文档文本内容
第01 讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
目录
01
考情研究
...................................................................................................................
2
02
知识梳理
·
.................................................................................................................
3
03
探究核心考点
...........................................................................................................
4
考点一：空间几何体的结构特征
........................................................................................................
6
考点
二
：直观图
..................................................................................................................................
29
考点
三
：展开图
....................................................................................................................................
9
考点
四
：最短路径问题
......................................................................................................................
11
考点
五
：空间几何体的表面积
..........................................................................................................
13
考点
六
：空间几何体的体积
..............................................................................................................
15
三阶
突破训练
基础训练
·
.............................................................................................................................................
51
能力提升
..............................................................................................................................................
54
真题感知
..............................................................................................................................................
55
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
考情分析
（1）基本立体图
形
（2）表面积与体
积
2025 年上海卷第7 题，5 分
2025 年北京卷第14 题，5 分
2024 年I 卷第5 题，5 分
2024 年甲卷（理）第14 题，5 分
2024 年天津卷第9 题，5 分
2023 年乙卷（理）第8 题，5 分
2023 年甲卷（文）第10 题，5 分
2023 年天津卷第8 题，5 分
2023 年Ⅱ卷第14 题，5 分
2023 年I 卷第12 题，5 分
（1）理解基础空间图形及其简单组
合体的概念与核心特征，具备解决
基本实际问题的能力；
（2）多面体和球体的计算题是近年
考试的重点内容；
（3）运用图形概念描述图形的基本
关系和结果，突出考查直观想象与
逻辑推理能力。
二、课标要求
1.认识柱体、锥体、台体、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的
结构.
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥和圆台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际
问题.
3.会用斜二测画法画出简单空间图形（球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体）的直观图.
三、知识导图
1.空间几何体的结构特征
（1） 多面体的结构特征
名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相 且
多边形
互相 且
侧棱
相交于 ，但不一定相
等
延长线交于
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
点拨 常见的几种四棱柱的结构特征及其之间的关系：
（2） 旋转体的结构特征
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等， 于底
面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
点拨（1）球的任何截面都是圆面；（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；（3）球心到
截面的距离d
与球的半径R 及截面的半径r
的关系为r =
❑√R
2-d
2.
2.直观图
（1）画法：常用斜二测画法.
（2）规则：
原图形中
①
x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x'轴与y '轴的夹角为 ,z'轴与x'轴和y '轴所在平面
.
原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别
②
于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持
原长度 ，平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的 .
3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S
柱
圆
侧=
S圆锥侧=
S圆台侧=
4.柱体、锥体、台体、球的表面积和体积
名称
表面积
体积
柱体（棱柱
和圆柱）
S
积
表
面= S侧+2S底
V = S底h
锥体（棱锥
和圆锥）
S表面积= S侧+ S底
V =
台体（棱台
和圆台）
S表面积= S侧+ S上+ S下
V = 1
3 (S上+ S下+ ❑√S上S下)h
球
S =
V =
考点一：空间几何体的结构特征
典例1．（25-26 高一上·陕西·开学考试）用一个平面去截一个几何体，如果截面的形状是长方形，那么这
个几何体不可能是（ ）
A．圆锥
B．圆柱
C．五棱柱
D．正方体
典例2．（2025·云南昆明·模拟）下列说法正确的是（ ）
A．四棱柱的所有面均为平行四边形
B．球面上四个不同的点一定不在同一平面内
C．在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
D．在正方体的所有顶点中取4 个点，则由这4 个顶点可以构成三个面是直角三角形，一个面是等边三
角形的四面体
【方法技巧】
（1）熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关
系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定。例如以长方体为基础模型，将其中一个侧面替换为平
行四边形，即可得到一个侧棱不垂直于底面的四棱柱，从而验证“四棱柱的侧面都是矩形”这一命题的错
误，构建模型时需注意保持关键条件的一致性，避免引入无关变量。
（2）通过反例对空间几何体的结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只需举出一个反例即可。
反例的选取应紧扣命题的核心条件，如针对“有两个面互相平行且其余各面都是梯形的几何体是棱台”这
一命题，可选取两个底面相似但对应边不平行的梯形拼接而成的几何体，其不满足棱台各侧棱延长后交于
一点的特征，即为有效的反例；反例需具体可感，尽量用常见几何体或坐标表示，使辨析过程更直观。
跟踪训练1．下列命题是真命题的是（ ）
A．两个四棱锥可以拼成一个四棱柱
B．正三棱锥的底面和侧面都是等边三角形
C．经过不共线的三个点的球有且只有一个D．直棱柱的侧面是矩形
2.（25-26 高二上·北京·开学考试）用一个平面去截正方体，不可能截得的是以下平面图形中的（ ）
A．正三角形
B．梯形
C．直角三角形
D．矩形
考点二：直观图
典例1．（25-26 高二上·辽宁·开学考试）如图，水平放置的
的斜二测直观图为
，若
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（25-26 高二上·辽宁·阶段练习）如图，矩形
是水平放置的平面四边形
用斜二测画
法画出的直观图，其中
，
，则原四边形
中最长边的长度为（ ）
A．2
B．
C．4
D．6
【方法技巧】
（1）在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段.平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的
线段平行性不变，长度减半.
