文档文本内容
第01 讲 任意角和弧度制及三角函数的概念
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................4
高频考点一：确定已知角所在象限............................................................................................................4
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围..................................................................................5
高频考点三：确定
倍角（分角）所在象限.............................................................................................7
高频考点四：区域角..................................................................................................................................9
高频考点五：终边相同的角..................................................................................................................... 12
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化...............................................................................................14
高频考点七：弧长公式有关的计算..........................................................................................................15
高频考点八：扇形面积有关计算..............................................................................................................17
高频考点九：单位圆法与三角函数..........................................................................................................20
高频考点十：终边上任意点法与三角函数...............................................................................................22
高频考点十一：三角函数线..................................................................................................................... 24
高频考点十二：解三角不等式..................................................................................................................28
第三部分：典型易错题型.................................................................................................................................32
第一部分：基础知识
1、角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
③终边相同的角：
终边与角
相同的角可写成
．
2、弧度制的定义和公式
①1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，
，是以角
作为圆心
角时所对圆弧的长，
为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值
与所取的
的大小无关，仅与角的大小有关．
④弧度与角度的换算：
；
．
若一个角的弧度数为
，角度数为
，则
，
．
3、任意角的三角函数
3.1.单位圆定义法：
任意角的三角函数定义：设
是一个任意角，角α 的终边与单位圆交于点
，那么
（1）点
的纵坐标叫角α 的正弦函数，记作
；
（2）点
的横坐标叫角α 的余弦函数，记作
；
（3）点
的纵坐标与横坐标之比叫角α 的正切函数，记作
（
）.它们都是以角为自变
量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
3.2.终边上任意点法：
设
是角
终边上异于原点的任意一点，它到原点的距离为
（
）那么：
；
；
（
）
角
不存在
4、扇形的弧长及面积公式
(1)弧长公式
在半径为
的圆中，弧长为的弧所对的圆心角大小为
，则
变形可得
，此公式称为弧长
公式，其中
的单位是弧度．
(2)扇形面积公式
5、三角函数线
三角函数线
正弦线：
余弦线：
正切线：
6、常用结论
（1）三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦.
（2）角度制与弧度制可利用
进行相互转化，在同一个式子中，采用的度量方式必须统一，
不可混淆.
角度制
弧度制
（3）象限角：
象限角
集合
区间
第一象限角
第二象限角
第三象限角
第四象限角
（4）轴线角
角
终边所在位置
角度制
弧度制
角
终边在
轴非负半轴
角
终边在
轴非正半轴
角
终边在
轴非负半轴
角
终边在
轴非正半轴
角
终边在
轴上
角
终边在
轴上
角
终边在坐标轴上
第二部分：高频考点一遍过
高频考点一：确定已知角所在象限
典型例题
例题1．若角
顶点在原点，始边在
的正半轴上，终边上一点
的坐标为
，则角
为
（ ）角
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象眼
【答案】C
【分析】通过诱导公式化简即可
【详解】由诱导公式得：
所以
在第三象限，所以角
为第三象限角.
故选：C.
例题2．
的终边在第 象限．
【答案】三
【分析】由终边相同的角的概念求出
的终边相同的角为
，判断其所在的象限即可.
【详解】因为
，所以
与
终边相同，
故
的终边在第三象限.
故答案为：三
精练高频考点
1．
角的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】把
变成0 到360 度内的角即可判断.
【详解】因为
，所以
角的终边在第三象限.
故选：C.
2．
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】确定
的范围，进而求出终边所在象限.
【详解】
，所以
的终边在第四象限.
故选：D
3．（多选）若
，则角
的终边在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BD
【分析】对
分奇数、偶数两种情况讨论，结合象限角的定义可得结果.
【详解】当
为偶数时，设
，则
，
此时
与
角终边相同，为第二象限角；
当
为奇数时，设
，则
，
时，
与
角终边相同，为第四象限角．
故选：BD．
高频考点二：由已知角所在的象限确定某角的范围
典型例题
例题1．已知
为第二象限角，则
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】C
【解析】根据
的范围，求得
的范围，即可得答案.
【详解】因为
为第二象限角，所以
，
所以
，
所以
为第三象限角．
故选：C
例题2．已知角
为第一象限角，则角
所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】C
【分析】根据角
的范围，求得
的范围，即可求得答案.
