文档文本内容
第01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01
考情研究
...................................................................................................................
2
02
知识梳理
·
.................................................................................................................
3
03
探究核心考点
...........................................................................................................
4
考点一：空间几何体的结构特征
........................................................................................................
6
考点
二
：直观图
..................................................................................................................................
29
考点
三
：展开图
....................................................................................................................................
9
考点
四
：最短路径问题
......................................................................................................................
11
考点
五
：空间几何体的表面积
..........................................................................................................
13
考点
六
：空间几何体的体积
..............................................................................................................
15
三
段突破训练
基础训练
·
.............................................................................................................................................
51
能力提升
..............................................................................................................................................
54
真
感知
题
..............................................................................................................................................
55
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
考情分析
（1）基本立体图
形
（2）表面积与体
积
2025 年上海卷第7 题，5 分
2025 年北京卷第14 题，5 分
2024 年I 卷第5 题，5 分
2024 年甲卷（理）第14 题，5 分
2024 年天津卷第9 题，5 分
2023 年乙卷（理）第8 题，5 分
2023 年甲卷（文）第10 题，5 分
2023 年天津卷第8 题，5 分
2023 年Ⅱ卷第14 题，5 分
2023 年I 卷第12 题，5 分
（1）理解基础空间图形及其简单组
合体的概念与核心特征，具备解决
基本实际问题的能力；
（2）多面体和球体的计算题是近年
考试的重点内容；
（3）运用图形概念描述图形的基本
关系和结果，突出考查直观想象与
逻辑推理能力。
二、课标要求
1.认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的
结构；
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际
问题；
3.会用斜二测画法画出简单空间图形（球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图。
三、知识导图
1.空间几何体的结构特征
（1） 多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相①且②
多边形
互相③且④
侧棱
⑤
相交于⑥，但不一定相
等
延长线交于
⑦
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
点拨 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系：
（2） 旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，⑧于底
面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
⑨
⑩
⑪
⑫
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
【答案】（1） 平行；全等；平行；相似；平行且相等；一点；一点
（2） 垂直；矩形；等腰三角形；等腰梯形；圆
点拨（1）球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；（3）球心到
截面的距离d
与球的半径R 及截面的半径r
的关系为r =
❑√R
2-d
2.
2.直观图
（1）画法：常用斜二测画法。
（2）规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴与y '轴的夹角为⑬,z'轴与x'轴和y '轴所在平面⑭.
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别⑮于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原
长度⑯，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的⑰.
【答案】45
∘ 或135
∘； 垂直； 平行； 不变； 一半
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=
⑱
S圆锥侧=
⑲
S圆台侧=
⑳
【答案】2π rl； π rl； π(r ' +r )l
4.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
名称
表面积
体积
柱体（棱柱
和圆柱）
S表面积= S侧+2S底
V = S底h
锥体（棱锥
和圆锥）
S表面积= S侧+ S底
V = ㉑
台体（棱台
和圆台）
S表面积= S侧+ S上+ S下
V = 1
3 (S上+ S下+ ❑√S上S下)h
球
S = ㉒
V = ㉓
【答案】1
3 S底h； 4 π R
2； 4
3 π R
3
考点一：空间几何体的结构特征
典例1．（25-26 高一上·陕西·开学考试）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这
个几何体不可能是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．五棱柱
D．正方体
【答案】A
【解析】对于A：一个平面只能截出三角形，圆与圆锥曲线，所以一个平面截圆锥，截面不可能为长方形，
故A 是；对于B：作一个轴截面，如图，截面
即为长方形，故B 不是；
对于C：作一个直五棱柱，作出如图的截面，截面
即为长方形，故C 不是；
对于D：做出如图的体对角面，截面
即为长方形，故D 不是.
