文档文本内容
第01 讲 数列的基本知识与概念
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 数列的概念......................................................................................................................3
考点二 递增数列与递减数列......................................................................................................6
考点三 累加法求数列的通项公式..............................................................................................9
考点四 累乘法求数列的通项公式............................................................................................11
考点五 构造法求数列的通项公式............................................................................................13
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项...........................................................................15
考点七 递推数列........................................................................................................................18
三阶突破训练...............................................................................................................22
基础过关......................................................................................................................................22
能力提升......................................................................................................................................28
真题感知......................................................................................................................................36
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
全国一卷，16 题（1）小问，6 分
累加法求通项公式
无
2024 年新Ⅱ卷，第19 题,17 分
由递推关系证明等比
数列
求直线与双曲线的交点坐标
向量夹角的坐标表示
2024 年全国甲卷，第18 题,12 分
利用an 与Sn 关系求
通项或项
错位相减法求和
2023 年全国甲卷（理科），
第17 题,10 分
利用an 与Sn 关系求
通项或项
错位相减法求和
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，会单独考察，也会结合其它板块考察，难度覆盖各个梯度，
小题分值为5-6 分，大题13-17 分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用an 与Sn 的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，解答题第一小问经常考数列的通项公式，需熟悉递推公式
求通项公式的基本方法。
1．数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
项与项间
的大小关
系
递增数列
an＋1＞an
其中n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前
一项，有些项小于它的前一项的
数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的序号
n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式
子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的递推公式．
考点一 数列的概念
典例1．在数列
中，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合递推关系
和首项
，求出数列得前几项，归纳出数列周期为4，结
合周期性求解.
【详解】因为
且
，
所以
，
，
，
，
，
所以
是以4 为周期的周期数列，
所以
.
故选：A.
典例2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列
的前10 项依次是0，
2，4，8，12，18，24，32，40，50，记
，则数列
的前2024 项和是 ．
【答案】
【分析】解法1 观察数列
得：当
为偶数时，
，当
为奇数时，
，进而得
，最后利用等差数列前
项求和公式即可求解；
解法2 由数列
的前10 项推出数列
的前10 项，观察得
，
，最后利用等差数列前
项求和公式即可求
解.
【详解】解法1：
可知，当
为偶数时，
，当
为奇数时，
，
因为
，
所以数列
的前2024 项和为
．
故答案为：
.
解法2：
已知该数列
的前10 项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，
则数列
的前10 项依次是0，2，
，所以
，
，
，
可得数列
的前2024 项和为
．
故答案为:
.
跟踪训练1．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”
（又称“角谷猜想”）．已知数列
满足
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
【答案】B
【分析】根据分段数列的表达式，先写出前几项得出规律，得出数列是周期数列从而得解.
【详解】由题意可得
，
，
所以数列
是以3 为周期的数列，又
，所以
.
故选：B
跟踪训练2．设数列
满足：
，
，那么
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】根据递推数列的规律可求出数列
的周期，进而根据
求出
.
【详解】因为
，设
，
所以
，
，
，
.
所以数列
是以4 为周期的周期数列.
所以
，所以
.
故选：A.
跟踪训练3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，
，
，
，则第7 行第4 个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知的条件，利用每个数是它下一行左右相邻两数的和这一规律进行逐步推导.
【详解】第6 行从左到右各数依次为
，
，
，
，
，
，
第7 行从左到右各数依次为
，
，
，
，
，
，
，
故选：A.
考点二 递增数列与递减数列
典例1．已知函数
，若数列
满足
且
是递增数列，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据数列的单调性结合分段函数性质列不等式计算求解.
【详解】因为数列
是单调递增数列，则函数
在
上为增函数，可得
，
函数
在
上为增函数，可得
，可得
，
且有
，即
，即
，解得
或
.
综上所述，
.
故选：C.
典例2．（多选）设曲线
在点
处的切线与
轴交点的横坐标为
，则（ ）
A．
的通项公式为
B．
是递增数列
C．
的最大项为1
D．
【答案】ABD
【分析】求导，根据点斜式求解切线方程，即可得
，进而判断AD，利用作差法可判断数列的单
调性，即可求解BC.
