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第05 讲 三角函数的性质及同角三角函数
考向一 弧度与角度的互化
【例1】填写下列表格
角度
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
正弦
余弦
正切
【答案】见解析
【解析】
【一隅三反】
1．（25-26 四川）
化为角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
．故选：B．
2．（25-26 黑龙江）把
化成角度制是（ ）
A．75°
B．60°
C．90°
D．105°
【答案】A
【解析】
化成角度制是
．故选：A.
3．（2025 湖北）
化为弧度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
,故选：B.
4．（24-25 陕西）将
化为弧度制，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
.故选：C.
考向二 三角函数的定义
已知a 终边一点的坐标（x,y）,则r(r＝>0)．sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
【例2-1】（2025·吉林长春·模拟预测）若角
的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为角
的终边经过点
，
，
，
，
所以
，则
.
故选：C.
【例2-2】（24-25 高三上·海南海口·月考）已知角
的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴
重合，终边经过点
，且
，则实数的值是（ ）
A．－4 和
B．
C．－4
D．1
【答案】B
【解析】由三角函数的定义可得
，则
，
整理可得
，因为
，解得
，
故选：B.
【一隅三反】
1．（24-25 江西南昌）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】已知点
，可得
由三角函数定义
，可得：
故选：A.
2．（2025·四川泸州）已知角
的顶点在原点，始边为轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
到原点的距离
，
根据三角函数定义可得
，
，
所以
，
，
故选：D.
3．（2025·河北保定·一模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
．
【答案】
【解析】由题：
，
又
是第二象限角，所以
，所以
，故答案为：
.
4．（23-24 高三上·福建漳州·月考）已知角
的终边上一点
的坐标为
，则角
的
最小正值为
【答案】
【解析】因为
，所以角α 的终边在第四象限，
根据三角函数的定义，知
，故角α 的最小正值为
．
故答案为：
考向三 三角函数值的正负
正弦函数值在第一、二象限为正，第三、四象限为负；．
余弦函数值在第一、四象限为正，第二、三象限为负；．
正切函数值在第一、三象限为正，第二、四象限为负．
【例3-1】（23-24 高三上·河北邢台·月考）已知
为第二象限角，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
为第二象限角，所以
，
，
，
则
，
，
，
而
的取值不确定.故选：C.
【例3-2】（23-24 高三上·辽宁朝阳·月考）“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
，则
成立，故充分性成立；
若
，则
，不一定为
，故必要性不成立，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.故选：A.
【一隅三反】
1．（2026·山东·一模）“
为第三象限角或第四象限角”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】若
为第三象限角或第四象限角，则
，故充分性成立；
若
，则
为第三象限角或第四象限角或
，故必要性不成立；
所以“
为第三象限角或第四象限角”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
2．（2026·河南）若为第四象限角，则复数
（为虚数单位）对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【解析】因为为第四象限角，所以
，
，
复数对应的点为
，为第四象限角.
故选：D
3．（2024·安徽芜湖·模拟预测）角为第三象限角的充要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】对于A 中，由
，可得为第一象限角，所以A 不符合题意；
对于B 中，由
，可得为第三象限角，反正也成立，所以B 符合题意；
对于C 中，由
，可得为第二象限角，所以C 不符合题意；
对于D 中，由
，可得为第四象限角，所以D 不符合题意.
故选：B.
考向四 同角三角函数公式
1. 知弦求弦、知弦求切---平方关系，注意角象限对应函数值的正负
2. 知切求弦---联立方程组即联立平方关系与商数关系
【例4-1】（25-26 吉林）已知
，
是第二象限角，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】已知
，且
是第二象限角，则
，
由
可得：
.
故选：D
【例4-2】（2026·广西南宁·一模）若
，则
＝（ ）
A．3
B．
C．
D．－3
【答案】A
【解析】
，
.从而
.故选：A
【一隅三反】
1．（2025 江苏）已知
，
，其中
，则
的值为 .
【答案】
【解析】因为
，所以
，解得
或
，
因为
，所以
，
，
当
时，
，
，不符合题意，舍去；
当
时，
，
，符合题意.
综上，
.
