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第05 讲 正弦定理和余弦定理的应用
A 夯实基础 B 相遇高考模拟题 C 素养提升
A 夯实基础
1．（24-25 高一下·全国·课后作业）某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气
象观测仪器的垂直弹射高度：在C 处（点C 在水平地面下方，O 为
与水平地面
的
交点）进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察地A，B 相距100 米，
，其
中A 到C 的距离比B 到C 的距离远40 米．在A 地测得该仪器在C 处的俯角为
，在A 地测得最高点H 的仰角为
，则该仪器的垂直弹射高度
为（ ）
A．
米
B．
米
C．
米
D．
米
【答案】B
【分析】在
中，由余弦定理求得
，在
中，运用正弦定理求得
即可.
【详解】在
中，设
，则
，
由余弦定理得
，
即
，解得
．
在
中，
．
由正弦定理得
，即
，解得
．
故选：B．
2．（23-24 高一下·北京·阶段练习）如图,甲船以每小时
海里的速度向正北方向航行,
乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,
此时两船相距
海里,当甲船航行
分钟到达
处时,乙船航行到甲船的北偏西
方向的
处,此时两船相距
海里,则乙船每小时航行（ ）
A．
海里
B．
海里
C．
海里
D．
海里
【答案】D
【分析】先根据已知条件得到
和
的长,在利用已知条件和余弦定理求出
的长即
可得到结果.
【详解】连接
,如图:
由已知条件得:
,
因为甲船的速度是每小时
海里,
所以
,
则
是等边三角形,
所以
,
因为当甲船位于
处时,乙船位于甲船的北偏西
方向的
处,
所以
,
则
,
即
,
所以乙船航行的速度是
海里/小时,
即乙船每小时航行
海里.
故选:D.
3．（23-24 高一下·北京房山·期末）如图，一辆汽车在一条水平的公路上由正东向正西方
向行驶，到A 处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上（即
）．行驶
300m 后到达B 处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山顶D 相对公路
所在平面的高度
（ ）.
A．
B．100m
C．
D．
【答案】C
【分析】先由正弦定理解得
，再解直角三角形即可得解.
【详解】由题意
，
而
，由正弦定理可得
，即
，解得
，
注意到
，
从而
.
故选：C.
4．（23-24 高一下·湖南·阶段练习）某班同学利用课外实践课，测量
两地之间的距
离，在
处测得
两地之间的距离是4 千米，
两地之间的距离是6 千米，且
，则
两地之间的距离是（ ）
A．
千米
B．
千米
C．
千米
D．
千米
【答案】A
【分析】利用余弦定理解三角形即可.
【详解】由余弦定理可得
，则
.
故选：A
5．（23-24 高一下·江苏泰州·期中）兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之
称，以千岛样式形成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香
花海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列．若将每个小岛近似看成正方形，在
正
方形方格中A，B，C 三位游客所在位置如图所示，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】设小正方形方格边长为1，分别计算出
的三边的长，利用余弦定理计算即
得.
【详解】
如图，依题意，连接
,不妨设小正方形方格边长为1，则
由余弦定理，
,因
，故得
故选：B.
6．（23-24 高三上·山东聊城·阶段练习）泰姬陵于1631 年开始建造，用时22 年，距今已有
366 年历史.如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物
，
高约为
，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D 三点共线）处测得A 处、泰姬陵顶端
处的仰角分别是
和
，在A 处测得泰姬陵顶端
处的仰角为
，则估算泰姬陵的
高度
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】作出辅助线，得到各角度及
，在
中利用正弦定理得到
，进而得到
.
【详解】由题设
且
，
过点
作
平行于
，则
，
，
故
，
所以
，
，
在
中，由勾股定理可得
，
在
中，由正弦定理得，
，即
，
所以
，故
.
故选：A
7．（多选）（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示，为了测量某湖泊两侧
间的距
离，李宁同学首先选定了与
不共线的一点
，然后给出了四种测量方案（
的角
所对的边分别记为
，
，），则一定能确定
间距离的所有方案为（ ）
A．测量
，
，
B．测量
，
，
C．测量
，
，
D．测量
，
，
【答案】ABC
【分析】根据题意结合正、余弦定理依次判断求解.
【详解】对于A，先利用三角形内角和定理求出
，再利用正弦定理
解出c；
对于B，直接利用余弦定理
即可解出c；
对于C，先利用三角形内角和定理求出
，再利用正弦定理
解出
c；
对于D，不知道边的长度，显然不能求c.