故选：A
典例2．（2025·云南昆明·模拟）下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4 个点，则由这4 个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三
角形的四面体
【答案】D
【解析】对于A 选项，四棱柱的底面不一定是平行四边形，A 选项错误；对于B 选项，作球的一个截面，
在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故B 选项错误；对于C 选项，如图在圆台
的上底面的圆周上取点
，在下底面的圆周上取点
，连接
，则
不是圆台的母线，
所以在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆台的母线，故C 选项错误；
对于D 选项，如图取正方体
的顶点
，
由这四个点构成四面体
，设
，则
，
，
所以在四面体
中，
，
，
均是直角三角形，
为等边三角形，故D 选项正确．
故选：D
【方法技巧】
（1）熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关
系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。例如以长方体为基础模型，将其中一个侧面替换为平
行四边形，即可得到一个侧棱不垂直于底面的四棱柱，从而验证“四棱柱的侧面都是矩形”这一命题的错
误，构建模型时需注意保持关键条件的一致性，避免引入无关变量。
（2）通过反例对空间几何体的结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可。
反例的选取应紧扣命题的核心条件，如针对“有两个面互相平行且其余各面都是梯形的几何体是棱台”这
一命题，可选取两个底面相似但对应边不平行的梯形拼接而成的几何体，其不满足棱台各侧棱延长后交于
一点的特征，即为有效的反例；反例需具体可感，尽量用常见几何体或坐标表示，使辨析过程更直观。
跟踪训练1．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱
B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个D．直棱柱的侧面是矩形
【答案】D
【解析】对于A，两个四棱锥不一定可以拼成一个四棱柱，A 错误．
对于B，正三棱锥的底面是等边三角形，侧面是等腰三角形，不一定是等边三角形，B 错误．
对于C，经过不共线的三个点只能确定一个平面，经过不共线的三个点的球有无数个，C 错误．
对于D，直棱柱的侧面是矩形，D 正确．
故选：D
2.（25-26 高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ）
A．正三角形
B．梯形
C．直角三角形
D．矩形
【答案】C
【解析】对于A 中，在正方体
中，连接
，
此时截面
为等边三角形，所以A 不符合题意；
对于B 中，取
的中点分别为
，连接
，
可得
，且
，所以
，
所以截面
为等腰梯形，所以B 不符合题意；
对于D 中，在正方体
中，截面
为矩形，所以D 不符合题意；
对于C 中，在
分别取点
，设
，
可得
，
则
，
同理可得：
，所以
均为锐角，
所以截面
为锐角三角形，所以C 符合题意.
故选：C.
考点二：直观图
典例1．（25-26 高二上·辽宁·开学考试）如图，水平放置的
的斜二测直观图为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
，所以
．
因为
，所以
，
，所以
．
还原直观图得到
，如图所示．
因为
，
，所以
．
故选：B
典例2．（25-26 高二上·辽宁·阶段练习）如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画
法画出的直观图，其中
，
，则原四边形
中最长边的长度为（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
【答案】D
【解析】将直观图还原为原图，如图，
在直观图中，
，则
，
故在原图中，
，
，
所以
，而
，
所以原四边形ABCD 中最长边为6.
故选：D
【方法技巧】
（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段。平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴
的线段平行性不变，长度减半。
（2）斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：
．
跟踪训练1．（24-25 高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得
到的直观图，
，
，则平面图形
中对角线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由直观图知原几何图形是直角梯形
，
如图，由斜二测画法可知
，
，
所以
.
故选：A.
2.用斜二测画法画出的水平放置的
的直观图如图所示，其中
是
的中点，且
轴，
轴，
，那么
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
【答案】D
【解析】根据题意，把直观图还原出原平面图形为等腰三角形，如图所示，
其中
，
，
，
原平面图形的面积为
.
故选：D．
考点三：展开图
典例1．如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，将展开图重新组合成正方体. 显然
. 因此A 选项正确.
由图易得
，显然
与
所成角非直角，因此异面直线
与
所成角也非直角，所以
不成立. 因此B、C 选项不正确.
由图易得
，显然
与
相交，因此
不成立. 因此D 选项不正确.
故选：A
典例2．（2025·新疆·二模）已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
圆锥的侧面展开图是一个半圆，则
，得
，
又表面积
，解得
，
所以圆锥的高为
，
所以圆锥的体积为
．
故选：B．
【方法技巧】
（1）多面体展开图形状多样，需通过实践与观察建立立体图形与展开图的对应关系；
（2）对于圆锥、圆台等旋转体，展开图的几何特性（如半圆、扇环）常用于推导关键参数；
（3）结合具体实例，灵活运用公式与空间想象能力，可高效解决复杂问题。
跟踪训练
1.（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环
，且
，
的弧长分别为
，
．若
，则该圆台的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【难度】0.65
【解析】由题设，圆台上下底面半径分别为
，高
，
所以圆台的体积
.
