文档文本内容
第01 讲 集合
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 集合的含义与表示..........................................................................................................4
考点二 集合间的基本关系..........................................................................................................4
考点三 集合的基本运算..............................................................................................................5
考点四 venn 图.............................................................................................................................5
考点五 集合新定义......................................................................................................................6
三阶突破训练.................................................................................................................7
基础过关........................................................................................................................................7
能力提升........................................................................................................................................8
真题感知......................................................................................................................................10
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2025 年北京卷，第一题，5
分
集合的交集
无
2025 年，全国I 卷，5 分
集合的补集
无
2024 年新I 卷，第1 题,5 分
集合的交集
一元三次不等式的解法及范围估算
2023 年新I 卷，第1 题,5 分
集合的交集
一元二次不等式的解法
2023 年新Ⅱ卷，第2 题,5 分
元素的性质、集合的子集
无
2022 年新I 卷，第1 题,5 分
集合的交集
根号不等式的解法
2022 年新Ⅱ卷，第1 题,5 分
集合的交集
单绝对值不等式的解法
2021 年新I 卷，第1 题,5 分
集合的交集
无
2021 年新Ⅱ卷，第2 题,5 分
集合的交集、补集
无
二、命题规律及备考策略
【命题规律】集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式的形式，结合有限集、无限
集来考查集合的交、并、补集等运算，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1 题，以简单题为
【备考策略】1.理解、掌握集合的表示方法，能够判断元素与集合、集合与集合的关系
2.能掌握集合交集、并集、补集的运算和性质
3.具备数形结合的思想意识，会借助Venn 图、数轴等工具解决集合的计算问题
4.会解一元二次不等式、一元二次方程、简单的分式不等式、简单的根号不等式，简单的指
对不等式，简单的高次不等式和简单的单绝对值不等式
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般给两个集合，要求通过解不等式求出一个集合，然后
通过集合的运算得出答案。
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征： 、 、 ．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法： 、 、 ．
(4)常见数集的记法
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
Z
Q
R
2．集合的基本关系
(1)子集：若对于任意的x∈A 都有x∈B，则A⊆B；
(2)真子集：若A⊆B，且A≠B，则A⫋B；
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；
(4)∅是任何集合的 ，是任何非空集合的 ．
3．集合的基本运算
表示
运算
文字语言
集合语言
图形语言
记法
交集
属于A 且属于B 的所有元素组
成的集合
{x|x∈A，且x∈B}
并集
属于A 或属于B 的元素组成的
集合
{x|x∈A，或x∈B}
补集
全集U 中不属于A 的元素组成
的集合称为集合A 相对于集合
U 的补集
{x|x∈U，x∉A}
考点一 集合的含义与表示
典例1．已知集合
，且
，则实数
的值为（ ）
A．
B．0
C．3
D．
或3
典例2．若集合
中只有一个元素，则
.
跟踪训练1．（2025·江苏·模拟预测）已知集合
满足
，若
，则必有
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知正六棱柱
的底面为边长为2，高为3，则集合
中元素的个数为（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
考点二 集合间的基本关系
典例1．设集合
，则
的真子集的个数是（ ）
A．8
B．7
C．4
D．3
典例2．（多选）已知集合
，则（ ）
A．满足
的数列的所有项构成的集合是集合A 的子集
B．满足
的数列的所有项构成的集合是集合A 的子集
C．若m，
，则
D．若m，
，则
跟踪训练1．设集合
，则集合
的非空真子集的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·河南·三模）(多选)已知全集
，集合
，
，
，若
，则（ ）
A．
的取值有个
B．
C．
D．
所有子集的个数为
考点三 集合的基本运算
典例1．已知集合
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·陕西咸阳·三模）设集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．设集合
，
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知非空集合A，B，
，若
，则实数
的取值
范围为 .