【详解】由
得
，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，令
，得
，A 正确；
由
，得
，即
，B 正确；
恒成立，C 错误；
，D 正确.
故选：ABD
跟踪训练1．已知数列
满足
，则
（ ）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
【答案】A
【分析】
，令
，
利用函数
的单调性来研究数列
的单调
性即可得到答案.
【详解】
，令
，则
，易知
在
上单调递增，在
上单调递减，
当
为奇数时，
，故当
且为奇数时，
单调递减，且
，此时
的最大值
，
当
为偶数时，
，
记函数
，
由于当
，
，所以
，
故
，
故当
时，
单调递减，即当
且为偶数时，
单调递减，故
，
又
，
，
且当
时，
，
，
故
的最大值为
，
而最小值为
，
故选：A
跟踪训练2．若在数列
中，对于
，
，都有
（t 为常数），则称数列
具有
性质
.已知数列
的通项公式为
，且具有性质
，则
的取值范围是 ．
【答案】
【分析】结合新定义及数列
得到关于
的不等式
，构造数列
，求解其最值
，
最后求解
的取值范围；
【详解】由题得
，故只需考虑
时，
，
，
即
，因此
．
令
，则
，所以
为递增数列，
则
．
所以
，即
的取值范围为
．
故答案为：
.
跟踪训练3．数列
中，
，且满足
，则实数
的取值范围是
．
【答案】
【分析】由题意知数列
是单调递增数列，则
，得
对任意
恒成立，分离
参数得
，即求
即可.
【详解】由
有
，所以
，
由题知数列
是单调递增数列，所以
，
即
对任意
恒成立，所以
，
即
，当
时，
的最大值为
，即
.
故答案为：
.
考点三 累加法求数列的通项公式
典例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由累加法及等比数列前
和公式可得
，即可得到
.
【详解】由
，知
，
所以
，即
，
故
，又
适合上式，故
．
故选：C.
典例2．设数列
满足
，且
，则数列
的前10 项和为 ．
【答案】
【分析】利用“累加求和”可得
的通项公式，再利用“裂项求和”即可得出.
【详解】因为数列
满足
，且
，
所以当
时，
，
当
时，上式也成立，
所以
，所以
，
则
的前
项和
，
所以数列
的前10 项和为
．
故答案为：
.
跟踪训练1．已知数列
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】整理数列的递推公式，利用累加法求得其通项公式
，再赋值计算即得.
【详解】因为
，所以
，
所以
时，
，
则
，
故
.
故答案为：
.
跟踪训练2．在数列
中，
，
，求数列
的通项公式.
【答案】
【分析】将已知条件中的递推公式进行变形，再利用累加法即可求解.
【详解】
，
，
当
时，
，
当
时，
，与
相符，
数列
的通项公式为
.
考点四 累乘法求数列的通项公式
典例1．已知数列
满足
，
．若
，则
．
【答案】2010
【分析】通过数列的递推关系求出数列的通项公式，进而根据已知的数列值求出对应的项数
.
【详解】由已知得，
，所以有
，
因为
①，
所以
②，
用②-①可得：
，移项得到：
，
于是有：
，
上述
个式子相乘得到，
，所以
，
由
，可得
.
故答案为：2010.
典例2．已知
，
，求数列
的通项．
【答案】
．
【分析】利用累乘法来求通项公式，即
的关系，逐步化简得出通项公式.
【详解】
，
，
，
得
．
跟踪训练1．（2025·浙江宁波·三模）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
【答案】B
【分析】根据题意，利用
与
的关系，推得
，结合累乘法，即可求得
的值，得到答案.
【详解】数列
中，满足
，当
时，可得
，
两式相减，可得
，即
，所以
，
又由
，则
.
故选：B.
跟踪训练2．已知首项为1 的数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用累乘法求解.
【详解】依题意，
.
故选：A.
跟踪训练3．已知
，
，求数列
的通项．
【答案】
【分析】通过累乘法来求数列的通项公式.
【详解】已知
，
则
，
，
已知
，由
，
故数列
的通项为：
.
考点五 构造法求数列的通项公式
典例1．已知数列
中，
，求
．
【答案】
【分析】通过递推关系寻找规律，然后构造新数列转化成等差数列形式，即可求得
.