故选：ABC.
8．（多选）（23-24 高一下·河南·阶段练习）初春时节，南部战区海军某登陆舰支队多艘
舰艇组成编队，奔赴多个海区开展实战化海上训练.在一次海上训练中，雷达兵在
处发现
在北偏东
方向，相距30 公里的水面
处，有一艘
舰艇发出液货补给需求，它正以每
小时50 公里的速度沿南偏东
方向前进，这个雷达兵立马协调在
处的
舰艇以每小时
70 公里的速度，沿北偏东
方向与
舰艇对接并进行横向液货补给.若
舰艇要在最短
的时间内实现横向液货补给，则（ ）
A．
舰艇所需的时间为1 小时
B．
舰艇所需的时间为2 小时
C．
D．
【答案】AD
【分析】设出所需时间
，分别表示
,在
中利用余弦定理求出
，再利用正
弦定理求得
的值，即可判断结果.
【详解】
如图，设
舰艇经过
小时后在
处与
舰艇汇合，则
.
根据余弦定理得
，解得
或
（舍去），
故
.由正弦定理得
，解得
故选：AD.
9．（24-25 高一下·江苏常州·阶段练习）古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一
部测量学著作，也为地图学提供了数学基础.现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的
高度，已知点
是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上
，
两点与点
在
同一条直线上，且在点
的同侧.若在
，
处分别测得球体建筑物的最大仰角为
和
，且
，则根据测得的球体高度可计算出球体建筑物的体积为 .
【答案】
【分析】根据题意作出截面图，设球的半径为
，根据直角三角形的性质得
，
，利用
列式，化切为弦利用辅助角公式求得
，代入球的体积公式即可求解.
【详解】如图，
设球的半径为
，
，
，
，
，
，即该球体建筑物的体积为
.
故答案为：
10．（15-16 高二上·山东泰安·阶段练习）如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取
两点，从
两点分别测得树尖的仰角为
，且
两点间的距离为
，则树
的高度为 m.
【答案】
【分析】在
中由正弦定理可求得
，进而即可求解树的高度.
【详解】在
中，
，
，
，
，
在
中，由正弦定理得
，
所以
，
所以树的高度为
.
故答案为：
.
11．（2026 高三·全国·专题练习）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研
究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测.如图所示，
、
、
三地位于同一水平面上，这种仪器在
地进行弹射实验，观测点
两地相距
.在
地听到弹射声音的时间比
地晚
.在
地测得该仪器至最高点
处的仰角为
（已知声音的传播速度为
）.
(1)求
两地的距离；
(2)求这种仪器的垂直弹射高度
.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设
，则
，从而在
中，利用余弦定理求出x 即
可；
（2）在
中，根据锐角三角函数定义求解可得.
【详解】（1）由题意，设
，因为在
地听到弹射声音的时间比
地晚
，所以
.
在
中，由余弦定理得
，
即
，解得
.
故
两地的距离为
.
（2）在
中，
，
所以
，
故该仪器的垂直弹射高度
为
.
12．（24-25 高一下·全国·课后作业）目前，中国已经建成全球最大的5G 网络，无论是大
山深处还是广袤平原，处处都能见到5G 基站的身影．如图，某同学在一条水平公路上观测
对面山顶上的一座5G 基站
，已知基站高
，该同学眼高
（眼睛到地面的
距离），该同学在初始位置
处（眼睛所在位置）测得基站底部
的仰角为
，测得基
站顶端
的仰角为
，求出山高
（结果保留整数）．（参考数据：
，
，
，
，
）
【答案】
【分析】在
中利用正弦定理求出
，再在
中利用锐角三角函数求出
，
即可得解.
【详解】依题意可得
，
，
在
中，由正弦定理得
，即
，
所以
，
在
中，
，即
，
所以
，
所以山高
．
B 相遇高考模拟题
1．（2025·湖北恩施·模拟预测）某学生准备测量如图中某建筑物
高度，选择高为50m
的大楼
进行测量，在大楼顶部
处测得该建筑物的顶部
的仰角为
，底部
的俯角
为
，则该建筑物的高度为（ ）
A．
m
B．
m
C．
m
D．
m
【答案】B
【分析】构建直角三角形，利用已知的角度和大楼
的高度，求出建筑物
与大楼
之间的水平距离，进而求出建筑物
超出大楼
的高度，最终得到建筑物
的高度即
可.
