连接 AM，A1M＝(0，y，－3)，则A1M·MN＝y(3－y)－3z＝0，则
1
A1M⊥MN，MN⊥AM，A正确；
1
对于B选项，CM＝(3，y－3,0)，CM·MN＝(y－3)(3－y)＝－(3－y)2<0，即CM与MN不垂直，
从而MN与平面DMC不垂直，B不正确；
1
对于C选项，BN＝(0,0，z)，则线段BN长度|BN|＝z＝≤，当且仅当y＝时等号成立，C正确；
对于D选项，连接DM，AC ，MC ，不论点M如何移动，点M到平面ADC 的距离均为
1 1 1 1 1 1 1
3，而 ＝，所以三棱锥C －ADM体积为定值，即D正
1 1 1
确．]
13．15
解析 如图所示，取BC 的中点P，连接MP，
1 1
以MC，MA，MP的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，
则A，B，C，C ，M(0,0,0)，
1 1
设N，
因为C1N＝λNC，
所以N，
所以AB1＝，MN＝.
又因为AB⊥MN，
1
所以AB1·MN＝0，
所以－＋＝0，
解得λ＝15.
14.
解析 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AA 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直
1
角坐标系，∵正方体的棱长为1，
则E，F，
∴AE＝，AF＝，
EF＝，
cos〈AE，AF〉＝
＝＝，
∴cos∠EAF＝，
EF＝|EF|
＝＝.
15．C [由题意，以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间
直角坐标系，如图所示，
则D(0,4,0)，E(4,0,2)，C(4,4,0)，P(0,0,4)，A(0,0,0)，B(4,0,0)，
设F(t,0,0)，0<t<4，
AF＝λAB(0＜λ＜1)，
则(t,0,0)＝(4λ，0,0)，∴t＝4λ，
∴F(4λ，0,0)，
DE＝(4，－4,2)，DF＝(4λ，－4,0)，PC＝(4,4，－4)，PE＝(4,0，－2)，
设平面DEF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
取x＝1，得n＝(1，λ，2λ－2)，
设平面PCE的法向量为
m＝(a，b，c)，
则
取a＝1，得m＝(1,1,2)，∵平面DEF⊥平面PCE，
∴m·n＝1＋λ＋2(2λ－2)＝0，解得λ＝.]
16．(1)证明 因为PA·AB＝PA·AC＝AB·AC＝0，
所以PA⊥AB，AB⊥AC，
因为PA∩AC＝A，
PA，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC.
(2)解 当M为PC的中点，即λ＝时，直线PC⊥平面MAB.
如图，以A为坐标原点，射线AC，AB，AP分别为x轴、y轴、z轴的非负半轴，建立空间
直角坐标系Axyz.
由|PA|2＝|AC|2＝4|AB|2可得PA＝AC＝2AB.
设AP＝2，则P(0,0,2)，A(0,0,0)，
C(2,0,0)，B(0,1,0)，M(1,0,1)．
PC＝(2,0，－2)，AM＝(1,0,1)，
MB＝(－1,1，－1)．
PC·AM＝2×1＋0×0＋(－2)×1
＝0，
所以PC⊥AM，
即PC⊥AM.
PC·MB＝2×(－1)＋0×1＋(－2)×(－1)＝0，
所以PC⊥MB，即PC⊥BM.
又因为AM∩BM＝M，AM，BM⊂平面MAB，
所以PC⊥平面MAB.
故当λ＝时，PC⊥平面MAB.
§7.7 向量法求空间角
1．(1)证明 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
因为PA⊥平面ABCD，
BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD.
又因为AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC.
(2)解 设AC∩BD＝O.
因为∠BAD＝60°，
PA＝AB＝2，
所以BO＝1，
AO＝CO＝.
以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，－，2)，
A(0，－，0)，B(1,0,0)，
C(0，，0)．
所以PB＝(1，，－2)，
AC＝(0,2，0)．
设PB与AC所成的角为θ，则
cos θ＝＝
＝，
即PB与AC所成角的余弦值为.
2．(1)证明 由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，
PF∩EF＝F，PF，EF⊂平面PEF，
所以BF⊥平面PEF.
又BF⊂平面ABFD，
所以平面PEF⊥平面ABFD.
(2)解 如图，作PH⊥EF，
垂足为H.由(1)得PH⊥平面ABFD.
以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
设BF＝1，由(1)可得DE⊥PE.
又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.
又PF＝1，EF＝2，
所以PE⊥PF，
所以PH＝，EH＝.
则H(0,0,0)，P，
D，
DP＝，HP＝.
又HP为平面ABFD的一个法向量，
设DP与平面ABFD所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈HP，DP〉|
＝＝＝.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.
3．(1)证明 由题设知OA，OB，OO 两两垂直，
1
∴以O为坐标原点，OA，OB，OO 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间
1
直角坐标系，
设AQ的长为m，则O(0,0,0)，A(6,0,0)，B(0,6,0)，C(0,3,6)，D(3,0,6)，Q(6，m,0)．
∵点P为BC的中点，
∴P，
∴OD＝(3,0,6)，AQ＝(0，m,0)，
PQ＝.
∵OD·AQ＝0，OD·PQ＝0，
∴OD⊥AQ，OD⊥PQ，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，
又AQ∩PQ＝Q，
AQ，PQ⊂平面PAQ，∴OD⊥平面PAQ.
(2)解 ∵BE＝2AE，AQ∥OB，
∴AQ＝OB＝3，
则Q(6,3,0)，∴QB＝(－6,3,0)，
BC＝(0，－3,6)．
设平面CBQ的法向量为n＝(x，y，z)，
1
由
得
令z＝1，
则y＝2，x＝1，n＝(1,2,1)．
1
易得平面ABQ的一个法向量为n＝(0,0,1)．
2
设平面CBQ与平面ABQ的夹角为θ，
则cos θ＝＝，
即平面CBQ与平面ABQ夹角的余弦值为.
4．(1)证明 如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.
因为PA＝PB，所以PD⊥AB.
因为PO为三棱锥P－ABC的高，
所以PO⊥平面ABC.
因为AB⊂平面ABC，
所以PO⊥AB.
又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，
所以AB⊥平面POD.
因为OD⊂平面POD，
所以AB⊥OD，
又AB⊥AC，AB，OD，AC⊂平面ABC，所以OD∥AC.
因为OD⊄平面PAC，
AC⊂平面PAC，
所以OD∥平面PAC.
因为D，E分别为BA，BP的中点，
所以DE∥PA.因为DE⊄平面PAC，
PA⊂平面PAC，
所以DE∥平面PAC.
又OD，DE⊂平面ODE，
OD∩DE＝D，
所以平面ODE∥平面PAC.
又OE⊂平面ODE，
所以OE∥平面PAC.
(2)解 连接OA，因为PO⊥平面ABC，OA，OB⊂平面ABC，
所以PO⊥OA，PO⊥OB，
所以OA＝OB＝
＝＝4.
易得在△AOB中，∠OAB＝∠ABO＝30°，
所以OD＝OAsin 30°＝4×＝2，
AB＝2AD＝2OAcos 30°＝2×4×＝4.
又∠ABC＝∠ABO＋∠CBO＝60°，
所以在Rt△ABC中，AC＝ABtan 60°＝4×＝12.
以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则A(0,0,0)，B(4，0,0)，
C(0,12,0)，
P(2，2,3)，E，
所以AE＝，
AB＝(4，0,0)，AC＝(0,12,0)．
设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，
则
即
令z＝2，则n＝(－1,0,2)．
设平面AEB的法向量为m＝(x，y，z)，
1 1 1
则即
令z＝2，则m＝(0，－3,2)，
1
设平面AEC与平面AEB的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈n，m〉|
＝＝.
则sin θ＝＝，
所以平面AEC与平面AEB夹角的正弦值为.
5．(1)证明 连接BD交AC于点O，因为ABCD是菱形，所以O为BD的中点．连接OF.因
为F为PD的中点，所以OF为△PBD的中位线，所以OF∥PB.
因为OF⊂平面AFC，
PB⊄平面AFC，
所以PB∥平面AFC.
(2)解 过O作Oz∥AP，以O为原点，OB，OC，Oz为x轴、y轴、z轴正方向建立如图所示
的空间直角坐标系．
选条件①：∠ABC＝.
在菱形 ABCD 中，AC⊥BD.
因为AB＝AP＝2，
所以OB＝OD＝2sin ＝，
OA＝OC＝2cos ＝1，
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以AF＝，
AC＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)，
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|
＝＝＝.
选条件②：BD＝AC.
在菱形ABCD 中，BD＝AC，
所以OB＝OC，
所以BC＝＝2OC.
因为AB＝AP＝2，
所以OA＝OC＝1，OB＝OD＝.
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以AF＝，
AC＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，
则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)．
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|＝＝＝.
选条件③：PC与平面ABCD所成的角为.
因为PA⊥平面ABCD，所以∠PCA为PC与平面ABCD所成的角，
即∠PCA＝.
在Rt△PAC中，由∠PCA＝，
可得PA＝CA＝2.
所以OA＝OC＝1，OB＝OD＝.
所以O(0,0,0)，A(0，－1,0)，
C(0,1,0)，F.
所以AF＝，
AC＝(0,2,0)．
设平面ACF的法向量为n＝(x，y，z)，则
不妨令x＝2，则n＝(2,0，)．
显然m＝(0,0,1)为平面ACD的一个法向量．
设平面ACF与平面ACD的夹角为θ，
所以cos θ＝|cos〈m，n〉|
＝＝＝.
6．(1)证明 在正方形ABCD中，
AD∥BC，
因为AD⊄平面PBC，
BC⊂平面PBC，
所以AD∥平面PBC，
又因为AD⊂平面PAD，平面PAD∩平面PBC＝l，
所以AD∥l，
因为在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，
所以AD⊥DC，所以l⊥DC，
且PD⊥平面ABCD，所以AD⊥PD，所以l⊥PD，
因为DC∩PD＝D，
所以l⊥平面PDC.
(2)解 以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方向，如图建立空间直角坐标系D－xyz，
因为PD＝AD＝1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，
A(1,0,0)，P(0,0,1)，B(1，1,0)，
设Q(m,0,1)，
则有DC＝(0,1,0)，DQ＝(m,0,1)，PB＝(1,1，－1)，
设平面QCD的法向量为
n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则z＝－m，
所以平面QCD的一个法向量为
n＝(1,0，－m)，则cos〈n，PB〉＝
＝.
根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值等于
|cos〈n，PB〉|＝
＝·
＝·
≤·≤·＝，
当且仅当m＝1时取等号，
所以直线PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为.
§7.8 空间距离及立体几何中的探索问题
1．解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，2,0)，
C(0,4,0)，C (0,4,4)，
1
∵N是CC 的中点，
1
∴N(0,4,2)．
(1)AN＝(0,4,2)，AB＝(2，2,0)，
则|AN|＝2，
|AB|＝4.
设点N到直线AB的距离为d，
1
则d＝＝＝4.
1
(2)设平面ABN的法向量为n＝(x，y，z)，
则由n⊥AB，n⊥AN，
得
令z＝2，则y＝－1，x＝，
即n＝.
易知C1N＝(0,0，－2)，设点C 到平面ABN的距离为d，
1 2
则d＝＝＝.
2
2．(1)证明 ∵AA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，
1
∴AA⊥AB，AA⊥AC，而 AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，设 AM＝a，
1 1 1
a∈[0,1]，
则A(0,0,0)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，B(1,0,1)，M(0，a,1)，
1 1
BM＝(－1，a,1)，AB1＝(1,0,1)，
∵BM·AB1＝0，∴BM⊥AB1，∴BM⊥AB.
1
(2)解 设平面BCM的法向量n＝(x，y，z)，
由(1)知BM＝(－1，a,1)，BC＝(－1,1,0)，AB1＝(1,0,1)，
∴
取x＝1，得n＝(1,1,1－a)，
∵直线AB 与平面BCM所成的角为，
1
∴sin ＝＝＝，
解得a＝，∴n＝，
∵A1B＝(1,0，－1),
∴点A 到平面BCM的距离d＝＝＝.
1
3．(1)证明 ∵△ABC，△ECD是全等的正三角形，∴CD＝BC，
∵BD＝BC，
∴BD2＝BC2＋DC2，∴BC⊥DC，
∵平面ECD⊥平面BCD，且平面ECD∩平面BCD＝CD，
∴BC⊥平面ECD，
∵DE⊂平面ECD，∴BC⊥ED.
(2)解 A，B，D，E四点共面．理由如下，
如图，分别取BC，DC的中点M，N，连接AM，EN，MN，
∵△ABC是等边三角形，
∴AM⊥BC，AM＝BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD＝BC，
∴AM⊥平面BCD，
同理EN⊥平面BCD，
且EN＝CD ＝BC，
∴AM∥EN，且AM＝EN，
∴四边形AMNE是矩形，
∴AE∥MN，又MN∥BD，
∴AE∥BD，∴A，B，D，E四点共面．
4．(1)证明 ∵△ABC是正三角形，E为AC的中点，
∴BE⊥AC.
又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE.
∵PA∩AC＝A，
PA，AC⊂平面PAC，
∴BE⊥平面PAC.
∵BE⊂平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAC.
(2)解 存在．
由(1)及已知得PA⊥BE，
PA⊥AC，
∵点E，F分别为AC，PC的中点，
∴EF∥PA，
∴EF⊥BE，EF⊥AC.
又BE⊥AC，
∴EB，EC，EF两两垂直．以E为坐标原点，以EB，EC，EF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所
示，
则A(0，－2,0)，P(0，－2,2)，
B(2，0,0)，C(0,2,0)，
BP＝(－2，－2,2)，
AB＝(2，2,0)．
设BG＝λBP＝(－2λ，－2λ，2λ)，
λ∈[0,1]，
∴AG＝AB＋BG＝(2(1－λ)，
2(1－λ)，2λ)，
BC＝(－2，2,0)，PC＝(0,4，－2)，
设平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝，z＝2，
∴n＝(1，，2)．
由已知得＝，
即＝，
解得λ＝或λ＝(舍去)，
故λ＝，∴存在满足条件的点G，点G为PB的中点．
5．(1)证明 ∵AB∥CD，AB⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，
∴AB∥平面PDC.
(2)解 ∵ABCD是直角梯形，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝5，AD＝4，
DC＝3，
∴BC＝＝2，又PB＝PC＝3，∴点P到直线BC的距离为＝2，
∵平面PBC⊥平面ABCD，
∴点P到平面ABCD的距离为2.
以D为原点，以DA，DC及平面ABCD过D的垂线为坐标轴建立空间直角坐标系(图略)．
∴A(4,0,0)，B(4,5,0)，C(0,3,0)，
P(2,4,2)，
∴PB＝(2,1，－2)，AB＝(0,5,0)，CB＝(4,2,0)，
设平面APB的法向量为
m＝(x，y，z)，
1 1 1
平面PBC的法向量为n＝(x，y，z)，
2 2 2
则
令x＝1，x＝1可得m＝(1,0,1)，
1 2
n＝(1，－2,0)，
设平面APB与平面PBC的夹角为θ，
则cos θ＝|cos〈m，n〉|＝
＝＝.
∴平面APB与平面PBC夹角的余弦值为.
(3)解 假设棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，
设CQ＝λCB＝λ(4,2,0)
＝(4λ，2λ，0)，λ∈[0,1]，
∴Q(4λ，2λ＋3,0)，
∴AQ＝(4λ－4,2λ＋3,0)，
由(2)知平面PBA的一个法向量为
m＝(1,0,1)，
∴点Q到平面PBA的距离
d＝＝＝，
∴|4λ－4|＝，∴λ＝1－，
∴棱BC上存在点Q到平面PBA的距离为，
＝1－.
