文档文本内容
第01 讲 导数的概念及运算
目录
01
考情研究
...................................................................................................................
2
02
知识梳理
·
.................................................................................................................
3
03
探究核心考点
...........................................................................................................
4
考
点一：
数的定
及
化率
导
义
变
问题
......................................................................................................
4
考
点二：
数的运算
导
..............................................................................................................................
6
考
点三：在点
P
的切
处
线
......................................................................................................................
6
考
点四：
点
过
P 的切线
..........................................................................................................................
7
考
点五：公切线问题
..............................................................................................................................
7
考
点六：已知切
或切点求参数
线
问题
..................................................................................................
8
考
点七：利用
数的几何意
求最
导
义
值问题
..........................................................................................
8
三阶
突破训练
基础训练
·
...............................................................................................................................................
9
能力提升
..............................................................................................................................................
1 1
真
感知
题
..............................................................................................................................................
14
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
考情分析
2025 年I 卷第12 题，5 分
2024 年甲卷第6 题，5 分
2024 年I 卷第13 题，5 分
2023 年甲卷第8 题，5 分
2022 年I 卷第15 题，5 分
2021 年甲卷第13 题，5 分
2021 年I 卷第7 题，5 分
（1）导数的定义
（2）导数的运算
（3）导数的几何意义
高考对本节内容的考查相对稳
定，考查内容、频率、题型、难度
均变化不大．重点考查导数的计
算、四则运算法则的应用和求切线
方程为主．
二、课标要求
1. 了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数公式.
2. 通过函数图象，理解导数的几何意义.
3. 能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数（限于形
如f(ax+ b)）的导数.
三、知识导图
（一）导数的概念
（1） 函数y=f(x)在x=x0处的导数：如果当Δx→0时，平均变化率Δy
Δx 无限趋近于一个①_ _ _ _ _ _ _ _ ，
即Δy
Δx 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导，并把这个②_ _ _ _ _ _ _ _ 叫做y=f(x)在x=x0处的导数（也称
为瞬时变化率）,记作f'(x0)或y'|x=x0,即f'(x0)= lim
Δx→0
Δy
Δx =③_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
提醒f'(x0)
代表函数f(x) 在x=x0
处的导数值;(f(x0))'是函数值f(x0)
的导数，而函数值f(x0)
是一
个常数，其导数一定为0，即(f(x0))'=0.
（2）导函数：当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数（简称导数）
.y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'= lim
Δx→0
f(x+Δx)-f(x)
Δx
.
（3） 导数的几何意义：函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处④_ _
_ _ _ _ _ _ ，即k= lim
Δx→0
f(x0+Δx)-f(x0)
Δx
=f'(x0).
（二）基本初等函数的导数公式
基本初等函数
导数
f(x)=c（c为常数）
f'(x)=⑤_ _
f(x)=x
α(α∈R,且α≠0)
f'(x)=⑥_ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=sin x
f'(x)=⑦_ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=cos x
f'(x)=⑧_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=e
x
f'(x)=⑨_ _ _ _ _ _
f(x)=a
x(a>0,且a≠1)
f'(x)=⑩_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
f(x)=ln x
f'(x)=⑪_ _ _ _ _ _
f(x)=logax(a>0,且a≠1)
f'(x)=⑫_ _ _ _ _ _ _ _ _ _
（三）导数的运算
（1）[f(x)±g(x)]'=⑬_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（2）[f(x)g(x)]'=⑭_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（3）[f(x)
g(x) ]'=⑮_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ (g(x)≠0).
（4） 复合函数的导数：一般地，对于由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导
数与函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx'=⑯_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ .
（四）解题方法总结
1.在点的切线方程
切线方程
的计算：函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
2.过点的切线方程
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．（
有几个值，就有几
条切线）
注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外．
3.高考常考的切线方程
（1）
是
的切线，同时
是
的切线，也是
和
的切线.
（2）
是
的切线，
是y=tan x 的切线.
（3）
是
的切线，
是
的切线.
