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4.5 两角和与差的正余弦公式（讲义）
目录
1
知识点01 两角和与差的正弦公式............................................................2
2
知识点02 两角和与差的余弦公式............................................................2
3
题型一、逆用两角和与差的正弦公式.....................................................2
4
题型二、逆用两角和与差的余弦公式.....................................................5
1 知识点01 两角和与差的正弦公式
①公式：sin(α ± β)=sin α cos β ±cosα sin β；
②记忆口诀：正余余正符号同
2 知识点02 两角和与差的余弦公式
①cos(α ± β)=cosα cos β ∓sin α sin β；
②记忆口诀：余余正正符号反
3 题型一、逆用两角和与差的正弦公式
1．sin140
∘cos10
∘+cos 40
∘sin350
∘=
A．
❑√3
2
B．-
❑√3
2
C．1
2
D．- 1
2
【答案】C
【分析】先根据诱导公式化角，再根据两角差正弦公式化简求值.
【详解】
sin140
∘cos10
∘+cos 40
∘sin350
∘=sin 40
∘cos10
∘-cos 40
∘sin10
∘=sin(40
∘-10
∘)
=sin30
∘= 1
2,选C.
【点睛】本题考查诱导公式以及两角差正弦公式，考查基本分析求解能力，
属基本题.
2．sin110
∘cos40
∘-cos70
∘sin 40
∘=（ ）
A．1
2
B．
❑√3
2
C．- 1
2
D．-
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据给定条件，利用诱导公式及差角的正弦公式计算得解.
【详解】
sin110
∘cos40
∘-cos70
∘sin 40
∘=sin70
∘cos40
∘-cos70
∘sin 40
∘=sin30
∘= 1
2.
故选：A
3．计算：sin20° sin 80°+cos20° sin170° =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的正弦求解即可.
【详解】由诱导公式与两角和的正弦可得：
sin 20° sin 80°+cos20° sin170° =sin 20° cos10°+cos20° sin10°
=sin (20°+10°)=sin30° = 1
2.
故选：A
4．sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos97.5
∘=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√2
2
D．
❑√2
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合两角差的正弦公式可求得所求代数式的值.
【详解】
sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos97.5
∘=sin37.5
∘cos7.5
∘+cos37.5
∘cos(90
∘+7.5
∘)
=sin37.5
∘cos7.5
∘-cos37.5
∘sin7.5
∘=sin(37.5
∘-7.5
∘)=sin30
∘= 1
2.
故选：B.
5．计算：sin 20° sin 80°+cos20° sin170° =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】A
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求解即可.
【详解】
sin20°sin 80°+cos20°sin170° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = 1
2.
故选：A
6．sin37.5° cos7.5° -cos37.5° cos97.5° =（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√2
2
D．
❑√2
2
【答案】D
【分析】根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简求值，即得答案.
【详解】sin37.5° cos7.5° -cos37.5° cos97.5° =
sin37.5° cos7.5°+cos37.5° sin7.5°
=sin (37.5°+7.5°)=sin 45° =
❑√2
2 ,
故选：D
7．sin347° cos148°+sin77° cos58° =（ ）
A．1
2
B．
❑√2
2
C．
❑√3
2
D．1
【答案】B
【分析】利用诱导公式把大角化小角，再利用正弦的两角和公式，即可求
值.
【详解】sin347° cos148°+sin77° cos58°
=sin (270°+77°)cos(90°+58°)+sin77° cos58°
=(-cos77°)⋅(-sin58°)+sin77° cos58°
=sin58° cos77°+cos58° sin77° =sin (58°+77°)= sin135° =
❑√2
2 ．
故选：B.
8．sin20°cos10° -cos160°⋅sin10° =（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 1
2
D．1
2
【答案】D
【分析】利用诱导公式及和角的正弦公式逆用求出答案.
【详解】
sin20°cos10° -cos160°sin10° =sin20°cos10°+cos20°sin10° =sin30° = 1
2.
故选：D
9．sin140
∘cos10
∘-cos 40
∘sin10
∘=（ ）
A．
❑√3
2
B．-
❑√3
2
C．1
2
D．- 1
2
【答案】C
【分析】先利用诱导公式化简sin140
∘=sin 40
∘，再利用两角和差的正弦公式.