6．解 建立如图所示的空间直角坐标系，
根据题意设点
P(0，t,2)，
0≤t≤2，
则E(1,1,0)，
F(2,2,1)，
C(0,2,0)，(1)PE＝(1,1－t，－2)，
EF＝(1,1,1)，CF＝(2,0,1)，
设平面CEF的法向量为
m＝(x，y，z)，
则
令x＝1，得z＝－2，y＝1，
∴m＝(1,1，－2)，
若存在满足题意的点P，
则PE∥m，
∴＝1，∴t＝0，满足0≤t≤2，即P与D 重合时，PE⊥平面EFC，此时C P＝2.
1 1
(2)易知平面BCC B 的法向量为
1 1
n＝(0,1,0)，
设平面PEF的法向量为
r＝(x，y，z)，
0 0 0
又PF＝(2,2－t，－1)，
PE＝(1，1－t，－2)，
∴
令y＝1，则x＝－1，z＝－，
0 0 0
∴r＝，
设平面BCC B 与平面PEF的夹角为θ，
1 1
则cos θ＝|cos〈n，r〉|
＝
＝，0≤t≤2，
∴当t＝时，(cos θ) ＝，
max
(sin θ) ＝.
min
此时C P＝2－＝.
1
§7.9 空间动态问题突破
1．D
2．AC [在长方体ABCD－ABC D 中，AB＝C D ，DD ＝BB ，BC ＝AD，连接C E，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
AC ，EF，
1当点E，F分别是棱DD ，BB 的中点时，
1 1
由勾股定理得AE＝，C F＝，
1
故AE＝C F，
1
同理可得AF＝C E，
1
故四边形AECF是平行四边形，
1
所以在点F运动的过程中，直线FC 可能与AE平行，AC 与EF相交，A正确，B错误；
1 1
以C 为坐标原点，C D，C B，C C所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直
1 1 1 1 1 1
角坐标系，
则当点E，F分别是棱DD ，BB 中点且几何体ABCD－ABC D 为正方体时，
1 1 1 1 1 1
设棱长为2，延长AE，AD 交于点M，延长AF，AB 交于点N，
1 1 1 1
连接MN，
则C (0,0,0)，M(2，－2,0)，
1
N(－2,2,0)，
则C1M＝(2，－2,0)，
NC1＝(2，－2,0)，
则C1M＝NC1，
又两向量有公共点C ，
1
所以C ，M，N三点共线，
1
故点C 可能在直线PQ上，C正确，D错误．]
1
3．C
4．AB [设A′D＝a，则DB＝2－a，A′E＝，EC＝2－a，BC2＋CE2＝BE2，A′B2＝A′E2
＋BE2，
cos∠A′DB＝＝－是定值，∴∠A′DB的大小不会发生变化，故A正确；
由三垂线法作出二面角A′－BD－C的平面角，可知其大小为定值，故B正确；设A′E＝x，则CE＝2－x(0<x<2)，则V ＝V ＝×BC·CE·A′E＝(2－x)x
三棱锥A′－BCE 三棱锥B－A′CE
＝(2x－x2)(0<x<2)，
由二次函数的单调性，可知V先变大后变小，故C错误；A′B与DE所成的角先变小后变
大，故D错误．]
5．A
6．D [因为E，F分别为DC，AC的中点，所以EF∥DA，所以直线DA与直线MB所成的
角等于直线EF与BM所成的角．
在等腰△BEF中，直线EF与BM所成的角随着x的增大先增大，再减小，当M运动到EF中
点时取到最大值，故A，B选项说法错误；
设 M 点到平面 ABD 的距离为 d，直线 DM 与平面 ABD 所成的角为 α，则 sin α＝.因为
EF∥AD，EF⊄平面ABD，AD⊂平面ABD，
所以EF∥平面ABD，所以随着x的增大，d保持不变，MD在增大，所以sin α的值在减小，
即α随着x的增大而减小，故C选项说法错误，D选项说法正确．]
7．AC [如图所示，对于A，根据正方体的性质可知，MD⊥平面ABCD，所以∠MND为
MN与平面ABCD所成的角，若∠MND＝，则DN＝DM＝DD ＝×4＝2，所以点N的轨迹为
1
以D为圆心，2为半径的圆，故A正确；
对于B，在Rt△MDN中，DN＝＝＝2，取MD的中点E，连接PE，因为P为MN的中点，
所以PE∥DN，且PE＝DN＝，因为DN⊥ED，所以PE⊥ED，即点P在过点E且与DD 垂
1
直的平面内，又PE＝，所以点P的轨迹为以为半径的圆，其面积为π·()2＝3π，故B不正确；
对于C，连接NB，因为BB⊥平面ABCD，所以BB⊥NB，所以点N到直线BB 的距离为
1 1 1
NB，因为点N到点B的距离等于点N到定直线CD的距离，又B不在直线CD上，所以点N
的轨迹为以B为焦点，CD为准线的抛物线，故C正确；
对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD 所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间
1
直角坐标系，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D(0,0,4)，设N(x，y,0)，
1
则AB＝(0,4,0)，
D1N＝(x，y，－4)，
因为DN与AB所成的角为，
1
所以|cos〈AB，D1N〉|＝cos ，所以＝，整理得－＝1，所以点N的轨迹为双曲线，故D错误．]
8．B [如图，在PC上取点M′，使得PM＝PM′，连接NM′，则MN＝M′N，AN＋MN
＝AN＋M′N，
则当A，N，M′三点共线时，AN＋M′N最小，为AM′，当AM′⊥PC时，AM′取得最
小值，即AN＋NM′的最小值．
因为此时M恰为PD的中点，所以M′为PC的中点，所以PA＝AC＝2，因此PO＝＝.
易知外接球的球心在四棱锥内部，
设外接球的半径为r，
则r2＝(－r)2＋1，解得r＝，
因此外接球的表面积
S＝4πr2＝.]
9．2
10．①②④
解析 如图所示，由CC ⊥底面ABC，知AC⊥CC ，又AC⊥CB，CC ∩CB＝C，CC ⊂平面
1 1 1 1
BCC B，CB⊂平面BCC B，所以AC⊥平面BCC B，又BC ⊂平面BCC B，
1 1 1 1 1 1 1 1 1
故AC⊥BC ，故①正确；
1
设 BC 与 BC 交于点 M，取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD∥AC ，MD⊂平面 CDB ，
1 1 1 1
AC ⊄平面CDB 所以AC ∥平面CDB ，故②正确；
1 1 1 1
当CD⊥AB时，因为AA∥CC ，CC ⊥底面ABC，CD⊂平面ABC，所以CD⊥AA，
1 1 1 1
AA∩AB＝A，AA ，AB⊂平面AABB，所以CD⊥平面AABB，因为CD⊂平面CDB ，故
1 1 1 1 1 1 1
平面CDB ⊥平面AABB，故③不正确；
1 1 1
设点C到平面ABD的距离为h，则 ，
1 1
因为四边形ABBA面积为定值，h为定值，所以三棱锥A－CDB 的体积是定值，故④正确．
1 1 1 1第八章 直线和圆、圆锥曲线
§8.1 直线的方程
1．A 2.A 3.C 4.C 5.C 6.A
7．ABC
8．ABC [当直线经过原点时，
斜率为k＝＝2，
所求的直线方程为y＝2x，
即2x－y＝0；
当直线不过原点时，
设所求的直线方程为x±y＝a，
把点A(1,2)代入可得1－2＝a或1＋2＝a，
求得a＝－1或a＝3，故所求的直线方程为x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.
综上，所求的直线方程为 2x－y＝0，x－y＋1＝0或x＋y－3＝0.]
9.
10．3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0
11．(0，－2) [1,3]
12．x＋1＝0或x－y＋1＝0
解析 直线l 的倾斜角β∈[0，π)且tan β＝，则β＝，
1
因为所求直线与直线l 的夹角为，
1
所以所求直线的倾斜角为或，
当所求直线的倾斜角为时，直线为x＝－1；
当所求直线的倾斜角为时，直线为y＝(x＋1)，
故直线为x－y＋1＝0.
综上，所求直线为
x＋1＝0或x－y＋1＝0.
13．BCD [A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为
(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)，则直线l的方程为＋＝1，故B对；C中，直线过原点时方程为y
＝x，不过原点时方程为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为＋＝1，故D对．]
14．(－∞，1] ∪
解析 因为直线l经过A(2,1)，B(1, m2)两点，
所以l斜率k＝＝1－m2≤1，所以l斜率的取值范围为(－∞，1]，
设其倾斜角为α，α∈[0，π)，
则tan α≤1，
所以其倾斜角的取值范围为∪.
15．D [由题意知，动直线x＋my＋1＝0过定点A(－1,0)，
动直线mx－y－2m＋3＝0可化为
(x－2)m＋3－y＝0，令
可得B(2,3)，
又1×m＋m×(－1)＝0，所以两动直线互相垂直，且交点为P，
所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝(－1－2)2＋(0－3)2＝18，
因为≥2，
所以|PA|＋|PB|≤＝＝6，当且仅当|PA|＝|PB|＝3时取等号．]
16．16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为＋＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故＋＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a<0，b<0.
根据基本不等式ab＝－2(a＋b)≥4，从而≥4，故ab≥16，当且仅当a＝b＝－4时取等号，
即ab的最小值为16.
§8.2 两条直线的位置关系
1．C 2.D 3.D 4.B 5.C 6.A
7．AC [由条件可知直线l平行于直线AB或过线段AB的中点，
当直线l∥AB时，因为直线AB的斜率为＝－4，
所以直线l的方程是
y－2＝－4(x－1)，
即4x＋y－6＝0；
当直线l经过线段AB的中点(3，－1)时，
l的斜率为＝－，
此时l的方程是y－2＝－(x－1)，
即3x＋2y－7＝0.]8．BC [对于A，当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝m(m为直线与x轴交点的横坐标)，
此时直线l 或l 的方程无法表示，故A错误；
1 2
对于B，当p＝k且q＝b时，两直线重合，此时两直线有无穷多个交点，故B正确；
对于C，当p＝k且q≠b时，l∥l，故C正确；
1 2
对于D，记l 与l 的交点为M，则M的坐标满足l：y＝px＋q且满足l：y＝kx＋b，则y－px
1 2 1 2
－q＋λ(y－kx－b)＝0不表示过点M的直线l，故D错误．]
2
9．2x＋y－10＝0 10.－2
11．(－8，－3)
解析 设点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点为A(a，b),
由对称性知，直线x＋y＋1＝0与线段PA垂直，所以k ＝＝1，
PA
所以a－b＝－5，又线段PA的中点在直线
x＋y＋1＝0上，
即＋＋1＝0,
所以a＋b＝－11，
由得
所以点P(2,7)关于直线x＋y＋1＝0的对称点的坐标为(－8，－3)．
12．－1或或－2
解析 由题意可得，①当l∥l 时，不能构成三角形，
3 1
此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；
②当l∥l 时，不能构成三角形，
3 2
此时a×3＝4×2，解得a＝；
③当l 过l 与l 的交点时，不能构成三角形，此时
3 1 2
联立l 与l，得
1 2
解得
所以l 与l 的交点为(－2,1)，
1 2
将(－2,1)代入l，
3
得a×(－2)＋2×1－6＝0，
解得a＝－2，
综上，当a＝－1或或－2时，不能构成三角形．
13．AD [若l∥l，则4a＝3×8，
1 2
∴a＝6，故A正确；
由A知，l：6x＋8y－11＝0，直线l 的方程可化为6x＋8y＋24＝0，
2 1
故两条平行直线之间的距离为＝，故B不正确；
若l⊥l，则3a＋4×8＝0，
1 2∴a＝－，故C不正确；
由A知，当a＝6时，l∥l，
1 2
∴若a≠6，则直线l，l 一定相交，故D正确．]
1 2
14．2x－y－5＝0
解析 ∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，
直线AC与直线BC关于y＝x对称．A(－3,1)关于x＝0的对称点A′(3,1)在直线BC上，A(－
3,1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程为2x－
y－5＝0.
15．x－2y＋4＝0
解析 如图，由题意知点B在原点O的右侧，直线BC一定过点A(6,1)关于x轴的对称点
(6，－1)，且一定过点D(4,4)关于y轴的对称点(－4,4)，所以BC所在直线的方程为y－4＝(x
＋4)，即x＋2y－4＝0，
令x＝0，则y＝2，
所以C点坐标为(0,2)，
所以CD所在直线的方程为
y＝x＋2，即x－2y＋4＝0.
16．6
解析 以A为坐标原点，平行于l 的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
1
设B(a，－2)，
C(b,3)．
∵AC⊥AB，∴AC·AB＝0，
即ab－6＝0，∴ab＝6，b＝.
Rt△ABC的面积S＝·＝·＝≥×＝6(当且仅当a2＝4时取等号)．
∴△ABC的面积的最小值为6.§8.3 圆的方程
1．D 2.A 3.C 4.A 5.C 6.D
7．(－2，－4) 5
8．x2＋y2＝2(除去点(1,1)和点(－1，－1))
9．解 设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，
则D.
又k ＝－3，所以k ＝，
AB m
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由
得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|
＝＝5，
所以圆C的方程为
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
设点M(x，y)，Q(x，y)．
0 0
因为点P的坐标为(5,0)，
所以即
又点Q(x，y)在圆C：
0 0
(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x＋3)2＋(y＋2)2＝25，
0 0
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.
10．解 (1)由题意知AB的中点坐标为，k ＝＝1，
AB
∴AB的垂直平分线为y＝5－x，
联立
解得
即圆C 的圆心坐标为(2,3)，半径r＝1，
1
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)注意到点C (2,3)和点C (－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
1 2
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示．∴|PM|＋|PN|≥|PC |－1＋|PC |－3≥|C C |－4＝－4，
1 2 1 2
当且仅当M，N，P在线段C C 上时取等号，
1 2
此时点P为直线C C 与x＋y＝0的交点，
1 2
过C ，C 的直线方程为7x－5y＋1＝0，
1 2
联立
解得
∴点P的坐标为.
11．D [圆x2＋y2－4x＋4y＝0，即(x－2)2＋(y＋2)2＝8，圆心为(2，－2)，
依题意，点(2，－2)在直线ax－by－6＝0上，
则有2a－(－2)b－6＝0，整理得a＋b＝3，而a>0，b>0，
于是得＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时取“＝”，
所以＋的最小值为4.]
12．ABD [由题意可得圆的标准方程是(x－1)2＋(y－2)2＝10－a，
圆心为(1,2)，半径为r＝(a<10)，
圆心到已知直线的距离为d＝＝4，
则圆心到与直线3x－4y－15＝0平行且距离为1的直线的距离分别为3和5，
由题意得3<<5，
解得－15<a<1.]
13．AB [∵圆M与直线x＋y＋2＝0相切于A(0，－2)，
∴直线AM与直线x＋y＋2＝0垂直，∴直线AM的斜率为1，则点M在直线y＝x－2，即x－y
－2＝0上，故A正确；
设M(a，a－2)，∴圆M的半径r＝|AM|＝＝|a|，
∵圆M被x轴截得的弦长为2，
∴2＝2＝2，解得a＝－5或a＝1.
当a＝－5时，圆M的面积最大，为πr2＝50π，故B正确；
当a＝1时，圆M的半径最小，为，故C错误；
满足条件的所有圆M的半径之积为5×＝10，故D错误．]
14．C [设以经过点A，B的直线为x轴，AB的方向为x轴正方向，以线段AB的垂直平分
线为y轴，线段AB的中点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．则A(－1,0)，B(1,0)．
设P(x，y)，∵＝，
∴＝，
两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，即点P的轨迹为(x－3)2＋y2＝8.
要使△PAB的面积最大，只需点P到AB(x轴)的距离最大，
此时面积为×2×2＝2.]
§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．B 2.B 3.D 4.BC 5.C 6.AB
7．2 8.(x－2)2＋(y－1)2＝5
9．解 两圆的标准方程分别为
(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2
＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1,3)，(5,6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
＝＋.
解得m＝25＋10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，
即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为
2×
＝2.