故答案为：.
2．（25-26 上海）已知
是第三象限的角，则
．
【答案】
【解析】因为
是第三象限的角，所以
，因为
，所以
，
联立方程组
，解得
（正根舍去），
故答案为：
3．（25-26 甘肃兰州）已知
，求
=
=
【答案】答案见解析
【解析】因为
，所以角
是第三或第四象限角，
若角
是第三象限角，则
，
；
若角
是第四象限角，则
，
.
考向五 弦的齐次式
1.若已知角的象限，先确定所求三角函数的符号，再利用三角形三角函数定义求未知三角函数值．
2.若无象限条件，一般“弦化切”
【例5-1】（25-26 高三上·福建福州·期中）已知
，则
的值（ ）
A．2
B．－2
C．3
D．－3
【答案】C
【解析】因为
，所以
，故选：C
【例5-2】（24-25 山西）已知角
的始边为x 轴非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．3
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由三角函数的定义可得
，所以
.
故选：C.
【例5-3】（25-26 云南昆明）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】因为
，所以
，
则
.
故选：A
【一隅三反】
1．（2025·辽宁·模拟预测）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为
，分子分母同除
，
，故选：D.
2．（25-26 高三上·甘肃·月考）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】C
【解析】由题得
.故选：C.
3．（2025·河南·三模）已知向量
，
，若
，则
的值为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为向量
，
，
，则
，可得
，
所以
.故选：D.
4．（25-26 高三上·四川内江·月考）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
，
所以
.
故选：C
5．（2025·陕西咸阳·一模）已知角
的终边过点
，则
．
【答案】
【解析】因为
的终边过点
，根据三角函数的定义，可得
，
.
故答案为：
.
6．（25-26 高三上·四川成都·月考）已知
，则
【答案】
【解析】由题意知，
，解得
，
所以
.
考向六 弦的加减与乘法关系
【例6】（25-26 黑龙江）已知
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，故选项A 正确；
，
，
，
，
，故选项D 错误；
联立
，解得
，则
，故选项B 和C 正确.
故答案为：D.
【一隅三反】
1．（2026 河南安阳）已知
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，
又
，则
，
又因为
，则
，所以
，
故选：B.
2．（25-26 高三上·山东济宁·期中）已知
且
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，
又
，
所以
.
故选：B
3．（25-26 高三上·重庆沙坪坝·期中）若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
，得
.故选：B
4．（2025 高三·全国·专题练习）已知
，
，则下列选项中正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】将
两边同时平方，整理得
，
所以
，故B 正确．
又
，所以
，
所以由
，解得
，故C 错误，
所以
，
，故A 错误，D 错误，
故选：B．
考向七 扇形的弧长与面积
1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
2.求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题．
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
【例7-1】（25-26 浙江杭州）已知扇形的圆心角为1rad，面积为8，则扇形的弧长为（ ）
A．8
B．4
C．
D．
【答案】B
【解析】设扇形所在圆的半径为，
因为扇形的圆心角为
，其面积是，可得
，解得
，
又由扇形的弧长公式，可得
.故选：B.
【例7-2】（24-25 湖南·月考）已知弧长为的弧所对的圆心角为
，则该弧所在的扇形面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】弧所对的圆心角为
，设扇形所在圆的半径为，则弧长为
，所以
该弧所在的扇形面积为
.故选：A.
例7-312．（2024·江西·模拟预测）如图所示的圆形中心阴影部分为镂空的图案是我国古代建筑
中的一种图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.已知图中外圆的半径为1，阴影部分由四条四分之一圆弧
围成，则图案的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设
是外圆的圆心，
是相邻的两个四等分点，
由题意可知
，又
，所以弓形
的面积为
，
所以图案的面积为
.故选：C.
【一隅三反】
1．（25-26 贵州）已知
的圆心角所对的弧长为
，则这个扇形的面积为（ ）
A．
B．6
C．
D．
【答案】C
【解析】设扇形半径为，
，
，
，
，解得
，
，故C 正确．故选：C．
2．（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的
扇环，记
的长为，
的长为
，若
，则扇环的圆心角的弧度数为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】A
【解析】
如图，设扇环所在圆的圆心为
，圆心角为
，则
，
所以
，得
，又
，所以
.