【详解】因sin140
∘=sin(180
∘- 40
∘)=sin 40
∘，则
sin140
∘cos10
∘-cos 40
∘sin10
∘=sin 40
∘cos10
∘-cos 40
∘sin10
∘
=sin(40
∘-10
∘)=sin30
∘= 1
2
故选：C
10．sin37
∘cos7
∘-cos37
∘sin7
∘=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√2
2
D．
❑√2
2
【答案】B
【分析】根据两角差的正弦公式可得.
【详解】sin37
∘cos7
∘-cos37
∘sin7
∘=sin(37
∘-7
∘)=sin30
∘= 1
2，
故选：B
11．cos105° cos 45°+cos15° sin 45° =（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】利用诱导公式可得cos105° =-sin15°，再结合两角和差公式运算
求解.
【详解】因为cos105° =cos(90°+15°)=-sin15°，
所以原式=-sin15° cos 45°+cos15° sin 45° =sin 45° cos15° -cos 45° sin15°
=sin (45° -15°)=sin30° = 1
2.
故选：C.
12．计算sin 40° cos160°+sin20° cos140°的值为（ ）
A．
❑√3
2
B．1
2
C．-
❑√3
2
D．- 1
2
【答案】C
【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值.
【详解】sin 40° cos160°+sin20° cos140°
=-sin 40° cos20° -sin 20° cos 40° =-sin(40°+20°)=-
❑√3
2 .
故选：C
4 题型二、逆用两角和与差的余弦公式
1．sin66° cos36° -sin24° cos54° =（ ）
A．- 1
2
B．0
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】C
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求得答案.
【详解】
sin 66° cos36° -sin 24° cos54° =cos24° cos36° -sin 24° sin36° =cos60° = 1
2.
故选：C
2．cos77
∘cos32
∘+cos13
∘sin32
∘=（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√2
2
D．-
❑√2
2
【答案】C
【分析】根据两角差的余弦公式，即可化简求值.
【详解】cos77
∘cos32
∘+cos13
∘sin32
∘=cos77
∘cos32
∘+sin77
∘sin32
∘
=cos(77
∘-32
∘)=cos 45
∘=
❑√2
2 ．
故选：C
3．cos63° cos53°+sin 63° sin53° =（ ）
A．cos10° B．cos20°
C．cos53°
D．cos63°
【答案】A
【分析】根据两角差的余弦公式求解即可.
【详解】cos63° cos53°+sin 63° sin53° =cos(63° -53°)=cos10°.
故选：A.
4．1
2 cos75
∘-
❑√3
2 sin75
∘=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√2
2
D．
❑√2
2
【答案】C
【分析】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解.
【详解】1
2 cos75
∘-
❑√3
2 sin75
∘=cos60
∘cos75
∘-sin 60
∘⋅sin75
∘
=cos(60
∘+75
∘)=cos135
∘=-cos 45
∘=-
❑√2
2 ．
故选：C
5．cos 40
°sin70
°-sin 40
° sin160
°=（ ）
A．- 1
2
B．1
2
C．-
❑√3
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式及和角的余弦公式求解即得.
【详解】cos 40
°sin70
°-sin 40
°sin160
°=cos 40
°cos20
°- sin 40
°sin20
°
=cos(40
°+20
°) =cos60
°= 1
2.
故选：B
6．cos162
∘cos132
∘+cos72
∘cos42
∘=（ ）
A．
❑√3
2
B．1
2
C．-
❑√3
2
D．- 1
2
【答案】A
【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.
【详解】
cos162
∘cos132
∘+cos72
∘cos 42
∘=cos(90
∘+72
∘)cos(90
∘+ 42
∘)+cos72
∘cos 42
∘
=-sin72
∘(-sin 42
∘)+cos72
∘cos 42
∘=cos72
∘cos 42
∘+sin72
∘sin 42
∘
=cos(72
∘- 42
∘)=cos30
∘=
❑√3
2 .
故选：A.
7．已知角θ的终边过点P(-3,1)，则sin(
π
4 -θ)=（ ）
A．- 2❑√5
5
B．2❑√5
5
C．-
❑√5
5
D．
❑√5
5
【答案】A
【分析】先根据三角函数的定义求出sinθ ,cosθ，再根据两角差的正弦公式
即可得解.
