文档文本内容
第07 讲 函数与方程
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................3
探究核心考点.................................................................................................................4
考点一 求函数的零点及零点个数..............................................................................................4
考点二 用零点存在性定理判断零点所在区间..........................................................................4
考点三 求方程的根及根的个数..................................................................................................5
考点四 求图象的交点及交点个数..............................................................................................5
考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围..............................................................6
三阶突破训练.................................................................................................................7
基础过关........................................................................................................................................7
能力提升........................................................................................................................................8
真题感知........................................................................................................................................9
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
2024 年新I 卷，第7 题,5 分
求函数零点或方程根的个数
正弦函数图象的应用
2024 年新Ⅱ卷，第6 题,5 分
根据函数零点的个数求参数
范围
函数奇偶性的定义与判断
函数奇偶性的应用
求余弦(型)函数的奇偶性
2024 年新Ⅱ卷，第9 题,6 分
求函数零点或方程根的个数
求含sinx(型)函数的值域和最值
求正弦(型)函数的对称轴及对称中心
求正弦(型)函数的最小正周期
2024 年新Ⅱ卷，第11 题,6 分
判断零点所在的区间
函数对称性的应用
函数单调性、极值与最值的综合应用
利用导数研究函数的零点
2023 年新I 卷，第15 题,5 分
根据函数零点的个数
求参数范围
余弦函数图象的应用
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的命题载体内容，通常会结合其他知识点考查，需要掌握函数零点的定
义，难度不定，分值为5-6 分
【备考策略】1.结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程解的关系，会判断函数零点所在区间及零点
个数
2.结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理
3.了解用二分法求方程的近似解，能借助计算工具用二分法求方程近似解
【命题预测】本节内容通常以函数为载体，考查函数零点，是新高考复习的重要内容
知识点1 函数零点的定义
一般地，对于函数y = f (x)，把使 叫作函数y = f (x)的零点.函数y = f (x)的零点就是方程
f (x)=0的实数解，也就是函数y = f (x)的图象与x轴的交点的横坐标.
方程、函数、函数图象之间的关系：
方程f (x)=0有实数解⇔函数y = f (x)的图象 ⇔函数y = f (x) .
知识点2 函数零点存在性定理
如果函数y = f (x)在区间[a,b)上的图象是 的一条曲线，且有 ，那么函数
y = f (x)在区间(a,b)内 零点，即存在c∈(a,b)，使得f (c)=0，这个c也就是方程f (x)=0的
解.
知识点3 函数单调性对零点个数的影响
如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断
函数是否单调
知识点4 几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）
（1）若
，则
“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析
的性
质与图象，如果
单调，则“一定”只有一个零点
（2）若
，则
“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果
单调，那
么“一定”没有零点
（3）如果
在区间
中存在零点，则
的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影
响。如果
单调，则
一定小于0
知识点5 零点与单调性配合可确定函数的符号
是一个在
单增连续函数，
是
的零点，且
，则
时，
；
时，
知识点6 证明零点存在的步骤
（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数
（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数
（3）分析函数
的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间
（4）利用零点存在性定理证明零点存在
考点一 求函数的零点及零点个数
典例1．（2025·安徽滁州·二模）函数
所有零点之和为（ ）
A．
B．
C．0
D．1
典例2．（2025·山东枣庄·二模）函数
在区间
上的零点个数为（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
跟踪训练1．（2025·山东·模拟预测）函数
的零点为 .