10．(1)证明 转化l的方程(m－2)x＋(1－m)y＋m＋1＝0，
可得m(x－y＋1)－2x＋y＋1＝0，
由解得
所以直线l恒过点(2,3)，由(2－3)2＋(3－4)2＝2<4，
得点(2,3)在圆内，
即直线l恒过圆内一点，
所以无论m为何值，直线l都与圆C相交．
(2)解 由C的圆心为(3,4)，半径r＝2，
易知此时直线m的斜率存在且不为0，
故设直线m的方程为
x＝my＋1(m≠0)，
直线m的一般方程为my－x＋1＝0，
圆心到直线m的距离
d＝＝，
所以|AB|＝2
＝2，
所以S2＝2
＝·，
令t＝，可得S2＝4t－t2，
当t＝2时，S＝4，
所以△ABC面积的最大值为2，
此时由2＝，
得7m2－8m＋1＝0，
得m＝1或m＝，符合题意，
此时直线m的方程为x－y－1＝0或7x－y－7＝0.
11．D [点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由题意知，反射光线所在的直线一定
过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－
2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，得＝1，解得k＝－或k＝－.]
12.
解析 因为圆O：x2＋y2＝4与圆C：x2＋y2－x＋y－3＝0相交于A，B两点，
所以直线AB的方程为(x2＋y2－4)－(x2＋y2－x＋y－3)＝0，
即x－y－1＝0，所以圆心O(0,0)到弦AB的距离为d＝，
所以|AB|＝2＝，
所以在△AOB中，|OA|＝|OB|＝2，由余弦定理得cos∠AOB＝＝－，
所以sin∠AOB＝＝＝.
13．ACD [设圆(x－5)2＋(y－5)2＝16的圆心为M(5,5)，由题易知直线AB的方程为＋＝1，
即x＋2y－4＝0，则圆心M到直线AB的距离d＝＝>4，所以直线AB与圆M相离，所以点P
到直线AB的距离的最大值为4＋d＝4＋，因为4＋<5＋＝10，故A正确．
易知点P到直线AB的距离的最小值为d－4＝－4，－4<－4＝1，故B不正确．
过点B作圆M的两条切线，切点分别为 N，Q，如图所示，连接 MB，MN，MQ，则当
∠PBA最小时，点P与N重合，
|PB|＝＝＝3，当∠PBA最大时，点P与Q重合，|PB|＝3，故C，D都正确．]
14．B [圆C ：x2＋y2＝9的圆心为原点O(0,0)，半径r＝3，
1 1
依题意，得圆C 的圆心C 在圆C 内，设半径为r，如图，
2 2 1 2
因为圆C 与圆C 内切，则|OC |＝r－r，
2 1 2 1 2
即r＝r－|OC |，而点C 在线段AB上，
2 1 2 2
过O作OP⊥AB于P，
则|OP|＝＝1，
显然|OC |≥|OP|，当且仅当点C 与点P重合时取“＝”，
2 2
所以(r) ＝r－|OP|＝3－1＝2，
2 max 1
即圆C 的半径的最大值是2.]
2
§8.5 椭 圆
1．D 2.B 3.B 4.A
5．CD [设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，半焦距为c，椭圆长轴在圆柱底面上的投影为圆柱底面圆直径，
则由截面与圆柱底面成锐二面角θ＝得2a＝＝8，解得a＝4，A不正确；
显然b＝2，则c＝＝2，离心率e＝＝，B不正确；
当以椭圆长轴所在直线为y轴，短轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系时，椭圆的标准方
程为＋＝1，C正确；
椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a－c＝4－2，D正确．]
6．ABD [由椭圆C：＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，
过点F 的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF 的周长为4a＝8，故A正确；
2 1
因为c>b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，
使得∠FPF＝90°，即使得PF1·PF2＝0，故B正确；
1 2
椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；
因为P为椭圆＋y2＝1上一点，Q为圆x2＋y2＝1上一点，当点P，Q的坐标为P(2,0)，
Q(－1,0)或P(－2,0)，Q(1,0)时，点P，Q的距离最大，|PQ| ＝2＋1＝3，故D正确．]
max
7.＋y2＝1 8.＋＝1 1
9．解 (1)由题意得，A(－a,0)，
直线EF 的方程为x＋y＝c，
2
因为A到直线EF 的距离为b，
2
即＝b，所以a＋c＝b，
即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2－c2，
所以(a＋c)2＝3(a2－c2)，
所以2c2＋ac－a2＝0，
即2e2＋e－1＝0，
解得e＝或e＝－1(舍)，
所以椭圆C的离心率为.
(2)由(1)知离心率e＝＝，
即a＝2c，①
因为∠FPF＝60°，△PFF 的面积为，
1 2 1 2
则|PF||PF|sin 60°＝，
1 2
所以|PF||PF|＝4，
1 2
由方程组
得a2－c2＝3，②
联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，所以椭圆C的标准方程为
＋＝1.
10．(1)解 不妨设椭圆的方程为
＋＝1(a>b>0)，焦距为2c.
在△FPF 中，由余弦定理得，
1 2
cos 60°＝
＝，
即＝，
所以|PF|·|PF|＝4a2－2|PF|·|PF|－4c2，
1 2 1 2
所以3|PF|·|PF|＝4b2，
1 2
所以|PF|·|PF|＝.
1 2
又因为|PF|·|PF|≤2＝a2，
1 2
当且仅当|PF|＝|PF|＝a时，等号成立，
1 2
所以3a2≥4(a2－c2)，
所以≥，
所以e≥.
又因为0<e<1，
所以所求椭圆的离心率的取值范围是.
(2)证明 由(1)可知|PF|·|PF|＝，
1 2
所以 ＝|PF|·|PF|sin 60°
1 2
＝××
＝，
所以△FPF 的面积只与椭圆的短轴长有关．
1 2
11．ACD [根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；
根据面积守恒定律，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度
最小，B不正确；
＝＝－1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C正确；
当卫星在左半椭圆弧上运行时，对应的速度更慢，根据面积守恒定律，则运行时间更长，D
正确．]
12.
解析 由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2.
如图，因为O，M分别是FF 和PF 的中点，所以|PF|＝2|OM|＝2|OF|＝2c＝4，根据椭圆
1 2 1 2 2
定义，可得|PF|＝2a－2c＝2，又因为|FF|＝2c＝4，
1 1 2所以cos∠PFF＝
2 1
＝＝，
所以sin∠PFF
2 1
＝＝，
故△PFF 的面积为|PF|·
1 2 2
|FF|·sin∠PFF＝.
1 2 2 1
13．AC [椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F(－1,0)，F(1,0)，
1 2
因为M为椭圆C上一点，
所以＋＝1，
解得|y|＝，
0
所以|MF |＝＝，|MF |＝4－＝.
1 2
所以△MF F 的周长为2a＋2c＝4＋2＝6，A正确；
1 2
△MF F 的面积为×2c×|y|＝c×|y|＝1×＝，B错误；
1 2 0 0
设△MF F 的内切圆的半径为r，则×6×r＝，解得r＝，C正确；
1 2
cos∠FMF ＝＝>0，∠FMF 为锐角，
1 2 1 2
则sin∠FMF ＝＝，
1 2
所以△MF F 的外接圆的直径为＝＝＝，D错误．]
1 2
14.
解析 如图，过M作切线l的垂线交AB于N，过A，O，B分别作l垂线交l于A ，O ，
1 1
B，由光学性质可知MN平分∠AMB，∠BMB＝∠AMA，
1 1 1
则∠AAM＝∠AMN＝∠BMN
1
＝∠BBM，
1
因为cos∠AMB＝－，
故cos(π－∠AMB)＝cos 2∠AMA＝1－2sin2∠AMA＝，
1 1
所以sin∠AMA＝，
1
|OO |＝(|AA|＋|BB|)
1 1 1＝(|AM|sin∠AMA＋|BM|·sin∠BMB)＝×20×＝.
1 1
§8.6 双曲线
1．B 2.C 3.D 4.B
5．CD [双曲线C：－x2＝1焦点在y轴上，a＝，b＝1，c＝＝2.
对于A选项，||PF|－|PF||＝2a＝2，而P点在哪支上并不确定，故A错误；
1 2
对于B选项，焦点在y轴上的双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B错误；
对于C选项，e＝＝＝，故C正确；
对于D选项，设P(x，y)(x∈R)，
则|PO|＝＝＝≥(当且仅当x＝0时取等号)，
因为O为FF 的中点，所以|PF1＋PF2|＝|2PO|＝2|PO|≥2，故D正确．]
1 2
6．BC [因为|PQ|＝|PF|，
2
所以由双曲线定义知，|PF|－|PF|＝|QF|＝2a，|QF|－|QF|＝2a，
1 2 1 2 1
所以|QF|＝4a，
2
又PQ＝2QF，
1
所以|PQ|＝|PF|＝4a，
2
故△PQF 是等边三角形．在△PFF 中，由余弦定理得，
2 1 2
cos∠FPF＝
1 2
＝＝，
则＝＝7，
即＝，
故C的渐近线方程为y＝±x.]
7．y＝±x 8.
9．解 (1)因为双曲线C：x2－＝1(b>0)的渐近线方程为y＝±bx，而它的一条渐近线方程为y
＝2x，
所以b＝2，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)因为PF⊥PF，
1 2
所以 ＝|PF|·|PF|，
1 2
因为△PFF 的面积为9，
1 2
所以|PF|·|PF|＝18，
1 2
又因为||PF|－|PF||＝2a＝2，
1 2所以|PF|2－2|PF|·|PF|＋|PF|2＝4，
1 1 2 2
所以|PF|2＋|PF|2＝40，
1 2
又因为|PF|2＋|PF|2＝|FF|2＝4c2，
1 2 1 2
所以c2＝10，
由a2＋b2＝c2，得1＋b2＝10，
所以b＝3.
10．(1)解 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
双曲线焦距为2c，实轴长为2a，
则2c＝2a，即c＝a，
∴b2＝c2－a2＝a2，
∴双曲线方程为x2－y2＝a2，
将(4，－)代入得，a2＝16－10＝6，
∴双曲线的标准方程为－＝1.
(2)证明 由(1)知，F(－2，0)，F(2，0)，
1 2
∵M(3，m)在双曲线上，
∴9－m2＝6，即m2＝3，
以FF 为直径的圆为x2＋y2＝12，
1 2
将M(3，m)代入得9＋3＝12，
∴M在以FF 为直径的圆上．
1 2
(3)解 由(2)知，点M坐标为(3，)或(3，－)，
∵点M在第一象限，
∴M的坐标为(3，)，直线MF 的方程为y－＝(x－3)＝－(2＋)(x－3)，
2
即y＝(－2－)x＋(6＋4)，
代入双曲线方程整理可得(6－4)y2－4(2－)y＋6＝0，
∵M的纵坐标为，
∴N的纵坐标为＝＝－(＋2)，
∴△FMN的面积为S＝|FF|·(＋＋2)＝2×(2＋2)＝12＋4.
1 1 2
11．A [在椭圆＋＝1中，
c＝＝2，
∴焦距2c＝4.
∵C的一条渐近线方程为x－y＝0，
∴设C的方程为－y2＝λ(λ≠0)，化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝2，解得λ＝1，则C的方程为－y2＝1；当λ<0时，c＝＝2，解得λ＝－1，则C的方程为y2－＝1.
综上，C的方程为－y2＝1或y2－＝1.]
12．C [过点A作AF⊥x轴，垂足为F，过点B作BE⊥x轴，垂足为E，如图所示．
设A(x，y)，B(x，y)，则|OB|＝|OF|＝c，
1 1 2 2 2
由渐近线的方程y＝x可知
y＝x，
2 2
在Rt△OBE中，x＋x＝c2，
解得x＝a(舍负)，
2
由已知得x∶x＝∶，
1 2
即x＝a，
1
即|AF|2＝c2－2＝c2－a2，
因为离心率e>，
所以c2－a2>0，
则点A的坐标为
，
代入双曲线方程可得
－＝1，
化简得2a2＝c2，
即e＝.]
13．B [如图，
设B(m，n)，
则C(－m，－n)，
易知A(a,0)，
F(c,0)，由M为线段BF的中点得
M，
又M在直线CA上，
故CA，AM共线，
又CA＝(a＋m，n)，AM＝，
故(a＋m)·＝n·，
整理得c＝3a，
故离心率e＝＝3.]
14．ACD [由题意知|PF|－|PF|＝2a，a2＋1＝c2，则|PF|2－2|PF|·|PF|＋|PF|2＝4a2，所以
1 2 1 1 2 2
有|PF|2＋|PF|2＝4a2＋4＝4c2＝|FF|2，从而PF1⊥PF2，即PF1·PF2＝0，故A正确；
1 2 1 2
在△PFF 中，由正弦定理得＝，则＝＝，解得|PF|＝|PF|.
1 2 1 2
又|PF|－|PF|＝2a，所以|PF|＝>c－a，整理得c2－2ac－a2<0，所以e2－2e－1<0，解得
1 2 2
1<e<＋1，故B错误；
当直线PQ⊥x轴时，|PQ|的最小值为，
|PF|＋|QF|＋|PQ|＝2a＋|PF|＋2a＋|QF|＋|PQ|＝4a＋2|PQ|＝4a＋≥8(当且仅当a＝1时取等
1 1 2 2
号)，故C正确；
设P(x ，y)，过点P的双曲线E的切线方程为x－yy＝1，E的渐近线方程为y＝±x，不妨设
0 0 0
切线x－yy＝1与渐近线y＝x的交点为A，联立方程组解得
0
即A，
同理可得B.
又因为点P在双曲线E上，则有－y＝1，x ＋x ＝＋＝2x ，故点P是AB的中点．设切线x
A B 0
－yy＝1与x轴的交点为G，易知G，所以S ＝·|y －y|＝·＝，所以S ＝2S ＝a，
0 △AOP A 0 △AOB △AOP
故D正确．]
§8.7 抛物线
1．A 2.D 3.D 4.B
5．ACD [由焦点F到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知p＝4，故A正确；
则抛物线的方程为y2＝8x，
焦点F(2,0)，故B错误；
则y＝8x，y＝8x，
1 2
若M(m,2)是线段AB的中点，
则y＋y＝4，∴y－y＝8x－8x，
1 2 1 2即＝＝＝2，
∴直线l的方程为y＝2x－4，故C正确；
又由y＋y＝2(x＋x)－8＝4，
1 2 1 2
得x＋x＝6，
1 2
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x＋x＋4＝10，故D正确．]
1 2
6．BD [点A(a>0)，B(a，b)(b>0)在抛物线C上，
则解得
则抛物线C：y2＝x，A，
B(，)，
抛物线C的准线方程为x＝－，
故A错误，B正确；
OA·OB＝×＋1×＝1＋，故C错误；
抛物线C的焦点F，
则|AF|＝＝，
|BF|＝
＝，
则＋＝＋＝，故D正确．]
7．2 8.5 4
9．解 (1)抛物线C：x2＝2py(p>0)的准线方程为y＝－，
焦点为F.
当点A的纵坐标为1时，|AF|＝2，
∴1＋＝2，解得p＝2，
∴抛物线C的方程为x2＝4y.
(2)∵点M(－2，y)在抛物线C上，
0
∴y＝＝1，
0
M坐标为(－2,1)．
又直线l过点F(0,1)，
∴设直线l的方程为y＝kx＋1.
由
得x2－4kx－4＝0.
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝4k，xx＝－4，
1 2 1 2
MA＝(x＋2，y－1)，
1 1MB＝(x＋2，y－1)．
2 2
∵MA⊥MB，
∴MA·MB＝0，
∴(x＋2)(x＋2)＋(y－1)(y－1)＝0，
1 2 1 2
∴－4＋8k＋4－4k2＝0，
解得k＝2或k＝0.
当k＝0时，l过点M，不符合题意，
∴k＝2，
∴直线l的方程为y＝2x＋1.
