文档文本内容
第06 讲 函数的图象
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 由函数解析式判断函数图象..........................................................................................4
考点二 由函数图象判断函数解析式..........................................................................................7
考点三 创新型轨迹图象问题....................................................................................................10
考点四 函数图象的变换............................................................................................................13
考点五 图象的综合应用............................................................................................................15
三阶突破训练...............................................................................................................20
基础过关......................................................................................................................................20
能力提升......................................................................................................................................23
真题感知......................................................................................................................................27
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年全国甲卷理数，第7
题,5 分
函数图象的识别
指数函数及正弦函数图象的应用
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数的基本性
质，难度中等偏下，分值为5 分
【备考策略】1.掌握基本初等函数的图象特征，能熟练运用基本初等函数的图象解决问题
2.能熟练运用函数的基本性质判断对应函数图象
3.能运用函数的图象理解和研究函数的性质
【命题预测】本节内容通常考查给定函数解析式来判断所对应的图象，是新高考复习的重要内容
知识点1 函数图象的定义及描点法作图
将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到了坐标平面上的一个点的坐标，
当自变量取遍定义域A 内的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)用符号表
述为{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数的图象．
描点法作图
方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调
性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．
知识点2 图象问题解题思路（判断奇偶性、特值、极限思想）
①
②
③
④
特别地：当
时
例如：
，
当
时
知识点3 图象变换
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)―――――→y＝－
f(x)
；
②y＝f(x)―――――→y＝f ( －
x ) ；
③y＝f(x)―――――→y＝－
f ( －
x ) ；
④y＝ax (a>0 且a≠1)―――――→y＝logax ( a >0
且
a ≠
1)
．
(3)伸缩变换
①把函数
图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
1
w 倍得
(0<
<1)
②把函数
图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的
1
w 倍得
(
>1)
③把函数
图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的
倍得
(
>1)
④把函数
图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的w 倍得
(0<
<1)
(4)翻折变换
①y＝f(x)――――――――――→y＝| f ( x )|
.
②y＝f(x)―――――――――――→y＝f (|
x |)
．
考点一 由函数解析式判断函数图象
典例1．（2025·河北·模拟预测）函数
的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由余弦函数性质、函数
在
上单调递增排除BD，再由
可得答案.
【详解】因为
，由余弦函数性质可知
，
又
，且函数
在
上单调递增，得
.
所以当
时，
，BD 错误.
又
时，
，得
，A 错误.
故选：C.
典例2．（2025·天津·二模）函数
的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用定义法证明
为偶函数，根据
，结合排除法即可求解.
【详解】
的定义域为R，
则
，
所以
为偶函数，图象关于y 轴对称，故排除C，D 选项；
又因为
，故排除B 选项.
故选：A．
跟踪训练1．（2025·河北邢台·三模）函数
的部分图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】法一，利用特殊值排除；法二，求导得出
在
，
上单调递增也可.
【详解】解法一：因为函数
的定义域为
，故排除A；
，
，所以
，
，
故
非奇非偶函数，故排除B，D.
解法二： 由题可知
，
当
或
时，
，则
在
，
上单调递增，故ABD 错误；
故选：C
跟踪训练2．（2025·辽宁盘锦·三模）函数
在
上的大致图象为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数的解析式，运用直接法判断函数在
上的单调性，排除C，D；再运用求导判断函数
在
上的单调性，排除B 项即可.
【详解】对于
，当
时，
，因
和
在
上都是减函
数，
故
在
上单调递减，故排除C，D；
当
时，
，
，
因
，
则
在
上单调递增，排除B．
故选：A.
考点二 由函数图象判断函数解析式
典例1．（2025·天津·二模）函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过观察图象，根据函数的奇偶性和定义域即可用排除法进行作答.
【详解】根据图象可以看出，函数的定义域不包括
，
这说明函数在这两个点上无意义，而选项C,D 的定义域包括
，所以排除C,D.
由图象可以看出，函数关于原点对称，是奇函数，而选项B 中，
因为
，说明选项B 中的函数为偶函数，不符合图象，所以排除.
故选：A.
典例2．（2025·天津武清·模拟预测）已知函数
，
，某函数的部分图象如图所示，则
该函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合函数的奇偶性及特值法可判断.
【详解】对于A，令
，由
，则
，
，
所以
是非奇非偶函数，由图象不符，故A 错误；
对于B，令
，由
，则
，
，
所以
是非奇非偶函数，由图象不符，故B 错误；
对于D，
，当
时，
，与图象不符，排除D，故C 正确.
故选：C.
跟踪训练1．（2025·甘肃金昌·二模）如图，这是函数
的部分图象，则
的解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】结合图象的对称性，及具体点函数值符号，逐个判断即可.