【详解】如图，过点
作
的垂线，垂足为
，则
，
得到
，则该建筑物的高度
.
故选：B.
2．（2025·江苏南通·模拟预测）图1 是某长方体建筑，图2 长方体
是该建
筑的直观图，点
在
的延长线上，
是垂直于地面的测量标杆，高为
.现测得
长为
，在
处测得
点的仰角为
，
点的仰角为
，则建筑物的高
为（ ）
（单位：
）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用解直角三角形可求建筑物的高.
【详解】
设建筑物高为
，
在线段
上截取
，则四边形
为矩形，
在线段
截取
，则四边形
为矩形且四边形
为矩形.
在直角三角形
中，
，故
，同理
，
在直角三角形
中，
，
故
，故
，
故
（
）
故选：B.
3．（2025·江西景德镇·三模）如图，圭表是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节
气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的
与标竿垂直的长尺（称为“圭”）．当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，
太阳光与圭面成角也就是太阳高度角．圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，投影点为
冬至线．日影长度最短的那一天定为夏至，投影点为夏至线．已知景德镇冬至正午太阳高
度角为
，夏至正午太阳高度角为
，表高42 厘米，圭面上冬至线与夏
至线之间的距离为50 厘米，则
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用正弦定理可求
的值.
【详解】
如图，
，
，∴
．
又
，∴
，根据勾股定理
．
在
中，根据正弦定理可知
，
即
，解得
，
故选：C．
4．（2025·陕西安康·模拟预测）如图，由一个等腰三角形
与一个直角三角形
拼
接成一个平面四边形
，且
，
，
，则当
的长最大
时，
的值为 .
【答案】
【分析】设
，由余弦定理
，结合条件
得
，根据正弦定理求得
，在
中利用余弦定
理求得
，再利用辅助角公式结合两角和的正弦公式求得
的长取
最大值时
即
的值.
【详解】设
，
在
中，由余弦定理，得
.
因为
，所以
.
由正弦定理，得
，所以
.
因为
，所以
.
在
中，由余弦定理，得
，
其中
，
，所以当
时，
，
所以
.
综上，当
的长最大时，
的值为
.
故答案为：
.
5．（2025·河南南阳·一模）如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上一点A
处有一个水声监测点，另两个监测点B，C 分别在A 的正东方20km 和54km 处.某时刻，监
测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8s 后监测点A，20s 后监测点C 相继收到这一信
号.在当时的气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5km/s.
(1)设A 到P 的距离为xkm，求x 的值；
(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离（结果精确到0.01km）.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据速度得三角形边之间关系，再根据余弦定理求结果，
（2）作垂线，根据直角三角形解结果.
【详解】（1）依题意，得
，
，所以
，
．在
中，
，
余弦定理，得
．
同理在
中，
．
由于
，
所以
，
解得
．
（2）作
，垂足为
，在
中，
．
所以目标
到海防警戒线
的距离为
．
C 素养提升
1．（24-25 高一下·广东江门·期中）2025 年蛇年春晚，电视剧《新白娘子传奇》两位主演
的出场，瞬间唤醒了无数人的记忆.剧中的雷峰塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十
景”之一，也是中国九大名塔之一，是中国首座彩色铜雕宝塔.某同学为测量雷峰塔的高度
AB（塔底视为点B，塔顶视为点A），在山脚下选取了两点C，D（其中A，B，C，D 四
点在同一个铅垂平面内），在点C 处测得点A 的仰角为
，在点D 处测得点A，B 的仰
角分别为
，
，测得
，则按此法测得的雷峰塔塔高为（ ）
A．68m
B．72m
C．74m
D．76m
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用直角三角形的边角关系列式，结合差角的正切公式求解．
【详解】设直线
交点为
，则
，
由题意，
，
又
，
所以
，解得
，
又
，所以
，
而
，
所以
，
故选：B
2．（多选）（24-25 高一下·浙江·期中）图为温岭的标志性景观-石夫人，“峰以形名，头
挽发髻，延颈削肩，神奇秀丽”．某兴趣小组测绘山峰数据：于山脚
处测得峰顶
的仰
角为
，从
出发选择地平面方向
使得
，前进至点
恰使
，
测得前进距离
．若峰顶
在
所在地平面垂直投影点为
，山坳处有一个憩
息点
，观测峰顶
的仰角为
，
在地平面投影点
落在
上，
，下列说
法正确的是（ ）
A．
B．
C．从
点观测峰顶
的仰角为
，则
D．从
点观测点
的仰角为
，则
【答案】ABD
【分析】首先求出
，即可求出
，从而判断A，过点
作
交
于点
，
求出
，即可判断B，利用锐角三角函数判断C，利用余弦定理求出
，即可判断D.