考点一 导数的定义及变化率问题
典例1．（2025·上海·期中）下列命题正确的是 （ ）
A．平均变化率:
就是图象上两点
连线的斜率
B．函数的导数越小， 函数的变化越慢， 函数的图象就越 “平缓”
C．若某质点运动的位移 (单位: 米) 与时间 (单位: 秒) 之间的函数关系为
，则该质点
在
秒时的瞬时速度为
米/秒
D．已知函数
在
上可导，若
，则
典例2．（2025·江西南昌·期中）有一个宽为20 厘米，高为60 厘米的长方体容器如图所示，右侧面是一个
活塞，容器中装有2000 毫升的水，活塞的初始位置（距左侧面）为5 厘米，水面高度为20 厘米．当活塞
位于距左侧面x 厘米的位置时，水面高度为y 厘米，则当
时，水面高度y 的瞬时变化率为（ ）
A．
B．
C．5
D．
【方法技巧】
1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
4.对解析式形如f(x)＝f'(x0)g(x)＋h(x)(x0为常数)的函数求值问题，解题思路：先求导数f'(x)，然后令x＝x0，
解关于f'(x0)的方程，即可得到f'(x0)的值，进而得到f(x)，f'(x)再进行求解.
跟踪训练1（2025·江苏南通·期末）已知函数
则式子
表示（ ）
A．
在
处的导数
B．
在
处的导数
C．
在
上的平均变化率
D．
在
上的平均变化率
跟踪训练2．（2025·重庆·二模）（多选题）英国经济学家凯恩斯（1883-1946）研究了国民收入支配与国
家经济发展之间的关系，强调政府对市场经济的干预，并形成了现代西方经济学的一个重要学派一凯恩斯
学派.机恩斯抽象出三个核心要素：国民收入
，国民消费
和国民投资
，假设国民收入不是用于消费就
是用于投资，就有：
.其中常数
表示房租､水电等固定消费，
为国民“边际消费倾
向”.则（ ）
A．若固定
且
，则国民收入越高，“边际消费倾向”越大
B．若固定
且
，则“边际消费倾向”越大，国民投资越高
C．若
，则收入增长量是投资增长量的5 倍
D．若
，则收入增长量是投资增长量的
考点二 导数的运算
典例1．下列求导数的运算中正确的是（ ）
A. (x
2e
x)'=2xe
x B. (❑√x)'=-1
2❑√x C. [ln(2x-1)]'=2
2x-1 D.
(2
x+a)'=2
x⋅ln 2+1
典例2．若定义域都为R 的函数
及其导函数
，满足对任意实数x 都有
，则
．
【方法技巧】
（1）求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.
（2）抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.
（3）复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
跟踪训练1（2025·湖北·期中）下列不等式不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2（2025·陕西咸阳·三模）英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当
在
处的
阶导数都存在时，
．该公式也称
为麦克劳林公式．根据该公式估算
的值为（）（精确到小数点后两位）
注：
表示
的2 阶导数，即为
的导数，
表示
的
阶导数，即为
的导数．
表示
的阶乘，即
．
A．0.85
B．0.88
C．0.91
D．0.95
考点三 在点P 处的切线
典例1．（2025·四川成都·一模）函数
的图象在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2. （2025·深圳模拟）已知函数f(x)={e
x,x≤0,
ln x,x>0,过原点O(0,0)作曲线y=f(x)的切线，其切
线方程为_ _ _ _ _ _ _ _ ．
【方法技巧】
函数
在点
处的切线方程为
，抓住关键
．
易错点 研究曲线的切线方程问题,分清“在某点处”与“过某点处”是关键.
跟踪训练1（2025·四川巴中·三模）已知函数
，若函数
在点
处的切线
方程为 .
跟踪训练2（2025·山东聊城·二模）过函数图像上一点，垂直于函数在该点处的切线的直线，称为函数在该
点处的“法线”．若一条直线同时是两个函数的法线，该直线称为两个函数的“公法线”．函数
与函数
的“公法线”方程为 ．
考点四 过点P 的切线
典例1.(2025·山东济南·模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，
2e)，则aln x0＝( )
A.0 B.1 C.e D.2e
典例2．过点
作直线l 与函数
的图象相切，则（ ）
A．若P 与原点重合，则l 方程为
B．若l 与直线
垂直，则
C．若点P 在
的图象上，则符合条件的l 只有1 条
D．若符合条件的l 有3 条，则
【方法技巧】
设切点为
，则斜率
，过切点的切线方程为：
，
又因为切线方程过点
，所以
然后解出
的值．
跟踪训练1 已知函数
，过原点作曲线
的切线，则切线的斜率为 ．
跟踪训练2 若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
考点五 两条曲线的公切线问题
典例1．（2025·江西·阶段考）若函数
的图象与函数
的图象有公切线，
且直线与直线
互相垂直，则实数
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
典例2．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条
曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线
与
相切，
则
.