【详解】由图可知，函数图象关于
轴对称，因此
为偶函数，
对于B，
的定义域为
，且
，奇函数；
对于D，
的定义域为
，
，奇函数；
因此排除选项B，D 这两个奇函数；
由图象知，若
取一个很小的正数，比如
，
对于A：
，函数值为正数，因此排除A.
对于C:
的定义域为
，
，
，综上只有C 符合，
故选：C.
跟踪训练2．（2025·安徽·三模）已知函数
，
，若下图是函数
图象的一部分，
则
可能等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数特殊值法及函数值域排除B，C，D.
【详解】由图可知，
，所以
不合题意，排除C；
定义域内没有
，不合题意，排除D；
当
时，
，故B 错误；
故选:A.
考点三 创新型轨迹图象问题
典例1．（2025·湖南岳阳·模拟预测）曲线
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由
结合诱导公式得出
或
，化简曲线方
程，可得合适的选项.
【详解】由
可得
或
，
即
或
，
所以，曲线
由一族同心圆
与
直线
以及两族等轴双曲线
、
构成.
故选：D.
典例2．（2025·内蒙古呼和浩特·二模）如图，梯形
是上底为
，下底为
，高为
的等腰梯形，
记梯形
位于直线
左侧的阴影部分的面积为
，则
的大致图象是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】写出
的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.
【详解】根据题意可知在梯形
中，
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为
；
当
时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，
其面积为
；
当
时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积，
即
；
所以可得
；
根据函数类型对比图象可得A 正确.
故选：A
跟踪训练1．（2025·浙江·二模）下列可以作为方程
的图象的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】借助排除法，得到
，
不可能同时成立，即可排除A，B，C.
【详解】当
时，
，
若
，则
，即
，不符合，
故
，
不可能同时成立，故A，B，C，选项错误.
故选：D
跟踪训练2．（2025·江西新余·模拟预测）
是平面直角坐标系
内一点，我们以
轴正半轴为始边，射
线
为终边构成角
，
的长度作为
的函数，若其解析式为：
，则
的
轨迹可能为：（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】证明得到是以
为周期的函数，排除C、D.再研究
的函数性质，借助导数即可.
【详解】
，
，
可以得到是以
为周期的函数，所以
的轨迹在四个象限内应相似，故排除C、D.
由于A、B 项均关于
对称，所以仅研究
，此时，令
，
，令
，
则
，
解得
(负数根
舍去)，则
在
单调递减，
单调递增，即
在
单调递增，在
有且仅有一个极值点，所以
不会一直增大，B 正确.
（注：本题在A、B 当中选择亦可使用特殊值法，
，选B）
故选：B
考点四 函数图象的变换
典例1．已知指数函数
，将函数
的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的倍，
得到函数
的图象，再将
的图象向右平移
个单位长度，所得图象恰好与函数
的图象重合，
则a 的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象变换求出变换后的函数解析式，结合已知条件可得出关于实数
的等式，进而可求
得实数
的值.
【详解】由题意可得
，再将
的图象向右平移
个单位长度，得到函数
，
又因为
，所以，
，整理可得
，
因为
且
，解得
.
故选：D.
典例2．（2025·辽宁本溪·模拟预测）函数
的图象可看作是由函数
的图象向左平移
1 个单位长度后得到的，则
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用平移变换可得
，判断函数
的奇偶性，结合赋值法可得结论.
【详解】因为
，所以
，其定义域为
，
且
，所以
为偶函数，故排除BC；
又
时，
，
当
时，
，故排除A，
故选：D.
跟踪训练1．将函数
的图象向下平移1 个单位长度，再向右平移1 个单位长度，得到函数
的图象，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的图像的平移变换法则可得答案.
【详解】将函数
的图象向下平移1 个单位长度,可得
再向右平移1 个单位长度，可得
所以
故选：D
跟踪训练2．函数
的图象向右平移1 个单位长度得到函数
的图象，则
的图象大
致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数图象的变换，求得函数
，根据当
时，得到
，可排除A、
B；当
时，得到
，可排除C，进而求解.
【详解】由题意，可得
，其定义域为
，
当
时，
，函数
，
故排除A、B 选项；
当
时，0
，故函数
，故排除C 选项；
当
时，函数
，
该函数图象可以看成将函数
的图象向右平移一个单位得到，选项D 符合.
故选：D.
考点五 图象的综合应用
典例1．已知函数
，
，则函数
的图象与
x，y 轴围成的封闭图形的面积是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
【答案】A
【分析】根据函数的对称性结合割补法求封闭图形的面积.