10．解 (1)由1＋＝2，可得p＝2，
故抛物线的方程为x2＝4y，
当y＝1时，x2＝4，
又因为x>0，所以x＝2，
所以点P的坐标为(2,1)．
(2)由题意可得直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x＋1)＋，A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
由
得x2－4kx－4k－2＝0，
所以Δ＝16k2＋4(4k＋2)>0，x＋x＝4k，xx＝－4k－2，
1 2 1 2
因为∠APB的角平分线与y轴垂直，
所以k ＋k ＝0，
PA PB
所以k ＋k ＝＋＝0，
PA PB
即＋＝0，
即x＋x＋4＝0，
1 2
所以k＝－1，x＋x＝－4，
1 2
xx＝2，
1 2
所以|AB|＝|x－x|＝＝4.
1 2
11．BCD [设抛物线的焦点为F，如图所示，则F.
因为P，且l∥x轴，
1
故A(1,1)，
故直线AF：y＝
＝x－.
由
可得y2－y－＝0，
故yy＝－，故A错误；
1 2
又y＝1，故y＝－，
1 2
故B，
故|AB|＝1＋＋＝，
故B正确；
因为|AP|＝－1＝＝|AB|，
故△APB为等腰三角形，故∠ABP＝∠APB，
而l∥l，故∠PBQ＝∠APB，
1 2
即∠ABP＝∠PBQ，
故PB平分∠ABQ，故C正确；
直线AO：y＝x，由
可得C，故y ＝y，
C 2
所以C，B，Q三点共线，故D正确．]
12．y2＝4x
解析 因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，
所以|MF|＝|MH|＝4，
又∠HFM＝60°，
所以△MHF为正三角形，
所以|HF|＝4，
记准线l与x轴交于点Q，则∠QHF＝30°，
所以p＝|QF|＝|HF|sin∠QHF＝4sin 30°＝2，所以该抛物线方程为y2＝4x.
13．A [设P(x，y)，则y ＝y，
C
∵l ：y＝x，
OB
∴C，
∴E(0，y)，F，
∵FC∥y轴，
∴△OPE∽△FPC，
∴＝，
∴＝，即y2＝4x，
∴P的轨迹方程为y2＝4x在第一象限的部分且0≤x≤9，故A(1,0)为该抛物线的焦点．
设Q(x，y)，则y＝4x，AQ＝(x－1，y)，AO＝(－1,0)，
0 0 0 0 0
∴cos∠OAQ＝＝＝＝－，解得x＝3，∴|AQ|＝x＋＝3＋1＝4.]
0 0
14.
解析 如图所示，作BE⊥l，AD⊥l，
设|AF|＝a，|BF|＝b，
由抛物线定义得
|AF|＝|AD|，|BF|＝|BE|，
在梯形ABED中，
2|MN|＝|AD|＋|BE|＝a＋b，
因为AF⊥AB，∠ABF＝30°，
所以b＝2a，则|MN|＝，
又|AB|＝＝a，
故＝＝.§8.8 直线与圆锥曲线的位置关系
1．C 2.C 3.D
4．C [由C：＋y2＝1可得a＝2，b＝1，所以A(2,0)，B(0,1)，|AB|＝，
所以直线AB的方程为
y＝－x＋1，
设过点P与直线AB平行的直线l：y＝－x＋t，
则直线l与直线AB的距离d＝＝|t－1|，
因为点P为直线l与椭圆的交点， 所以点P到直线AB的距离为d，
因为△PAB的面积是－1,
可得S ＝×|AB|×d＝××|t－1|＝－1，解得t＝或t＝2－，
△PAB
当t＝时，由
可得(x－)2＝0，
解得此时P，
当t＝2－时，
由
可得x2＋(2－4)x＋10－8＝0，
因为Δ＝(2－4)2－4(10－8)＝16(－1)>0，
此时直线l与椭圆有2个交点，此时有2个P点，
所以共有3个P点．]
5．ABD [由
得y2－4ty－16＝0，
则
对于A，yy＝－16为定值，故A正确；
1 2
对于B，kk＝＝＝＝－1为定值，故B正确；
1 2
对于C，y＋y＝4t，不为定值，故C错误；
1 2
对于D，k＋k＋t＝＋＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝＋t＝－t＋t＝0为定值，故D正确．]
1 2
6．AC [由直线l：y＝k(x＋c)过点(－c,0)，知弦AB过椭圆的左焦点F.
1
所以△ABF 的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|＝|AF|＋|BF|＋|AF|＋|BF|＝4a，
2 2 2 1 1 2 2
所以A正确；
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则M，
k ＝，k＝，
OM所以k ·k＝·＝，
OM
由
①－②得＋＝0，
所以＝－，
则k ·k＝＝－，所以B错误；
OM
AF1＝(－c－x，－y)，AF2＝(c－x，－y)，
1 1 1 1
所以AF1·AF2＝x－c2＋y＝x＋a2－2c2∈[a2－2c2，a2－c2]，
则a2－2c2≤3c2≤a2－c2，
可得e＝∈，
所以C正确；
因为过焦点的弦中通径最短，则|AB|的最小值为通径，则有＝3c，即2a2－3ac－2c2＝0，解
得a＝2c，
所以e＝＝，所以D错误．]
7．4 8.5
9．(1)解 因为椭圆的离心率为
e＝＝，长轴长为2a＝4，
解得a＝2，c＝1，则b2＝3，
所以椭圆C的标准方程是
＋＝1.
(2)易知直线的斜率存在，设直线l的方程为
y＝k，
A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率k＝0时，易得在椭圆C上有无数对A，B关于直线y＝0对称；
当k≠0时，有k ＝＝－，
AB
AB中点的坐标为(x，y)，
0 0
则
两式相减得3(x＋x)(x－x)
1 2 1 2
＝－4(y＋y)(y－y)，
1 2 1 2
即3kx＝4y，
0 0
又y＝k，
0
解得x＝1，y＝，
0 0
因为线段AB的中点在椭圆内部，
所以＋<1，
即＋<1，解得－2<k<0或0<k<2，
综上，直线l的斜率k的取值范围为(－2,2)．
10．解 (1)依题意，c＝2，
所以a2＋b2＝4，
则双曲线C的方程为－＝1(0<a2<4)，
将点P(5，)代入上式，
得－＝1，
解得a2＝50(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线的方程为－＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为
y＝kx＋2，
代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
因为直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，
所以
解得(*)
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝，xx＝－，
1 2 1 2
所以|AB|＝·＝·.
又原点O到直线l的距离
d＝，
所以S ＝d·|AB|＝××·＝.
△OAB
又S ＝2，
△OAB
即＝1，
所以k4－k2－2＝0，
解得k＝±，满足(*)．
故满足条件的直线l有两条，
其方程分别为
y＝x＋2和y＝－x＋2.
11．C [设B(x，y)，(x>0，y>0)，由题意得，过点B的切线l的方程为＋yy＝1，
1 1 1 1 1
令y＝0，可得C，
令x＝0，可得D，
所以△OCD面积S＝××＝，
又点B在椭圆上，所以＋y＝1，
所以S＝＝＝＋≥2＝，
当且仅当＝，
即x＝1，y＝时等号成立，
1 1
所以△OCD面积的最小值为.]
12.
解析 如图，由题意得|AF|＝|AM|，|BF|＝|BN|，
所以∠AMF＝∠AFM＝∠MFO，
∠BNF＝∠BFN＝∠NFO，因为∠AFM＋∠MFO＋∠BFN＋∠NFO＝π，
所以∠MFO＋∠NFO＝，
所以MF⊥NF，又|MF|＝|NF|，
所以∠NMF＝，
所以∠MFO＝∠AFM＝，
故∠AFx＝，所以直线AB的斜率为tan＝.
13．A [如图，
分别设M，M，M，M 四点的横坐标为x，x，x，x，
1 2 3 4 1 2 3 4
由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l：
0
x＝－1，
由定义得，|MF|＝x＋1，
1 1
又|MF|＝|MM|＋1，
1 1 2
所以|MM|＝x，
1 2 1
同理|MM|＝x，
3 4 4由消去y，
整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2
＝0(k≠0)，
设M(x，y)，M(x，y)，
1 1 1 4 4 4
则xx＝1，
1 4
即|MM|·|MM|＝1.]
1 2 3 4
14．13
解析 如图，连接AF，DF，EF，
1 2 2
因为C的离心率为，
所以＝，
所以a＝2c，
所以b2＝a2－c2＝3c2.
因为|AF|＝|AF|＝a＝2c
1 2
＝|FF|，
1 2
所以△AFF 为等边三角形，
1 2
又DE⊥AF，
2
所以直线DE为线段AF 的垂直平分线，所以|AD|＝|DF|，|AE|＝|EF|，且∠EFF ＝30°，所
2 2 2 1 2
以直线DE的方程为y＝(x＋c)，代入椭圆C的方程＋＝1，得13x2＋8cx－32c2＝0.设D(x ，
1
y)，
1
E(x，y)，
2 2
则x＋x＝－，xx＝－，
1 2 1 2
所以|DE|＝
＝＝＝6，
解得c＝，所以a＝2c＝，
所以△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF|＋|EF|＋|DE|
2 2
＝4a＝13.§8.9 圆锥曲线压轴小题突破练
1．C 2.B
3．B [由F，N两点的坐标得直线l的斜率k＝1.
∵双曲线一个焦点为(－2,0)，
∴c＝2.
设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，
则a2＋b2＝4.
∵k ＝k ＝1，且k ＝，
AB NF ON
∴k ·k ＝＝，
AB ON
即a2＝3b2，
易得a2＝3，b2＝1，c2＝4，
∴双曲线C的离心率e＝＝.]
4．A [如图，设直线l 的倾斜角为θ，θ∈，
1
则直线l 的倾斜角为＋θ，
2
由抛物线的焦点弦弦长公式知
|AB|＝＝，
|DE|＝＝，
∴|AB|＋|DE|＝＋＝＝≥16，
当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时，等号成立，
即|AB|＋|DE|的最小值为16.]
5．ACD [由x2－＝1，得a2＝1，
b2＝4，则a＝1，b＝2，c＝，
焦点△PFF 的面积公式S＝＝，将θ＝60°代入可知S＝4，故A正确；
1 2
当S＝4时，θ＝90°，
由
可得|PF|＝2，故B错误；
2
当∠FPF ＝90°时，S＝4，当∠PFF ＝90°时，S＝4，因为△PFF 为锐角三角形，所以
1 2 2 1 1 2
S∈(4,4)，故C正确；设G(x，y)，P(x，y)(x>1)，
0 0 0
则x－＝1(x>1)，
0
由题设知F(－，0)，F(，0)，则所以点G的轨迹方程为9x2－＝1，故D正确．]
1 2
6．BD [设P(x，y)，
0 0
所以＋＝1，
因为e＝＝，
所以a＝2c，
所以a2＝b2，
所以 ＝－＝－，
所以A错误；
若PF⊥PF，△PFF 的面积为b2tan ＝b2，
1 2 1 2
所以B正确；
若C上存在四个点P使得PF⊥PF，
1 2
即C上存在四个点P使得△PFF 的面积为b2，
1 2
所以·2c·b>b2，
所以c>b，所以c2>a2－c2，
故e∈，
所以C错误；
若|PF|≤2b恒成立，所以a＋c≤2b，
1
所以a2＋c2＋2ac≤4b2＝4(a2－c2)，
所以5e2＋2e－3≤0，
故0<e≤，
所以D正确．]
7．2－2
解析 方法一 已知＝1，即p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x，
若直线l与x轴重合，则该直线与抛物线只有一个交点，不符合题意；
设直线l的方程为x＝my＋1，
A(x，y)，B(x，y)．
1 1 2 2
联立可得
y2－4my－4＝0，
则
所以＋＝＋＝＋＝
＝
＝＝1.
所以＝1－，
则|AF|－＝|AF|－2＝|AF|＋－2
≥2－2＝2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，
故|AF|－的最小值为2－2.
方法二 因为＝1，所以p＝2，
又＋＝，
所以＋＝1，
所以＝1－，
因为|AF|－
＝|AF|－2
＝|AF|＋－2
≥2－2，
当且仅当|AF|＝时，等号成立，
所以|AF|－的最小值为2－2.
8．(1)6 (2)
解析 因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，
所以球的半径为3 cm，
又因为杯口宽4 cm，
所以|AB|＝4，|C A|＝|C B|＝3，C D⊥AB，
1 1 1
所以|AD|＝|BD|＝2，
所以|C D|＝＝＝1，
1
所以|DE|＝2，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，
故最小距离为|OD|－|DE|＝6，
如图1所示，建立直角坐标系，
易知B(2，8)，
设抛物线的方程为y＝mx2，
所以将B(2，8)代入，得m＝1，
故抛物线方程为y＝x2，图1 图2
当杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，如图2，设玻璃球轴截面所在圆的方程
为
x2＋(y－r)2＝r2，
依题意，需满足抛物线上的点到圆心的距离大于等于半径恒成立，即≥r，
则有x2(x2＋1－2r)≥0恒成立，
解得1－2r≥0，
可得0<r≤.
所以玻璃球的半径的取值范围为.
§8.10 圆锥曲线中求值与证明问题
1．解 (1)∵两焦点与短轴的两个端点的连线构成一个正方形，
∴b＝c，
∵椭圆过点P，
∴＋＝1，又a2＝b2＋c2，
解得a2＝2，b2＝1，
∴椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)∵F(1,0)，设l ：x＝my＋1，
AB
A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
联立方程
得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，
∴
∵AF＝2FB，∴y＝－2y，
1 2
∴
∴22＝，∴m2＝，
∴|AB|＝·|y－y|
1 2
＝·|－3y|
2＝3·＝.
2．证明 (1)由抛物线的性质可得焦点F(2,0)，准线方程为x＝－2，
设A，B，
所以直线AO的方程为y＝x，
由题意可得点C，
设直线AB的方程为x＝my＋2，
联立
整理可得y2－8my－16＝0，
所以yy＝－16，可得y＝－，
1 2 2
所以y ＝y，
C 2
所以BC∥x轴．
(2)因为准线方程为x＝－2，
由题意可得E(－2,0)，
BE＝，
BF＝，
因为BE⊥BF，
所以BE·BF＝0，
即y＋＝0，
解得y＝－32＋16，x＝2－4，
2
由(1)可得xx＝＝＝4，
1 2
所以x＝2＋4，
1
|AF|＝x＋2，|BF|＝x＋2，
1 2
所以可证||AF|－|BF||＝|x－x|＝8.
1 2
3．解 (1)由题意可知
A(－a,0)，B(a,0)，
设M(x，y)，显然－b≤y≤b，
1 1 1
△ABM的面积为
·2a·≤ab，
因为△ABM的面积最大值为2，
所以ab＝2，
又因为椭圆的离心率为，
所以＝，
于是⇒所以椭圆C的标准方程为
＋＝1.
(2)由(1)可知F(1,0)，A(－2,0)，
B(2,0)，
由题意可知直线l的斜率不为零，
所以设直线l的方程为x＝my＋1，与椭圆方程联立，得
⇒(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，
设N(x，y)，
2 2
所以y＋y＝，
1 2
yy＝，
1 2
直线AM的方程为＝，
把x＝t代入方程中，
得y＝，
所以T，
于是k＝
0
＝，k＝，
1
k＝，
2
因为k，k，k 成等差数列，
1 0 2
所以2k＝k＋k⇒2·＝＋，化简得＝，
0 1 2
把x＝my＋1，x＝my＋1代入，化简得
1 1 2 2
6myy＝(t＋5)(y＋y)＋(2t－8)y，
1 2 1 2 2
把y＋y＝，yy＝代入，得
1 2 1 2
＝(2t－8)y，因为m∈R，
2
所以即t＝4.
4．(1)解 由题意得c＝2.①
因为双曲线的渐近线方程为
y＝±x＝±x，
所以＝.②
又c2＝a2＋b2，③
所以联立①②③得a＝1，b＝，
所以双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)证明 由题意知直线PQ的斜率存在且不为0，
设直线PQ的方程为y＝kx＋t(k≠0)，
将直线PQ的方程代入C的方程，
整理得(3－k2)x2－2ktx－t2－3＝0，
则x＋x＝，
1 2
xx＝－>0，
1 2
所以3－k2<0，
所以x－x＝
1 2
＝.