【详解】
，
所以
，
又
，则
是首项为
公差为
的等差数列，
得
，故
．
典例2．（2025·山东泰安·模拟预测）数列
满足
， 且
，
的前
项和为
，则满
足不等式
的
的最大值是 .
【答案】5
【分析】构造等比数列计算得出通项公式，再应用等比数列求和公式计算求出参数的最大值.
【详解】
，
，且
，
是以
为首项,
为公比的等比数列.
,
.
,
，即
，
,
,
的最大值是.
故答案为：5.
跟踪训练1．已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
【答案】
【分析】法一：设
、
，结合递推关系得到
，再根据已知得
，进
一步有
，利用等比数列的定义写出通项公式；法二：由递推关系得
，讨论
的奇偶性写出通项公式即可.
【详解】法一：因为
，所以
.
设
，则
，所以
.
设
，则
.
因为
，
，所以
，
，
所以
，即
，即
，所以
.
因为
，所以数列
是首项为2，公比为2 的等比数列，
所以
，
.
法二：因为
，所以
，
由
，
，得
，
，
所以数列
的奇数项是首项为2，公比为4 的等比数列，偶数项是首项为4，公比为4 的等比数列，
当
为奇数时，
，即
；
当
为偶数时，
，即
.
综上，
.
故答案为：
跟踪训练2．已知在数列
中，
，
，则通项
．
【答案】
【分析】利用待定系数法构造新数列，得到
，从而利用等比数列性质求出答案.
【详解】利用待定系数法构造新数列，
，
又
，则
，
所以
．
令
，
是以
为首项，公比
的等比数列．
．即
，
．
当
时成立，所以
．
故答案为：
跟踪训练3．已知在数列
中，
，且满足
，求证：
．
【答案】证明见解析
【分析】等式两边同除
，构造等比数列求出
，带入求和公式利用放缩法裂项相消证明即可.
【详解】因为
，且满足
，显然对任意
，
，
等式两边同除以
得
，即
，
所以数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
所以
，解得
，
所以
．
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项
典例1．已知正项数列
中，
且
，其中
为数列
的前
项和，则数列
的通项公式为 ．
【答案】
【分析】利用
代入已知条件求得
即得
，然后再求出
．
【详解】在数列
中，
①，又
②，
，
所以①除以②得
．
又
，所以数列
是以2 为首项，2 为公差的等差数列，
则
，所以
．
当
时，
，当
时，
，也满足上式，
所以数列
的通项公式为
．
故答案为：
．
典例2．已知数列
的前
项和
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）令
求得
；当
时，由
求解
，再检验
适合，即可得解；
（2）采用分组求和的方式，分
为偶数和
为奇数两个部分，结合等比数列求和公式和并项求和思想分别
求和.
【详解】（1）因为数列
的前
项和
，
，所以
；
当
时，
，
又
适合上式，所以
；
（2）
，
所以数列
的前
项和
，
当
为偶数时，
，
当
为奇数时，
.
综上，
.
跟踪训练1．记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用
即可得
，构造等比数列即可求解；
（2）由（1）得
代入
，进而得
，利用裂项相消法即可求解.
【详解】（1）令
时，
，即得
，
时，
①，
②，
由①-②得，
，
又由
，
又
，
所以数列
是以4 为首项，公比为4 的等比数列，
所以
；
（2）因为
．
所以
．
跟踪训练2．记
是数列
的前
项和，
，
，且数列
是等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设若
，求数列
的前
项和
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先根据等差数列的通项公式求出
，再利用
与
的关系求解即可；
（2）利用分组求和，其中奇数部分利用等差数列的前
项和公式，偶数部分利用裂项相消求解即可.
【详解】（1）因为
，
，设等差数列
的公差为
，则
，解得
，
所以
，即
，
当
时，
，当
时，
成立，故
．
（2）由题意可得
.
考点七 递推数列
典例1．已知数列
满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据已知因式分解可判断数列单调性，将条件变形为
，可化简得
，然后结合基本不等式求解可得.