【详解】由题意得
，
所以
，
所以
所在的象限为第三象限.
故选：C.
精练高频考点
1．若
是第二象限角，则
是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】D
【分析】根据象限角的定义及其范围，进行计算即可.
【详解】因为
是第二象限角，
所以
，
所以
从而
，
所以
是第四象限角．
故选：D.
2．若
是第四象限角，则
是第（ ）象限角
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】B
【分析】由题可得
，
，即得答案.
【详解】
是第四象限角，则
，
，
则
，
，在第二象限.
故选：B.
3．已知
为第四象限角，则
为（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
【答案】A
【分析】根据任意角的定义，进行逆时针旋转即可得解.
【详解】
表示将角α 的终边逆时针旋转
弧度后所得的角，
因为α 为第四象限角，
所以
为第一象限角．
故选：A
高频考点三：确定倍角（分角）所在象限
典型例题
例题1．（24-25 高一上·宁夏固原·期末）若
是第三象限角，则
是（ ）
A．第一或第二象限角
B．第一或第三象限角
C．第二或第四象限角
D．第三或第四象限角
【答案】C
【分析】首先利用不等式写出
的范围，即可求解.
【详解】由题意可知
，
所以
，
所以
是第二或第四象限角.
故选：C.
例题2．（多选）（24-25 高一下·陕西渭南·期中）已知角
的终边在第四象限，则
的终边可能在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】BCD
【分析】根据角
的终边在第四象限，得
，即
，然后分类讨论，再结合象限角定义可判断.
【详解】由
为第四象限角，得
，
得
，
令
，
时，
，
，得
的终边在第四象限；
令
，
时，
，
，得
的终边在第二象限，
令
，
时，
，
，得
的终边在第三象限，
故选：BCD.
精练高频考点
1．（2025 高二下·湖南郴州·阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．第一象限角一定是锐角
B．若
是钝角，则
是第一象限角
C．大于
的角一定是钝角
D．若
是锐角，则
是第二象限角
【答案】B
【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得
的取值范围，即可分析判断.
【详解】对于选项A：例如
为第一象限角，但不是锐角，故A 错误；
对于选项B：若
是钝角，则
，
可得
，所以
是第一象限角，故B 正确；
对于选项C：例如
，但
不是钝角，故C 错误；
对于选项D：例如
为锐角，则
不是第二象限角，故D 错误；
故选：B.
2．（多选）（24-25 高三下·全国·单元测试）已知
是第三象限角，则
不可能是第几象限角（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】CD
【分析】根据给定条件，由
的范围，求出
的范围作答.
【详解】因为
是第三象限角，则
，
于是
，显然
终边在x 轴上方，
所以
不可能是第三象限角，不可能是第四象限角.
故选：CD
3．（2025 高三下·全国·专题练习）如果
是第三象限的角，角
终边所在的位置是 ．
【答案】第一、三、四象限
【分析】根据象限角定义结合
分类讨论求解即可.
【详解】因为
，所以
．
当
时，
；
当
时，
；
当
时，
．
综上，
的终边在第一、三，四象限．
故答案为：第一、三、四象限
高频考点四：区域角
典型例题
例题1．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知角
的终边在图中阴影部分内，则角
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
或
C．
D．
【答案】D
【详解】终边在
角的终边所在直线上的角的集合为
，终边在
角的终边所在直线上的角的集合为
，因此，终边在图中阴
影部分内的角
的取值范围是
．
例题2．（24-25 高三下·全国·阶段练习）如图，分别用弧度制写出适合下列条件的角的集合．
(1)终边落在射线
上；
(2)终边落在直线
上；
(3)终边落在阴影区域内（含边界）．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）可得出终边落在射线
上的一个角为
，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线
上的角的集合；
（2）可得出终边落在射线
上的一个角为
，利用终边相同的角的集合可得出终边落在射线
上的角
的集合；
（3）分别写出第一象限和第三象限中阴影部分区域所表示的角的集合，然后将两个集合取并集可得出结
果.
【详解】（1）终边落在射线
上的一个角为
，则终边落在射线
上的角的集合为
；
（2）终边落在射线
上的一个角为
，则终边落在直线
上的角的集合为
；
（3）终边落在第一象限中的阴影部分区域的角的集合为
，
终边落在第三象限中的阴影部分区域的角的集合为
，
因此，终边落在阴影区域内的角的集合为
.
