文档文本内容
第05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
目录
第一部分：基础知识..........................................................................................................................................1
第二部分：高考真题回顾..................................................................................................................................2
第三部分：高频考点一遍过...............................................................................................................................3
高频考点一：测量距离问题.......................................................................................................................3
高频考点二：测量高度问题.......................................................................................................................8
高频考点三：测量角度问题..................................................................................................................... 12
高频考点四：求平面几何问题..................................................................................................................16
高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题.......................................................................................21
第一部分：基础知识
1、基线
在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.为使测量具有较高的精确度,应
根据实际需要选取合的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2、仰角与俯角
在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰
角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
3、方位角
从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角
的范围是
.
4、方向角
正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)
，
例：(1)北偏东
：(2)南偏西
：
5、坡角与坡比
坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(
为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即
.
第二部分：高考真题回顾
1．（2024·上海·高考真题）已知点B 在点C 正北方向，点D 在点C 的正东方向，
,存在点A 满足
，则
(精确到0.1 度)
【答案】
【分析】设
，在
和
中分别利用正弦定理得到
，
，两式相除即可得到答案.
【详解】设
，
在
中，由正弦定理得
，
即
’
即
①
在
中，由正弦定理得
，
即
，即
，②
因为
，
得
，
利用计算器即可得
，
故答案为：
.
第三部分：高频考点一遍过
高频考点一：测量距离问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·四川成都·期末）如图，为了测量两山顶
间的距离，飞机沿水平方向在
两
点进行测量，
在同一个铅垂平面内，在A 点测得
在A 的南偏东
的方向上，
在A 的南偏
东
的方向上，在
点测得
在
的南偏西
的方向上，
在
的南偏东
的方向上，且
，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】依据图形求得角度
，然后利用正弦定理得到
，最后使用余弦定
理计算即可.
【详解】由题可知：
，
所以
，
所以在
中，
,
在
中，
在
中，
.
故选：C
例题2．（24-25 高一下·辽宁丹东·阶段练习）甲、乙骑自行车同时从
地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀
速直线运动，去往
地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往
地，甲、乙同时达到目的地，甲的
速度是乙的速度的两倍，且
地与
地相距10km，则
地与
地相距 km．（参考数据：取
）
【答案】
【分析】画出示意图，由余弦定理即可求解.
【详解】
由题意可设
，
，
由余弦定理可得：
，
解得
，所以
.
故答案为：
.
例题3．（2025 高三·全国·专题练习）在一个很大的湖边（可视湖岸为直线）停着一只小船，由于缆绳突
然断开，小船被风刮跑，其方向与河岸成
角，速度为
，同时岸上一人从同一地点开始追小
船，已知他在岸上跑的速度为
，在水中游的速度为
，问此人能否追上小船？若小船速度改
变，则小船能被追上的最大速度是多少？
【答案】此人能追上小船，小船能被追上的最大速度为
．
【分析】设岸边停放小船处为A，此人在岸边跑到B 点后下水，在C 处追上小船，人追上船所用时间为
，人在岸上跑的时间为
，则人在水中游的时间为
，则人、船运动的路线构成一个三角
形，由余弦定理可得
，要使此关于
的方程在
内有实数解，解得
，从而即可得答案.
【详解】如图，设小船的速度为
，追上小船所用的时间为，人在岸上跑的时间为
．
在
中，
，
，
，
由余弦定理得
，
∵
∴
即
．
设
.
易知
.
（1）若
，则必存在
，使得
.
此时，
，解得
.
（2）若
，要使
在
内有解，
则
解得
故
.
综上，当
时，人可以追上船.
因此，船速为
时，能追上小船，小船能被人追上的最大速度是
.
精练高频考点
1．（2025·湖北荆州·模拟预测）如图，
为山脚两侧共线的三点，这三点处依次测得对山顶
的仰角
分别为
，计划沿直线
开通隧道
，设
的长度分别为
.为了测出隧道
的长
度，还需直接测出（ ）的值.
A．
和
B．
和
C．
和
D．
三者
【答案】D
【分析】在
中用已知条件和正弦定理表示
的长，再在
中用正弦定理表示
的长最后即可
表示
的长，即可知道为了测出隧道
的长度，还需直接测出哪些值.
【详解】在
中
，
由正弦定理有：
，所以
，
在
中
，
由正弦定理有：
，
所以
，
因为
，
所以为了测出隧道
的长度，还需直接测出
三者的值.