【详解】因为
，
所以
，数列
为正项递增数列．
因为
，所以
，
所以
，
即
．
由
，得
，
故必有
，所以
，
所以
，
所以
，
所以
．
因为
，所以
．
故选：A．
典例2．已知数列
满足：
（
为正整数），
，若
，则
所有可
能的取值为 ．
【答案】
，，
【分析】根据递推数列，由
反推出
即得.
【详解】由题可知
，
所以，
或5 或32．
故答案为：
.
跟踪训练1．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把
金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上
较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将
个金属片从1 号针移动到3 号针最少需要移动的次数记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】将第
个金属片从1 号针移动到3 号针，需先将前n 个金属片移到2 号针，需移动
次，
由题可得
，据此可得答案.
【详解】将第
个金属片从1 号针移动到3 号针，需先将前n 个金属片移到2 号针，需移动
次，
然后移动1 号针的第
个金属片至3 号针，需移动一次，
最后将2 号针的n 个金属片移到3 号针，需
次，则
.
令
，结合则可得
，则
，
，
即
，则
为以2 为首项，公比为2 的等比数列.
则
，所以
.
故选：C．
跟踪训练2．（24-25 高三下·河南开封·阶段练习）（多选）已知数列
满足
，则（ ）
A．当
时，对任意
都有
B．当
时，对任意
都有
C．当
时，存在正整数
，当
时，
D．当
时，存在正整数
，当
时，
【答案】BD
【分析】需要根据给定的值，分析数列
的性质.通过对递推式的分析和一些特殊情况的探讨，结合二
次函数的性质来判断每个选项的正确性.
【详解】对于A，当
时，
.
令
，
.
对于二次函数
，其对称轴为
，最大值为
.
因为
，由递推关系可知
，对任意
都有
，A 选项错误.
对于B，当
时，
.
令
，
.
因为
的值域为
，且
，所以由递推关系可知
，
对任意
都有
，B 选项正确.
对于C，当
时，
.
令
，
.
设
.
令
，
，
的对称轴为
，
在
上递增，在
上递减.
当
时，
的值不是恒大于
的，
所以不存在正整数
，当
时，
，C 选项错误.
对于D，当
时，
.
设
.
因为
，
在
上递增，在
上递减.
当
足够大时，
会趋近于某个值
（
），此时
会趋近于
.
所以存在正整数
，当
时，
，D 选项正确.
故选：BD.
跟踪训练3．已知数列
满足
，
，则
．
【答案】
【分析】根据递推数列得数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，即
，代入
即可得解.
【详解】因为
，若
，则
；若
，则
，
又
，所以
，
，
所以
，又
，
所以数列
是首项为3，公差为2 的等差数列，即
，
所以
，所以
．
故答案为：
.
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．4
D．
【答案】C
【分析】根据
与
的关系，先得到数列
的递推关系式，再根据累加法求
的值.
【详解】由
，
得
，
所以
，
所以
，
，…，
，
各式两端相加得
，
故
．
故选：C.
2．设
为数列
的前n 项积，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合前n 项积的意义求出通项公式.
【详解】数列
中，
，当
时，
，
两式相除得
，由
，得
，
则当
时，
，即
，因此
，
满足上式，所以
.
故选：B
3．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差
数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某
个二阶等差数列的前4 项为：2，3，6，11，则该数列的第27 项为（ ）
A．676
B．678
C．731
D．733
【答案】B
【分析】记该二阶等差数列为
，
，计算出
，利用累加法结合等差数列求和能求
出
的值.
【详解】记该二阶等差数列为
，且该数列满足
，记
，
由题意可知，数列
为等差数列，且
，
所以等差数列
的公差为
，所以
，
所以
，则
，
所以
，
故选：B
4．（多选）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角
垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球…..设各层球数构成一个数列
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．数列
的通项公式为
D．数列
的一个递推公式为
【答案】BC
【分析】由题可得数列递推公式，从而可得数列通项公式，即可判断各选项正误.
【详解】对于D，由题可得
，则可得
的一个递推公式为
，
从而
.故D 错误；
对于C，由D 分析可知：
，
又
符合上式，则
的通项公式为
，故C 正确；
对于AB，由C 可知：
，
，故A 错误，B 正确.