【详解】函数
的定义域为
，
因为
，所以
是奇函数，其图象关于原点对称．
又
，函数
在R 上单调递增，
所以
在
上单调递减，因此
在
上单调递减，且其图象关于点
对称.
由题知，
由函数的解析式和二次函数的性质可得
在
上单调递减，
而
时，
，
当
时，同理有
，
故
图象关于点
对称，
函数
与
的图象如图1 所示．
因此
在
上单调递减，
且
，
故
图象关于点
对称，
又
，故点
关于点
的对称点为
，
所以
，连接
，如图2．
易知
的图象与x，y 轴围成的封闭图形可以通过割补变成一个直角三角形，
如图中的
，其中
，
，故
，
即
的图象与x，y 轴围成的封闭图形的面积为4．
故选：A.
典例2．（2025·广西柳州·模拟预测）（多选）如图所示，
是定义在
上的四个函数，
其中满足性质：“对
中任意的
和
，任意
恒成
立”的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【分析】应用函数的凹凸函数的性质判断各个选项.
【详解】对
中任意的
和
，任意
恒成立”，所以
函数是下凹函数，
令
，则
恒成立，
所以
在
时为下凹函数才能满足题意，所以排除B，D，
当等号成立时，选项C 满足题意，因此满足题意的是A，C.
故选：AC
跟踪训练1．（多选）
，下列说法正确的有（ ）
A．
的减区间为
B．
的值域为
C．若
有3 个零点，则
D．若
有5 个零点，则
【答案】BCD
【分析】根据函数的解析式，可画出函数草图，利用函数草图，可轻松判断ABC 的真假；再结合分类讨论
思想的应用，判断D 的真假.
【详解】函数
的草图如下：
由图象可知： 函数
的减区间为
和
两个，不能用“并集”符号连接，故A 错误；
函数值域为
，故B 正确；
若
有3 个零点，则
，故C 正确；
对D：结合函数草图：由
或
；
由
或
，解得：
或
或
.
设
，由题意方程
有5 个不同的根.
由
，
若
，则
只有1 解，且
，此时方程
有3 个解；
若
，则
有2 解，且
或
，
此时方程
有3 个解，方程
也有3 个解，所以方程
有6 个解；
若
，则
有3 解，且
，
，
，
此时方程
有1 个解，方程
有3 个解，方程
也有3 个解，所以方程
有7 个
解；
若
，则
有3 解，且
或
或
，
此时方程
有1 个解，方程
有3 个解，方程
有
和
两个解，所以方程
有6 个解；
若
，则
有3 解，且
，
，
，
此时方程
有1 个解，方程
有3 个解，方程
有1 个解，所以方程
有5 个解；
若
，则
有2 解，且
或
，
此时方程
有
，
共2 个解，方程
有1 个解，所以方程
有3 个解；
若
，则
有1 解，且
，此时方程
至多有1 个解.
综上：若
有5 个零点，则
.故D 正确.
故选：BCD
跟踪训练2．（2025·江苏盐城·模拟预测）（多选）如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正三角形
，沿着
轴连续滚动（滚动时无滑动），若滚动中，顶点
恰好经过坐标原点，设顶点
满足
，则下列判断正确的有（ ）
A．
B．函数
的对称轴方程为
C．函数
的单调增区间为
D．函数
恰有3 个零点，则
或
【答案】ABD
【分析】画出图形，结合周期性和对称性以及单调性可判断ABC，由直线与圆的位置关系可得D.
【详解】如图，
在图中一段一段的扇形上运动，
对于A，初始时
在原点，当
时，
即为正三角形的高，故A 正确；
对于B，
的一条对称轴为
，周期为6，每经过半个周期均为
的对称轴，
所以函数
的对称轴方程为
，故B 正确；
对于C，函数
的单调增区间为
，故C 错误；
对于D，当
时，
直线
与圆
相切，此时
；
当直线
与圆
相切，此时
，经检验切点恰在所在圆弧上，
，
；
当
与圆
相切时，可得
，
结合图象要使
与
恰有3 个交点，则
或
，故D 正确.
故选：ABD.
一、单选题
1．（2025·广东广州·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】先判断出
为奇函数，排除BD；再根据当
趋向于
时，
趋向于0，C 错误，A 正确.
【详解】
恒成立，故
的定义域为R，
，
故
为奇函数，BD 错误；
当
趋向于
时，
的增长速度远大于
的速度，
故
趋向于0，C 错误，A 正确.
故选：A
2．（2025·山东·模拟预测）函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】采用排除法进行判断，先根据函数的奇偶性进行排除，再结合特殊点的函数值进行选择.
【详解】首先：
，
所以函数
为偶函数，图象关于
轴对称，故排除CD.
