文档文本内容
第01 讲 数列的基本知识与概念
目录
考情探究.........................................................................................................................2
知识梳理.........................................................................................................................2
探究核心考点.................................................................................................................3
考点一 数列的概念......................................................................................................................3
考点二 递增数列与递减数列......................................................................................................4
考点三 累加法求数列的通项公式..............................................................................................5
考点四 累乘法求数列的通项公式..............................................................................................5
考点五 构造法求数列的通项公式..............................................................................................6
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项.............................................................................6
考点七 递推数列..........................................................................................................................7
三阶突破训练.................................................................................................................8
基础过关........................................................................................................................................8
能力提升........................................................................................................................................9
真题感知......................................................................................................................................11
一、5 年真题考点分布
5 年考情
考题示例
考点分析
关联考点
全国一卷，16 题（1）小问，6 分
累加法求通项公式
无
2024 年新Ⅱ卷，第19 题,17 分
由递推关系证明等比
数列
求直线与双曲线的交点坐标
向量夹角的坐标表示
2024 年全国甲卷，第18 题,12 分
利用an 与Sn 关系求
通项或项
错位相减法求和
2023 年全国甲卷（理科），
第17 题,10 分
利用an 与Sn 关系求
通项或项
错位相减法求和
二、命题规律及备考策略
【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，会单独考察，也会结合其它板块考察，难度覆盖各个梯度，
小题分值为5-6 分，大题13-17 分
【备考策略】1.掌握数列的有关概念和表示方法
2.能利用an 与Sn 的关系以及递推关系求数列的通项公式
3.理解数列是一种特殊的函数,能利用数列的周期性、单调性解决简单的问题
【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，解答题第一小问经常考数列的通项公式，需熟悉递推公式
求通项公式的基本方法。
1．数列的定义
按照 排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类标准
类型
满足条件
项数
有穷数列
项数
无穷数列
项数
项与项间
的大小关
系
递增数列
an＋1 an
其中n∈N*
递减数列
an＋1 an
常数列
an＋1＝an
摆动数列
从第二项起，有些项大于它的前
一项，有些项小于它的前一项的
数列
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n 项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这
个式子叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个
数列的递推公式．
考点一 数列的概念
典例1．在数列
中，
若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．大衍数列来源于《乾坤谱》中对“大衍之数五十”的推论，已知该数列
的前10 项依次是0，
2，4，8，12，18，24，32，40，50，记
，则数列
的前2024 项和是 ．
跟踪训练1．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3 再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行
上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈
．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”
（又称“角谷猜想”）．已知数列
满足
则
（ ）
A．1
B．2
C．4
D．8
跟踪训练2．设数列
满足：
，
，那么
等于（ ）
A．
B．2
C．
D．
跟踪训练3．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，它是由正整数的倒数组成的，第
行有
个数且两端的数均为
，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如
，
，
，
，则第7 行第4 个数（从左往右数）为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点二 递增数列与递减数列
典例1．已知函数
，若数列
满足
且
是递增数列，则实
数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．（多选）设曲线
在点
处的切线与
轴交点的横坐标为
，则（ ）
A．
的通项公式为
B．
是递增数列
C．
的最大项为1
D．
跟踪训练1．已知数列
满足
，则
（ ）
A．有最大项，有最小项
B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项
D．无最大项，无最小项
跟踪训练2．若在数列
中，对于
，
，都有
（t 为常数），则称数列
具有
性质
.已知数列
的通项公式为
，且具有性质
，则
的取值范围是 ．
跟踪训练3．数列
中，
，且满足
，则实数
的取值范围是
．
考点三 累加法求数列的通项公式
典例1．（2025·江西新余·模拟预测）已知数列
满足
，且
，则数列
的通项公式
为（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．设数列
满足
，且
，则数列
的前10 项和为 ．
跟踪训练1．已知数列
满足
，
，则
．
跟踪训练2．在数列
中，
，
，求数列
的通项公式.
考点四 累乘法求数列的通项公式
典例1．已知数列
满足
，
．若
，则
．
典例2．已知
，
，求数列
的通项．
跟踪训练1．（2025·浙江宁波·三模）已知数列
中，
，记
为
的前
项和，
，则
的值为（ ）
A．2023
B．2024
C．2025
D．2026
跟踪训练2．已知首项为1 的数列
满足
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练3．已知
，
，求数列
的通项．
考点五 构造法求数列的通项公式
典例1．已知数列
中，
，求
．
典例2．（2025·山东泰安·模拟预测）数列
满足
， 且
，
的前
项和为
，则满
足不等式
的
的最大值是 .
跟踪训练1．已知数列
满足
，且
，
，则数列
的通项公式为
.
