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第01 讲 导数的概念及运算
A 夯实基础 B 相遇高考 C 素养提升
A 夯实基础
1．已知曲线
在
处的切线方程为
，则
（ ）
A．
B．2
C．1
D．
【答案】C
【分析】根据题意求导，利用导数在
即可求解.
【详解】因为曲线
在
处的切线方程为
，所以
，
又
，所以
，所以
.
故选：C.
2．已知曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】求导，确定切线斜率，再结合垂直关系即可求解.
【详解】由
，得
，
所以在
处的切线斜率为：
，
由垂直关系可得：
，
所以
，
故选：A
3．已知函数
的导函数为
，
的图象如图所示，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义，结合图象即可求解.
【详解】根据导数的几何意义，结合图象可得
，
所以
.
故选：A.
4．计算：
（ ）
A．0
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据导数的定义与基本初等函数的求导公式计算即可.
【详解】
.
故选：C.
5．已知直线
是曲线
与曲线
的公切线，则
等于（ ）
A．
B．
C．
或0
D．0
【答案】C
【分析】设出切点，求导，利用导数几何意义得到切线方程，得到
，
，联立求出
或
，从而得到切线方程，求得答案.
【详解】设
与
相切于点
，
，故切线斜率
，
在点
处的切线方程为
，
即
，故
，
设
与
相切于点
，
，则
，所以
，解得
，
在
处的切线方程为
，
即
，故
，
所以
，
将
代入上式得
，
整理得
，解得
或
，
当
时，切线方程为
，此时
，所以
；
当
时，切线方程为
，故
，
，所以
；
综上所述：
或0.
故选：C.
6．若直线
是函数
的图象的一条切线，则实数k 的值为（ ）
A．1
B．
C．e
D．
【答案】A
【分析】可设切点坐标
，切点坐标满足函数方程，且有
．解方程组可得
k 的值；
【详解】
，
，
设切点坐标为
，则
，
消去k，得
，所以
.
故选：A
7．若曲线
（其中e 为自然对数的底数）有两条过坐标原点的切线，则实数a
的取值范围是（ ）
A．
或
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设切点为
，求导得出斜率，利用点斜式得到切线方程，因为切
线过坐标原点，可得到
，有两条切线转化为
有两个不等的实根，即可求出a 的取值范围，进而得到正确选项.
【详解】设切点为
，
，
所以切线的斜率
，
则此曲线在P 处的切线方程为
，
又此切线过坐标原点，所以
，
由此推出
有两个不等的实根，所以
，解得
或
，
故选：A．
8．（多选）对于函数
，若
，则当无限趋近于0 时，在下列式子中无限趋
近于2 的式子有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】根据题意，结合极限的运算法则和导数的定义，逐项计算，即可求解.
【详解】对于A 中，由
，所以A 正确；
对于B 中，由
，所以B 正确；
对于C 中，由
，所以C 不正确；
对于D 中，由
，所以D 正确；
故选：ABD.
9．（多选）下列求导运算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【分析】根据导数的求导公式及求导法则判断ABC，根据复合函数的求导公式判断D.
【详解】因为
，
，
，
，
所以ACD 错误，B 正确.
故选：ACD.
10．设曲线
在
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】由导数的几何意义求出切线斜率，再根据点斜式即可求得切线方程.
【详解】由
求导得：
，
则曲线
在
处的切线斜率为3，
又
时，
，
故切线方程为：
，即
.
故答案为：
.
11．若直线
既与曲线
相切，又与曲线
相切，则
.
【答案】
/
【分析】由导数几何意义列式求解即可.
【详解】设
与
和
的切点分别为
，
由导数的几何意义可得
，得
，
再由切点也在各自的曲线上，可得
，联立上述式子解得
，
从而
得出
.
故答案为：
12．已知函数
.
(1)直线为曲线
在点
处的切线，求直线的方程；
(2)求过原点且与曲线
相切的切线方程及切点坐标.
【答案】(1)
(2)
，
【分析】（1）求出函数
的导数，利用导数的几何意义求出切线方程/.
（2）设出过原点的切线与函数图象相切的切点坐标，表示出切线方程，进而求出切点坐标
即可得解.
【详解】（1）由
，得点
在曲线上，
求导得
，则
，
所以所求切线的方程为
，即
.
（2）设切点为
，则切线的斜率为
，
切线的方程为：
，
由切线过点
，得
，整理得
，
解得
，
，切线的斜率
，
所以切线的方程为
，切点坐标为
.
B 相遇高考
1．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线
在点
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜
率，代入所设方程即可求解.
【详解】设曲线
在点
处的切线方程为
，
因为
，
所以
，
所以
所以
所以曲线
在点
处的切线方程为
.
故选：C
2．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程．
【答案】(1)
；
【详解】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
所以函数在
处的切线方程为
，即
.
3．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
【答案】(1)
；
【详解】（1）当
时，
，
则
，
据此可得
，
函数在
处的切线方程为
，
即
.
C 素养提升
1．已知函数
的定义域为
，其导函数
的图象如图所示，则对于任意
，
，下列结论正确的是（ ）
A．
B．
是增函数
C．
D．
【答案】D
【分析】根据导函数图象的特征判断原函数的单调性和凹凸性，可得
的大致图象，即
可逐一判断各选项.
【详解】由导函数的图象可知，导函数
的图象在
轴下方，即恒有
，且其绝
对值越来越小，
因此过
函数图象上任一点的切线的斜率为负，并且从左到右切线的倾斜角是越来越大
的钝角，
即其图象下凸，且函数
是减函数，故B 错误；但无法判断
的函数值符号，故A
错误；
对于C，D，如图，设直线
分别与
的图象交于点
，连接
，
设直线
交线段
于点
，交函数
的图象于点
，则
，
由图可知
，即
，故D 正确， C 错误.
故选：D.
2．若曲线
与曲线
相切，则
的值是（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质对
进行分段讨论，再结合导数的几何意义求出切
点，进而求出
的值.
【详解】当
时，
；
当
时，
.
因为
的定义域为
，
所以两曲线的切点在
上.
对
求导得
.
因为两曲线相切，所以在切点处它们的斜率相等，即
.
解方程
，解得
.
把
代入
得
，所以切点坐标为
.
把切点
代入
得
，即
.
因为
，所以
.
故选：B.
3．已知曲线
与
恰好存在两条公切线，则实数
的取值范围（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设切点分别为
和
，再由导数求得斜率相等，得到
，
构造函数由导数求得参数
的范围．
【详解】
的导数
的导数为
，
设与曲线
相切的切点为
相切的切点为
，
则有公共切线斜率为
，
又
，即有
，即为
，即有
，
则有
，即为
，恰好存在两条公切线，即有两解，
令
，则
，
当
时，
递减，当
时，
递增，
即有
处
取得极大值，也为最大值，且为
，
由恰好存在两条公切线可得
与
有两个交点，
可得
的范围是
，
故选：D.