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）如图所示，终边在阴影部分（含边界）的角的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】阴影部分在第一象限的角的集合为
；阴影部分在第三象限的角的
集合为
．所以所求角的集合为
．
2．（25-26 高三上·全国·阶段练习）如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】略
3．（24-25 高三上·海南海口·阶段练习）若角
的终边落在如图所示的阴影部分内（含边界），则角
的
取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据任意角的概念及终边相同角的表示求解.
【详解】依题意，在
内阴影部分的边界射线对应的角分别为
，终边在阴影内部分对应角的范
围是
，
所以角
的取值范围是
．
故选：D．
高频考点五：终边相同的角
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广西钦州·期末）下列与
角终边相同的角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据终边相同的角的集合即可求解.
【详解】与
角终边相同的角的集合为
,
取
，
，其他均不符合，
故选：B
例题2．（多选）（24-25 高三下·全国·周测）下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】弧度与角度之间的互化是
，利用公式分别计算A、B、C、D 四个选项可得答案.
【详解】对于A，
，正确；
对于B，
，正确；
对于C，
，错误；
对于D，
，正确；
故选：ABD．
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）下列与
角终边相同的角是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】与
角终边相同的角的集合为
，令
．
2．（24-25 高一下·海南海口·期中）下列各角中，与2025°角终边相同的是（ ）
A．225°
B．
C．45°
D．
【答案】A
【分析】根据终边相同的角的判断方法逐一判断即得.
【详解】因
，即
与
的终边相同.
对于A，由上分析可得，故A 正确；
对于B，因
不是
的整倍数，故B 错误；
对于C，因
不是
的整倍数，故C 错误；
对于D，因
不是
的整倍数，故D 错误.
故选：A.
3．（多选）（24-25 高一下·湖南长沙·期末）与405°角终边相同的角是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据终边相同的角定义判断.
【详解】由于
，
故与405°终边相同的角应为
或
．
故选：BC
高频考点六：角度制与弧制度的相互转化
典型例题
例题1．（多选）（25-26 高一上·全国·课后作业）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成角度是
C．
化成弧度是
D．
化成角度是
【答案】AB
【详解】
，故A 正确；
，故B 正确；
，故C 错误；
，故D 错误．
例题2．（2025 高三·全国·专题练习）将下列各弧度化成角度．
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
；
(2)135°；
(3)210°．
【分析】根据弧度制的定义，可得答案．
【详解】（1）
（2）
（3）
精练高频考点
1．（25-26 高一上·全国·课后作业）把
化成角度是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】
．
2．（多选）（24-25 高三上·云南昭通·阶段练习）下列转化结果正确的是（ ）
A．
化成弧度是
B．
化成弧度是
C．
化成角度是
D．
化成角度是
【答案】ABD
【分析】根据弧度制和角度制的转化公式求得正确答案.
【详解】对于A：
，所以
化成弧度是
，故A 正确.
对于B，
，
化成弧度是
，故B 正确.
对于C，
化成角度是
，故C 错误.
对于C，
，
化成角度是
，故D 正确.
故选：ABD.
3．（24-25 高三下·全国·周测）若角
的终边在直线
上，则角
用弧度制可表示为 ．
【答案】
【分析】根据终边相同的角求解.
【详解】
角
的终边在直线
上，
∴角
的终边在一、三象限的角平分线上，依题意得，
，
．
故答案为：
，
．
高频考点七：弧长公式有关的计算
典型例题
例题1．（24-25 高一下·辽宁抚顺·期中）已知扇形的半径为6，圆心角为20°，则该扇形的弧长为（ ）
A．
B．
C．60
D．120
【答案】B
【分析】先将圆心角转化为弧度制，然后根据扇形的弧长公式计算即可.
【详解】圆心角为20°，即圆心角为
，又扇形的半径为6，
由弧长公式得，该扇形的弧长为
，
故选：B
例题2．（24-25 高一下·上海宝山·期中）已知圆心角为
的扇形面积等于
，则该扇形的弧长为 .
【答案】
【分析】设扇形的半径为,由扇形的面积公式求出，再由弧长公式计算可得.
【详解】设扇形的半径为，因为圆心角
，
所以扇形面积
，解得
（负值已舍去），
所以该扇形的弧长
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高三下·四川雅安·阶段练习）已知甲同学手表的分针长2cm，把快了12 分钟的该手表校准后，
该手表的分针尖端所走过的弧长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据扇形的弧长公式求值.