故选：BC
5．若数列
满足
，则
【答案】
【分析】根据并项求和,结合等差数列求和公式即可求解.
【详解】由
可得，
，
，解得
，
故答案为：
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列
是正项数列，若
，且
，
，则
．
【答案】3
【分析】首先求得
，
，结合
得
即可求解.
【详解】因为
，
，所以
，
，
即
，
，
又因为
，所以
，
，
因为
，
，所以
，
所以
，
所以
.
故答案为：3.
7．已知数列
满足
，则
．
【答案】
【分析】解法一，由待定系数法可得答案；解法二，由
得
，两式相
减再利用待定系数法构造可得答案；解法三，由
得
再递推可得答案．
【详解】解法一 由
，可设
，
其中
为常数，整理得
，
故
，得
，
所以
．
又
，所以
是各项均为0 的常数列，
故
，即
；
解法二 由
，得
，
两式相减得
．
令
，则
，
则
，又
，
所以
，即
，又
，
所以
是首项为3，公差为2 的等差数列，所以
；
解法三 由
得
，
即
，
，…，
，
所以
，
所以
，所以
．
当
时也符合上式．
综上所述，
．
故答案为：
.
8．若数列
满足
，则称
为“对奇数列”．已知
为“对奇数列”，且
，则
．
【答案】
【分析】根据“对奇数列”和等比数列的定义求解即可.
【详解】因为
为“对奇数列”，根据定义可得
，即
，
又
，所以
是以
为首项，3 为公比的等比数列，
所以
，则
，
故答案为：
9．1202 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都
有着广泛的应用.若此数列各项被3 除后的余数构成一新数列
，则数列
的前2025 项的和为
.
【答案】2278
【分析】根据题意，列出数列
，得到
为周期数列，根据周期数列求和即可.
【详解】由数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以3 的余数，
可得数列
为1，1，2，0，2，2，1，0，1，1，2，0，2，2，1，…，
所以数列
是周期为8 的数列，
一个周期中8 项和为
，
又因为
，
所以数列
的前2025 项的和
.
故答案为：2278.
10．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式
.
【答案】
/
【分析】观察图形的点数，找出规律进行归纳总结即可.
【详解】
，
，
，
，
，
归纳得
.
故答案为：
.
11．记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）当
时,求出
，写出当
时
与
的表达式，两式相比得出
的表达式，
求出
的表达式，即可证明结论；
（2）求出
的表达式，当
时求出
的表达式，验证当
时
是否为
，即可求出
的通项公式.
【详解】（1）由题意证明如下，
，
当
时，
，解得
，
当
时，因为
①，则
②，
由
得
，
整理得
，
所以
，
∴数列
是首项为
，公比为2 的等比数列．
（2）由题意及（1）得，
，
在等比数列
中，首项为
，公比为2，
，则
，
当
时，
，
当
时，
，
∴
的通项公式为
.
1.已知数列
满足
，若
，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
建立不等式，不等式转化为
对一切
恒成立，求出
即可.
【详解】据题设知，
对一切
恒成立，
所以
对一切
恒成立，
即
对一切
恒成立．
又当
时，
，
所以
，所以所求实数k 的取值范围是
．
故选:
．
2.如果
，
，
，就称
表示
的整数部分，
表示
的小数部分．已知数列
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用不完全归纳法来得到相邻两项之差的规律，从而可得结论.
【详解】因为
，
，
．
同理可得
，
．
所以
，
；
，
．
所以当
为奇数时
，当
为偶数时
．
所以
．
故选：C．
3.已知数列
的前
项和为
，且
，若
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据
的关系得
，从而
，利用作差法求得
的单调性、最值
即可求解.
【详解】
，
，
，
当
时，
，
．
又
且
，
，得
，
因为
，
所以当
时，
取得最大值，最大值为
，
，
故选：D．
4.设
为实数，
为不超过实数
的最大整数，如
，
．记
，则
的取值
范围为
，现定义无穷数列
如下：
，当
时，
；当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据已知条件，计算数列的前几项，观察得出无穷数列
呈周期性变化，即可求出
的值．
【详解】当
时，
，
，
，
，…，
无穷数列
周期性变化，周期为2，
所以
．
故选：B．
5.甲、乙、丙、丁4 人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3 人之一．第
次传球后，球在甲手中的概率为
，在乙手中的概率为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意得到
，构造等比数列，求出
，同理求出
，CD 正确，再判断出AB，得到答案.