故选：C
2.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门．某商家设计的折叠储物凳是正三
棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠．每个侧面梯形的上底长为
分米，下底长为
分米，梯形的
腰长为
分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（ ）
A．
立方分米
B．
立方分米
C．7 立方分米
D．
立方分米
【答案】D
【解析】如图，在正三棱台
中，
，
将棱台补全为正三棱锥
，设
为底面
的中心，连接
，则
平面
，
而
平面
，所以
，因为
，所以
，
，
所以
，则正三棱台
的高
，
该正三棱台的上底面面积
，
下底面面积
，所以该正三棱台储物凳的储物容积
.
故选：D.
考点四：最短路径问题
典例1．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台
，在轴截面
中，
，且
，则一只小虫从点
沿着该圆台的侧面爬行到点
所经过的最短路程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以圆
的周长是圆
周长的两倍，则弧
的弧长
.
将圆台一半侧面展开，如图1 中扇环
所示．
延长
和
交于点
，连接
，如图1 所示，由
可得
，
所以
，则
，所以在
中，
，
即点
到点
所经过的最短路程为
．
故选：C．
典例2．（2025·江苏·模拟）如图， 四棱锥
截取自边长为1 的正方体.其中
平面
且
是线段
上靠近
的三等分点，
是线段
上最靠近 B 的四等
分点，M，N 分别是棱
和
上的动点且恒有
， 垂足为H， 则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】先把
及
展开在一个平面上，当过
点做
的垂线垂足为
,
，当
三点共线时即得
的最小值
，因为
是取自边长为1 的正方体，易知
，且
面
，
面
，所以
，
，
，
，
在
，等面积法得
，
因为
是
靠近
的三等分点，所以
，所以
.
故选：C.
【方法技巧】 此类问题的核心在于大胆展开几何体表面，将其转化为平面上两点间的线段最短问题。通
过展开图简化复杂空间几何关系，从而高效求解。
跟踪训练1．（2025·贵州·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为
，
山高为
是山坡
上一点，且
．现要建设一条从
到
的环山观光公路，这条公路从
出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】依题意，半径为
，山高为
，则母线
，
底面圆周长
，则圆锥侧面展开图扇形的圆心角
，如图，是圆锥侧面展开图，
显然
，
由点向
引垂线，垂足为点
，此时
为点和线段
上的点连线的最小值，
即点
为公路的最高点，
段为上坡路段，
段为下坡路段，
由直角三角形射影定理知
，即
，解得
，
所以公路上坡路段长为
．
故选：D
2.（24-25 高二下·云南·期中）已知正三棱锥
侧棱长
.一只小蚂蚁从顶点A 出发沿
着棱锥的侧面爬行一周回到A 点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．
B．
C．3
D．
【答案】D
【解析】
将三棱锥三个侧面沿着
剪开展开置于同一平面内如图所示，则
，所求最短距离为线段
的长度，而
，由勾股定理得
，所以虫子爬行的最短距离
.
故选：D
考点五：空间几何体的表面积
典例1．（2025·福建福州·模拟）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设圆锥的母线长为，依题意，可得
，解得
，则该圆锥的表面积为
.
故选：C.
典例2．（2025·郑州·模拟）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示.已知正六棱柱
的底面正六边形边长为3 cm，高为4 cm，内孔半径为1 cm，则此几何体的表面积是（ ）
A. (72+ 27 ❑√3
2
+6 π ) cm
2
B. (72+27 ❑√3+8 π ) cm
2
C. (72+27 ❑√3+6 π ) cm
2
D. (60+27 ❑√3+6 π ) cm
2
【答案】C
【解析】选C. 正六棱柱的侧面积为3×4×6=72(cm
2)，所求几何体上、下底面面积为
( 1
2 ×3
2×
❑√3
2 ×6- π )×2=(27 ❑√3-2π )(cm
2)，挖去的圆柱的侧面积为2π ×4 =8 π(cm
2)，则所求几何
体的表面积为(72+27 ❑√3+6 π )(cm
2).