【详解】手表分针转动的弧度数为：
，
又分针长2cm，所以分针尖端所走过的弧长为：
.
故选：B
2．（24-25 高一下·上海嘉定·期末）已知扇形的弧所对的圆心角为
，且半径为
，则该扇形的弧长为
.
【答案】
cm
【分析】利用弧长公式求解．
【详解】
，
故答案为：
3．（25-26 高一上·全国·课后作业）已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48 齿，小轮有20 齿．当大轮转动一
周时，小轮转动的角度是 弧度；若大轮的转速为
（转/分），小轮的半径为
，
则小轮圆周上一点第
转过的弧长是
．
【答案】
【详解】当大轮转动一周时，小轮转动的角度为
；由于大齿轮的转速为
，所以小齿轮
圆周上一点第
转过的弧长
．
高频考点八：扇形面积有关计算
典型例题
例题1．（2026 高三·全国·专题练习）一扇形周长为
，则当扇形的圆心角
为多少弧度时，这个扇形
的面积最大？
【答案】
【分析】设扇形弧长为
，扇形半径为
，依题意可得
，再由扇形面积公式及
二次函数的性质计算可得.
【详解】由已知设扇形弧长为
，扇形半径为
，则
，
所以
．
所以
，
所以当
时，取得最大值
，
此时
，
．
例题2．（24-25 高三上·河北保定·阶段练习）（1）已知扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角为
.求这个
圆心角所对的弧长及扇形的面积.
（2）已知扇形的周长为40
，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多
少？
【答案】（1）
；
；（2）答案见解析
【分析】（1）先求出半径，再由扇形弧长与面积公式可得；
（2）建立面积函数关系，求二次函数最值即可.
【详解】（1）因为扇形的圆心角所对的弦长为2，圆心角
，所以半径
，
所以这个圆心角所对的弧长
；
扇形的面积
.
故这个圆心角所对的弧长为
；扇形的面积为
.
（2）设扇形的圆心角为
，半径为，弧长为，面积为，
则
，所以
，
所以
，
所以当半径
时，扇形的面积最大，这时
rad.
故当扇形的半径为
，圆心角为
时，扇形的面积最大，最大值为
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·安徽合肥·阶段练习）已知扇形的圆心角为
，所在圆的半径为
(1)若
，
，求扇形的弧长
(2)若扇形的周长为
，当
为多少弧度时，该扇形面积最大并求出最大面积．
【答案】(1)
(2)当
时，扇形的面积最大，最大面积是
．
【分析】（1）首先将角度转化为弧度，然后根据扇形的弧长公式即可得到答案；
（2）设扇形的弧长为，则
，扇形的面积为
，由二次函数性质即可得到面
积的最大值．
【详解】（1）设扇形的弧长为．
，即
，
.
（2）由题设条件知，
,
因此扇形的面积
当
时，有最大值
，此时
,
当
时，扇形的面积最大，最大面积是
．
2．（2024 高三·全国·专题练习）已知扇形的圆心角是
，半径是，弧长为.
(1)若
，求扇形的面积；
(2)若扇形的周长为
，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
【答案】(1)
(2)最大值为25；
【分析】（1）先把角度化为弧度，再利用扇形面积公式求解即可；
（2）由题意可知扇形的面积为
，利用二次函数的性质，结合弧度的
定义即可求解
【详解】（1）因为
，
所以扇形的面积为
；
（2）由题意可知：
，即
，
所以扇形的面积为
，
当
时，扇形面积的最大值为
，
此时
，
3．（24-25 高一下·河南南阳·期中）已知某扇形的周长是8．
(1)当该扇形的面积最大时，求其圆心角
的大小；
(2)在（1）的条件下，求该扇形中所含弓形的面积．（注：弓形是指在圆中由弦及其所对的弧组成的图
形．）
【答案】(1)
(2)
．
【分析】（1）设该扇形的半径为，弧长为，可得
，利用基本不等式可求扇形的面积的最大
值；进而可求圆心角的大小；
（2）由（1）知
，
．求得三角形的面积，进而可求弓形的面积.