【详解】由题意得
，
故
，其中
，所以
，
所以
，
，C 正确；
，A 正确；
同理可得
，
，
其中
，故
，
所以
，
，D 正确；
，
，
，
，B 错误.
故选：B
6.已知数列
通项公式为
，若对任意
，都有
则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】分段情况下，对任意
，都有
，只需保证每一段递增，且
，结合数列的单调性
求解.
【详解】当
时，
，
由
，得
，即
，
∵
且
，
，∴
，解得
.
当
时，
单调递增，
若对任意
，都有
，则
且
，
即
且
，解得
，
则实数的取值范围是
.
故选：B.
7．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知数列
满足
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
为等比数列
B．
C．
的前n 项和
D．
的前n 项和
【答案】ACD
【分析】对于A，由已知可得
，结合等比数列的定义即可求解判断；对于B，求出
，作差得
，即可判断；对于C，结合等比数列求和公式利用分组求
和思想求解即可判断；对于D，根据裂项相消法求和即可判断.
【详解】对于A，由题意，数列
满足
，可得
，
可得
，即
，又
，
所以数列
为首项为
，公比为
的等比数列，故A 正确；
对于B，因为
，所以
，
所以
，即
，故B 错误；
对于C，因为
，所以
的前n 项和
，故C 正确；
对于D，因为
，
所以
的前n 项和
，故D 正
确.
故选：ACD.
8．（多选）在数列
中，下列结论正确的是（ ）
A．若数列
的前
项和
，则
B．若
，且
，则
C．若
，且
，则
D．若
，
，且
，则
【答案】BCD
【分析】利用退一相减法求得
，可判断A 选项，根据数列的周期性可判断B 选项，利用累乘法求得通项
公式，可判断C 选项，利用构造法，结合累加法与等比数列求和公式可得通项，即可判断D 选项.
【详解】A 选项：由已知
，当
时，
，
当
时，
，
综上所述
，A 选项错误；
B 选项：由已知
，则
，即
，
又
，
，即
，
所以当
为奇数时，
，当
为偶数时，
，
综上所述
，B 选项正确；
C 选项：由
，即
，
，
，
，
等式左右分别相乘可得
，
又
，所以
，C 选项正确；
D 选项：由已知
，
可知数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
即
，即
，
，
，
，
等式左右分别相加可得
，
又
，则
，D 选项正确；
故选：BCD.
9.已知
，
．则通项公式
．
【答案】
【分析】设
，其中
为常数，根据条件得到
，令
，得出
为等比数列，求出
，即可求
解.
【详解】
，①
设
，其中A、B、C 为常数．
代入①知：
，
则
，②
令
，
将A，B，C 的值代入
，
所以
为等比数列，且公比为2，首项为
，
，
故
，
．
故答案为：
.
10.若
，已知数列
中，首项
，则
．
【答案】158
【分析】根据函数解析式得
，应用作差法及已知得
，则
，
最后利用对称性及倒序相加求和即可.
【详解】
，
，即
，
，
时，
，两式相减得
，
时，
，故
，
又
时也符合上式，故
，
，
．
记
，
则
，
两式相加得，
，即
，则
．
故答案为：158
11.已知数列
满足
，
，
．
(1)判断数列
是否为等比数列；
(2)求数列
的通项公式．
【答案】(1)是
(2)
【分析】（1）计算
，则根据等比数列的定义得证；
（2）利用累加法求数列
的通项公式．
【详解】（1）由题意得
，
且
，
则数列
是以
为首项，
为公比的等比数列，
于是
．
（2）由于
，
把
，
，，
，
代入，得
，
，
，
…
，
把以上各式相加，得
．
所以
．
1．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
【答案】C
【分析】先由题设结合
求出数列
的通项公式，再结合数列
各项正负情况即可求解.
【详解】因为
，
所以当
时，
，
当
时，
，
经检验，
满足上式，
所以
，令
，
，
设数列
的前n 项和为
，
则数列
的前
项和为
数列
的前
项和为
.