又
，故排除B.
故选：A
3．（2025·云南玉溪·二模）已知函数
与
的图象如图所示，则函数
的图象可
能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据函数
与
的图象可知函数
的定义域与奇偶性，即可选出求解.
【详解】由图可知函数
的定义域为函数
和函数
的定义域的交集为
，
故函数
的图象不经过坐标原点，排除选项BC；
又因为函数
是偶函数，函数
是奇函数，所以函数
是奇函数，排除选项D.
故选：A.
4．（2025·湖南长沙·一模）已知
，且
，则函数
与
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】依题意可得
，再由指数函数和对数函数单调性即可判断得出结论.
【详解】由
可知，
，
故
，故函数
与函数
的单调性相同，
故选：B.
5．（2025·河南·模拟预测）已知函数
的部分图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数的部分图象可得
为偶函数，结合
和函数值正负，利用排除法得解.
【详解】因为
的图象关于
轴对称，所以
为偶函数，排除B，
又
，排除A，当
时，
，排除D.
故选：C．
一、单选题
6．（2025·天津河东·二模）如图所示，图象对应的函数解析式为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】函数图象关于
轴对称，排除A ，C，由
排除B，利用排除法即可.
【详解】函数图像关于
轴对称，则函数是偶函数，
对于A，
,
,
,
即函数
是奇函数，故A 错，
对于B，
，
，
，
是偶函数，
当
时，
，故B 错，
对于C ，
，
，
，
是奇函数，故C 错，
对于D，
，
，
，
是偶函数，
，符合题意，故D 正确.
故选：D
7．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
的部分图象如图所示，则
的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数为偶函数排除B 选项，再根据特值
，排除AD，即可选出选项.
【详解】由图象可知
的图象关于
轴对称，即
为偶函数，
选项中函数
的定义域都是
，
对于A 项，
，为偶函数，
对于B 项，
，为奇函数，
对于C 项，
，为偶函数，
对于D 项，
，为偶函数，
排除B 项；
由图可知
，对于A 项，
，不符合题意；
对于C 项，
，符合题意；
对于D 项，
，不符合题意．
故选：C．
8．（2025·天津·二模）已知函数
的图象如图所示，则该图象所对应的函数可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】对各选项的单调性与函数值的情况一一判断，利用排除法即可得解；
【详解】对于A：
，当
时，
，故排除A；
对于B：当
时，函数
为增函数，当
时，函数
为减函数，故排除B；
对于D，当
时，
，
，所以
在
上单调递增，故排除D；
对于C，
为偶函数，由
可得
，满足图象，故C 正确.
故选：C．
9．（2025·山东枣庄·二模）将函数
的图象上所有点向左平移2 个单位长度后，再向下平移1 个单
位长度，得到函数
的图象，若
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】通过平移得到
,再结合对数的运算性质,由基本不等式即可求解.
【详解】由题意可得
，
因为
，
所以
，
所以
，
即
，且
.
因为
，当且仅当
时，取到最小值.
故选：B
10．（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数
在区间
上的最大值为
，则当
取到最小值时，
（ ）
A．7
B．
C．9
D．
【答案】B
【分析】将函数
看作是两个函数的函数值之差的绝对值，结合图象分析当
取到最小值时，直线
所在位置，从而得出
的值.
【详解】函数
在区间
上的最大值，
可看作是函数
与
在区间
上函数值之差的绝对值的最大值.
函数
在区间
上的两个端点
,
直线
的方程为
.
设与直线
平行且与函数
图象相切的直线方程为
，
，令
，解得
或
（舍去），
切点坐标为
，代入直线方程
，可得
，
所以切线方程为
.
由图像可知，直线
在函数
图象上方或下方时的
值大于直线
与函
数图象相交时的
值，
所以要使
取到最小值，直线
在直线
和直线
的中间，即直线
，
此时，
，所以
.
故选：B.
一、单选题
11．（2025·天津·高考真题）已知函数
的图象如下，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由
时函数值正负情况可得解.
【详解】由图可知函数为偶函数，而函数
和函数
为奇函数，故排除选项AB；
又当
时
，此时
，
由图可知当
时，
，故C 不符合，D 符合.
故选：D
12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数
在区间
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入
可得
，可排除D.
【详解】
，
又函数定义域为
，故该函数为偶函数，可排除A、C，
又
，
故可排除D.
故选：B.
13．（2023·天津·高考真题）已知函数
的部分图象如下图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A、C 中函数在
上的
函数符号排除选项，即得答案.
【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且
，
由
且定义域为R，即B 中函数为奇函数，排除；
当
时
、
，即A、C 中
上函数值为正，排除；
故选：D