（2）斜二测法下的直观图与原图面积之间存在固定的比值关系：
．
跟踪训练1．（24-25 高一下·福建莆田·期中）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得
到的直观图，
，
，则平面图形
中对角线
的长度为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.用斜二测画法画出的水平放置的
的直观图如图所示，其中
是
的中点，且
轴，
轴，
，那么
（ ）
A．
B．2
C．
D．4
考点三：展开图
典例1．如图，这是一个正方体的平面展开图，在该正方体中，下列命题正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·新疆·二模）已知圆锥的表面积为9，它的侧面展开图是一个半圆，则圆锥的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
（1）多面体展开图形状多样，需通过实践与观察建立立体图形与展开图的对应关系；
（2）对于圆锥、圆台等旋转体，展开图的几何特性（如半圆、扇环）常用于推导关键参数；
（3）结合具体实例，灵活运用公式与空间想象能力，可高效解决复杂问题。
跟踪训练
1.（24-25 高三下·浙江湖州·阶段练习）已知某圆台的侧面展开图是如图所示的扇环
，且
，
的弧长分别为
，
．若
，则该圆台的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.“蝠”与“福”发音相同，在中国文化中，蝙蝠图案经常寓意福气临门。某商家设计的折叠储物凳是正三
棱台形状，如图，其侧面展开图形似蝙蝠。每个侧面梯形的上底长为
分米，下底长为
分米，梯形的
腰长为
分米，忽略储物凳的表面厚度，则该正三棱台储物凳的储物容积为（ ）
A．
立方分米
B．
立方分米
C．7 立方分米
D．
立方分米
考点四：最短路径问题
典例1．某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台
，在轴截面
中，
，且
，则一只小虫从点
沿着该圆台的侧面爬行到点
所经过的最短路程
为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·江苏·模拟）如图， 四棱锥
截取自边长为1 的正方体.其中
平面
且
是线段
上靠近
的三等分点，
是线段
上最靠近 B 的四等
分点，M，N 分别是棱
和
上的动点且恒有
， 垂足为H， 则
的最小值为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】 此类问题的核心在于大胆展开几何体表面，将其转化为平面上两点间的线段最短问题。通
过展开图简化复杂空间几何关系，从而高效求解。
跟踪训练1．（2025·贵州·一模）如图，这是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，山脚呈圆形，半径为
，
山高为
是山坡
上一点，且
．现要建设一条从
到
的环山观光公路，这条公路从
出发后先上坡，后下坡，当公路长度最短时，公路上坡路段长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（24-25 高二下·云南·期中）已知正三棱锥
侧棱长
.一只小蚂蚁从顶点A 出发沿
着棱锥的侧面爬行一周回到A 点，则小蚂蚁爬行的最短距离是（ ）
A．
B．
C．3
D．
考点五：空间几何体的表面积
典例1．（2025·福建福州·模拟）已知圆锥的底面半径为
，其侧面展开图为半圆，则该圆锥的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·郑州·模拟）在一个正六棱柱中挖去一个圆柱后，剩余部分几何体如图所示.已知正六棱柱
的底面正六边形边长为3 cm，高为4 cm，内孔半径为1 cm，则此几何体的表面积是（ ）
A. (72+ 27 ❑√3
2
+6 π ) cm
2
B. (72+27 ❑√3+8 π ) cm
2
C. (72+27 ❑√3+6 π ) cm
2
D. (60+27 ❑√3+6 π ) cm
2
【方法技巧】
求多面体的表面积将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表
面积
求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积，但要搞清它
们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表
面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥
体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给不规则几何体的表面积
跟踪训练
1.（2025·四川凉山·三模）某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为
，则该圆锥的高为（ ）
A．
B．1
C．2
D．
2.（2025·天津和平·三模）已知底面半径为
的圆锥，其轴截面是正三角形，它的一个内接圆柱的底
面半径为
，则此圆柱的侧面积与圆锥的侧面积的比值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点六：空间几何体的体积
典例1．（2025·四川成都·一模）已知圆锥的高为1，母线与底面所成角的大小为
，则该圆锥的体积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·江苏南京·二模）已知平行六面体
中，各棱长均为
，
，则四棱锥
的体积为 .