故选：C
2．（2023·北京·高考真题）已知数列
满足
，则（ ）
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
【答案】B
【分析】法1：利用数列归纳法可判断ACD 正误，利用递推可判断数列的性质，故可判断B 的正误.
法2：构造
，利用导数求得
的正负情况，再利用数学归纳法判断得各选项
所
在区间，从而判断
的单调性；对于A，构造
，判断得
，进
而取
推得
不恒成立；对于B，证明
所在区间同时证得后续结论；对于C，记
，取
推得
不恒成立；对于D，构造
，判断得
，进而取
推得
不恒成立.
【详解】法1：因为
，故
，
对于A ，若
，可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立，
由数学归纳法可得
成立.
而
，
，
，故
，故
，
故
为减数列，注意
故
，结合
，
所以
，故
，故
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，故
恒成立仅对部分
成立，
故A 不成立.
对于B，若
可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系
成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立.
而
，
，
，故
，故
，故
为增数列，
若
，则
恒成立，故B 正确.
对于C，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立即
由数学归纳法可得
成立.
而
，故
，故
为减数列，
又
，结合
可得：
，所以
，
若
，若存在常数
，使得
恒成立，
则
恒成立，故
，
的个数有限，矛盾，故C 错误.
对于D，当
时， 可用数学归纳法证明：
即
，
证明：当
时，
，此时不等关系成立；
设当
时，
成立，
则
，故
成立
由数学归纳法可得
成立.
而
，故
，故
为增数列，
又
，结合
可得：
，所以
，
若存在常数
，使得
恒成立，则
，
故
，故
，这与n 的个数有限矛盾，故D 错误.
故选：B.
法2：因为
，
令
，则
，
令
，得
或
；
令
，得
；
所以
在
和
上单调递增，在
上单调递减，
令
，则
，即
，解得
或
或
，
注意到
，
，
所以结合
的单调性可知在
和
上
，在
和
上
，
对于A，因为
，则
，
当
时，
，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，即
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递减，故
，
所以
在
上单调递增，故
，
故
，即
，
假设存在常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
则
，与
恒成立矛盾，故A 错误；
对于B，因为
，
当
时，
，
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
又当
时，
，即
，
假设当
时，
，
当
时，因为
，所以
，则
，
所以
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
此时，取
，满足题意，故B 正确；
对于C，因为
，则
，
注意到当
时，
，
，
猜想当
时，
，
当
与
时，
与
满足
，
假设当
时，
，
当
时，所以
，
综上：
，
易知
，则
，故
，
所以
，
因为在
上
，所以
，则
为递减数列，
假设存在常数
，使得
恒成立，
记
，取
，其中
，
则
，
故
，所以
，即
，
所以
，故
不恒成立，故C 错误；
对于D，因为
，
当
时，
，则
，
假设当
时，
，
当
时，
，则
，
综上：
，
因为在
上
，所以
，所以
为递增数列，
因为
，
令
，则
，
因为
开口向上，对称轴为
，
所以
在
上单调递增，故
，
所以
，
故
，即
，
假设存在常数
，使得
恒成立，
取
，其中
，且
，
因为
，所以
，
上式相加得，
，
则
，与
恒成立矛盾，故D 错误.
故选：B.
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项；
（2）利用分组求和法即可求
.
【详解】（1）因为
,故
，
所以
即
故等比数列的公比为
，
故
，故
，故
.
（2）由等比数列求和公式得
，
所以数列
的前n 项和
.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用退位法可求
的通项公式．
（2）利用错位相减法可求
.
【详解】（1）当
时，
，解得
．
当
时，
，所以
即
，
而
，故
，故
，
∴数列
是以4 为首项，
为公比的等比数列，
所以
.
（2）
,
所以
故
所以
，
.
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
即可求出；
（2）根据错位相减法即可解出．
【详解】（1）因为
，
当
时，
，即
；
当
时，
，即
，
当
时，
，所以
，
化简得：
，当
时，
，即
，
当
时都满足上式，所以
．
（2）因为
，所以
，
，
两式相减得，
，
，即
，
．