【方法技巧】
求多面体的表面积将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表
面积
求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表
面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥
体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给不规则几何体的表面积
跟踪训练
1.（2025·四川凉山·三模）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为
，则该圆锥的高为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆半径为，圆锥高为，则圆锥的侧面积为
，轴截面的面积为
，
依题意
，解得
.
故选：A.
2.（2025·天津和平·三模）已知底面半径为
的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底
面半径为
，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可知圆锥的轴截面是边长为
的正三角形，
则圆锥的高
，如图，
由△
△
，可得
，则
，
，
圆柱侧面积
，圆锥侧面积
，则
．
故选：C．
考点六：空间几何体的体积
典例1．（2025·四川成都·一模）已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为
，则该圆锥的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图所示，因为母线与底面所成角的大小为
，所以
，
，所以该圆锥的体积为
，
故选：A
典例2．（2025·江苏南京·二模）已知平行六面体
中，各棱长均为
，
，则四棱锥
的体积为 .
【答案】
【解析】四棱锥
和平行六面体
同底同高，故四棱锥
的体积为平行
六面体体积的
，平行六面体的高即为正四面体
的高，如下图所示：
设点
在平面
的射影为点
，则
为正
的中心，
由正弦定理可得
，
，
菱形
的面积为
，
所以平行六面体的体积为
，
所以四棱锥
的体积为
故答案为：
【方法技巧】 求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
跟踪训练
1.（2025·江西·模拟）（多选题）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长
相等，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．三棱柱的表面积为
C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为
D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为
【答案】ACD
【解析】对于A 项，设正方体的棱长为
，则
，解得
，
则三棱锥的表面积为
，故A 正确；
对于B 项，三棱柱的表面积为
，故B 错误；
对于C 项，易知该三棱锥为正四面体，如图，
高
，
则三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为
，故C 正确；
对于D 项，
，
所以三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为
，故D 正确.
故选：ACD.
2.（2025·河北唐山·模拟预测）一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成
的几何体的体积为 ．
【答案】
【解析】如图，
为等边三角形，O 为
的中点，
，
以其边
所在直线为轴，其余各边旋转一周围成的几何体是以
为半径的圆为底面高为1 的两个圆锥，
故几何体体积为
，
故答案为：
1.如图所示，在三棱台
中，截去三棱锥
，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
【答案】B
【解析】三棱台
中，沿平面
截去三棱锥
，
剩余的部分是以
为顶点，四边形
为底面的四棱锥
．
故选：B
2.（24-25 高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的直观图，
，
，则平面图形
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．3
【答案】D
【解析】在梯形
中，
，则该梯形的高为
，梯形
的面积为
，在斜二测画法中，原图形的面积是对应直观图面积的
，所以平面图形
的面积
.
故选：D
3.如图，已知圆柱体底面圆的半径为
，高为
，
，
分别是两底面的直径，
，
是母线．
若一只小虫从
点出发，从侧面爬行到
点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根
式）
A．
B．
C．
D．4
【答案】C
【解析】如图，在圆柱侧面展开图中，线段
的长度即为所求，在
中，
，
，
.
故选；C
4.（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆锥的侧面积为
，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为，由
，得
，又
，
所以
，解得
，
；所以圆锥的高为
.
故选：A.
5.如图，在正三棱锥
中，
，侧棱长为4，过点C 的平面与侧棱AB，AD 分别交于
，
，则
的周长的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意，把正三棱锥
侧面沿
展开，
所以
的周长为
，
在正三棱锥
中，
，侧棱长为4，
所以
，
，
，
故选：C.
6.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P
出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为 .
【答案】
【解析】P 为圆台母线AB 的中点，
分别为上下底面的圆心，把圆台扩成圆锥，如图所示，
则
，
，
，由
，有
，
，
，
圆锥底面半径
，底面圆的周长为
，母线长
，
所以侧面展开图的扇形的圆心角为
，即
，如图所示，
质点从点P 出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，连接
，
，
，有
.此时点到
的距离为
，则运动的最短路径为展开图中弦
，
所以该质点运动的最短路径长为
.
故答案为：
.
7.（2025·海南·模拟预测）已知一个圆锥的母线长为
，高为2，则该圆锥的表面积为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题知圆锥母线
，高
，
所以底面圆的半径
，
则圆锥的侧面积
，底面积
，
所以圆锥的表面积
.