设点M的坐标为(x ，y )，
M M
则
两式相减，得
y－y＝2x －(x＋x)，
1 2 M 1 2
又y－y＝(kx＋t)－(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x－x)，
1 2
所以2x ＝k(x－x)＋(x＋x)，
M 1 2 1 2
解得x ＝；
M
两式相加，得2y －(y＋y)
M 1 2
＝(x－x)，
1 2
又y＋y＝(kx＋t)＋(kx＋t)
1 2 1 2
＝k(x＋x)＋2t，
1 2
所以2y ＝k(x＋x)＋(x－x)＋2t，
M 1 2 1 2
解得y ＝
M
＝x .
M
因此，点M的轨迹为直线y＝x，其中k为直线PQ的斜率．
若选择①②：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－，
B B
所以x ＋x ＝，
A By ＋y ＝.
A B
点M的坐标满足
得x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
故M为AB的中点，
即|MA|＝|MB|.
若选择①③：
当直线AB的斜率不存在时，点M即为点F(2,0)，此时M不在直线
y＝x上，矛盾；
当直线AB的斜率存在时，易知直线AB的斜率不为0，
设直线AB的方程为
y＝m(x－2)(m≠0)，
A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，
B
y ＝－.
B
因为M在AB上，且|MA|＝|MB|，
所以x ＝＝，
M
y ＝＝，
M
又点M在直线y＝x上，
所以＝·，
解得k＝m，因此PQ∥AB.
若选择②③：
因为PQ∥AB，
所以直线AB的方程为y＝k(x－2)，
设A(x ，y )，B(x ，y )，
A A B B
不妨令点A在直线y＝x上，
则由
解得x ＝，y ＝，
A A
同理可得x ＝，y ＝－.
B B
设AB的中点为C(x ，y )，
C C则x ＝＝，
C
y ＝＝.
C
因为|MA|＝|MB|，
所以M在AB的垂直平分线上，
即点M在直线
y－y ＝－(x－x )，
C C
即y－＝－上，
与y＝x联立，
得x ＝＝x ，
M C
y ＝＝y ，
M C
即点M恰为AB的中点，
故点M在AB上．
§8.11 圆锥曲线中范围与最值问题
1．解 (1)∵a＝1，＝2，
∴c＝2，b2＝3，
∴双曲线C的标准方程为
x2－＝1.
(2)设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
线段MN的中点Q(x，y)，
0 0
联立
得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0，
依题意
即①
由根与系数的关系可得
x＋x＝，
1 2
x·x＝－，
1 2
则x＝＝，
0
y＝kx＋m＝，
0 0
∵|BM|＝|BN|，∴BQ⊥MN，
∴k ＝＝
BQ
＝－，∴3－k2＝m，②
又k2＝3－m>0，③
由①②③得
m<－或0<m<.
2．解 (1)由题意可得
又a2＝b2＋c2，解得a＝3，b＝.
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
当直线l的斜率存在时，
设l：y＝kx＋t，
联立
消去y得(1＋3k2)x2＋6ktx＋3t2－9＝0，Δ＝12(3＋9k2－t2)>0，
则
又kk＝＝－，
1 2
故yy＝－xx 且xx≠0，
1 2 1 2 1 2
即3t2－9≠0，则t2≠3，
又y＝kx＋t，y＝kx＋t，
1 1 2 2
所以＝
＝k2＋
＝k2＋
＝＝－，
整理得2t2＝9k2＋3≥3，
则t2≥且Δ>0恒成立．
OA·OB＝xx＋yy
1 2 1 2
＝xx－xx＝xx
1 2 1 2 1 2
＝·＝3·
＝3，
又t2≥，且t2≠3，
故3∈[－3,0)∪(0,3)．
当直线l的斜率不存在时，x＝x，y＝－y，则kk＝－＝－，
2 1 2 1 1 2
又＋＝1，解得x＝，
则OA·OB＝x－y＝x＝3.
综上，OA·OB的取值范围为[－3,0)∪(0,3]．3．解 (1)由题意可得
解得p＝2.
故抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x＝ty＋1，t≠0，
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，
1 1 2 2 3 3
易知x＝ty ＋1>0，
1 1
x＝ty ＋1>0，
2 2
联立
消去x得y2－4ty－4＝0.
所以y＋y＝4t，yy＝－4.
1 2 1 2
由AC垂直于l，得直线AC的方程为y－y＝－t(x－x)，
1 1
联立
消去x得ty2＋4y－4tx －4y＝0.
1 1
所以y＋y＝－，
1 3
yy＝.
1 3
所以|AC|＝
＝
＝
＝
＝·|ty ＋2|
1
＝·(ty ＋2)．
1
同理可得
|BD|＝·(ty ＋2)，
2
所以|AC|＋|BD|
＝·[t(y＋y)＋4]
1 2
＝(t2＋1)
＝8，
令f(x)＝，x>0，
则f′(x)＝，x>0，
所以当x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
所以当x＝2时，f(x)取得最小值，即当t＝±时，|AC|＋|BD|的最小值为12.
4．解 (1)由题意知，c＝2，
因为焦点在y轴，设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，
将点P的坐标代入上式得
＋＝1，
联立方程
解得a2＝8，b2＝4，
所以椭圆方程为＋＝1.
(2)如图，当过F 的两条互相垂直的直线的斜率都存在时，设直线AB的斜率为k，
2
则直线AB的方程为y＝kx＋2，直线CD的方程为
y＝－x＋2，
设A(x，y)，B(x，y)，C(x，y)，D(x，y)，
1 1 2 2 3 3 4 4
联立直线AB与椭圆方程
得x2＋kx－＝0，
由根与系数的关系得
x＋x＝－，x·x
1 2 1 2
＝－，
线段AB的长为
|AB|＝|x－x|
1 2
＝×
＝4×，
同理联立直线CD与椭圆方程得到
|CD|＝×
|x－x|＝4×，
3 4
因为AB⊥CD，
所以四边形ACBD的面积
S＝|AB|·|CD|
＝16×
＝8×，
令f(k)＝·，t＝，则有0<t<1，g(t)＝(1＋t)·是关于t的二次函数，
当0<t<1 时，1<g(t)≤，
所以≤S<8；
当直线AB或CD有一条斜率不存在时，不妨设k＝0，
则直线AB的方程为y＝2，
将y＝2代入椭圆方程，
得x＝±，则|AB|＝2，|CD|＝2a＝4，四边形ACBD的面积
S＝|AB|·|CD|＝8 ；
所以四边形ACBD面积的取值范围是.
§8.12 圆锥曲线中定点与定值问题
1．(1)解 点A的横坐标为2，代入圆O得y＝2，
所以A(2，2)，
代入解得p＝2，所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)证明 抛物线C：y＝，
则y′＝，
设M(x，y)，N(x，y)，
1 1 2 2
所以切线PM的方程为
y－y＝(x－x)，
1 1
即y＝x－，
同理切线PN的方程为
y＝x－，
联立解得点P，
设直线MN的方程为y＝kx＋1，代入x2＝4y，
得x2－4kx－4＝0，所以xx＝－4，
1 2
所以点P在y＝－1上，结论得证．
2．解 (1)因为双曲线C的渐近线方程为y＝±x，
则可设双曲线的方程为
－＝λ(λ≠0)，
将点P(3，)代入得－＝λ，
解得λ＝，
所以双曲线C的方程为－y2＝1.(2)显然直线BQ的斜率不为零，
设直线BQ：x＝my＋1，B(x，y)，
1 1
D(x，y)，A(x，－y)，
2 2 1 1
联立消去x，整理得
(m2－3)y2＋2my－2＝0，
依题意得m2－3≠0，
且Δ＝4m2＋8(m2－3)>0，
即m2>2且m2≠3，
y＋y＝－，yy＝－，
1 2 1 2
直线AD的方程为
y＋y＝(x－x)，
1 1
令y＝0，
得x＝＋x
1
＝
＝
＝
＝＝＝3.
所以直线AD过定点M(3,0)．
3．(1)解 由A(－，0)，B(，0)，
E(x，y)可得k ＝，
AE
k ＝，
BE
由题意得×＝－，
化简得＋＝1(|x|≠)，
所以曲线C是中心在原点，焦点在x轴上的椭圆(不含左右顶点)．
(2)证明 由(1)知直线l与x轴不重合，可设l：x＝my＋2，P(x，y)，
1 1
Q(x，y)，
2 2
联立
得(m2＋3)y2＋4my－2＝0.
Δ＝24m2＋24>0，
则y＋y＝－，
1 2
yy＝－，
1 2
故有m＝.
因为G(3，y)，Q(my＋2，y)，
1 2 2所以直线QG的斜率为＝＝2y，
1
则直线QG的方程为
y－y＝2y(x－3)，
1 1
即y＝2y，
1
故直线QG过定点H.
因为OM⊥QG，所以△OHM为直角三角形，
取OH的中点N，
则|MN|＝|OH|＝，
即|MN|为定值．
综上，存在定点N，
使得|MN|为定值．
4．(1)证明 设P(x，y)，
0 0
则＋＝1，可得y＝9－，
则k ＝，k ＝，
PA PB
则k ·k ＝
PA PB
＝＝－，
因为BG∥PA，
所以k ·k ＝k ·k ＝－.
BF BG PA PB
(2)解 当直线GF的斜率存在时，设GF的方程为y＝k(x－t)(k≠0)，
则联立消去y得(4k2＋3)x2－8k2tx＋4k2t2－12＝0.
则Δ＝64k4t2－16(4k2＋3)(k2t2－3)＝48(4k2＋3－k2t2)>0，
设G(x，y)，F(x，y)，则x＋x＝，xx＝，
1 1 2 2 1 2 1 2
由k ·k ＝·＝＝－，
BF BG
得＝－，
约去k2并化简得t2－3t＋2＝0，解得t＝1(t＝2不符合题意，舍去)，此时直线GF过定点
(1,0)；
当直线GF的斜率不存在时，
设GF的方程为x＝m，其中m≠2，
联立
解得y＝±，
则F，
G，
所以k ·k ＝－＝－，解得m＝1.
BF BG综上，直线GF过定点(1,0)．
(3)证明 设PA的方程为
y＝k(x＋2)(k>0)，
1 1
则解得E点的坐标为.
由(1)知P(x，y)，y＝9－，
0 0
由k＝，则E点的坐标为.
1
同理，记PB的斜率为k，则F点的坐标为，
2
由k＝，则F点的坐标为，
2
则EF的斜率
k ＝
EF
＝，
所以直线EF的方程为y＋＝·.
令y＝0，得x ＝，又x ＝x，
Q P 0
故x x ＝x·＝4.
P Q 0
§8.13 圆锥曲线中探索性与综合性问题
1．解 (1)由题意可知
解得
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)假设满足条件的直线l存在，
由E(0，－2)，F(，0)，
得k ＝，
EF
因为点F为△EAB的垂心，
所以AB⊥EF，
所以k ＝－，
AB
设直线l的方程为y＝－x＋t，
代入＋＝1，
得7x2－6tx＋6(t2－4)＝0，
Δ＝(－6t)2－4×7×6(t2－4)
＝－96t2＋672>0，
即－<t<.
记A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2则
由AF⊥BE得
·＝－1，
所以yy＋2y＋xx－x＝0，
1 2 1 1 2 2
将y＝－x＋t，
1 1
y＝－x＋t代入上式，
2 2
得3xx－(t＋2)(x＋x)＋(2t2＋4t)＝0，
1 2 1 2
所以3×－(t＋2)·＋(2t2＋4t)＝0，
所以5t2＋t－18＝0，
解得t＝ (t＝－2舍去)，
满足Δ>0，
所以直线l的方程为
y＝－x＋.
2．解 (1)由题意可知b＝1，＝，
又a2－b2＝c2，∴a＝2，b＝1，c＝.
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)当直线AB的斜率为0时，A，B分别为椭圆的左、右顶点，A′，B′均为，
则|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝，
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB的方程为x＝ky＋m，
联立方程组
消去y得(4＋k2)x2－8mx＋4m2－4k2＝0，
设A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则Δ>0时，x＋x＝，
1 2
xx＝，
1 2
∴|AA′|·|BB′|＝·
＝
＝＝.
综上，|AA′|·|BB′|为定值.
3．解 (1)设过点F且倾斜角为的直线方程为y＝x－，
代入y2＝2px(p>0)，
得x2－3px＋＝0，若M(x，y)，N(x，y)，则x＋x＝3p，
1 1 2 2 1 2所以|MN|＝x＋x＋p＝4p＝8，
1 2
则p＝2，
即抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)设A(x，y)，则过A作抛物线E的切线为y－y＝k(x－x)，
0 0 0 0
即x＝＋x，
0
代入y2＝4x，
整理得ky2－4y＋4y－ky＝0，
0
因为此直线与抛物线相切，
所以Δ＝4(4－4ky＋k2y)＝0，
0
即(ky－2)2＝0，解得k＝，
0
所以过A的切线为
y－y＝(x－x)，
0 0
令y＝0得x＝－x，即B(－x 0)，所以|BF|＝|AF|＝|AC|，
0 0,
又AC∥BF，所以四边形ACBF有一组对边平行且相等，且邻边也相等，
所以四边形ACBF为菱形．
4．解 (1)由∠BFD＝90°知，
|FS|＝|BS|＝|DS|＝p，
设A(x ，y )，
A A
则y ＋＝|FA|＝|FD|＝p，
A
S ＝·|BD|·
△ABD
＝×2p×p＝4，
解得p＝2(负值舍去)．F(0,1)，
所以圆F的方程为x2＋(y－1)2＝8.
(2)由题意得，直线PQ的斜率一定存在，
其中S，
设S关于直线PQ的对称点为T(m，n)，
则
解得
联立y＝kx＋b与x2＝2py，得x2－2pkx－2pb＝0，Δ＝4p2k2＋8pb>0，
设P(x，y)，Q(x，y)，
1 1 2 2
则x＋x＝2pk，xx＝－2pb，
1 2 1 2
则yy＝(kx＋b)(kx＋b)
1 2 1 2
＝k2xx＋kb(x＋x)＋b2，
1 2 1 2则xx＋yy＝(1＋k2)xx＋kb(x＋x)＋b2
1 2 1 2 1 2 1 2
＝－2pb(1＋k2)＋2pk2b＋b2
＝－2pb＋b2＝0，
解得b＝0(此时O与P或Q重合，舍去)或b＝2p，
所以|FT|＝
＝p∈(p,4p]．
第九章 统计与成对数据的统计分析
§9.1 随机抽样、统计图表
1．C 2.C 3.C 4.B 5.C
6．ABC [A项，博士毕业生选择在北京就业的比例达到52.1%，超过一半，A正确；
B项，留在北京就业的人数博士生接近一半，而本科生与硕士生则明显低于一半，所以显然
总人数超半数选择在北京以外的单位就业，B正确；
C项，到四川省就业的硕士毕业生人数为2 527×3.2%≈81，而到四川省就业的博士毕业生
人数为1 467×3.7%≈54，故硕士生更多，C正确；
D项，图表中显示4.2%＋5.6%＋3.0%＝12.8%，然而本科生、硕士生、博士生人数并不是一
样多，D错误．]
7．40 8.40
9．解 (1)由已知及图1得，3月份手机销售额为
290－(85＋80＋65)＝60(万元)．
(2)由图1及图2得，1月份音乐手机销售额为85×23%＝19.55(万元)．
(3)不同意．由图1及图2知，3月份音乐手机销售额为
60×18%＝10.8(万元)，
4月份音乐手机销售额为
65×17%＝11.05(万元)，
11．05>10.8，所以4月份音乐手机销售额比3月份音乐手机销售额增加了，所以不同意小
刚的看法．
10．解 (1)由(0.02＋0.04＋0.06＋0.07＋0.09＋0.10＋x)×2＝1，
解得x＝0.12.