【详解】（1）设该扇形的半径为，弧长为，
则
，
当且仅当
时，等号成立，
此时该扇形的面积
，
，
其圆心角
，
故所求圆心角
．
（2）由（1）知
，
．
又因为两半径与圆心角所对弦构成的三角形面积
，
所以所求弓形的面积
，
故所求弓形的面积是
．
高频考点九：单位圆法与三角函数
典型例题
例题1．（23-24 高三·全国·阶段练习）设
，角
的终边与圆
的交点为
，那么
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据点在单位圆上求出
，再由三角函数的定义求解即可.
【详解】画图，角
的终边与圆
的交点为
，
设
，则
，
，代入得
，
解得
，
∵
，
∴
，
∴
，
又∵在单位圆中，
，
，
∴
，
，
∴
，
故选：D
例题2．（24-25 高一上·广东广州·期末）已知角
的终边与单位圆的交点为
，则
．
【答案】
【分析】根据任意角三角函数值的定义可得
，再利用诱导公式运算求解.
【详解】因为角
的终边与单位圆的交点为
，则
，
所以
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·福建龙岩·阶段练习）已知角
顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单
位圆交于点
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由三角函数定义求出
，相减即得．
【详解】角
终边与单位圆交于点
，则
，
.
.
故选：A.
2．（23-24 高三上·安徽·期中）已知
是角
的终边上一点，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由三角函数的定义可得
，进而由商数关系可求
.
【详解】因为
是角
的终边上一点，
所以
，
则
，
故选：B.
高频考点十：终边上任意点法与三角函数
典型例题
例题1．（多选）（24-25 高二下·江苏常州·期末）已知点
在角
的终边上，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】根据三角函数的定义及诱导公式逐一分析即可.
【详解】对于
：
，所以
，
平方得
，解得
，故
错误；
对于
：
，故
正确；
对于
：
，故
正确；
对于
：
，故
正确.
故选：
.
例题2．（2025·甘肃白银·二模）已知角
的顶点与坐标原点重合，始边与
轴非负半轴重合，终边经过点
，则
.
【答案】
【分析】根据三角函数定义计算角
的正切值，再用诱导公式求解即可.
【详解】由正切函数的定义可知
，
再利用诱导公式知
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高二上·云南保山·期末）已知角
的终边落在射线
上，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】方法1：根据三角函数的定义求解；方法2：三角函数的定义和弦化切计算.
【详解】方法1：由题角
的终边过点
，则
(
为坐标原点)，
从而，
．
方法2：由题易知
故选：B．
2．（2025 高二·全国·专题练习）已知角
的终边经过点
，则
的值为
．
【答案】
或
【分析】运用三角函数定义计算即可.
【详解】∵
，∴
．
①当
时，
，则
，
则
．
②当
时，
，
，
则
．
故答案为：
或
．
3．（2025·河北保定·一模）设
是第二象限角，
为其终边上一点，且
，则
．
【答案】
【分析】根据余弦函数的定义列方程解出
，再利用正切函数的定义求解即可.
【详解】由题：
，
又
是第二象限角，所以
，
所以
，
故答案为：
.
高频考点十一：三角函数线
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）设
，
，
，比较
，
，的大小．
【答案】
【分析】设扇形
的面积为
，由三角函数线结合
得到
，即可得解.
【详解】画出
的三角函数线，如下：
则
，
，
，
设扇形
的面积为
，则
，
，
又
，故
，
所以
，
，
因为
，根据不等式
(
)，
所以
，即
．
例题2．（24-25 高三下·全国·课堂例题）利用三角函数线比较：
，
，
的大
小．
【答案】
【分析】作出三角函数线，根据图形可得.
【详解】如图，在单位圆O 中分别作出角
的正弦线
和
的余弦线
，正切线
．
由
知
，又
，易知
，故
．
精练高频考点
1．（24-25 高一上·江苏·期末）已知
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求证
，结合作商法和倍角公式即可求解判断
的大小；
【详解】如图，设圆为单位圆，
，
，
点B 在x 轴上的射影点为T，过点A 作x 轴的垂线角射影
于点P，
则
，
由图知
，故
，
所以
，
所以
，即
，
，即
，
所以
.
故选：A.
【点睛】方法点睛：
是比较三角函数值大小的一个有力工具.
2．（2025 高三·全国·专题练习）利用单位圆中的三角函数线写出符合下列条件的角
的取值集合．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）分别作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）分别作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
【详解】（1）如下图所示，
、
为直线
与单位圆的两个交点，
可知
、
．
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
、
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
．
又当
的终边落在射线
或
上时，有
，
所以，满足条件的
的集合为
.