故选：A
3．（24-25 高三上·湖南·月考）如图，圆
的半径为1，劣弧
的长为
，则阴影部分的面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为圆
的半径为1，劣弧
的长为
，所以
，
则
，所以阴影部分的面积为
.
故选：B.
4．（25-26 广东东莞）已知一个面积为的扇形的弧长为，则该扇形圆心角的弧度数为
【答案】
【解析】扇形的半径为 ，圆心角为
，依题意可得
，解得
.
故答案为：
.
5．（24-25 上海）已知一个扇形的周长是16，面积是12，则其圆心角的弧度 .
【答案】6 或
【解析】设扇形的半径为，扇形的弧长为，所以
，解得
或
；
当
，
时，利用
，解得
；
当
，
时，利用
，解得
.
故答案为：6 或
.
一．单选题
1．（24-25 黑龙江）
弧度对应角化成角度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】根据角度制与弧度制的互化关系
得
故选：B
2．（24-25 山东济南）将
化为弧度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】因为
，所以
.故选：C.
3.（24-25 山东菏泽）
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意得，
．故选：C．
4．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，
终边经过点
，且
，则实数
的值为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意可得
，则
.故选：C.
5．（2025·湖北·模拟预测）已知角
的终边经过点
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为角
的终边经过点
，所以
，
则
.故选：D.
6．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）已知点
是角
终边上的一点，则
（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可得
，
，
则
.故选：D.
7．（2025·内蒙古包头·二模）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为角
的终边经过点
，可得
，
由三角函数的定义，可得
，
故A，B，C 错误，D 正确.
故选：D.
8．（2026·山东·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，角
的终边与单位圆交于点A，且点A
的纵坐标为
，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由图知，点
在第二象限，设其横坐标为
，由
，得
，
所以
.故选：C
9．（2025·四川德阳·一模）若角
的终边过点
，则
的终边与单位圆交点的横坐标为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题可得
，
所以
，
所以
的终边与单位圆交点在第四象限，横坐标为
.
故选：D
10．（2025·河南·模拟预测）已知角
的顶点为原点
，始边为轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由角
终边经过点
，得
，
所以
，
故选：B
11．（2025·吉林松原·模拟预测）已知角
的顶点为原点
，始边为轴的非负半轴，终边经过点
，则
（ ）
A．4
B．
C．2
D．
【答案】B
【解析】因为角
的终边经过点
，由三角函数的定义，可得
，
所以
．
故选：B.
12．（23-24 广东深圳·期末）“
”是“ 为第一象限角”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
等价于
或
，
当
时，为第一象限角；当
时，为第三象限角；
所以“
”是“ 为第一象限角”的必要不充分条件.
故选：B.
13．（24-25 高三上·湖南长沙·月考）“
且
”是“ 为第三象限角”的（ ）
A．充要条件
B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】充分性：由
可知
，
又由
可得
可知
，
综上，
，即为第三象限角．
必要性：若为第三象限角，则
，所以
，即
且
；
所以“
且
”是“ 为第三象限角”的充要条件．
故选：A．
14．（2024·辽宁大连·一模）已知
，若
，则
= （ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因为
，所以
，可得
；
即
，
，
因为
，所以解得
，
则
，故B 正确.
故选：B
15．（23-24 江苏盐城·期末）已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．必要不充分条件
C．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】（1）因为
，所以
，又
，由
，可得
，
所以
；
（2）因为
，又
，当
时，
，由
，可得
，此时
，
当
时，
，由
，可得
，此时
，
综上，
，则“
”是“
”的充分不必要条件，故选：C
16．（2025·北京朝阳·二模）设
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由
，
得
，解得
或
，
由
，得
，
所以“
”是“
”的必要不充分条件.
故选：B.
17．（2025·山东济南·模拟预测）已知为锐角，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
，
整理可得
，由为锐角，解得
，
.
故选：D.