【详解】对于A：依题意
，
，
且
，
所以
，则
，
因为峰顶
在
所在地平面垂直投影点为
，即
平面
，
平面
，
所以
，
所以
，故A 正确；
对于B：因为
在地平面投影点
落在
上，即
平面
，且
平面
，
所以
，过点
作
交
于点
，则
，
，
又
，
，所以
，
因为山坳处有一个憩息点
，观测峰顶
的仰角为
，即
，
所以
，
则
，故B 正确；
对于C：因为从
点观测峰顶
的仰角为
，则
，
所以
，则
，故C 错误；
对于D：因为
，
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，所以
，
所以
，
，
所以
，所以
，
所以从
点观测点
的仰角为
，则
，故D 正确.
故选：ABD
3．（24-25 高一下·河北邯郸·期中）四点共圆是平面几何中一种重要位置关系，古希腊数
学家对凸四边形（是指没有角度大于180°的四边形）进行研究时，分别总结出如下结论：
（1）（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且
仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．
（2）（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点
共圆时，四边形的面积最大．
根据上述材料，如图，在凸四边形
中，若
，
，
，求四边
形
面积取得最大值时角
的大小为 ，并求出此时四边形
的面积为
．
【答案】
【分析】先分析出当 A、B、C、D 四点共圆时，四边形
的面积达到最大，然后分别
在
，
中，根据余弦定理表示出
，再由圆的内接四边形对角互补，即可求
出角A；再根据三角形的面积公式分别求出
，
的面积，相加即可得到四边形
的面积.
【详解】由题设当 A、B、C、D 四点共圆时，四边形
的面积达到最大，如图，
连接
，在
中，由余弦定理得：
，①
在
中，由余弦定理得：
，②
因为A、B、C、D 四点共圆，所以
，
从而
，③
由①②③解得
，因为
，所以
．
从而
，
，
所以
．
故答案为：
；
.
4．（24-25 高一下·湖北恩施·期中）巴张高速公路（巴东至张家界）于2025 年1 月开工，
计划于2030 年正式建成． 该高速公路在巴东境内横跨长江，需要重新修建一座桥梁，称
为巴东长江二桥（以下简称二桥），目前二桥的起点和终点已经确定．如图1 所示，设二
桥起点为C，终点为D，为了测量二桥CD 的长度（南北走向），小明同学选择了长江南
岸的A，B 两个观测点，AB 相距2 千米． 在A 处测得二桥北岸D 位于其北偏东60°的方
向，二桥南岸C 位于其南偏东75°的方向，观测点B 位于其南偏东60°．在观测点B 处测得
南岸C 处位于其北偏东60°，北岸D 位于其北偏东15°的方向．
(1)求二桥CD 的长度．
(2)为了优化二桥周边环境，政府部门将对扇形区域CBH 进行改造．如图2 所示，点P、Q
在弧
上，点M、N 分别在BH、BC 上，且PQ∥CH，四边形MNPQ 为矩形．拟将矩形
MNPQ 所在区域建成一所主题公园，求公园面积的最大值．
【答案】(1)2 千米
(2)
平方千米
【分析】（1）根据正弦定理、余弦定理解三角形，求出边长可得结果.
（2）利用三角恒等变换表示出面积和
之间的关系，根据角度的变化范围可求面积的
最大值.
【详解】（1）
如图所示，过点
作
，过点
作
，
点
在点
的正北方向，点
在点
的正南方向，点
在点
的正北方向.
根据题意可知
，所以
,
由题意得，
，
所以
，故
，
在
中，由正弦定理得
，即
，故
，
因为
，
所以
.
在
中，
，
由正弦定理可得，
，解得
．
在
中，
，
由余弦定理可得
，解得
，
所以二桥的长度是2 千米.
（2）
由（1）知扇形所在区域半径
，圆心角
.
如图，取线段
的中点
，连接
交
于
，连接
．
设
.
根据垂径定理可知
，故
．
在
中，由
得，
，
所以
，
则矩形
的面积
，
由
得
，
所以当
，即
时，公园面积的最大值为
平方千米．