(2)200件样本中尺寸在[98,100)内的样本数为200×0.09×2＝36.(3)由题意可得，这批产品中优等品有3 000×(0.18＋0.20)＝1 140(件)，
这批产品中不合格品有3 000×0.04＝120(件)，
这批产品中合格品有3 000－1 140－120＝1 740(件)，
1 140×5＋1 740×3－120×2
＝10 680(元)．
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为10 680元，
因为10 680<11 000，
所以需要对该工厂设备实施升级改造．
11．D [由已知及频率分布直方图得
解得a＝0.035，b＝0.015，
所以选取年龄在[35,45)内的市民人数为0.035×10×20＝7.]
12．D [由图可看出，选项A，C指的是“环比”， 2020年各月不是逐月增大，2021年也
不是逐月减小，故A，C错误；
选项B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增长线均在0.0%的上方，
所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正确；
而2020年1～12月同比增长线不均在0.0%的上方，故B错误．]
13．ABD [A项，由统计图可知，2015年至2021年，中国雪场滑雪人次逐年增加，所以A
项正确；
B项，由统计图可知2016年至2018年，中国雪场滑雪人次和同比增长率均逐年增加，所以
B项正确；
C项，2021年与2016年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，2021年同比增长
人数为1 970－1 750＝220,2016年同比增长人数为900－800＝100，显然不近似相等，所以
C项不正确；
D项，2021年与2019年相比，中国雪场滑雪人次增长率为≈30.5%，所以D项正确．]
14．(1)830 (2)18 65
解析 (1)因为该地社会固定资产总投资约为3 730亿元，所以地(市)属项目投资额为3 730－
(200＋530＋670＋1 500)＝830(亿元)．
(2)由条形图可以看出县(市)属项目部分总投资为670亿元，所以县(市)属项目部分所占百分
比为m%＝×100%≈18%，即m＝18，对应的圆心角为β≈360 度×0.18
≈65(度)．§9.2 用样本估计总体
1．B 2.D 3.AD 4.BCD
5．BD [对于A，由(0.005＋b＋0.045＋0.02＋0.005)×10＝1，解得b＝0.025，故A错误；
对于B，设候选者面试成绩的中位数为x，则(0.005＋0.025)×10＋(x－65)×0.045＝0.5，解
得x≈69.4，故B正确；
对于C，成绩在区间[65,75)的频率为0.045×10＝0.45，故人数为80×0.45＝36，故C错误；
对于 D,50×0.005×10＋60×0.025×10＋70×0.045×10＋80×0.02×10＋90×0.005×10＝
69.5，故D正确．]
6．B [①举反例：0,0,0,4,11，其平均数＝3<4.但不符合入冬指标；
②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，
则此组数据中的最小值为10－3＝7，此时数据的平均数必然大于7，与<4矛盾，故假设错
误．则此组数据全部小于10. 符合入冬指标；
③举反例：1,1,1,1,11，平均数＝3<4，且标准差s＝4.但不符合入冬指标；
④在众数等于5且极差小于等于4时，最大数不超过9.符合入冬指标．]
7．35 8.
9．解 (1)由频率分布直方图可得(m＋0.010＋0.010＋0.015＋0.040)×10＝1，解得m＝0.025.
(2)设全班同学身高的中位数为x，由题可知x∈[165,175)，得0.10＋0.15＋(x－165)×0.040＝
0.5，
解得x＝171.25，
故估计全班同学身高的中位数为171.25.
(3)估计全班同学身高的平均数为150×0.10＋160×0.15＋170×0.40＋180×0.25＋190×0.10
＝171，
估计全班同学身高的方差为(150－171)2×0.10＋(160－171)2×0.15＋(170－171)2×0.40＋(180
－171)2×0.25＋(190－171)2×0.10＝119.
10．解 (1)填表如下：
成绩 [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100]
频数 50 150 350 350 100
(2)平均数为55×0.05＋65×0.15＋75×0.35＋85×0.35＋95×0.1＝78，
方差为(55－78)2×0.05＋(65－78)2×0.15＋(75－78)2×0.35＋(85－78)2×0.35＋(95－78)2×0.1
＝101.
(3)进入复赛的选手成绩为80＋×10＝82(分)，所以初赛成绩为82分及以上的选手均可进入复赛．(说明：回答82分以上，或82分及以上
均可)．
11．D [垫球数在区间[5,25)内的人数占总数的(0.01＋0.01＋0.04＋0.06)×5×100%＝60%，
垫球数在区间[5,30)内的人数占总数的(0.01＋0.01＋0.04＋0.06＋0.05)×5×100%＝85%；
所以第75百分位数位于区间[25,30)内，且25＋5×＝28，
所以估计垫球数的样本数据的第75百分位数是28.]
12．60
解析 由等差数列{x}的公差为3，可知＝
n
＝＝＝x，
5
所以方差s2＝[(x－x)2＋(x－x)2＋…＋(x－x)2]
1 5 2 5 9 5
＝(16d2＋9d2＋4d2＋d2)×2＝d2＝×9＝60.
13．AD [对于A，因为中位数是1，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到
大的顺序排列为a，b,1，c，d，
因为平均数是1，所以a＋b＋1＋c＋d＝5，若d＝4，则a＝b＝c＝0，与中位数是1矛盾，
故A正确；
对于B，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为0,0,1,2,4，
满足中位数是1，众数是0，但有一天超过3人，故B错误；
对于C，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为0,2,2,3,4，
满足中位数是2，众数是2，但有一天超过3人，故C错误；
对于D，设五个工作日内每天体温超过37.5 ℃的人数按从小到大的顺序排列为a，b，c，
d，e，
因为平均数是2，方差是0.8，
则a＋b＋c＋d＋e＝10，
[(a－2)2＋(b－2)2＋(c－2)2＋(d－2)2＋(e－2)2]＝0.8，
即(a－2)2＋(b－2)2＋(c－2)2＋(d－2)2＋(e－2)2＝4，
则e≤4，若e＝4，从方差角度来说a＝b＝c＝d＝2，不满足a＋b＋c＋d＋e＝10，
所以e<4，同理a，b，c，d均小于4，故D正确．]
14．AC [设丢失的数据为x，则这七个数据的平均数为，众数是3，
若3<x<5，则中位数为x，此时＋3＝2x，解得x＝4；
若x≥5，则中位数为5，此时＋3＝2×5，解得x＝18.
综上所述，丢失的数据可能是4或18.]§9.3 一元线性回归模型及其应用
1．D 2.D 3.C 4.ACD
5．AD [对于选项A，因为这10名志愿者臂展的最大值大于身高的最大值，而臂展的最小
值小于身高的最小值，所以这10名志愿者身高的极差小于臂展的极差，故A正确；
对于选项B，因为1.2>0，所以这10名志愿者的身高和臂展呈正相关关系，故B错误；
对于选项C，因为这10名志愿者身高的平均值为176 cm，所以这10名志愿者臂展的平均值
为1.2×176－34＝177.2(cm)，故C错误；
对于选项D，若一个人的身高为160 cm，则由经验回归方程u＝1.2v－34，可得这个人的臂
展的估计值为158 cm，故D正确．]
6．C [由题意可知，
＝＝24，
＝＝18，
将(24,18)代入y＝0.8x＋a，
即18＝0.8×24＋a，解得a＝－1.2，
所以y＝0.8x－1.2，
当x＝30时，y＝0.8×30－1.2＝22.8，
所以该数据的残差为
23．6－22.8＝0.8.]
7．57 8.2ln 2＋2
9．解 (1)＝＝4，
＝＝5.0.
(2)y－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
i i
－52＝90－5×42＝10，
－52≈140.8－5×52＝15.8，
所以r＝≈＝
≈≈0.987，
r接近1，说明该设备的使用年限与所支出的维修费用之间具有很高的相关性．
10．解 (1)样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
＝＝0.06(m2)，
样本中10棵这种树木的材积量的平均值＝＝0.39(m3)，
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为 0.06 m2，平均一棵的材积量为0.39
m3.(2)r＝
＝
＝≈≈0.97.
(3)设该林区这种树木的总材积量的估计值为Y m3，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得＝，解得Y＝1 209.
则该林区这种树木的总材积量的估计值为1 209 m3.
11．BC [设t＝x2，则y＝6t＋a，
由已知得＝×(1＋4＋9＋16＋25)＝11，
＝×(2＋17＋36＋93＋142)
＝58，
所以a＝58－6×11＝－8，故A错误，B正确；
在y＝6x2－8中，令x＝4，
得y＝6×42－8＝88，
4
所以此回归模型第4周的残差为y－y＝93－88＝5，故C正确；
4 4
在y＝6x2－8中，令x＝6，
得y＝6×62－8＝208，故D错误．]
6
12．0.818
解析 由表格中的数据可得＝500，＝5，故a＝5－0.011×500＝－0.5，
故N＝0.011×10 000－0.5＝110－0.5＝109.5≈110，而n＝20，
故疫苗的有效率为1－≈0.818.
13．A [因为n(x－1 895)＝＝3.3，＝＝10.5，
i i
所以10.5＝3.3a＋12.15，
解得a＝－0.5.]
14．ABC [对于A，因为经验回归直线的斜率大于0，所以相关变量x，y具有正相关关系，
故A正确；
对于B，将＝2代入y＝2x－0.4得＝3.6，则去除两个歧义点后，得到新的相关变量的平均值
分别为
＝＝，
＝＝，
故B正确；
对于C，a＝－3×＝－3，新的经验回归方程为y＝3x－3，故C正确；
1
对于D，当x＝4时，y＝3×4－3＝9，残差为8.9－9＝－0.1，故D错误．]
1§9.4 列联表与独立性检验
1．D 2.D 3.A 4.BC 5.AD 6.D
7．4.722
8．0.538 支持
解析 由表中数据可知a＝29，b＝7，c＝33，d＝5，n＝a＋b＋c＋d＝74，
根据χ2＝，
计算可知χ2＝
≈0.538<3.841＝x ，
0.05
所以没有充分证据认为学生在注意力的稳定性上与性别有关，
即该实验支持该年龄段的学生在注意力的稳定性上对于性别没有显著差异．
9．解 (1)根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是＝0.75，乙机床生产的
产品中一级品的频率是＝0.6.
(2)零假设为H：甲机床的产品质量与乙机床的产品质量无差异，
0
根据题表中的数据可得
χ2＝
＝≈10.256>6.635＝x ，
0.01
所以依据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H 不成立，即认为甲机床的产品质量与乙机
0
床的产品质量有差异．
10．解 (1)由直方图的性质可知，0.005×10＋0.010×10＋0.025×10＋10a＋0.020×10＝
1，
解得a＝0.040，
因为(0.02＋0.04)×10＝0.6>0.5，所以中位数位于[80,90)内，
设中位数为x，则有0.020×10＋0.040×(90－x)＝0.5，
解得x＝82.5.
故综合评分的中位数为82.5.
(2)由(1)得优质花苗的频率为0.6，
所以样本中优质花苗的数量为60，
得如下列联表：
优质花苗 非优质花苗 合计
甲培育法 20 30 50
乙培育法 40 10 50
合计 60 40 100零假设为H：优质花苗与培育方法无关，
0
χ2＝
≈16.667>6.635＝x ，
0.01
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H 不成立，即认为优质花苗与培育方法有关．
0
11．B [完善2×2列联表如下：
被某病毒感染 未被某病毒感染 合计
注射疫苗 10 40 50
未注射疫苗 20 30 50
合计 30 70 100
零假设为H：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．
0
因为χ2＝≈4.762，3.841<4.762<6.635，
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H 不成立，
0
即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．]
12．CD [根据a>5且15－a>5，a∈Z，知a可取6,7,8,9.由表中数据及题意，得
χ2＝
＝≥3.841＝x ，结合选项，知a的可能取值为8,9.]
0.05
13．BD [由题中列联表数据，知
解得
所以得到如下列联表：
晕机
性别 合计
晕机者 未晕机者
男 12 15 27
女 6 13 19
合计 18 28 46
所以＝＝>＝，即A错误；
零假设为H：在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，
0
由列联表中的数据，
得χ2＝
≈0.775<2.706＝x ，
0.1
依据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H 不成立，因此可以认为H 成立，
0 0
即在恶劣天气的飞行航程中，是否晕机与性别无关，所以B，D正确，C错误．]14．46
解析 由题意可得
χ2＝
≥6.635，
整理得(100a－4 000)2
≥502×42×6.635，
所以100a－4 000≥200×
≈200×2.58＝516或100a－4 000
≤－200×≈－200×2.58
＝－516，
解得a≥45.16或a≤34.84，
又因为a≥40且a∈N*，
所以a≥46，
所以a的最小值为46.
第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布
§10.1 两个计数原理
1．D 2.B 3.D 4.B 5.B
6．C [第1类，对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线
面对”有2×12＝24(个)；第2类，对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交
线面对”，这样的“正交线面对”有12个．
所以正方体中“正交线面对”共有
24＋12＝36(个)．]
7．C [以末位数字进行分类：
当末位数字为0时，共有6×5×4＝120(个)；
当末位数字是2,4,6中的某个数时，共有3×5×5×4＝300(个)，
故共有120＋300＝420(个)不同的数字．]
8．AD [对于A,4个数学课外兴趣小组共有7＋8＋9＋10＝34(人)，故选1人为负责人的选
法共有34种，A对；
对于B，分四步：第一、二、三、四步分别为从第一、二、三、四组中各选1名组长，所以
不同的选法共有7×8×9×10＝5 040(种)，B错；对于C，分六类：从第一、二组中各选1人，有7×8种不同的选法；
从第一、三组中各选1人，有7×9种不同的选法；
从第一、四组中各选1人，有7×10种不同的选法；
从第二、三组中各选1人，有8×9种不同的选法；
从第二、四组中各选1人，有8×10种不同的选法；
从第三、四组中各选1人，有9×10种不同的选法．
所以不同的选法共有7×8＋7×9＋7×10＋8×9＋8×10＋9×10
＝431(种)，C错；
对于D，若不考虑限制条件，每个人都有4种选法，共有43＝64(种)选法，
其中第一组没有人选，每个人都有3种选法，共有33＝27(种)选法，
所以不同的选法有64－27＝37(种)，D对．]
9．40
10．621 14
解析 由题意，结合表格中的数据和图形，知“ ”表示的三位数为621；
共有5根算筹，要能被5整除，则个位数必须为0或5，
①当个位数为5时，不符合题意；
②当个位数为0时，则5根算筹全部放在十位和百位，
若百位有1根，十位有4根，
则共有1×2＝2(个)三位数；
若百位有2根，十位有3根，
则共有2×2＝4(个)三位数；
若百位有3根，十位有2根，
则共有2×2＝4(个)三位数；
若百位有4根，十位有1根，
则共有2×1＝2(个)三位数；
若百位有5根，十位有0根，
则共有2个三位数．
所以共有2＋4＋4＋2＋2＝14(个)三位数．
11．C [设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别
为②，③，④，⑤区．第一步给①区涂色，有4种涂色方法．
第二步给②区涂色，有3种涂色方法．
第三步给③区涂色，有2种涂色方法．
第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法．
若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法．
所以共有4×3×2×(2＋1×1)
＝72(种)涂色方法．]
12．64
解析 因为8个小组进行单循环赛，每小组进行6场小组赛，所以小组赛的场数为8×6＝
48，因为16支队伍按照确定的程序进行淘汰赛，所以淘汰赛的场数为8＋4＋2＋2＝16，因
此比赛进行的总场数为48＋16＝64.
