文档文本内容
4.6 三角函数的二倍角公式（讲义）
目录
1
知识点01 二倍角公式................................................................................2
2
知识点02 半角公式....................................................................................2
3
知识点03 降幂公式....................................................................................2
4
知识点04 辅助角公式................................................................................2
5
题型一、二倍角的正弦公式.....................................................................2
6
题型二、二倍角的余弦公式.....................................................................5
7
题型三、逆用二倍角公式.........................................................................8
8
题型四、辅助角公式................................................................................11
1 知识点01 二倍角公式
①
sin2α =2sin α cosα；
②
cos2α =cos
2α -sin
2α =2cos
2α -1=1-2sin
2α；
2 知识点02 半角公式
①sin α
2 =± ❑√
1-cosα
2
②cos α
2 =± ❑√
1+cosα
2
3 知识点03 降幂公式
①sin α cosα = 1
2 sin 2α
②sin
2α = 1-cos2α
2
③cos
2α = 1+cos2α
2
4 知识点04 辅助角公式
asin α +bcosα
=
❑√a
2+b
2sin(α + ϕ)
（其中sin ϕ =
b
❑√a
2+b
2 ，cos ϕ =
a
❑√a
2+b
2 ，tan ϕ = b
a）
5 题型一、二倍角的正弦公式
1．sin15
∘cos15
∘等于（ ）
A．1
2
B．1
4
C．
❑√3
4
D．2
3
2．1
2 sin30° cos30° =（ ）
A．1
8
B．1
4
C．
❑√3
8
D．
❑√3
4
3．2sin 45° cos 45°的值为（ ）
A．-2
B．- 1
3
C．- 1
2
D．1
4．已知角α的终边过点(2,- ❑√3)，则sin2α =（ ）
A．-
❑√3
2
B．
❑√3
2
C．- 4
7
❑√3
D．4
7
❑√3
5．已知角α 的终边过点(4,-3)，则sin2α =（ ）
A．3
4
B．- 3
4
C．24
25
D．- 24
25
6．已知角α的终边经过点P(- 3
5 , 4
5)
，则sin2α =（ ）
A．- 24
25
B．- 7
25
C．7
25
D．24
25
7．已知sinα +cosα = 7
5，则sin2α =（ ）
A．- 12
25
B．12
25
C．- 24
25
D．24
25
8．已知角α的终边位于第四象限，cosα = 1
4，则sin2α的值为（ ）
A．-7
8
B．-
❑√15
8
C．
❑√15
8
D．17
32
9．已知角θ的终边过点P(3,2)，则
sin2θ
2cos
2θ -3sin
2θ
=（ ）
A．-2
B．2
C．5
2
D．3
6 题型二、二倍角的余弦公式
1．已知sinα = 2
3，则cos2α =（ ）
A．4 ❑√5
9
B．- 4 ❑√5
9
C．- 1
9
D．1
9
2．已知cos x = 4
5 ，则cos2 x的值为（ ）
A．- 7
25
B．7
25
C．- 41
50
D．41
50
3．已知sinθ = 3
4 ，则cos2θ =（ ）
A．- 1
8
B．1
8
C．- 7
16
D．7
16
4．已知cos(α +π
3 )=
❑√6
6
，则cos(2α + 2π
3 )=（ ）
A．- 3
5
B．3
5
C．2
3
D．- 2
3
5．已知tanα=2，则sin(2α- π
2)=（ ）
A．- 4
5
B．- 3
5
C．3
5
D．4
5
6．已知 sinθ = 1
3
，则 sin(
5π
2 -2θ)=（ ）
A．7
9
B．- 7
9
C．4 ❑√2
9
D．- 4 ❑√2
9
7．已知tanα =2，则cos2α +3sin
2α =（ ）
A．- 6
5
B．6
5
C．- 9
5
D．9
5
8．已知α为锐角，且tan α =3sin α，则cos2α =（ ）
A．- 7
9
B．- 1
3
C．1
3
D．7
9
9．已知sinα +2cosα =0，则1-cos2α
1+cos2α =（ ）
A．4
B．2
C．1
2
D．1
4
7 题型三、逆用二倍角公式
1．sin
2 π
12=
A．2- ❑√3
4
B．2+ ❑√3
4
C．3
4
D．1
4
2．已知1-cos2θ+sin 2θ
1+cos2θ+sin 2θ =2，则tanθ =（ ）
A．1
B．2
C．3
D．❑√2
3．2cos
2 π
12 +1的值是（ ）
A．3
2
B．
❑√3
2
C．1+ ❑√3
2
D．2+
❑√3
2
4．sin 3π
8 cosπ
8 =（ ）
A．2+ ❑√2
2
B．2+ ❑√2
4
C．2- ❑√2
2
D．2- ❑√2
4
5．sin 5π
12 cosπ
12 =（ ）
A．2- ❑√3
4
B．2+ ❑√3
4
C．2+ ❑√3
5
D．2- ❑√3
5
6．求sin 5π
12 cosπ
12=（ ）
A．2+ ❑√3
4
B．2- ❑√3
4
C．
❑√6- ❑√2
4
D．
❑√6+ ❑√2
4
7．计算：1
2 -cos
2π
8 =（ ）
A．-
❑√2
4
B．
❑√2
4
C．
❑√2
2
D．-
❑√2
2
8．若sin(
5π
12 +α)= 1
3
，则cos(2α -π
6 )=（ ）
A．2❑√2
9
B．- 2❑√2
9
C．7
9
D．- 7
9
9．若sin(α -20
∘)=sin20
∘
tan20
∘- ❑√3
，则cos(2α +140
∘)=（ ）
A．1
8
B．- 1
8
C．-7
8
D．7
8
8 题型四、辅助角公式
1．在下列各式中，化简结果为2sin(x + 2π
3 )
的是（ ）
A．sin x - ❑√3cos x
B．cos x + ❑√3sin x
C．❑√3cos x -sin x
D．sin x + ❑√3cos x
2．已知❑√3sinα +cosα = 2
3
，则sin(2α - π
6)=（ ）
A．- 7
9
B．2❑√2
9
C．7
9
D．- 2❑√2
9
3．已知sinα +sin(α +π
3 )= 4 ❑√3
5
，则sin(α - 5π
6 )
的值是（ ）.
A．- 2❑√3
5
B．2❑√3
5
C．4
5
D．- 4
5
4．已知❑√3sinα -sin(α +π
6 )= 3
5
，则cos(
4π
3
-2α)=（ ）
A．- 7
25
B．- 16
25
C．7
25
D．24
25
5．若cos(α -π
6 )+sin(π-α )=
❑√3
5 ，则cos(
π
3 -α)的值为（ ）
A．-
❑√3
5
B．- 1
5
C．
❑√3
5
D．1
5
6．已知sin(α -π
3 )+ ❑√3cosα = 1
3，则sin(2α +π
6 )=( )
A．7
9
B．2
9
C．- 1
9
D．- 7
9
7．已知cosα + ❑√3sin α = 3
5，则cos(2α +π
3 )=（ ）
A．47
50
B．- 47
50
C．-41
50
D．41
50
8．若α + β =π
2 ，❑√2sin α +sin β = ❑√3，则tan α =（ ）
A．
❑√2
2
B．❑√2
C．1
D．❑√3
9．已知sin α - ❑√3cosα = 2
3，则sin(2α -π
6 )=（ ）
A．- 1
3
B．1
3
C．7
9
D．- 7
9