（2）如下图所示，
、
为直线
与单位圆的两个交点，
可知
、
．
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
、
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以
，
．
又当
的终边落在射线
或
上时，有
，
所以，满足条件的
的集合为
.
3．（24-25 高三下·全国·课堂例题）作出
的正弦线、余弦线和正切线．
【答案】答案见解析
【分析】借助单位圆，运用三角函数线画法画图即可.
【详解】如图所示，
的正弦线为
，余弦线为
，正切线为
．
高频考点十二：解三角不等式
典型例题
例题1．（24-25 高三下·陕西榆林·阶段练习）在
内，则满足不等式
的
取值集合是
.
【答案】
或
【分析】作出图形，根据三角函数线找出使得
对应的角
的集合.
【详解】作出单位圆如下图所示：
满足不等式
的角
的区域如图中的阴影部分所示（位于直线
的下方），
故在
内，则满足不等式
的
取值集合是
或
.
故答案为：
或
.
例题2．（23-24 高三·全国·随堂练习）利用单位圆，求适合下列条件的角α 的集合．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案；
（2）作出单位圆与直线
，求出交点坐标，根据三角函数的定义结合图象得出
内满足
的角，进而根据终边相同角的集合，即可写出答案.
【详解】（1）
如图1，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
又当
的终边落在射线
或
上时，有
，
所以，满足条件的
的集合为
.
（2）
如图2，
为直线
与单位圆的两个交点，可知
，
.
设
的终边落在射线
上，
的终边落在射线
上，
，
根据三角函数的定义可知，
，
，
，
所以，
，
.
根据图2 可知，当
，且
时，有
.
所以，当
时，由
可得，
.
精练高频考点
1．（2025 高三·全国·专题练习）求函数
的定义域．
【答案】
，
【分析】根据对数函数的定义及三角函数线可得结果.
【详解】易知
，
，且
．
构造三角函数线，如图20，图21．可知满足
的
的终边在图20 中“横线”区域内且不含边界；
满足
且
的
的终边在图21 中的“竖线”区域内且不含边界及
轴．
故满足条件的
，其中
．
2．（24-25 高三·全国·阶段练习）解不等式
.
【答案】
【分析】作单位圆及直线
，设
，由图可知当
时，满足
.即
解得.
【详解】解：如图所示，作单位圆及直线
，圆与直线相交于
、
两点，作射线
、
，则
为角
的终边，
为角
的终边.
设
，当
时，满足
.
所以
，
即
，
解得
，
即不等式的解集为
.
【点睛】本题考查三角函数线的应用，利用三角函数线解三角不等式，属于基础题.
3．（23-24 高三上·全国·阶段练习）求
的角
的取值范围.
【答案】
【分析】利用三角函数线，结合单位圆的图形进行求解即可.
【详解】因为tan
和tan
都等于
，
利用三角函数的正切线（如图）可知，
角
的终边在图中阴影部分（不包含y 轴），
将终边所在的所有区域合并得，
，
即满足
的角
的取值范围为
第三部分：典型易错题型
易错点一：忽略了角的旋转方向导致角的正负出错
1．（24-25 高一下·天津·期中）将表的分针拨慢20 分钟，则分针转过的角的弧度是 .
【答案】
【分析】由角的概念即可求解.
【详解】一个周角是
，因此分针拨慢20 分钟，
也即逆时针旋转
．
故答案为：
2．（24-25 高一下·上海·期中）当手表的分针转过10 分钟时，转过的弧度数是 .
【答案】
/
【分析】根据弧度制和角度制的互化求值即可.
【详解】由题意，手表的分针转过10 分钟，即顺时针旋转
，即顺时针旋转
弧度，
因此，分针转过的弧度数是
.
故答案为：
.
3．（24-25 高三下·上海·阶段练习）亲爱的考生，本场考试需要
小时，则在本场考试中，钟表的时针转
过的弧度数为 .
【答案】
/
【分析】根据时针旋转一周为
小时，转过的角度为
计算可得.
【详解】因为时针旋转一周为
小时，转过的角度为
，按顺时针转所形成的角为负角，
所以经过
小时，时针所转过的弧度数为
.
故答案为：
.
