文档文本内容
第01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：确定已知角所在象限............................................................................................................4
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围..................................................................................5
高频考点三：确定
倍角（分角）所在象限.............................................................................................5
高频考点四：区域角..................................................................................................................................6
高频考点五：终边相同的角.......................................................................................................................8
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化.................................................................................................8
高频考点七：弧长公式有关的计算............................................................................................................9
高频考点八：扇形面积有关计算..............................................................................................................10
高频考点九：单位圆法与三角函数..........................................................................................................11
高频考点十：终边上任意点法与三角函数...............................................................................................12
高频考点十一：三角函数线..................................................................................................................... 12
高频考点十二：解三角不等式..................................................................................................................13
第三部分：典型易错题型.................................................................................................................................14
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角
相同的角可写成
．
2、弧度制的定义和公式
①1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，
，是以角
作为圆心
角时所对圆弧的长，
为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值
与所取的
的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：
；
．
若一个角的弧度数为
，角度数为
，则
，
．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设
是一个任意角，角α 的终边与单位圆交于点
，那么
（1）点
的纵坐标叫角α 的正弦函数，记作
；
（2）点
的横坐标叫角α 的余弦函数，记作
；
（3）点
的纵坐标与横坐标之比叫角α 的正切函数，记作
（
）.它们都是以角为自变
量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设
是角
终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为
（
）那么：
；
；
（
）
角
不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为
的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为
，则
变形可得
，此公式称为弧长
公式，其中
的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线：
余弦线：
正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用
进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，
不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角
终边所在位置
角度制
弧度制
角
终边在
轴非负半轴
角
终边在
轴非正半轴
角
终边在
轴非负半轴
角
终边在
轴非正半轴
角
终边在
轴上
角
终边在
轴上
角
终边在坐标轴上
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．若角
顶点在原点，始边在
的正半轴上，终边上一点
的坐标为
，则角
为
（ ）角
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象眼
例题2．
的终边在第 象限．
精练高频考点
1．
角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
2．
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（多选）若
，则角
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．已知
为第二象限角，则
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
例题2．已知角
为第一象限角，则角
所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
精练高频考点
1．若
是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
2．若
是第四象限角，则
是第（ ）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
3．已知
为第四象限角，则
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（24-25 高一上·宁夏固原·期末）若
是第三象限角，则
是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
例题2．（多选）（24-25 高一下·陕西渭南·期中）已知角
的终边在第四象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角
D．若
是锐角，则
是第二象限角
2．（多选）（24-25 高三下·全国·单元测试）已知
是第三象限角，则
不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
3．（2025 高三下·全国·专题练习）如果
是第三象限的角，角
终边所在的位置是 ．
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·全国·阶段练习）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线
上；
(2)终边落在直线
上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）如图所示，终边在阴影部分（含边界）的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（25-26 高三上·全国·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）若角
的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西钦州·期末）下列与
角终边相同的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（多选）（24-25 高三下·全国·周测）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·海南海口·期中）下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ）
A．225°
B．
C．45°
D．
3．（多选）（24-25 高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（ ）．
A．
B．
C．
D．
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高一上·全国·课后作业）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）把
化成角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（多选）（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成弧度是
C．
化成角度是
D．
化成角度是
3．（24-25 高三下·全国·周测）若角
的终边在直线
上，则角
用弧度制可表示为 ．
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ）
A．
B．
C．60
D．120
例题2．（24-25 高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为
的扇形面积等于
，则该扇形的弧长为 .
精练高频考点
1．（24-25 高三下·四川雅安·阶段练习）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12 分钟的该手表校准后，
该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为
，且半径为
，则该扇形的弧长为
.
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿．当大轮转动一
周时，小轮转动的角度是 弧度；若大轮的转速为
（转/分），小轮的半径为
，
则小轮圆周上一点第
转过的弧长是
．
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）一扇形周长为
，则当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形
的面积最大？
例题2．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为
.求这个
圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40
，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多
少？
精练高频考点
1．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为
，所在圆的半径为
(1)若
，
，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为
，当
为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是
，半径是，弧长为.
(1)若
，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为
，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
3．（24-25 高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8．
(1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角
的大小；
(2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图
形．）
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24 高三·全国·阶段练习）设
，角
的终边与圆
的交点为
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高一上·广东广州·期末）已知角
的终边与单位圆的交点为
，则
．
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知角
顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单
位圆交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（23-24 高三上·安徽·期中）已知
是角
的终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
高频考点十：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高二下·江苏常州·期末）已知点
在角
的终边上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（2025·甘肃白银·二模）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，则
.
精练高频考点
1．（24-25 高二上·云南保山·期末）已知角
的终边落在射线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高二·全国·专题练习）已知角
的终边经过点
，则
的值为
．
3．（2025·河北保定·一模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
．
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）设
，
，
，比较
，
，的大小．
例题2．（24-25 高三下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：
，
，
的大
小．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·江苏·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025 高三·全国·专题练习）利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角
的取值集合．
(1)
；
(2)
．
3．（24-25 高三下·全国·课堂例题）作出
的正弦线、余弦线和正切线．
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三下·陕西榆林·阶段练习）在
内，则满足不等式
的
取值集合是
.
例题2．（23-24 高三·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
(1)
；
(2)
．
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的定义域．
2．（24-25 高三·全国·阶段练习）解不等式
.
3．（23-24 高三上·全国·阶段练习）求
的角
的取值范围.
第三部分：典型易错题型
易错点一：忽略了角的旋转方向导致角的正负出错
1．（24-25 高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20 分钟，则分针转过的角的弧度是 .
2．（24-25 高一下·上海·期中）当手表的分针转过10 分钟时，转过的弧度数是 .
3．（24-25 高三下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要
小时，则在本场考试中，钟表的时针转
过的弧度数为 .