【方法技巧】 求空间几何体的体积的常用方法
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积
跟踪训练
1.（2025·江西·模拟）（多选题）一个三棱锥和一个正三棱柱的所有棱长与一个表面积为的正方体的棱长
相等，则下列结论正确的是（ ）
A．三棱锥的表面积为
B．三棱柱的表面积为
C．三棱锥、三棱柱、正方体的高之比为
D．三棱锥、三棱柱、正方体的体积之比为
2.（2025·河北唐山·模拟预测）一个等边三角形边长为2，以其一边所在直线为轴，其余各边旋转一周围成
的几何体的体积为 ．
1.如图所示，在三棱台
中，截去三棱锥
，则剩余部分是（ ）
A．三棱锥
B．四棱锥
C．三棱柱
D．组合体
2.（24-25 高二上·四川达州·期末）如图所示，梯形
是平面图形
用斜二测画法得到的直观图，
，
，则平面图形
的面积为（ ）
A．1
B．
C．
D．3
3.如图，已知圆柱体底面圆的半径为
，高为
，
，
分别是两底面的直径，
，
是母线。
若一只小虫从
点出发，从侧面爬行到
点，则小虫爬行的最短路线的长度是（ ）cm．（结果保留根
式）
A．
B．
C．
D．4
4.（2025·广东惠州·模拟预测）已知圆锥的侧面积为
，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的高为
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
5.如图，在正三棱锥
中，
，侧棱长为4，过点C 的平面与侧棱AB，AD 分别交于
，
，则
的周长的最小值为（ ）
A．
B．4
C．
D．
6.圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为4.已知P 为该圆台某条母线的中点，若一质点从点P
出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点P，则该质点运动的最短路径长为 .
7.（2025·海南·模拟预测）已知一个圆锥的母线长为
，高为2，则该圆锥的表面积为（ ）
A．5
B．
C．
D．
8.（2025·四川成都·模拟预测）已知正四棱台的上、下底面面积分别为4 和16，侧棱长为
，则该正四棱
台的体积为（ ）
A．
B．
C．56
D．
9.如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4 的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为
（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2025·安徽·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为1 和2，其侧面积等于上、下底面积之和，则
该圆台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
1.（2025·湖南邵阳·三模）已知圆锥的底面半径为1，侧面积为
，则此圆锥的侧面展开图的圆心角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2025·山东临沂·三模）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为
，则该圆台的侧面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
3.（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知一个圆台母线长为2，侧面展开图是一个圆心角为
的扇环，则圆台
上下底面圆周长之差的绝对值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4.（2025·湖北武汉·模拟预测）已知正四棱台
的体积为
，且
，则正四
棱台的高为（ ）
A．
B．
C．2
D．
5.（2025·山东德州·三模）已知正三棱锥底面边长为2，且其侧面积是底面积的
倍，则此正三棱锥的体积
为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2025·河南驻马店·模拟预测）已知点
为空间一定点，圆锥
（
为底面的中心 ）表面上的所有点到
点
的距离均不超过3，则当该圆锥的体积取得最大值时，圆锥的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
7.（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3 倍，两腰与下底边所成角为
，
面积为
．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2025·宁夏银川·二模）如图所示，一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个
侧面的面积为
，则该正四棱台的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（2025·辽宁·三模）（多选题）有一张长方形的纸（如图所示），现可任意沿虚线将其剪开或折叠（不将
纸剪断），可以得到的图形的直观图是（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2025·广东梅州·一模）分别以锐角三角形
的边
，
，
为旋转轴旋转一周后得到的几何体
体积之比为
，则
．
1.（2020·江苏卷·9 题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的。已知螺帽的底面正
六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是 ____ cm3.