跟踪训练2．已知在数列
中，
，
，则通项
．
跟踪训练3．已知在数列
中，
，且满足
，求证：
．
考点六 利用an与Sn的关系求通项公式或项
典例1．已知正项数列
中，
且
，其中
为数列
的前
项和，则数列
的通项公式为 ．
典例2．已知数列
的前
项和
，
.
(1)求数列
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
.
跟踪训练1．记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
跟踪训练2．记
是数列
的前
项和，
，
，且数列
是等差数列．
(1)求
的通项公式；
(2)设若
，求数列
的前
项和
考点七 递推数列
典例1．已知数列
满足
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
典例2．已知数列
满足：
（
为正整数），
，若
，则
所有可
能的取值为 ．
跟踪训练1．如图所示，在著名的汉诺塔问题中有三根针和套在一根针上的若干金属片，按下列规则，把
金属片从一根针上全部移动到另一根针上：①每次只能移动一根金属片；②在每次移动过程中，每根针上
较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将
个金属片从1 号针移动到3 号针最少需要移动的次数记为
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
跟踪训练2．（24-25 高三下·河南开封·阶段练习）（多选）已知数列
满足
，则（ ）
A．当
时，对任意
都有
B．当
时，对任意
都有
C．当
时，存在正整数
，当
时，
D．当
时，存在正整数
，当
时，
跟踪训练3．已知数列
满足
，
，则
．
1．已知数列
满足
，
，则
（ ）
A．
B．3
C．4
D．
2．设
为数列
的前n 项积，且
，
，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列．以高阶等差
数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列．若某
个二阶等差数列的前4 项为：2，3，6，11，则该数列的第27 项为（ ）
A．676
B．678
C．731
D．733
4．（多选）在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，有一种图形后人称之为“三角垛”.“三角
垛”的最上层有1 个球，第二层有3 个球，第三层有6 个球…..设各层球数构成一个数列
，下列说法正
确的是（ ）
A．
B．
C．数列
的通项公式为
D．数列
的一个递推公式为
5．若数列
满足
，则
6．（2025·浙江宁波·模拟预测）数列
是正项数列，若
，且
，
，则
．
7．已知数列
满足
，则
．
8．若数列
满足
，则称
为“对奇数列”．已知
为“对奇数列”，且
，则
．
9．1202 年意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”，又称斐波那契数列，即
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…该数列中的数字被人们称为神奇数，在现代物理，化学等领域都
有着广泛的应用.若此数列各项被3 除后的余数构成一新数列
，则数列
的前2025 项的和为
.
10．根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式
.
11．记
为数列
的前n 项和，
为数列
的前n 项积，已知
．
(1)证明：数列
为等比数列；
(2)求
的通项公式．
1.已知数列
满足
，若
，则实数k 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2.如果
，
，
，就称
表示
的整数部分，
表示
的小数部分．已知数列
满足
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
3.已知数列
的前
项和为
，且
，若
对一切
恒成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
4.设
为实数，
为不超过实数
的最大整数，如
，
．记
，则
的取值
范围为
，现定义无穷数列
如下：
，当
时，
；当
时，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
5.甲、乙、丙、丁4 人做传球游戏，球首先由甲传出，每个人得到球后都等可能地传给其余3 人之一．第
次传球后，球在甲手中的概率为
，在乙手中的概率为
，则下列结论错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
6.已知数列
通项公式为
，若对任意
，都有
则实数的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（25-26 高三上·广东深圳·开学考试）（多选）已知数列
满足
，
，则下列
结论正确的是（ ）
A．
为等比数列
B．
C．
的前n 项和
D．
的前n 项和
8．（多选）在数列
中，下列结论正确的是（ ）
A．若数列
的前
项和
，则
B．若
，且
，则
C．若
，且
，则
D．若
，
，且
，则
9.已知
，
．则通项公式
．
10.若
，已知数列
中，首项
，则
．
11.已知数列
满足
，
，
．
(1)判断数列
是否为等比数列；
(2)求数列
的通项公式．
1．（2025·天津·高考真题）
，则数列
的前
项和为（ ）
A．112
B．48
C．80
D．64
2．（2023·北京·高考真题）已知数列
满足
，则（ ）
A．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
B．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
C．当
时，
为递减数列，且存在常数
，使得
恒成立
D．当
时，
为递增数列，且存在常数
，使得
恒成立
3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列
的前
项和为
，且
.
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和.
4．（2024·全国甲卷·高考真题）记
为数列
的前
项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)设
，求数列
的前
项和
．
5．（2023·全国甲卷·高考真题）设
为数列
的前n 项和，已知
．
(1)求
的通项公式；
(2)求数列
的前n 项和
．