考点四 venn 图
典例1．已知集合
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集合为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4 秒敲响一声，乙钟每5 秒敲响一声，丙钟每6 秒敲响一声．
新年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲
响的次数分别
，则
（ ）
A．365
B．256
C．484
D．516
典例3．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（多选）若表示集合
和
关系的
图如图所示，则
可能是（ ）
A．
B．
C．
，
D．
跟踪训练3．一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130
人；同时修数学、语文两门课的学生有48 人，同时修数学、外语两门课的学生有30 人，同时修语文、外
语两门课的学生有21 人；三门课全修的学生有5 人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
考点五 集合新定义
典例1．设
，
是两个非空集合，定义
与
的差集
，则
等于
（ ）
A．P
B．
C．
D．M
典例2．规定集合
为集合
的第
个子集，其中
，若
，则
的值是（ ）
A．20
B．21
C．22
D．23
跟踪训练1．设
是集合
的两个子集，若规定满足
的集合
称为
的理
想配对，则满足条件的理想配对有（ ）.
A．8 种
B．9 种
C．27 种
D．16 种
跟踪训练2．将集合
分拆成两个集合
和
，且
，
，这样的分
拆方法共有 种．
跟踪训练3．给定整数
，设
，
，…，
是互不相等的非负实数，记集合
，
，求
的最小值，其中
表示集合X 中元素的个数．
1．已知集合
，集合
，
，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．集合
的子集个数为（ ）
A．15
B．16
C．31
D．32
3．已知集合
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·广东佛山·模拟预测）已知全集
，集合
，
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·广东佛山·二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·甘肃白银·二模）已知全集
，集合
，则图中阴影部分
表示的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知集合
的最大元素等于该集合的所有元素之和，则实数
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·云南玉溪·模拟预测）如图所示的Venn 图中，A，B 是非空集合，定义集合
为阴影部分表
示的集合.若集合
，集合
，则集合
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
9．设集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
1．已知集合
，
，则满足
的集合
的个数为（ ）
A．4
B．7
C．8
D．15
2．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4.已知集合
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.某寺院有甲、乙、丙三口铜钟．甲钟每4 秒敲响一声，乙钟每5 秒敲响一声，丙钟每6 秒敲响一声．新
年到来时，三口钟同时敲响并且同时停敲，某人共听到365 声钟响．若在此期间，甲、乙、丙三口钟敲响
的次数分别
，则
（ ）
A．365
B．256
C．484
D．516
6.已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）已知全集
，
，
，
，
，
则下列选项正确的为（ ）
A．
B．
的不同子集的个数为4
C．
D．
8．（多选）非空数集
，同时满足如下两个性质：（1）若
，则
；（2）若
，则
．称A 为一个“封闭集”，以下说法正确的是（ ）
A．若A 为一个“封闭集”，则
B．若A 为一个“封闭集”，且
，则
C．若
都是“封闭集”，则
是“封闭集”的充要条件是
或
D．若
都是“封闭集”，则
是“封闭集”的充要条件是
或
9.设集合，
，
，
，，
中，至少有两个元素，且，
满足：①对于任意
，
，若
，都有
；②对于任意
，
，若
，则
．若有4 个元素，则
有 个元
素．
10.一个学校只有三门课程：数学、语文、外语，已知修这三门课的学生分别有172，132，130 人；同时修
数学、语文两门课的学生有48 人，同时修数学、外语两门课的学生有30 人，同时修语文、外语两门课的
学生有21 人；三门课全修的学生有5 人.问：
(1)该校共有多少学生？
(2)只修一门课的学生有多少？
(3)正好修两门课的学生有多少？
1．（2025·全国二卷·高考真题）已知集合
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·北京·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·天津·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（2025·全国一卷·高考真题）已知集合
，
，则
中元素个数为
（ ）
A．0
B．3
C．5
D．8
5．（2024·北京·高考真题）已知
是平面直角坐标系中的点集.
设
是
中两点间距离的最大值，是
表示的图形的面积，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
6．（2024·北京·高考真题）已知集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2024·全国甲卷·高考真题）若集合
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2025·上海·高考真题）已知全集
，集合
，则
．
10．（2024·上海·高考真题）设全集
，集合
，则
．