18．（25-26 高三上·河北唐山·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】原式
，
因为
，所以
.故选：D
19．（25-26 高三上·内蒙古赤峰·期中）已知
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．3
【答案】A
【解析】
，
故选：A
20．（25-26 高三上·四川遂宁·期中）已知
，则
（ ）
A．2
B．3
C．
D．
【答案】C
【解析】由
，得
.
故选：C
21．（25-26 高三上·四川绵阳·开学考试）若
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由
，两边平方可得
，
即
，
又
，所以
，且
解得：
.
故选：A
22．（2025 高三·北京·专题练习）已知
，
，则下列等式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于选项A，由
，式子两边同时平方，得
，即
，
又
，
上式化为
，故A 错误；
对于选项B，
，则
，由
，
，即
，
，
，故B 错误；
对于选项C，由
，解得
，
，故C 错误；
对于选项D，
，故D 正确.
故选：D.
二、多选题
23．（24-25 湖北）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【解析】对于A，
，正确；
对于B，
，正确；
对于C，
，错误；
对于D，
，正确；
故选：ABD．
24．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知角
的终边经过点
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AD
【解析】由题意
，
从而
.
故选：AD.
25．（24-25 贵州遵义）已知
，且
，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】
，所以
，所以
，故A 正确；
，故B 错误；
，故C 正确；
因为
，所以
，故D 错误.
故选：AC
26．（25-26 江苏无锡·月考）已知
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【解析】因为
，左右同时平方得，
，
由
，得
，故
正确.
同时可知
异号，且题中
，所以可知
，故
错误.
对于
选项，
，
因为
，
，故
，
所以
，故
正确.
对于
选项，计算
，需要联立
，解得
，
所以
，故
错误.
故选：
27．（25-26 高三上·黑龙江·月考）已知
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AC
【解析】由
，得
，所以
，
又
，所以
，结合
，
解得
，所以
.
故选：AC.
三、填空题
28．（2025·江苏·模拟预测）中国传统折扇文化有着极其深厚的底蕴，“数摺聚清风，一捻生秋
意”是宋朝朱翌描写折扇的诗句．如图，假设这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形
，再在该
扇形内剪下一个同心小扇形
（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面
．当扇子扇形的圆
心角为
时，扇面看上去形状较为美观．已知
，弧
的长为
，则此扇面的面积
为
．
【答案】
【解析】设
，因为圆心角
，弧
的长为
，代入弧长公式
可得
，解得
.
由扇形面积公式
可得：
，
，
所以此扇面的面积为
.
故答案为：
.
29．（2025·广东梅州·模拟预测）已知半径为
的扇形面积为6，则扇形的圆心角为
.
【答案】4
【解析】设扇形的圆心角为
，且半径为
的扇形面积为6，
由扇形的面积公式得
，解得
，则扇形的圆心角为
.
故答案为：4
30．（2026·甘肃平凉·一模）已知角
的终边经过点
，则
的正弦值为 ．
【答案】
/
【解析】由题可得
，
所以
的正弦值为
.
故答案为：
31．（2026·重庆南岸·模拟预测）已知角
的终边与单位圆交于第二象限的点
，则
.
【答案】
【解析】因为角
的终边与单位圆交于第二象限的点
，所以
，
解得
，因为
在第二象限，所以
，
所以
.
故答案为：
32．（2025·云南·三模）已知角
的终边过点
，则
．
【答案】
【解析】因为
的终边过点
，
根据三角函数的定义，可得
，
，
所以
.
故答案为：
．
33．（25-26 浙江宁波·期末）已知
，则
．
【答案】
【解析】
.
故答案为：
34．（2025·陕西榆林·模拟预测）若
，则
.
【答案】
【解析】
故答案为：
.
35．（2025·贵州六盘水·模拟预测）已知
，则
.
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
36．（2025·广东江门·一模）若
，则
.
【答案】
/
【解析】因为
，所以
，
所以
.
因为
，所以
，所以
.
所以
.
故答案为：
.
37．（25-26 高三上·天津滨海新·月考）若
，则
；
.
【答案】
/
/
【解析】由
，得到
，则
，
，
故答案为：
，
.
38．（2026 高三·上海·专题练习）已知
，则
＝
【答案】
【解析】
．
故答案为：
．