【方法技巧】
公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有
关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解．
跟踪训练1 若曲线
与曲线
有两条公切线，则
的值为 ．
跟踪训练2 若直线
与曲线
相切，直线
与曲线
相切，则
的值
为（ ）
A．1
B．
C．
D．
考点六 已知切线或切点求参数问题
典例1．已知二次函数
（
且
）的图象与曲线
交于点P，与x 轴交于点A（异于
点O），若曲线
在点P 处的切线为l，且l 与AP 垂直，则a 的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·河北保定·一模）（多选题）已知曲线
，则
（ ）
A．直线
与曲线
相切
B．若直线
与曲线
相切，则
C．当曲线
与曲线
都相切时，
D．当
时，若过原点可作曲线
的两条切线，则
或
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
跟踪训练1 已知直线
与曲线
相切，则
的值为 ．
跟踪训练2 若直线
与曲线
相切，则的最小值为（ ）
A．
B．－2
C．－1
D．0
考点七 利用导数的几何意义求最值问题
典例1．（2025·四川·模拟）若点
是曲线
上任意一点，则点
到直线
距离的最
小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（2025·福建·三模）曲线
在点
处切线斜率的取值范围为
，则
的取
值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【方法技巧】
已知切线或切点求参数问题，核心是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处
的导数是切线的斜率；②切点在曲线上；③切点在切线上．
利用导数的几何意义求最值问题，利用数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法.
跟踪训练1 已知
，
，直线
与曲线
相切，则
的最小值是（ ）
A．16
B．12
C．8
D．4
跟踪训练2 设点
在曲线
上，点
在曲线
上，则
最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
1.若函数
在区间
内可导，且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．0
2.(2025·山东济南模拟)设x0＞1，曲线f(x)＝aln x－3x＋2a(a≠0)在点P(x0，0)处的切线经过点(0，2e)，则aln
x0＝( )
A.0
B.1
C.e
D.2e
3.(2025·陕西榆林模拟)已知函数f(x)＝aln x＋x2的图象在x＝1 处的切线方程为3x－y＋b＝0，则a＋b＝(
)
A.－2
B.－1
C.0
D.1
4．（2025·江苏·模拟）贝塞尔曲线（Beziercurve）是应用于二维图形应用程序的数学曲线，一般的矢量图
形软件通过它来精确画出曲线.三次函数
的图象是可由
，
，
，
四点确定的贝塞尔曲线，其中
，
在
的图象上，
在点
，
处的切线分别过点
，
.若
，
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·河北·一模）如果方程
能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．
隐函数的求导方法如下：在方程
中，把y 看成x 的函数
，则方程可看成关于x 的恒等式
，在等式两边同时对x 求导，然后解出
即可．例如，求由方程
所确定的隐函
数的导数
，将方程
的两边同时对x 求导，则
（
是中间变量，需要用复合
函数的求导法则），得
．那么曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2025·河南·模拟）下列条件是“过点
可以作两条与曲线
相切的直线”的充分条件的是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（2025·河南·开学考试）直线
与曲线
相切的一个充分不必要条件为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025·上海·一模）已知抛物线
，动点A 自原点出发，沿着
轴正方向向上匀速运动，速度大小
为.过A 作
轴的垂线交抛物线于
点，再过
作
轴的垂线交
轴于
点.当A 运动至
时，点
的
瞬时速度的大小为 .