13．D [不妨设A，B，C，D，E，F，G，H，I代表树枝的高度，九根树枝从上至下共九
个位置，
根据甲依次撞击到树枝A，B，C；乙依次撞击到树枝D，E，F；丙依次撞击到树枝G，A，
C；丁依次撞击到树枝B，D，H；戊依次撞击到树枝I，C，E，可得G>A>B，且G，A，B
在前四个位置，C>E>F，D>E>F，且E，F一定排在后四个位置，
(1)若I排在前四个位置中的一个位置，前四个位置有4种排法，若第五个位置排C，则第六
个位置一定排D，后三个位置共有3种排法，若第五个位置排D，则后四个位置共有4种排
法，所以I排在前四个位置中的一个位置时，共有4×(3＋4)＝28(种)排法；
(2)若I不排在前四个位置中的一个位置，则G，A，B，D按顺序排在前四个位置，由于
I>C>E>F，所以后五个位置的排法就是H的不同排法，共5种排法，即若I不排在前四个位
置中的一个位置共有5种排法，
由分类加法计数原理可得，这九根树枝从高到低不同的顺序有
28＋5＝33(种)．]
14．300
解析 第1步，1＝1＋0,1＝0＋1，共2种组合方式；
第2步，9＝0＋9,9＝1＋8,9＝2＋7，
9＝3＋6，…，9＝9＋0，共10种组合方式；
第3步，4＝0＋4,4＝1＋3,4＝2＋2，4＝3＋1,4＝4＋0，共5种组合方式；
第4步，2＝0＋2,2＝1＋1,2＝2＋0，共3种组合方式．
根据分步乘法计数原理可知，值为 1 942的“简单的”有序数对的个数为2×10×5×3＝
300.
§10.2 排列与组合
1．C 2.B 3.B 4.D 5.C
6．D [由题可得，参与志愿者服务的项目人数为2,1,1,1，
若没有限制则共有C·A＝240(种)安排方法；
当两个女同学在一起时有A＝24(种)安排方法；
当男同学小王、女同学大雅在一起时有A＝24(种)方法，
所以按题设要求不同的安排方法种数为240－24－24＝192.]
7．C [任取的3个顶点不能构成三角形的情形有3种：一是3条横线上的4个点，其组数
为3C；二是4条竖线上的3个点，其组数为4C；三是4条对角线上的3个点，其组数为
4C，所以可以构成三角形的组数为C－3C－8C＝200.]
8．BCD [对于A，恰有1个盒子不放球，先选1个空盒子，再选一个盒子放两个球，
则CCA＝144≠72，故A不正确；
对于B，编号为1的球有C种放法，把与编号为1的球所放盒子的编号相同的球放入1号盒
子或者其他两个盒子，共有1＋C＝3(种)，
即3×3＝9(种)，故B正确；
对于C，首先选出两个空盒子，再取两个球放剩下的两个盒子中的一个，共有CC＝36(种)，
故C正确；
对于D，恰有2个盒子不放球，首先选出两个空盒子，再将4个球分为3，1或2，2两种情
况，放入盒子，共有C(CC＋C)＝6×14＝84(种)，故D正确．]
9．36 10.216
11．C [第一步：先将3名母亲全排列，共有A种排法；
第二步：将3名女孩“捆绑”在一起，共有A种排法；
第三步：将“捆绑”在一起的3名女孩作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插
入，有A种排法；
第四步：首先将2名男孩之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男
孩插入由女孩与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有CC种排法．
所以不同的排法共有
AAACC＝288(种)．]12．96
解析 先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，至多两张，
则三人每人一张，一人2张，且分得的票必须是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板
子隔开，分为四部分且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C＝4(种)分法，再对应
到4个人，有A＝24(种)分法，则共有4×24＝96(种)分法．
13．B [由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：(1)当AE排第
一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F
两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．(2)当
AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务
中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务
中一项排在第一个位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务 B，C不相邻，有AA种方
法．(3)当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C
和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法，根据分类加法计数原
理知，不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44(种)．]
14．10
解析 设停车位有n个，这3辆共享汽车都不相邻相当于先将(n－3)个停车位排放好，再将
这3辆共享汽车插入到所成的(n－2)个间隔中，故有A种．恰有2辆共享汽车相邻，可先把
其中2辆捆绑在一起看作一个复合元素，再和另一辆插入到将(n－3)个停车位排好所成的(n
－2)个间隔中，故有AA种．因为这3辆共享汽车都不相邻的排法与这3辆共享汽车恰有2
辆相邻的排法相等，所以A＝AA，解得n＝10.
§10.3 二项式定理
1．C 2.AC 3.A 4.D 5.C
6．A [∵C3n＋C3n－1＋C3n－2＋…＋C3＋C30＝(3＋1)n＝4n，
∴a＝4n－1，当n＝2 023时，a＝42 023－1＝4×161 011－1＝4×[(15＋1)1 011－1]＋3，
而(15＋1)1 011－1＝C151 011＋C151 010＋…＋C15，故此时a除以15所得余数为3.]
7．BCD [二项式6的展开式通项为T ＝C·()6－k·k＝ .
k＋1
对于A选项，令＝0，可得k＝3，故常数项是第4项，A错误；
对于B选项，各项的系数和是6＝，B正确；
对于C选项，展开式共7项，故第4项二项式系数最大，C正确；
对于D选项，奇数项二项式系数和为25＝32，D正确．]8．AD [易知(1－2x)2 023的展开式中所有项的二项式系数和为22 023，故A正确；
由二项式通项，
知T ＝C(－2x)k
k＋1
＝(－2)kCxk，
所以第1 350项的系数为
(－2)1 349C<0，
所以第1 350项不是系数最大项，故B错误；
当x＝1时，有a＋a＋a＋…＋a ＝－1，①
0 1 2 2 023
当x＝－1时，有a－a＋a－a＋…＋a －a ＝32 023，②
0 1 2 3 2 022 2 023
①－②，可得a＋a＋a＋…＋a ＝－，故C错误；
1 3 5 2 023
当x＝0时，a＝1，当x＝时，
0
a＋＋＋＋…＋＝0，
0
所以＋＋＋…＋
＝－a＝－1，故D正确．]
0
9．80 211
10．1 120x4 1 792x5和1 792x6
11．A [由题意知(x＋y－2z)5
＝[(x＋y)－2z]5，
展开式的第k＋1项为
C(x＋y)5－k(－2z)k，
令k＝2，可得第3项为
(－2)2C(x＋y)3z2，
(x＋y)3的展开式的第m＋1项为Cx3－mym，
令m＝2，可得第3项为Cxy2，
所以(x＋y－2z)5的展开式中，
xy2z2的系数是(－2)2CC＝120.]
12．－4 31
解析 因为x·C·23·x0－C·22·x1＝－4x，
所以a＝－4，
1
对所给等式，两边对x求导，
可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2
＝a＋2ax＋3ax2＋4ax3，
1 2 3 4
令x＝1，
得27＝a＋2a＋3a＋4a，
1 2 3 4所以2a＋3a＋4a＝31.
2 3 4
13．B [(2x＋1)n＝a＋ax＋ax2＋…＋axn，
0 1 2 n
两边求导得2n(2x＋1)n－1＝a＋2ax＋…＋naxn－1.
1 2 n
令x＝1，
则2n×3n－1＝a＋2a＋…＋na.
1 2 n
又因为(2x＋1)n的展开式中各项系数和为243，
令x＝1，可得3n＝243，解得n＝5.
所以a＋2a＋…＋na＝2×5×34＝810.]
1 2 n
14．A [令x＝，得
2 023＝b＋＋＋…＋＝0.
0
令x＝0，得b＝1，
0
所以a＝＋＋…＋＝－1.
1
由a ＝S·S ＝S －S，
n＋1 n n＋1 n＋1 n
得＝－＝1，
所以－＝－1，
所以数列是首项为＝－1，
公差为－1的等差数列，
所以＝－1＋(n－1)·(－1)
＝－n，
所以S＝－，
n
所以S ＝－.]
2 023
§10.4 随机事件与概率
1．A 2.C 3.B 4.C 5.B
6．ABC [事件A与事件B互斥，则A，B不可能同时发生，所以P(AB)＝0，故A正确；
事件A与事件B是对立事件，则事件B即为事件，所以P(A＋B)＝1，故B正确；
事件“至少有两次中靶”与“至多有一次中靶”不可能同时发生，且二者必有一个发生，所
以为对立事件，故C正确；
事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”可能同时发生，即“丙分得的是红
牌”，所以不是互斥事件，故D错误．]
7.
8.
解析 从正方体的8个顶点中任选4个，取法有C＝70(种)．其中4个点共面有以下两种情况：
(1)所取的4个点为正方体同一个面上的4个顶点，如图1，有6种取法；
(2)所取的4个点为正方体同一个对角面上的4个顶点，如图2，也有6种取法．
故4个点在同一个平面共有6＋6＝12(种)情况．
所以所取的4个点在同一个平面的概率P＝＝.
9．解 记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事
件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等
候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F彼此互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋
P(B)＋P(C)
＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一 记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，
所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04
＝0.44.
方法二 记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)
＝0.44.
10．解 (1)由题意知，样本数据的平均数＝＝12.
(2)样本中优秀服务网点有2个，频率为＝，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点约有
90×＝30(个)．
(3)样本中优秀服务网点有2个，分别记为a ，a ，非优秀服务网点有4个，分别记为b ，
1 2 1
b，b，b，
2 3 4
从随机抽取的6个服务网点中任取2个的可能情况有(a ，a)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，
1 2 1 1 1 2 1 3
(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(a ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，(b ，b)，
1 4 2 1 2 2 2 3 2 4 1 2 1 3 1 4 2 3
(b，b)，(b，b)，共15种，
2 4 3 4
记“恰有1个网点是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有(a ，b)，(a ，
1 1 1
b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共8种，
2 1 3 1 4 2 1 2 2 2 3 2 4
故所求概率P(M)＝.
11．B [如图①所示，A∪B不是必然事件，∪是必然事件，与不互斥；如图②所示，A∪B是必然事件，∪是必然事件，与互斥．]
12．C [由题意可得一共有C种分组方法，若要满足220和284在同一组，则分两种情况讨
论：①220和284在2个数这一组中，有C种分组方法，②220和284在4个数这一组中，
有C种分组方法．
故所求概率P＝＝.]
13．C [若从阳数和阴数中各取一数分别记为a，b.则样本点(a，b)共有5×5＝25(个)，满
足|a－b|<2的样本点有(1,2)，(3,2)，(3,4)，(5,4)，(5,6)，(7,6)，(7,8)，(9,8)，(9,10)，共9个
记事件B为满足|a－b|<2的事件，则P(B)＝，所以满足|a－b|≥2的事件的概率为P()＝1－
P(B)＝1－＝.]
14．C [设红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球数量分别为a，b，c，d.
由题意得C＝CC＝CCC＝CCCC，
则有
＝·b
＝·bc＝abcd，
即a＝4b＋3＝3c＋2＝2d＋1.
经验证，玻璃球的个数的最小值为21，此时a＝11，b＝2，c＝3，d＝5.]
§10.5 事件的相互独立性与条件概率、全概率公式
1．C 2.B 3.A 4.D 5.A 6.D
7.
解析 该选手仅回答正确两个问题的概率是P＝××＋××＋××＝，
1
该选手要闯关成功，则只有第3个问题回答正确或者第1,3两个问题回答正确或者第2,3两
个问题回答正确或者三个问题都回答正确，所以闯关成功的概率为2×＋××＋××＋××＝.
8.
9．解 (1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率
P＝1－××＝.
(2)设“该款智能自动检测合格”为事件A，“人工抽检合格”为事件B，
则P(A)＝，P(AB)＝1－＝，
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率
P(B|A)＝＝＝.10．解 (1)根据赛制，小组赛共安排3×C＝18(场)比赛，
附加赛共安排8÷2＝4(场)比赛，
四分之一决赛共安排8÷2＝4(场)比赛，
半决赛共安排4÷2＝2(场)比赛，
铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排 18＋4＋4＋2＋2＝
30(场)比赛．
(2)设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，
∵晋级后每场比赛相互独立，
∴P(A)＝××＝，
∵四队实力相当，
∴P(B)＝P(C)＝P(D)
＝P(A)＝，
∵事件A，B，C，D互斥，
∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为
P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)
＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]
＝1－4×＝.
故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为.
11．D [甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；
1胜3负5胜6胜，
故甲获得冠军的概率为3＋2×3×＝.]
12．BD [由题意知，A，A，A 是两两互斥的事件，故D正确；P(A)＝＝，P(A)＝＝，
1 2 3 1 2
P(A)＝，
3
P(B|A)＝＝，
1
由此知，B正确；
P(B|A)＝，P(B|A)＝；
2 3
而P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＋P(A)P(B|A)
1 1 2 2 3 3
＝×＋×＋×＝，由此知A，C不正确．]
13．D [设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P ，
甲
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P ，
乙
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P ，
丙
方法一 由题意可知，P ＝2p[p·(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp，
甲 1 2 3 3 2 1 2 1 3 1 2 3P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp，
乙 2 1 3 3 1 1 2 2 3 1 2 3
P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝2pp＋2pp－4ppp.
丙 3 1 2 2 1 1 3 2 3 1 2 3
所以P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 甲 2 3 1
P －P ＝2p(p－p)>0，
丙 乙 1 3 2
所以P 最大．
丙
方法二 (特殊值法)
不妨设p＝0.4，p＝0.5，p＝0.6，
1 2 3
则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.4；
甲 1 2 3 3 2
在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.52；
乙 2 1 3 3 1
在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P ＝2p[p(1－p)＋p(1－p)]＝0.6.
丙 3 1 2 2 1
所以P 最大．]
丙
14．0.087
解析 ∵P(|)＝0.95，
∴P(A|)＝1－P(|)＝0.05，
∵P(C)＝0.005，∴P()＝0.995，
由全概率公式可得，
P(A)＝P(A|C)P(C)＋P(A|)P()，
∵P(AC)＝P(C|A)P(A)
＝P(A|C)P(C)，
∴P(C|A)＝
＝＝≈0.087.
§10.6 离散型随机变量及其分布列、数字特征
1．D 2.A 3.C 4.B
5．C [按照 FDE 的顺序获得的奖金的均值为 300×0.3×0.2＋400×0.3×0.8×0.5＋
600×0.3×0.8×0.5
＝138(元)；
按 照 FED 的 顺 序 获 得 的 奖 金 的 均 值 为 300×0.3×0.5 ＋ 500×0.3×0.5×0.2 ＋
600×0.3×0.5×0.8
＝132(元)；
按 照 DEF 的 顺 序 获 得 的 奖 金 的 均 值 为 100×0.8×0.5 ＋ 300×0.8×0.5×0.7 ＋
600×0.8×0.5×0.3＝196(元)；
按 照 EDF 的 顺 序 获 得 的 奖 金 的 均 值 为 200×0.5×0.2 ＋ 300×0.8×0.5×0.7 ＋
600×0.8×0.5×0.3
＝176(元)，
综上所述，按照DEF的顺序获得的奖金的均值最大．]
6．BD [由题意得，＋＋＝1，解得a＝1，
E(ξ)＝0×＋m×＋1×＝＋，
所以当m在(0,1)上增大时，E(ξ)增大，故A错误，B正确；
D(ξ)＝
＝
＝2＋，
所以当m在(0,1)上增大时，D(ξ)先减小后增大，
当m＝时，D(ξ)取得最小值，故C错误，D正确．]
7．11
8.
解析 P(X＝2)＝××＋××＋××＝；
P(X＝0)＝××＝，
P(X＝1)＝××＋××＋××＝，
P(X＝3)＝××＝，
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
9．解 根据月工资的分布列，可得E(X)＝4 200×0.4＋4 400×0.3＋4 600×0.2＋4 800×0.1
1
＝4 400(元)，
D(X)＝(4 200－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 600－4 400)2×0.2＋(4 800－4 400)2
1
×0.1＝40 000；
E(X)＝4 000×0.4＋4 400×0.3＋4 800×0.2＋5 200×0.1＝4 400(元)，
2
D(X)＝(4 000－4 400)2×0.4＋(4 400－4 400)2×0.3＋(4 800－4 400)2×0.2＋(5 200－4 400)2
2
×0.1＝160 000.
