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4.3 同角三角函数的关系（练习）
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1 题型一、由条件等式求三角函数值.........................................................2
2 题型二、一次的齐次式.............................................................................2
3 题型三、二次的齐次式.............................................................................21 题型一、由条件等式求三角函数值
1．已知θ∈(0,π),sinθ=cosθ，则sinθcosθ=（ ）
1 1
A．-❑√2 B．- C． D．❑√2
2 2
【答案】C
❑√2
【分析】根据同角三角函数关系和θ范围即可解出sinθ=cosθ= ，则得
2
到答案.
π
( )
【详解】因为θ∈(0,π),sinθ=cosθ，则θ∈ 0, ，结合
2
sin2θ+cos2θ=1，
解得 ❑√2，则 (❑√2) 2 1，
sinθ=cosθ= sinθcosθ= =
2 2 2
故选：C.
2．已知sinx=2cosx，则sin2x+1=（ ）
6 9 4 5
A． B． C． D．
5 5 3 3
【答案】B
【分析】利用同角三角函数平方关系转化条件求出sin2x后即可得解.
【详解】∵ sinx=2cosx，
∴ sin2x+cos2x=sin2x+ (1 sinx ) 2 =1 解得 sin2x= 4，
2 5
9
∴ sin2x+1= .
5
故选：B.
【点睛】本题考查了同角三角函数平方关系的应用，属于基础题.
3．已知α是第二象限角，tanα=-2，则cosα等于（ ）
❑√5 1 2❑√5 2
A．- B．- C．- D．-
5 5 5 5
【答案】A【分析】由α是第二象限角可得cosα<0，再由同角三角函数的基本关系
sinα
sin2α+cos2α=1,tanα= =-2，即可得答案.
cosα
【详解】任意角的三角函数
sinα
∵tanα=-2= ，∴2cosα=-sinα，
cosα
❑√5
sin2α+cos2α=1，α是第二象限角∴cosα=- .
5
故选：A
4．“cosx=0”是“sinx=1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合同角公式判断即得.
【详解】由sinx=1，得cosx=0；反之，若cosx=0，则sinx=1或sinx=-1，
所以“cosx=0”是“sinx=1”的必要不充分条件.
故选：B
2❑√2
5．已知cosx=- ，x∈(0,π)，则sinx=（ ）
3
1 1 2❑√2 1
A．- B．± C． D．
3 3 3 3
【答案】D
【分析】根据同角三角函数基本关系式，即可求解.
2❑√2 1
【详解】因为cosx=- ，x∈(0,π)，则sinx=❑√1-cos2x= .
3 3
故选：D
6．若
θ∈
(
π
,π)
，则❑√1-sin2θ的值是（ ）
2 cosθ
A．±1 B．0 C．1 D．-1
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的基本关系化简可得出所求代数式的值.π
【详解】因为θ∈ ( ,π)，则cosθ<0，所以，
2
❑√1-sin2θ |cosθ| cosθ .
= =- =-1
cosθ cosθ cosθ
故选：D.
cosx 1+sinx
7．已知 =❑√3，则 =（ ）
1-sinx cosx
❑√3 ❑√3
A．❑√3 B．-❑√3 C． D．-
3 3
【答案】A
【分析】根据同角三角函数的基本关系求解.
cosx
【详解】从 =❑√3可得，cosx≠0，所以sinx≠±1，
1-sinx
因为 cosx cosx(1+sinx) cosx(1+sinx) 1+sinx ，
= = = =❑√3
1-sinx (1-sinx)(1+sinx) 1-sin2x cosx
故选：A.
8．若向量 与向量 的夹角为 ，则 （ ）
⃗a=(1,-1) ⃗b=(-1,3) θ sinθ=
❑√3 2❑√5 ❑√5 ❑√5
A． B．- C．- D．
3 5 5 5
【答案】D
【分析】先根据数量积定理求出两向量夹角的正弦值，再根据正余弦值之
间的关系求出sinθ.
【详解】因为 ， ，
⃗a=(1,-1) ⃗b=(-1,3)
所以
⃗a⋅⃗b 1×(-1)+(-1)×3 2❑√5，
cosθ= = =-
|⃗a|⋅|⃗b| ❑√12+(-1) 2 ⋅❑√(-1) 2+32 5
所以 sinθ=❑√1-cos2θ=❑ √ 1- ( - 2❑√5) 2 = ❑√5 .