故选：B.
8.（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4 和16，侧棱长为
，则该正四棱
台的体积为（ ）
A．
B．
C．56
D．
【答案】A
【解析】如图所示的正四棱台，连接
,
作
平面
，由正四棱台的性质可知
在
上.
因为正四棱台的上、下底面面积分别为4 和16，所以正四棱台的上、下底面边长分别为2 和4，
所以
.易知四边形
为等腰梯形，所以
，
由勾股定理得
，所以四棱台的体积为
.
故选：A.
9.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为
，
设扇形半径为
，则有
，解得
，因此圆锥的母线长为
，
所以圆锥的高
.
故选：D
10.（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1 和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则
该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆台的母线长，圆台为高为，
则圆台的上、下底面圆的面积分别为
，侧面积为
，
所以
，可得
，则
，
所以圆台的体积为
.
故选：B.
1.（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设圆锥母线长为，可得底面圆的周长为
，由题意可得
，解得
，
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为
.
故选：D.
2.（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为
，则该圆台的侧面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】根据题意可知，圆台上底面面积为
，下底面面积为
；
设圆台的高为，由体积可得
，
解得
，所以可得圆台母线长为
，
根据侧面展开图可得圆台侧面积为
.
故选：C
3.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为
的扇环，则圆台
上下底面圆周长之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设圆台的侧面展开图扇环的内圆半径为
，外圆半径为
，（
），则圆台母线长为
，
设圆台上、下底面圆半径分别为
，
（
），
则
，
，∴
，
圆台上下底面圆周长之差的绝对值为
.
故选：A.
4.（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台
的体积为
，且
，则正四
棱台的高为（ ）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A
【解析】已知
，
，因为正四棱台的底面为正方形，可得下底面积
，上底面积
. 已知正四棱台体积
，将
，
代入正四棱台体积公式
，可得
.解得
. 即正四棱台的高为
.
故选：A.
5.（2025·山东德州·三模）已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的
倍，则此正三棱锥的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，在正三棱锥
中，设顶点
在底面的射影点为
，则
为正
的中心，
延长
交
于点
，则
为
的中点，连接
，
因为正
的边长为
，
为
的中点，则
，
因为
，则
，则
，
，
由题意可知，正三棱锥的侧面积为
，则
，
即
，即
，故
，
因为
为正
的中心，则
，
因为
平面
，
平面
，则
，
所以
，
因此，该三棱锥的体积为
.
故选：D.
6.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为空间一定点，圆锥
（
为底面的中心 ）表面上的所有点到
点
的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为圆锥
表面上所有点到点
的距离均不超过3，
所以圆锥
表面上所有点均在以定点
为球心，3 为半径的球内或球面上，
要使圆锥
的体积最大，则圆锥
的顶点及底面圆周上的所有点均在球面上，
且球心
在圆锥的内部，此时圆锥
的轴截面如图所示.
设圆锥
的底面圆周的半径为，球心
到圆锥底面的距离为
，
则
，所以
，
圆锥
的体积
，
则
.
由
，得
； 由
，得
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以当
时，
，
此时该圆锥的母线长为
，从而其侧面积
.
故选：A.
7.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3 倍，两腰与下底边所成角为
，
面积为
．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】如图，由题意得
．
设等腰梯形ABCD 的上、下底边长分别为a，
，
，即
．
分别过点D，A 作
，垂足分别为点G，F，
因为
，则四边形ADGF 为矩形，且
，所以
．
在
中，
，
，
则等腰梯形的面积
，解得
，
则圆台的上、下底面的半径分别为
，母线长为
，
所以圆台的侧面积为
．
故选：A．
8.（2025·宁夏银川·二模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个
侧面的面积为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设
，则
，正四棱台的各个侧面都为等腰梯形，上下底面为正方形，
､
在四边形
中，过点
作
于点
，
，则
，
，解得
，
在平面
中，过点
作
于点
，则
为正四棱台的高，
且
，因此
，
该正四棱台的体积为
.
故选：D
9.（2025·辽宁·三模）（多选题）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将
纸剪断），可以得到的图形的直观图是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】
A 项沿着
和
竖线剪开，沿中间线上翻得到.