因为E(X)＝E(X)，
1 2
D(X)<D(X)，
1 2
所以两家单位的月工资均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工
资相对分散．如果你认为自己能力较强，通过一段时间的努力可以获得高工资职位，可选择
乙单位；如果你认为自己能力一般，则选择甲单位可能得到更高的收入，可选择甲单位．
10．解 (1)设一名游戏参与者走出迷宫所用时间为X(单位：分钟)，
则X的所有可能取值为3,6,9，P(X＝3)＝，P(X＝6)＝＋×＝，
P(X＝9)＝×＝，
所以E(X)＝3×＋6×＋9×＝(分钟)，
即一名游戏参与者走出迷宫所用时间的均值为 分钟．
(2)由(1)知，按照方案一：2人共同行动所用时间和的均值为
×2＝11(分钟)．
按照方案二：设两人走出迷宫所用时间和为Y(单位：分钟)，
则Y的所有可能取值为9,12,15，
P(Y＝9)＝2×
＝，
P(Y＝12)＝2×＝，
P(Y＝15)＝2×
＝，
所以E(Y)＝9×＋12×＋15×＝11(分钟)，
即按照方案二，两人所用时间和的均值为11分钟．
11．B [记李明这3道题的得分为随机变量X，则X的所有可能取值为0,5,10,15，
P(X＝0)＝2×＝，
P(X＝5)＝C×××＋2×＝，
P(X＝10)＝C×××＋2×＝，
P(X＝15)＝2×＝，
所以E(X)＝0×＋5×＋10×＋15×＝.]
12.
解析 由题意知，甲得0分的概率为1－－－＝，
乙得0分的概率为
1－－－＝，
则甲、乙所得分数相同的概率为×＋×＋×＋×＝.
因为甲、乙两人所得的分数之和为X，则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5,6，
则P(X＝0)＝×＝；
P(X＝1)＝×＋×＝；
P(X＝2)＝×＋×＋×＝；
P(X＝3)＝×＋×＋×＋×＝；
P(X＝4)＝×＋×＋×＝；
P(X＝5)＝×＋×＝；P(X＝6)＝×＝，
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×
＝.
13．AB [设混合检测方式中样本需要检测的总次数为Y，则Y的所有可能取值为1,11，
P(Y＝1)＝(1－p)10，
P(Y＝11)＝1－(1－p)10，
E(Y)＝1×(1－p)10＋11×[1－(1－p)10]
＝11－10×(1－p)10，
设逐份检测中样本需要检测的总次数为X，则E(X)＝10，
若混合检测方式优于逐份检测方式，需 E(Y)<E(X)，即11－10×(1－p)10<10，即1－p>10－
0.1，
∵lg 0.794≈－0.1，
∴1－p>10lg 0.794≈0.794，
∴0<p<0.206.]
14.
解析 由题意，得X的所有可能取值为1,2,3,4，
所以P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p，
P(X＝4)＝(1－p)3，
令f(x)＝(1－x)2x＝x3－2x2＋x，x∈，
则f′(x)＝3x2－4x＋1
＝(3x－1)(x－1)，
当<x<时，f′(x)>0，
当<x<时，f′(x)<0，
所以f(x)在上单调递增，在上单调递减，
所以f(x) ＝f
max
＝2×＝，
即P(X＝3) ＝.
max
又E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2p＋4(1－p)3<，
即－p3＋4p2－6p＋<0，
令h(x)＝－x3＋4x2－6x＋，x∈，
则h′(x)＝－3x2＋8x－6
＝－32－<0，
所以h(x)在上单调递减，
又h＝0，所以当x∈时，h(x)<0，
所以当p∈时，E(X)<.
§10.7 二项分布、超几何分布与正态分布
1．D 2.C 3.A 4.ABC
5．ABC [对于A，若随机变量X服从二项分布B，
则P(X＝3)＝C33＝，故A正确；
对于B，因为随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，所以正态密度曲线的对称轴是直线x＝2.
因为P(X<4)＝0.9，
所以P(X≥4)＝P(X≤0)＝0.1，
所以P(0<X<2)＝P(2<X<4)＝0.4，故B正确；
对于C，设事件A为至少有1个景点未被选择，事件B为恰有2个景点未被选择，
则P(AB)＝＝，
P(A)＝1－＝，
所以P(B|A)＝＝，故C正确；
对于D，E(2X＋3)＝2E(X)＋3，D(2X＋3)＝4D(X)，故D不正确．]
6．B [依题意知，ξ 的所有可能取值为0,1,2，ξ～B，
1 1
所以E(ξ)＝2×＝，
1
D(ξ)＝2××＝；
1
当无放回地依次取出两个小球时，记取出的红球数为ξ，则ξ 的所有可能取值为0,1，
2 2
P(ξ＝0)＝×＝，
2
P(ξ＝1)＝×＋×＝，
2
所以E(ξ)＝0×＋1×＝，
2
D(ξ)＝2×＋2×＝.
2
所以E(ξ)＝E(ξ)，
1 2
D(ξ)>D(ξ)．]
1 2
7.
8．73 1 587
解析 由题意知，μ≈＝73.
易知P(X>85.9)＝P(X>73＋12.9)≈＝0.158 65，
故估计该市全体考生中笔试成绩高于85.9的人数大约为10 000×0.158 65≈1 587.
9．解 (1)乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A，则P(A)＝C2×＋3＝.
(2)由题意知，随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
故X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
所以甲闯关成功的概率为＋＝，因为<，所以甲闯关成功的可能性更大．
10．解 (1)由题意得，抽取的5人中消费金额在区间[9,11)内的人数为×5＝2，消费金额在
区间[11,13)内的人数为×5＝3，
设抽取的3人中消费金额在区间[11,13)内的人数为X，则X的所有可能取值为1,2,3，
所以P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列为
X 1 2 3
P
则E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
(2)①由题意得，μ＝＝4×0.15＋6×0.25＋8×0.3＋10×0.1＋12×0.15＋14×0.05＝8，
σ2＝(4－8)2×0.15＋(6－8)2×0.25＋(10－8)2×0.1＋(12－8)2×0.15＋(14－8)2×0.05＝8，
所以σ＝＝2≈2.8，
所以P(5.2≤ε<13.6)＝P(8－2.8≤ε<8＋2×2.8)≈≈0.8.
②由题意及①得η～B，n＝4，p＝，
所以D(η)＝np(1－p)＝4××＝.
11．AC [由二进制数A的特点知，每一个数位上的数字只能为0,1，
且每个数位上的数字互不影响，X的分布列为
P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
故X～B，故A正确；
P(X＝1)＝C×1×3
＝，故B错误；E(X)＝4×＝，故C正确；
D(X)＝4××＝，
故D错误．]
12.
解析 记全是男志愿者为事件A，至少有一名男志愿者为事件B，
则P(AB)＝P(A)＝＝，
P(B)＝1－＝，
故P(A|B)＝＝＝，即在“抽取的3人中至少有一名男志愿者”的前提下，“抽取的3人全是
男志愿者”的概率是，
由题意可知，X服从超几何分布，
E(X)＝3×＝.
13．C [因为f(－x)＝＝f(x)，所以该函数是偶函数，图象关于y轴对称，
由P(|X|≤)＝，
可得P(0<X<)＝，
因为P(1<X≤)＝，
所以P(0<X<1)＝－＝，
因此P(－1<X<0)＝，
所以P(X≤－1)＝－＝.]
14．4
解析 随机变量ξ～N(1，σ2)，且P(ξ≤1)＝P(ξ≥a－3)，可得1＋a－3＝2×1，解得a＝4，
由0<x<4，可得0<4－x<4，
则＋＝＋＝[x＋(4－x)]·
＝
≥×＝4，
当且仅当＝，即x＝1时取等号．
所以＋(0<x<a)的最小值为4.
§10.8 概率与统计的综合问题
1．解 (1)由题意可知
解得a＝0.035，b＝0.025.
(2)利用比例分配的分层随机抽样的方式从样本中抽取10人，易知其中属于高关注人群的有10×(0.035＋0.025)×10＝6(人)，则属于次高关注人群的有4
人，
则X的所有可能取值为3,2,1,0，
所以P(X＝3)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝0)＝＝，
所以X的分布列为
X 3 2 1 0
P
所以E(X)＝3×＋2×＋1×＋0×＝1.8.
2．解 (1)∵该市中学生男女人数比例为7∶5，
∴抽取的120名学生中男生有70人，女生有50人，
2×2列联表如下：
视力情况
性别 合计
近视 不近视
男生 30 40 70
女生 10 40 50
合计 40 80 120
零假设为H：近视与性别无关．
0
根据列联表中的数据得，
χ2＝
≈6.857>6.635＝x ，
0.01
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为近视与性别有关．
0
(2)∵用这120名中学生中男生和女生近视的频率分别代替该市中学生中男生和女生近视的
概率，
∴每名学生近视的概率为
＝，
由题意可得，X的所有可能取值为
0,1,2,3,4，
且随机变量X～B，
P(X＝k)＝Ck4－k，k＝0,1,2,3,4，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝4×＝.
3．解 (1)依题意知＝×(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
＝×(0.5＋0.6＋1＋1.4＋1.7)＝1.04，
b＝＝＝0.32，
a＝－b＝1.04－0.32×3＝0.08，
故销量y关于月份编号t的经验回归方程为y＝0.32t＋0.08.
令t＝6，则y＝0.32×6＋0.08＝2.
故可预测12月份该品牌此款健身器材销量为2万台．
(2)有放回地摸球，每次摸到某个编号的概率为，
则三次摸到相同编号的概率为
3×3＝，
仅有两次摸到相同编号的概率为
3×3×××＝.
公司购买此款健身器材的价格X的所有可能取值为7 000，8 000，9 000，其分布列为
X 7 000 8 000 9 000
P
故E(X)＝7 000×＋8 000×＋9 000×＝.
4．解 (1)依题意可知，“青少年人”共有100×(0.015＋0.030)×10＝45(人)，
“中老年人”共有100－45＝55(人)，
2×2列联表如下：
是否关注
年龄 合计
关注 不关注
青少年人 15 30 45
中老年人 35 20 55
合计 50 50 100
零假设为H：关注“两会”与年龄无关．
0
结合列联表的数据得χ2＝
≈9.091>6.635＝x ，
0.01
所以根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为关注“两会”与年龄
0
有关．
(2)依题意可知，样本中青少年人关注“两会”的有15人，不关注“两会”的有30人，
采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取6人，则关注“两会”的抽取2人，不关注“两
会”的抽取4人，
则X的所有可能取值为0,1,2，
所以P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
故随机变量X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝1.
5．解 (1)由题意及频率分布直方图可得，
是否属于“高消费群”
性别 合计
属于 不属于
男生 15 45 60
女生 20 20 40
合计 35 65 100
零假设为H：该校学生属于“高消费群”与性别无关，
0
由列联表中数据得
χ2＝＝
≈6.593>3.841＝x ，
0.05
所以根据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为该校学生属于“高消
0
费群”与性别有关．
(2)被抽取的4名学生中每一名学生是“高消费群”的概率为＝，
所以X～B，
所以E(X)＝4×＝，
D(X)＝4××＝.
6．解 (1)由题意可得＝＝3，
＝＝16，
则(x－)(y－)＝(－2)×(－7)＋(－1)×(－5)＋0×(－2)＋1×10＋2×4＝37，
i i
(x－)2(y－)2＝[(－2)2＋(－1)2＋0＋1＋22]×[(－7)2＋(－5)2＋(－2)2＋102＋42]
i i
＝1 940，
∴r＝＝≈0.84，
∴科技创新和市场开发后的收益y与科技创新和市场开发的总投入x的线性相关程度比较强．
(2)零假设为H：消费者满意程度与性别无关．
0
根据列联表数据得
χ2＝
≈8.129>6.635＝x ，
0.01
∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 不成立，即认为消费者满意程度与性别
0
有关．
(3)易知抽出的9名女性消费者中满意的有5人，不满意的有4人，
由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4，
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P(X＝3)＝＝＝，
P(X＝4)＝＝，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
§10.9 概率、统计与其他知识的交汇问题
1．解 (1)比赛结束后，冠、亚军恰好来自不同校区的概率
P＝＝.
(2)①由题可知f(p)＝Cp2(1－p)·p＝3p3(1－p)，
f′(p)＝3[3p2(1－p)＋p3×(－1)]＝3p2(3－4p)，
令f′(p)＝0，得p＝或p＝0(舍去)，
当p∈时，f′(p)>0，f(p)在上单调递增，
当p∈时，f′(p)<0，f(p)在上单调递减，
所以p＝.
0
②X的所有可能取值为0,1,2,3，
P(X＝0)＝(1－p)3＋Cp(1－p)2·(1－p)
＝3＋C××2×＝，
P(X＝1)＝Cp2(1－p)2·(1－p)
＝C×2×2×＝，
P(X＝2)＝Cp2(1－p)2·p
＝C×2×2×
＝，
P(X＝3)＝p3＋Cp2(1－p)·p
＝3＋C×2××＝，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
则E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
2．(1)解 设A＝ “第1天选择米饭套餐”， A＝ “第2天选择米饭套餐”，
1 2
则 ＝ “第1天选择面食套餐”，
1
由题意可得，P(A)＝，则P()＝，又P(A|A)＝，P(A|)＝1－＝，
1 1 2 1 21
则由全概率公式可得P(A)＝P(A)P(A|A)＋P()·P(A|)＝×＋×＝.
2 1 2 1 1 21
(2)证明 ①设A＝ “第n天选择米饭套餐”，
n
则P＝P(A)，则P()＝1－P，
n n n n
由题意得，P(A |A)＝，
n＋1 n
P(A | )＝1－＝，
n＋1n
由全概率公式可得，P ＝P(A )
n＋1 n＋1
＝P(A)P(A |A)＋P()·P(A |)
n n＋1 n n n＋1n
＝P＋(1－P)＝－P＋，
n n n
因此P －＝－，
n＋1
因为P－＝≠0，
1
所以是以为首项，－为公比的等比数列．②由①可得，
P＝＋×n－1，
n
当n为大于1的奇数时，
P＝＋×n－1
n
≤＋×2＝；
当n为正偶数时，
P＝－×n－1<<.
n
综上所述，当n≥2时，P≤.
n
3．解 (1)从盒子中有放回地抽取4个球，记录该次所抽取的黑球数目X，
∵从该盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为p(0<p<1)．
∴X～B(4，p)，
∴X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P (1－p)4 4p(1－p)3 6p2(1－p)2 4p3(1－p) p4
(2)①由(1)可知
f(p)＝n P(X＝x)
i
＝2ln 6p2(1－p)2＋3ln 4p3(1－p)
＝8ln 2＋2ln 3＋13ln p＋7ln(1－p)，
∴f′(p)＝－＝，
令f′(p)＝0，解得p＝，
∴当p∈时，f′(p)>0，f(p)单调递增；
当p∈时，f′(p)<0，f(p)单调递减，
∴f(p)存在唯一的极大值点
p＝.
0
②估计盒子中黑球的数目为60p＝39.理由如下：
0
由①可知，当且仅当p＝时，
f(p)取得最大值，
即n P(X＝x)取得最大值，出现上述实验结果的概率最大，
i
∴可以认为从盒子中任意抽取一个球，抽到黑球的概率为，从而估计该盒子中黑球的数目为
39是合理的．
4．解 (1)由题意知，被感染人数X～B(a，p)，
则P(X)＝CpX(1－p)a－X(0≤X≤a)，E(X)＝ap.
(2)①第n天被感染的人数为
(1＋2p)n－1，
第(n－1)天被感染的人数为
(1＋2p)n－2，
由题目中均值的定义可知，
E＝(1＋2p)n－1－(1＋2p)n－2
n
＝2p(1＋2p)n－2(n≥2)，
则＝1＋2p，且E＝2p.
2
∴{E}(n≥2)是以2p为首项，
n
1＋2p为公比的等比数列．
②令f(p)＝ln(1＋p)－p，
则f′(p)＝－＝.
∴f(p)在上单调递增，在上单调递减．
∴f(p) ＝f ＝ln －
max
＝ln 3－ln 2－
≈1.1－0.7－0.3＝0.1.
∵当a＝10时，
E＝10p(1＋10p)n－2，
n
∴E′＝10×0.1×(1＋10×0.1)4
6
＝16，
E＝10×0.5×(1＋10×0.5)4
6
＝6 480.
∵E 远大于E′，
6 6
∴戴口罩很有必要．