【详解】因为角θ的终边过点P(-3,1)，
所以sinθ =
1
❑√9+1 =
❑√10
10 ,cosθ =-3
❑√9+1 =- 3 ❑√10
10 ，
所以
sin(
π
4 -θ)=sinπ
4 cosθ -cosπ
4 sinθ =
❑√2
2 ×(- 3 ❑√10
10 )-
❑√2
2 ×
❑√10
10 =- 2❑√5
5
.
故选：A.
8．sin95°cos25° -cos85°cos65° =（ ）
A．1
2
B．- 1
2
C．
❑√3
2
D．-
❑√3
2
【答案】C
【分析】根据三角函数的诱导公式以及余弦的和角公式，可得答案.
【详解】
sin 95° cos25° -cos85° cos65° =sin (90°+5°)cos25° -cos(90° -5°)cos(90° -25°)
=cos5° cos25° -sin5° sin 25° =cos(5°+25°)=cos30° =
❑√3
2 .
故选：C.
9．已知sin α = 4
5 ，α ∈(0, π
2 )，则sin(α -π
4 )=（ ）
A．
❑√2
10
B．-
❑√2
10
C．7 ❑√2
10
D．- 7 ❑√2
10
【答案】A
【分析】根据同角三角函数关系求出cosα,再根据两角差的正弦公式求解即
可.
【详解】因为sin α = 4
5 ,α ∈(0, π
2 ),
所以cosα = ❑√1-(
4
5)
2
= 3
5
,
则sin(α -π
4 )=sin α cosπ
4 -cosα sinπ
4 =
❑√2
2 × 4
5 -
❑√2
2 × 3
5 =
❑√2
10 .
故选：A.
10．cos70
∘cos50
∘+cos200
∘cos 40
∘的值为（ ）
A．-
❑√3
2
B．- 1
2
C．1
2
D．
❑√3
2
【答案】B
【分析】利用诱导公式转化为两个角的三角函数，再逆用两角和差的正余
弦公式，即可求解.
【详解】方法一：原式
=sin 20
∘sin 40
∘-cos20
∘cos 40
∘=-(cos20
∘cos 40
∘-sin 20
∘sin 40
∘)
=-cos60
∘=- 1
2．
方法二： 原式=cos70
∘sin 40
∘-cos20
∘cos 40
∘=sin 40
∘cos70
∘-sin70
∘cos 40
∘
=sin(40
∘-70
∘)=sin(-30
∘)=-sin30
∘=- 1
2．
故选：B
二、填空题
11．cos 40°cos20° -sin20° cos50°的值为 .
【答案】1
2/0.5
【分析】根据诱导公式和两角和的余弦公式求解即可.
【详解】cos 40°cos20° -sin20° cos50°
=cos 40° cos20° -sin 20° cos(90° - 40°)
=cos 40° cos20° -sin 20° sin 40°
=cos(40°+20°)
=cos60° = 1
2
故答案为：1
2.
12．cos75°⋅cos15° -sin 435°⋅sin15° = .
【答案】0
【分析】运用诱导公式，结合和角公式逆用即可.
【详解】
cos75°⋅cos15° -sin 435°⋅sin15° =cos75°⋅cos15° -sin(435° -360°)⋅sin15°
=cos75°⋅cos15° -sin75°⋅sin15° =cos(75°+15°)=cos90° =0.
故答案为：0.
13．cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin223
∘= .
【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式结合两角和的余弦公式化简可得所求代数式的值.
【详解】
cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin223
∘=cos17
∘cos43
∘+sin17
∘sin(180
∘+ 43
∘)
=cos17
∘cos43
∘-sin17
∘sin 43
∘=cos(17
∘+ 43
∘)=cos60
∘= 1
2.
故答案为：1
2.
14．sin7
∘cos23
∘+sin 83
∘cos67
∘= .
【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式及余弦的差角公式统一角度计算即可.
【详解】sin7
∘cos23
∘+sin 83
∘cos67
∘=cos83
∘cos23
∘+sin 83
∘sin 23
∘
=cos(83
∘-23
∘)=cos60
∘= 1
2.
故答案为：1
2.
15．化简：cos263° cos203°+sin 83° sin 23° = .
【答案】1
2/0.5
【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得.
【详解】∵cos263° =cos(180°+83°)=-cos83°，
cos203° =cos(180°+23°)=-cos23°，
∴cos263° cos203°+sin 83° sin 23°
=cos83° cos23°+sin 83° sin23° =cos¿.
故答案为：1
2