B 项
和
线剪开，
和
线剪开，沿中间线上翻得到.
C 项四边形
和四边形
都被剪了，四边形
和四边形
位置冲突，所以不可能得到.
D 项沿
和
剪开，沿中间线上翻，再沿
线剪开，沿中间线下翻得到.
故选：ABD.
10.（2025·广东梅州·一模）分别以锐角三角形
的边
，
，
为旋转轴旋转一周后得到的几何体
体积之比为
，则
．
【答案】
【解析】设以边
，
，
为旋转轴旋转一周后得到的几何体体积分别为
，
，
，
设
边上的高为
，
设
，
则
，可得
，
可得：
，
同理可得
，
，
由题意可得：
，
由
得
，
由正弦定理得
，故
，即
，
同理可得
，所以
．
故答案为：
1.（2020·江苏卷·9 题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正
六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
【答案】
【解析】正六棱柱体积为
，圆柱体积为
，所求几何体体积为
故答案为：
2.（2020·浙江卷·14 题）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这
个圆锥的底面半径（单位：
）是_______．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得
.
故答案为：
3.（2020·海南卷·13 题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的中点，则三棱锥A-
NMD1的体积为____________
【答案】
【解析】
因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的中点
所以
故答案为：
4.（2022·新高考1 卷·8 题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，
且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】∵球的体积为
，所以球的半径
,
[方法一]：导数法
设正四棱锥的底面边长为
，高为，则
，，所以
，
所以正四棱锥的体积
，
所以
，
当
时，
，当
时，
，
所以当
时，正四棱锥的体积
取最大值，最大值为
，
又
时，
，
时，，所以正四棱锥的体积
的最小值为
，
所以该正四棱锥体积的取值范围是
.
故选：C.
[方法二]：基本不等式法
由方法一故所以
当且仅当
取到，
当
时，得
，则
当
时，球心在正四棱锥高线上，此时
，
，正四棱锥体积
，故该正四棱锥体积的取值范围是
5.（2022·北京·9 题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的集合．设集
合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设顶点
在底面上的投影为
，连接
，则
为三角形
的中心，
且
，故
.
因为
，故
，故的轨迹为以
为圆心，1 为半径的圆，
而三角形
内切圆的圆心为
，半径为
，
故的轨迹圆在三角形
内部，故其面积为
故选：B
6.（2022·天津·8 题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三
棱柱的底面是顶角为
，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23
B．24
C．26
D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱
及直三棱柱
组成，作
于M，如图，
因为
，所以
，
因为重叠后的底面为正方形，所以
,
在直棱柱
中，
平面BHC，则
,
由
可得
平面
，
设重叠后的EG 与
交点为
则
则该几何体的体积为
.
故选：D.
7.（2022·新课标甲卷·文10 题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设母线长为，甲圆锥底面半径为
，乙圆锥底面圆半径为
，则
，所以
，
又
，则
，所以
，所以甲圆锥的高
，
乙圆锥的高
，所以
.
故选：C.
8.（2022·新高考2 卷·11 题）（多选题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【解析】
设
，因为
平面
，
，则
，
，连接
交
于点
，连接
，易得
，
又
平面
，
平面
，则
，又
，
平面
，则
平面
，
又
，过
作
于
，易得四边形
为矩形，则
，
则
，
，
，则
，
，
，
则
，则
，
，
，故A、B 错误；C、D 正确.
故选：CD.
9.（2021·新高考2 卷·5 题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】作出图形，连接该正四棱台上下底面的中心，如图，
因为该四棱台上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，
所以该棱台的高
，
下底面面积
，上底面面积
，
所以该棱台的体积
.
故选：D.
10.（2021·北京·8 题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上
积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：
）．24h 降雨量的等级划分如下：
等
级
24h 降雨量（精确到0.1）
…
…
……
小
雨
0.1~9.9
中
雨
10.0~24.9
大
雨
25.0~49.9
暴
雨
50.0~99.9
…
…
……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h 的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h 降雨量的等级是
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨
【答案】B
【解析】由题意，一个半径为
的圆面内的降雨充满一个底面半径为
，
高为
的圆锥，所以积水厚度
，属于中雨.
故选：B.