2.（2020·浙江卷·14 题）已知圆锥的侧面积（单位：
） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这
个圆锥的底面半径（单位：
）是_______。
3.（2020·海南卷·13 题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N 分别为BB1、AB 的中点，则三棱锥A-
NMD1的体积为____________
4.（2022·新高考1 卷·8 题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为
，
且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5.（2022·北京·9 题）已知正三棱锥
的六条棱长均为6，S 是
及其内部的点构成的集合。设集
合
，则T 表示的区域的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6.（2022·天津·8 题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三
棱柱的底面是顶角为
，腰为3 的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23
B．24
C．26
D．27
7.（2022·新课标甲卷·文10 题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为
，侧面积分
别为
和
，体积分别为
和
．若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
8.（2022·新高考2 卷·11 题）（多选题）如图，四边形
为正方形，
平面
，
，记三棱锥
，
，
的体积分别为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
9.（2021·新高考2 卷·5 题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
10.（2021·北京·8 题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上
积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：
）。24h 降雨量的等级划分如下：
等
级
24h 降雨量（精确到0.1）
……
……
小
雨
0.1~9.9
中
雨
10.0~24.9
大
雨
25.0~49.9
暴
雨
50.0~99.9
……
……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200 mm，高为300 mm 的圆锥形雨量器.若一次降雨过
程中，该雨量器收集的24h 的雨水高度是150 mm（如图所示)，则这24h 降雨量的等级是
A．小雨
B．中雨
C．大雨
D．暴雨
11.（2021·新高考2 卷·4 题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果。在卫星导航系统中，
地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为
（轨道高度是指卫星到地球表面的
距离）。将地球看作是一个球心为O，半径r 为
的球，其上点A 的纬度是指
与赤道平面所成角
的度数。地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为
，记卫星信号覆盖地球
表面的表面积为
（单位：
），则S 占地球表面积的百分比约为（ ）
A．26%
B．34%
C．42%
D．50%
12.（2021·新课标甲卷·文14 题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为
则该圆锥的侧面积为
________.
13.（2023·天津卷·8 题）在三棱锥
中，线段
上的点
满足
，线段
上的点
满足
，则三棱锥
和三棱锥
的体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
14.（2023·新高考1 卷·12 题）（多选题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器
（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ）
A．直径为
的球体
B．所有棱长均为
的四面体
C．底面直径为
，高为
的圆柱体
D．底面直径为
，高为
的圆柱体
15.（2023·新高考1 卷·14 题）在正四棱台
中，
，则该棱台的体积
为________。
16.（2024·新高考
卷
Ⅰ
·5 题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为
，则圆锥
的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
17.（2024·新高考
卷
Ⅱ
·7 题）已知正三棱台
的体积为
，
，
，则
与平面
ABC 所成角的正切值为（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
18.（2024·北京卷·8 题）如图，在四棱锥
中，底面
是边长为4 的正方形，
，
，该棱锥的高为（ ）.
A．1
B．2
C．
D．
19.（2024·天津卷·9 题）一个五面体
．已知
，且两两之间距离为1．并已知
．则该五面体的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
20.（2025·北京卷·14 题）已知三个圆柱的体积为公比为10 的等比数列。第一个圆柱的直径为65mm，第二、
三个圆柱的直径为325mm，第三个圆柱的高为230mm，求前两个圆柱的高度分别为 ．
21.（2025·上海卷·7 题）如图，在正四棱柱
中，
，
，则该正四棱柱的体
积为
．