9．（2025·宁夏·模拟）我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用
正
边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π 的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化
之一﹣．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的
曲线来近似计算.设
，则曲线
在点
处的切线方程为 ，用此结论计算
．
10．（2025·福建·模拟）某地在20 年间经济高质量增长，GDP 的值
（单位，亿元）与时间（单位：
年）之间的关系为
，其中
为
时的
值.假定
，那么在
时，GDP 增长的
速度大约是 .（单位：亿元/年，精确到0.01 亿元/年）注：
，当
取很小的正数时，
1．（2025·长春·模拟）人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题．牛顿（Issac Newton，1643-
1727）在《流数法》一书中给出了牛顿法-用“作切线”的方法求方程的近似解．如图，方程
的根
就是函数
的零点，取初始值
处的切线与x 轴的交点为
，
在
的切线与x 轴的交点为
，
一直这样下去，得到
，
，
…，
，它们越来越接近．若
，
，则用牛顿法得到
的的近似值
约为（ ）
A．1.438
B．1.417
C．1.416
D．1.375
2．（2025·安徽·模拟）设函数
，则下列四个结论中正确的是（ ）
①函数
是偶函数；
②曲线
在
处的切线方程为
；
③当
时，
单调递减；
④关于
的方程
在
只有两个实根，则实数
的取值范围为
.
A．①②
B．①②④
C．①③④
D．③④
3．（2025·山西·模拟）牛顿切线法是牛顿在十七世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法．
比如求解方程
，先令
，然后对
的图象持续实施下面的步
骤：
第一步，在点
处作曲线的切线，交x 轴于
；
第二步，在点
处作曲线的切线，交x 轴于
；
第三步，在点
处作曲线的切线，交x 轴于
；
……
利用该方法可得方程近似解
（保留三位有效数字）是（ ）
A．0.313
B．0.314
C．0.315
D．0.316
4．（2025·河北·模拟）如果方程
能确定y 是x 的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数．
隐函数的求导方法如下：在方程
中，把y 看成x 的函数
，则方程可看成关于x 的恒等式
，在等式两边同时对x 求导，然后解出
即可．例如，求由方程
所确定的隐函
数的导数
，将方程
的两边同时对x 求导，则
（
是中间变量，需要用复合
函数的求导法则），得
．那么曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·黑龙江·模拟）已知条件
为“对
，有
”，实数
在区间
上变化时，
满足条件
的实数
最大值与最小值之积为与实数
有关的函数
，则
的最小值为（ ）
A．1
B．
C．
D．
6．（2025·江苏·期末）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法.首先，设
定一个起始点
，如图，在
处作
图象的切线，切线与
轴的交点横坐标记作
：用
替代
重
复上面的过程可得
；一直继续下去，可得到一系列的数
，
，
，…，
，…在一定精确度下，用四
舍五入法取值，当
，
近似值相等时，该值即作为函数
的一个零点.若要求
的近似值
(精确到0.1)，我们可以先构造函数
，再用“牛顿法”求得零点的近似值，即为
的近似
值，则下列说法正确的是（ ）
A．对任意
，
B．若
，且
，则对任意
，
C．当
时，需要作2 条切线即可确定的值
D．无论
在
上取任何有理数都有
7．（2025·河南·模拟）已知
是函数
的图象上一点，函数
满足
，则坐标原点到曲线
在点
处的切线的距离为 .
8．（2025·重庆·模拟）已知
，过函数
与函数
的公共点作
的切线，若存在一条经过原点，则
．
9．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在
公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线
与
相切，则
.
10．（2025·辽宁·模拟）已知点
，点
，则
的最小值为
．
1．（2021·新高考1 卷·7 题）若过点
可以作曲线
的两条切线，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2.（2023·全国甲卷·文8 题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2022·新高考1 卷·15 题）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是
_____________．
4.（2024·全国甲卷数学（文））曲线
在
处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2024·全国甲卷数学（理））设函数
，则曲线
在
处的切线与两坐标轴
围成的三角形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2022·新高考2 卷·14 题）曲线
过坐标原点的两条切线的方程为____________，____________．
7．（2021·新高考2 卷·16 题）已知函数
，函数
的图象在点
和点
的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M，N 两点，则
取值范围是_______．
8．（2024·新课标Ⅰ卷）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
9．（2025·全国一卷）若直线
是曲线
的切线，则
.