5 5
故选：D2
sinα-cosα
1．已知tanα=-2，则 =（ ）
sinα+cosα
A．-3 B．3 C．4 D．-4
【答案】B
【解析】直接弦化切可得解.
【详解】由tanα=-2，
sinα-cosα tanα-1 -2-1
所以 = = =3.
sinα+cosα tanα+1 -2+1
故选：B.
sinθ+cosθ
2．已知 =3，则tanθ=（ ）
2sinθ-cosθ
40 4 4 40
A．- B．- C． D．
9 5 5 9
【答案】C
【分析】把已知等式的分子分母同时除以cosθ即得解.
sinθ
+1
cosθ tanθ+1
【详解】由题得 =3,∴ =3,∴tanθ+1=6tanθ-3，
sinθ 2tanθ-1
2 -1
cosθ
4
所以tanθ= .
5
故选：C
asinθ+bcosθ
【点睛】方法点睛：类似这种对称分式 的化简，一般将分式
csinθ+dcosθ
的分子分母同时除以cosθ.
3．设 ⃗a= ( sinα, ❑√3) ,⃗b= ( cosα, 1) ，且 ⃑a // ⃑b ，则锐角α为（ ）
3 3
A．30° B．60° C．75° D．45°
【答案】B
【分析】利用平面向量共线的坐标表示列方程求出tanα的值，从而求得角
α的大小．❑√3 1
【详解】解：由⃑a=(sinα, ),⃑b=(cosα, )，且 ⃑a//⃑b，
3 3
1 ❑√3
则 sinα- cosα=0，解得tanα=❑√3，
3 3
又α为锐角，所以α=60°．
故选：B．
sinα-4cosα
4．已知tanα=2，则 =（ ）
5sinα+2cosα
7 7 1 1
A． B．- C． D．-
9 9 6 6
【答案】D
【分析】将分式的上下同时除以cosα，即可求得结果.
【详解】原式上下同时除以cosα，
tanα-4 2-4 1
得 = =- .
5tanα+2 10+2 6
故选：D
cosα-sinα
5．若tanα=3，则 =（ ）
sinα+cosα
1 1
A．2 B．-2 C． D．-
2 2
【答案】D
【分析】分子分母同除以cosα，即可求出结果.
【详解】因为tanα=3，所以cosα≠0，
cosα-sinα 1-tanα 1-3 1
分子分母同除以cosα，得 = = =- .
sinα+cosα tanα+1 3+1 2
故选：D.
4sinα-cosα
6．已知tanα=2，则 =（ ）
5cosα+3sinα
5 3 7 8
A． B． C． D．
7 10 11 5
【答案】C
4sinα-cosα
【分析】先利用同角三角函数的关系对 变形，然后将tanα=2
5cosα+3sinα
代入求解即可【详解】解：因为tanα=2，
4sinα-cosα 4tanα-1 4×2-1 7
所以 = = = ，
5cosα+3sinα 5+3tanα 5+3×2 11
故选：C
sinα+cosα
7．已知tanα=3，则 =（ ）
sinα-cosα
A．1 B．2 C．-1 D．-2
【答案】B
【分析】根据齐次式类型化简求值即可.
sinα+cosα tanα+1 3+1
【详解】 = = =2，
sinα-cosα tanα-1 3-1
故选：B.
3sinα+cosα
8．已知tanα=3，则 =（ ）
sinα+2cosα
4 3
A． B．5 C． D．2
5 4
【答案】D
3sinα+cosα 3tanα+1
【分析】化简得出 = 即可求解.
sinα+2cosα tanα+2
3sinα+cosα 3tanα+1 3×3+1
【详解】∵ tanα=3，∴ = = =2.
sinα+2cosα tanα+2 3+2
故选：D.
3
1．已知 1，则sin2α+sinαcosα的值为（ ）
tanα=
2 cos2α+1
1 1 1 1
A． B． C． D．
2 3 4 6
【答案】B
1
【解析】利用商数关系式弦化切，再代入tanα= 可解得结果.
2【详解】sin2α+sinαcosα sin2α+sinαcosα sin2α+sinαcosα
= =
cos2α+1 cos2α+sin2α+cos2α sin2α+2cos2α
1 1
+
tan2α+tanα 4 2 1
= = = .
tan2α+2 1 3
+2
4
故选：B
【点睛】关键点点睛：弦化切是求解关键.