故选：D
2．（24-25 高一下·四川内江·期中）在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达C 岛完成任务．已知军
舰位于B 市的南偏西25°方向上的A 处，且在C 岛的北偏西58°方向上，B 市在C 岛的北偏西28°方向上，
且距离C 岛248km，此时，我方军舰沿着AC 方向以50km/h 的速度航行，则我方军舰到达C 岛的小时大
约为 h．（参考数据：
，
，
）
【答案】4
【分析】根据给定条件，利用正弦定理，结合和角的正弦公式求解.
【详解】设我方军舰大约需要x 小时到达C 岛，则
，
依题意，
，
，
，
在
中，
，
由正弦定理得
，即
，解得
，
所以我方军舰大约需要4 小时到达C 岛．
故答案为：4
3．（24-25 高一下·甘肃白银·期中）如图，某港口
要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船
上．在小艇出发时，轮船位于港口
北偏西
方向且与该港口相距20nmile 的
处，并以15nmile／h 的
航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以
mile
的航行速度匀速行驶，经过
与轮
船相遇，则的最小值为 ．
【答案】2
【分析】画出图形，利用余弦定理建立方程求解即可.
【详解】如图，假设小艇与轮船在点
相遇，
由题意得
，
，
．
由余弦定理得
，得
，
解得
或4．故的最小值为2．
故答案为：2
高频考点二：测量高度问题
典型例题
例题1．（24-25 高一下·广东东莞·期末）如图，欲测量河对岸的塔高
时，选与塔底
在同一水平面内的
两个观测点
与
，在
两观测点处测得塔顶
的仰角分别为
，并测得
，
m，则塔高
为（ ）
A．
m
B．15m
C．
m
D．30m
【答案】D
【分析】由余弦定理求解．
【详解】设
，由
得
，
又
，
，由余弦定理得
，
即
，解得
（负值舍去），
故选：D．
例题2．（24-25 高一下·湖北武汉·期中）享有“天下江山第一楼”美誉的黄鹤楼位于湖北武汉，地处蛇山
之巅，濒临万里长江，更因历代诗人登楼作诗而名闻天下.如图，某同学为测量黄鹤楼的高度
，在黄鹤
楼的正东方向找到一座建筑物
，高约为
，在地面上点
处（
，
，
三点共线）测得建筑物顶
部
，黄鹤楼顶部
的仰角分别为30°和45°，在
处测得楼顶部
的仰角为15°，则黄鹤楼的高度约为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】先在
中求出
，然后在
中利用正弦定理求出
，最后在
中利用锐角三角
函数的定义可求得结果.
【详解】由题意得
，
，
在
中，
，
，则
，
在
中，
，
则
，
由正弦定理得
，
，得
，
在
中，
，则
，
所以
.
故选：C
例题3．（2025·上海奉贤·二模）中企联合大厦是奉贤区的第一高楼，是奉贤美奉贤强的一个缩影．某数学
建模兴趣小组的同学们去实地进行测量，经过多次的测量，最终在平行于地面的同一水平面上选取三个
点：点
、点
、点
作为测量基点．设大厦的最高点为
，在点
处测得点
的仰角为
，在点
处测得点
的仰角为
，又测得
米，
，（见
图）．现作出以下几个假设：
①直线
垂直于平面
；
②平面
到地面的距离等于测角仪高度，在计算过程中测角仪高度忽略不计；
③其它次要因素等忽略不计．根据以上信息估算奉贤第一高楼的高度约 米．（结果保留整
数）
【答案】
【分析】在
以及
中，根据三角形正弦定理用高度表示
，
，在
中，由余弦定理
列出等式，解出即可.
【详解】设高度为，在
中，根据正弦定理有：
，即
，
在
中，根据正弦定理有：
，即
，
由余弦定理可知：
，
解得：
.
故答案为：
精练高频考点
1．（24-25 高一下·安徽蚌埠·期末）如图，南北分界线是蚌埠的标志性建筑，小明为了测量其高度
，
在地面上选择一个观测点
，在
处测得
处的无人机和该建筑的最高点
的仰角分别为
，无人机
距地面的高度
为20 米，且在
处无人机测得点
的仰角为
，点B，C，N 在同一条直线上，则该建
筑的高度
（单位：米）为（ ）
A．
B．
C．
D．40
【答案】D
【分析】在
中，求出
，
中，由正弦定理求出
，
中，求出
.
【详解】在
中，
，则
，
由图，可知
，
，
则
，
在
中，由正弦定理
，得
，
在
中，
.
故选：D.