11.（2021·新高考2 卷·4 题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指
与赤道平面所成角
的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%
B．34%
C．42%
D．50%
【答案】C
【解析】由题意可得，S 占地球表面积的百分比约为
.
故选：C.
12.（2021·新课标甲卷·文14 题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为
________.
【答案】
【解析】∵
∴
∴
∴
.
故答案为：
.
13.（2023·天津卷·8 题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】如图，分别过
作，垂足分别为
.过
作
平面
，垂足为
，连接，过
作，
垂足为
.
因为
平面
，
平面
，所以平面
平面
.
又因为平面
平面
，
，
平面
，所以
平面
，且
.
在
中，因为
，所以
，所以
，
在
中，因为
，所以
，
所以
.
故选：B
14.（2023·新高考1 卷·12 题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器
（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
【答案】ABD
【解析】对于选项A：因为
，即球体的直径小于正方体的棱长，
所以能够被整体放入正方体内，故A 正确；
对于选项B：因为正方体的面对角线长为
，且
，
所以能够被整体放入正方体内，故B 正确；
对于选项C：因为正方体的体对角线长为
，且
，
所以不能够被整体放入正方体内，故C 正确；
对于选项D：因为
，可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，
如图，过
的中点
作
，设
，
可知
，则
，
即
，解得
，
且
，即
，
故以
为轴可能对称放置底面直径为
圆柱，
若底面直径为
的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心
，与正方体的下底面的切点
为
，
可知：
，则
，
即
，解得
，
根据对称性可知圆柱的高为
，
所以能够被整体放入正方体内，故D 正确；
故选：ABD.
15.（2023·新高考1 卷·14 题）在正四棱台
中，
，则该棱台的体积
为________．
【答案】
【解析】如图，过
作
，垂足为
，易知
为四棱台
的高，
因为
，
则
，
故
，则
，
所以所求体积为
.
故答案为：
.
16.（2024·新高考Ⅰ卷·5 题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为
，
而它们的侧面积相等，所以
即
，
故
，故圆锥的体积为
.
故选：B.
17.（2024·新高考Ⅱ卷·7 题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面
ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】解法一：分别取
的中点
，则
，
可知
，
设正三棱台
的为，
则
，解得
，
如图，分别过
作底面垂线，垂足为
，设
，
则
，
，
可得
，
结合等腰梯形
可得
,
即
，解得
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值为
；
解法二：将正三棱台
补成正三棱锥
，
则
与平面ABC 所成角即为
与平面ABC 所成角，
因为
，则
，
可知
，则
，
设正三棱锥
的高为
，则
，解得
，
取底面ABC 的中心为
，则
底面ABC，且
，
所以
与平面ABC 所成角的正切值
.
故选：B.
18.（2024·北京卷·8 题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
【答案】D
【解析】如图，底面
为正方形，
当相邻的棱长相等时，不妨设
，
分别取
的中点
，连接
，
则
，且
，
平面
，
可知
平面
，且
平面
，
所以平面
平面
，
过
作
的垂线，垂足为
，即
，
由平面
平面
，
平面
，
所以
平面
，
由题意可得：
，则
，即
，
则
，可得
，
所以四棱锥的高为
.
当相对的棱长相等时，不妨设
，
，
因为
，此时不能形成三角形
，与题意不符，这种情况不存在.
故选：D.
19.（2024·天津卷·9 题）一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】用一个完全相同的五面体
（顶点与五面体
一一对应）与该五面体相嵌，使
得
；
;
重合，因为
，且两两之间距离为1．
，
则形成的新组合体为一个三棱柱，该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1 的等边三角形，侧
棱长为
，
.
故选：C.
20.（2025·北京卷·14 题）已知三个圆柱的体积为公比为10 的等比数列．第一个圆柱的直径为65mm，第二、
三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ．
【答案】
【解析】设第一个圆柱的高为
，第二个圆柱的高为
，则
，
故
，
，
故答案为：
.
21.（2025·上海卷·7 题）如图，在正四棱柱
中，
，
，则该正四棱柱的体
积为
．
【答案】112
【解析】由题知，底面
为正方形，所以
，所以
，
因为四棱柱
为正四棱柱，所以
底面
，因为
底面
，
所以
，所以
，所以
，
所以该正四棱柱的体积为
．
故答案为：112．