1 sinαcosα+1
2．已知tanα=- ，则 的值是（ ）
2 sin2α-cos2α
4 4
A． B．1 C．- D．-1
3 3
【答案】D
【分析】将1换为sin2α+cos2α，然后分子、分母同除以cos2α即可求解.
1
【详解】tanα=-
2
sinαcosα+1 sinαcosα+sin2α+cos2α tanα+tan2α+1
= =
sin2α-cos2α sin2α-cos2α tan2α-1
1 1
- + +1
2 4
= =-1.
1
-1
4
故选：D
sinαcosα
3．若tanα=3，则 的值为（ ）
1-sin2α
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】B
sinα
【解析】先利用cos2α=1-sin2α代换，再由 =tanα可化简得解.
cosα
sinαcosα sinαcosα sinα
【详解】∵ = = =tanα，
1-sin2α cos2α cosα
sinαcosα
又tanα=3，∴ =3.
1-sin2α
故选：B．4．已知tanα=-1，则2sin2α-3cos2α=（ ）
7 1
A．- B．-
4 2
1 3
C． D．
2 4
【答案】B
【解析】弦化切后，代入tanα=-1可求得结果.
【详解】 2sin2α-3cos2α 2tan2α-3 2×(-1) 2-3 1。
2sin2α-3cos2α= = = =-
sin2α+cos2α tan2α+1 (-1) 2+1 2
故选：B
【点睛】关键点点睛：将分母的1化为sin2α+cos2α是解题关键.
5．已知 ，则2sin2α+cos2α的值为（ ）
tanα=2
sin2α-3cos2α
A．9 B．6 C．-2 D．-3
【答案】A
【解析】原式分子分母同除以cos2α，再将tanα=2代入化简即可.
【详解】因为tanα=2，
所以2sin2α+cos2α
sin2α-3cos2α
2tan2α+1 2×22+1 ，
= = =9
tan2α-3 22-3
故选：A.
sinα+3cosα 1
6．已知 =5，则cos2α+ sin2α的值是（ ）
3cosα-sinα 2
3 3
A． B．－
5 5
C．－3 D．3
【答案】A
1
【分析】根据弦化切，由题中条件，得到tanα，再由cos2α+ sin2α得到
2cos2α+sinαcosα，再由弦化切，即可得出结果.
sin2α+cos2α
sinα+3cosα
sinα+3cosα cosα tanα+3
【详解】因为 =5，所以 =5，即 =5，
3cosα-sinα 3cosα-sinα 3-tanα
cosα
解得：tanα=2，
所以 1 cos2α+sinαcosα 1+tanα 3.
cos2α+ sin2α=cos2α+sinαcosα= = =
2 sin2α+cos2α tan2α+1 5
故选：A.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，根据弦化切即可求解，属
于常考题型.
3
7．已知tanα=- ，则sinα⋅(sinα-cosα)等于（ ）
4
21 25 4 5
A． B． C． D．
25 21 5 4
【答案】A
【解析】整理原式，利用弦化切思想可得关于tanα的等式，即可求解.
【详解】
sin2α-sinαcosα tan2α-tanα
sinα⋅(sinα-cosα)=sin2α-sinαcosα= =
sin2α+cos2α tan2α+1
( 3) 2 ( 3)
- - -
将 3代入，得原式= 4 4 21.
tanα=- =
4 ( 3) 2 25
- +1
4
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式，利用正余弦齐次式技巧化简，
属于基础题.
8．已知 则sin2α-cos2α+2等于（ ）
tanα=2,
2sin2α+cos2α13 11 6 4
A． B． C． D．
9 9 7 7
【答案】A
【分析】先根据1=sin2α+cos2α将所求式子分子化为齐次式，再利用同角
三角函数关系化弦为切，最后代入切的值得结果.
【详解】sin2α-cos2α+2 sin2α-cos2α+2(sin2α+cos2α)
=
2sin2α+cos2α 2sin2α+cos2α
3sin2α+cos2α 3tan2α+1 3×22+1 13
= = = =
2sin2α+cos2α 2tan2α+1 2×22+1 9
故选：A
【点睛】本题考查同角三角函数关系、弦为切，考查基本分析求解能力，
属基础题.