2．（24-25 高三下·贵州贵阳·阶段练习）贵阳花果园双子塔，是中国目前最高的双子塔．如图，某人准备
测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为
的大楼CD，在大
楼顶部D 处测得双子塔顶部B 的仰角为
，底部A 的俯角为
，则双子塔的高度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】分别在
与
中用正弦定理，化简可得解.
【详解】由题意可得
，
，
，
则在
中，
，即
，
在
中，
，
由正弦定理得
，即
，
所以
.
故选：A.
3．（多选）（24-25 高一下·重庆沙坪坝·期中）重庆解放碑是抗战胜利纪功碑暨人民解放纪念碑，是抗战
胜利的精神象征，是中国唯一一座纪念中华民族抗日战争胜利的纪念碑．现某兴趣小组准备对解放碑的高
度进行测量，并绘制出测量方案示意图，
为解放碑的最顶端，
为解放碑的基座（
在
的正下方，即
），在纪念碑所在广场内（与
在同一水平面内）选取
两点，测得
的长为
．
兴趣小组成员利用测角仪可测得的角有
、
，若已知
，则下列各测量数据中，能计算出解放碑高度
的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】根据正弦定理、余弦定理和直角三角形性质判断所给条件是否构成解三角形条件即可.
【详解】由题意，因为
,
且
平面
,
平面
,
所以
平面
,
对于A，在
中，借助直角三角形用
表示出
，然后在
中由余弦定理解三角形
求得
，故A 正确；
对于B，在
中，根据
,可利用正弦定理求得
，再根据
求得
，故B 正
确；
对于C，由
，借助直角三角形和余弦定理，用
和
表示出
，然后结合
在
中利用余弦定理列方程，解方程求得
，故C 正确；
对于D，根据
四个条件，无法通过解三角形求得
，故D 错误；
故选：ABC.
高频考点三：测量角度问题
典型例题
例题1．（24-25 高三上·天津北辰·期中）在某测量中，设点
在点
的南偏东
，则点
在点
的
（ ）
A．北偏西
B．北偏东
C．北偏西
D．南偏西
【答案】A
【分析】根据方向角的概念判断即可
【详解】如下图所示：
因为点
在点
的南偏东
，点
在点
的北偏西
，
故选：A.
例题2．（23-24 高一下·河南信阳·期中）如图所示，某旅游景区的
，
景点相距
，测得观光塔
的塔底
在景点
的北偏东45°，在景点
的北偏西60°方向上，在景点
处测得塔顶
的仰角为45°，现
有游客甲从景点
沿直线去往景点
，则沿途中观察塔顶
的最大仰角的正切值为 .（塔顶大小和
游客身高忽略不计）
【答案】
【分析】先用正弦定理解三角形得
，再利用求
取最小值来求仰角正切值的最大值即可.
【详解】
由塔底
在景点
的北偏东45°，在景点
的北偏西60°方向上，
可知
，
，在
中，
，
由
，结合正弦定理得
，
在
可得：
，
过点
作
交
于
，由于
平面
，
平面
，
可得：
，即
，
当
取最小值时：
，
由正切函数在锐角范围是单调递增，即要求仰角的最大值，即求其正切值的最大值，
所以
有最大值
.
故答案为：
.
例题3．（23-24 高二上·四川成都·阶段练习）如图，某人在垂直于水平地面
的墙面前的点
处进行射
击训练，已知点
到墙面的距离为
，某目标点
沿墙面上的射线
移动，此人为了准确瞄准目标点
，需计算由点
观察点
的仰角
的大小
，则
的最大值是 .
（仰角
为直线
与平面
所成的角）
【答案】
【分析】根据仰角的定义，作图，利用图中的几何关系列出函数式，借助二次函数求解作答.
【详解】过点
在平面
内作直线
的垂线，垂足为点
，如图，
则由仰角的定义得
，
由题意
，设
，则
，
当点
与
不重合时，在
中，
，
当点
与
重合时，上式也成立，
在
中，
，
当
时，
取最大值
，
综上，
的最大值为
.
故答案为：
.
精练高频考点
1．（23-24 高三上·山东泰安·阶段练习）公路北侧有一幢楼，高为60 米，公路与楼脚底面在同一水平面上.
某人在点
处测得楼顶的仰角为
，他在公路上自西向东行走，行走60 米到点
处，测得仰角为
，
沿该方向再行走60 米到点
处，测得仰角为
.则
（ ）
A．
B．3
C．
D．
【答案】A
【分析】画出相应图形后计算出点
到该楼的距离，结合勾股定理与正弦定义计算即可得.