跟踪训练2．（2025·上海·三模）函数
的零点个数为
考点二 用零点存在性定理判断零点所在区间
典例1．（2025·湖北十堰·模拟预测）函数
的零点所在的区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．函数
的一个零点所在区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·河北沧州·二模）函数
的零点所在的区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．已知函数
，则在下列区间中，函数
一定有零点的是（ ）
A．
B．
C．
D．
考点三 求方程的根及根的个数
典例1．（2025·甘肃金昌·模拟预测）当
时，方程
的解的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
典例2．（2025·湖北十堰·模拟预测）若函数
，关于
的方程
的
根的个数为（ ）
A．7
B．8
C．9
D．10
跟踪训练1．（2025·河北保定·一模）已知
是定义在
上的函数，且有
，当
时，
，则方程
的根的个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
跟踪训练2．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知函数
满足
，且
，则方程
的实数解的个数为 ．
考点四 求图象的交点及交点个数
典例1．（2025·江苏扬州·三模）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
典例2．（2025·河北·模拟预测）函数
与函数
的图象的交点个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
跟踪训练1．（2025·甘肃金昌·二模）函数
与
的图象在区间
上的交点个数为
（ ）
A．3
B．5
C．7
D．9
跟踪训练2．（2025·广西·一模）曲线
与直线
的交点个数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
考点五 根据零点、方程的根及图象交点求参数范围
典例1．（2025·湖南长沙·模拟预测）若关于
的方程
在
上有
个实根，则
的取
值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·宁夏·一模）已知函数
，若函数
与
的图象有
三个交点，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例3．（2025·湖南·二模）已知
，函数
，在
上没有零点，则实数
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，存在实数b，使得
方程
有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（2025·湖南·二模）若函数
与直线
恰有三个交点，则a 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．（2025·陕西西安·一模）已知函数
，
，若
有一个零
点，则m 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
一、单选题
1．用二分法求方程
的近似解，以下区间可以作为初始区间的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．“
”是“函数
在区间
内存在零点”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
条件
3．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知曲线
与直线
无交点，则
（ ）
A．
B．0
C．1
D．2
4．（2025·湖南益阳·三模）函数
在
内的零点之和为（ ）
A．
B．
C．
D．0
5．（2025·陕西安康·模拟预测）函数
在
上的零点个数为（ ）
A．4
B．5
C．6
D．8
6．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数
有且仅有一个零点，则实数
的
值为（ ）
A．
B．
C．2
D．
7．（2025·四川凉山·三模）已知函数
在
上有且仅有2 个零点，则实数m 的取值
范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
8．已知函数
，若函数
存在两个零点，则
的取值可能是（ ）
A．
B．1
C．2
D．3
三、填空题
9．函数
的零点个数为 ．
10．已知函数
和
的零点分别为
，则
.
一、单选题
11．方程
实数解的个数为（ ）
A．0
B．4
C．8
D．12
12．（2025·山东·模拟预测）函数
与函数
的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．
B．ln2
C．0
D．1
13．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数
在区间
的零点个数为（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
14．（2025·四川成都·模拟预测）函数
的所有零点之和为（ ）
A．9
B．10
C．11
D．12
15．（2025·河南·模拟预测）已知函数
恰有一个零点，则实数
（ ）
A．1
B．
C．0
D．
16．（2025·江西新余·模拟预测）设函数
，若曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．－1
B．
C．1
D．2
17．（2025·四川宜宾·三模）设函数
，其中
，若
，则
（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
18．（2025·广西河池·二模）关于函数
，下列选项正确
的是（ ）
A．函数
没有零点
B．函数
只有1 个零点
C．函数
至少有1 个零点
D．函数
有2 个零点
二、填空题
19．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数
，
，若曲线
与
恰有
一个交点，则实数
．
20．（2025·江苏·模拟预测）已知函数
，若存在实数
，使函数
恰有个零
点，则实数
的取值范围是 ．
一、单选题
21．（2025·天津·高考真题）函数
的零点所在区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
22．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当
时，曲线
与
的交点个数为（ ）
A．3
B．4
C．6
D．8
23．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，
，当
时，曲线
与
恰有一个交点，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
二、多选题
24．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数
，则（ ）
A．当
时，
有三个零点
B．当
时，
是
的极大值点
C．存在a，b，使得
为曲线
的对称轴
D．存在a，使得点
为曲线
的对称中心
三、填空题
25．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线
与
在
上有两个不同的交点，则
的
取值范围为 ．
26．（2024·天津·高考真题）设
，函数
.若
恰有一个零点，则
的取
值范围为 ．
27．（2023·天津·高考真题）设
,函数
,若
恰有两个零点，则
的取值
范围为 ．
28．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数
在区间
有且仅有3 个零点，则
的取值范围是 ．