【详解】如图所示，由题意有
，
，
则有
，故
，
则
，
故
，
则
.
故选：A.
2．（23-24 高三上·广东广州·阶段练习）在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东
方
向，相距12 公里的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 公里的速度沿南偏东
方向前进，若侦察艇
以每小时14 公里的速度，沿北偏东
方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦
察艇所需的时间为 小时，角
的正弦值为 ．
【答案】 2
/
【分析】设红方侦查艇经过x 小时后在
处追上蓝方的小艇，即可得到
，
，在
中，利用余弦定理得到关于
的方程，求解得到x，从而得到
，再利用正弦定理得到
.
【详解】设红方侦查艇经过x 小时后在
处追上蓝方的小艇，则
，
，
.
根据余弦定理得
，解得
，
故
，
.
根据正弦定理得
，解得
，
故答案为：2；
.
3．（23-24 高三上·四川广安·阶段练习）如图所示，在地面上有一旗杆OP，测得它的高度10m，在地面上
取一基线
，在A 处测得P 点的仰角
，在B 处测得P 点的仰角
，则
．
【答案】
/
【分析】分别在直角三角形
和直角三角形
中，求得
，
，进而在
中，由勾股定理得
到结论．
【详解】
在直角
中，得
．
在直角
中，得
，
在
中，
，
．
故答案为：
．
高频考点四：求平面几何问题
典型例题
例题1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在四边形
中，
，
，
，
，则
的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】设
，则
，
，在
中，利用正弦定理可得出
，然后在
中应用余弦定理可求出
的值，由此可求得
的长.
【详解】因为
，
，则
，
设
，则
，
，
在
中，
，
，故
，
由正弦定理可得
，则
，
在
中，由余弦定理可得
，
即
，解得
，故
.
故选：C.
例题2．（2025·山东·模拟预测）在四边形
中，
，
，
，
．
(1)求
的周长
(2)求四边形
的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理结合
的取值范围可得出角
的值，结合
及正弦定理可
求得
的值，然后利用正弦定理可求得
、
的长，即可得出
的周长；
（2）根据已知条件分析可知四边形
为等腰梯形，
，即可得出梯形
的面积.
【详解】（1）因为
，
所以
因为
，所以
．
又因为
，所以
，
所以
，
因为
，故
，所以
，
，
且
，
由正弦定理
，所以
，
则
，
故
，
所以
的周长为
.
（2）连接
，
因为
，
，
，
所以
，
，所以
，且
，
所以四边形
为等腰梯形，所以，
，
则
，
又因为
，即
，设
，
所以四边形
的面积
.
精练高频考点
1．（24-25 高一下·广东清远·期中）如图，在平面四边形
中，
，
，
，
，则
.
【答案】
/
【分析】设
，由正弦定理得
，
，两式相除即可求出
.
【详解】设
，在
中，由正弦定理可得
①，
由
可得
，则
，
，
在
中，由正弦定理可得
②，
①②两式相除，得
，即
，
整理得
，故
.
故答案为：
2．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O，已知
，
，
，且
(1)求BO 的长；
(2)若
，求
的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，
，在
和
中分别应用余弦定理即可求解；
（2）由（1）知
，设
,
，
，在
和
中分别应用正
弦定理可得
，结合已知可得
，代入等式即可求解.
【详解】（1）设
，
，所以
，
，
在
中，
，
在
中，
，
因为
，解得
，所以BO 的长为；
（2）由（1）知
，设
,
，
，
在
中，
，
在
中，
，
所以
，
若
，则
与
全等，所以
，
所以
，所以
，
不成立，所以
所以
，
因为
，所以
，
所以
，所以
，
所以
的值为
.
3．（24-25 高三下·宁夏石嘴山·阶段练习）如图，
是边长为
的正三角形
所在平面上一点（点
、
、
、
逆时针排列），且满足
，记
.
(1)若
，求
的长；
(2)用
表示
的长度；
(3)求
的面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由余弦定理直接计算即可；
（2）在
中，直接利用正弦定理可得出
关于
的表达式；
（3）利用三角形面积公式，结合辅助角公式及三角函数值域求出面积范围.
【详解】（1）由
，且
是边长为
的正三角形，
则
，且
，
所以在
中，由余弦定理得
，
所以
.
（2）由
，则
，则
，
在
中，由正弦定理有
，
得
，
（3）由三角形的面积公式得
，
又
，且
，则
，所以
，
所以
，则
，
故的取值范围为
.
高频考点五：三角函数与解三角形的交汇问题
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
，若先将其图象向右平移
个单位长度，
再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，得到函数
的图象.
(1)求函数
在
上的值域；
(2)在
中，角
的对边分别为
，若
，且
，求
.
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据平移变换和周期变换的原则求出函数
的解析式，再根据正弦函数的性质结合整体
思想即可得解；
（2）根据
，可得
，再利用余弦定理结合正弦定理即可得解.
【详解】（1）将
图象向右平移
个单位长度，
得
的图象，
再将所得曲线上所有点的横坐标缩短为原来的
，纵坐标不变，
得
的图象，
由
，得
，所以
，
故函数
在
上的值域为
；
（2）由（1）得
，
因为
，所以
，
由余弦定理得
，又
，所以
，
由正弦定理得
，又
，
故
.
例题2．（2025·四川达州·模拟预测）已知函数
，其中
，若将
的图象向左平移
个单位，得到函数
的图象，且
是偶函数.
(1)求
的解析式及单调递减区间；
(2)在
中，角
所对的边分别为
，已知
且
，若
是
的中点，求
的最大值.
【答案】(1)
，
.
(2)
.
【分析】（1）先由二倍角的正弦，降幂公式，辅助角公式，以及图象平移的性质得到
，再由偶函数
的性质求出
表达式，然后整体代入求解正弦函数的单调递减区间即可；
（2）先由正弦函数的最值求出
，然后由余弦定理得到
，最后再由向量的数量积和模长的计算
求出.
【详解】（1）因为
，
所以
.
因为
是偶函数，
所以
.
又
，所以
，
所以
.
因为
，
所以
的单调递减区间是
.
（2）因为
，
所以
，即
.
又
，所以
，
所以
，解得
.
由
，得
，
所以
，当且仅当
时取等号，
所以
，
所以
，则
的最大值是
.
精练高频考点
1．（24-25 高三上·河北廊坊·期末）已知
，将函数
的图象
向右平移
个单位长度可得到
的图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)设锐角
的内角
所对的边分别为
，若
，且
，求
面积的最大值.
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式，化简函数
，再借助平移变换求出
的解析式.
（2）由
和
为锐角三角形，求出角
，再利用余弦定理结合基本不等式求出最大面积.
【详解】（1）依题意，
.
所以
.
（2）由（1）知
，解得
，
在锐角
中，
，即
，则
，解得
，
由余弦定理得，
，
当且仅当
时取等号，于是
，
所以
面积的最大值为
.
2．（2025·全国·二模）设
，函数
的最小正周期为
，且
图
象向左平移
后得到的函数为偶函数．
(1)求
解析式，并通过列表、描点在给定坐标系中作出函数
在
上的图象；
(2)在锐角
中，
分别是角
的对边，若
，求
的值域．
【答案】(1)详见解析；
(2)
【分析】（1）根据
的最小正周期为
，求得
，再利用平移变换，得到函数
，
再根据函数
是偶函数求得
，从而得到
，然后利用“五点法”作图求解；
（2）由
，利用正弦定理，结合恒等变换求得
，再根据
是锐角三角形，求得角B
的范围，再利用余弦函数的性质求解.
【详解】（1）解：因为函数
的最小正周期为
，
所以
，则
，
由
图象向左平移
后得到的函数为
，
因为函数
是偶函数，所以
，则
，
因为
，所以
，所以
．
由五点法，列表如下：
0
0
1
0
-1
0
的图象，如图所示：
（2）由
，利用正弦定理得
，
即
，
即
，
因为
，所以
，
，
所以
；
因为
是锐角三角形，
所以
，即
，解得
因为
，所以
，
所以
，
所以
的值域是
.
3．（2024·山西吕梁·二模）已知
，其图象相邻对称轴间的距离为
，若将其图象向左
平移
个单位得到函数
的图象.
(1)求函数
的解析式；
(2)在钝角
中，内角
的对边分别是
，若
，求
的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
的图象相邻对称轴间的距离得到周期求出
，再根据图像平移得到
，求
得结果；
（2）由
得出
三角的关系，利用正弦定理及角度关系化简
，再利用导数
求函数单调区间得出结果.
【详解】（1）已知
的图象相邻对称轴间的距离为
，则
.
由周期公式得，
，
所以
，
（2）由题意得，
，
，
所以
.
所以
或
（舍），所以
.
因为在钝角
中，所以
，
所以
，则
令
，
，
当
时，
；当
时，
；
可得
在
单调递减，在
单调递增.
所以当
，即
时，
有最小值
；
，所以
故
.
