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5.4 正余弦定理（精练）
1．（2023·重庆）在 中，若 ，则 （ ）
A． B． C．
【答案】A
【解析】由题意可得 ， ，
由余弦定理可得 ，即 ，
又 ，可得 ，利用正弦定理可知 ,
所以 .故选：A.
2．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知 中， ， ， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，在三角形 中，由余弦定理可得， ，
且 ， ，所以 .故选:C3．（2023·北京·北京四中校考模拟预测）在 中， ，则 边上的高等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，因为 ，
由余弦定理得
因为 ，所以
设 边上的高为 ，则 ，
所以 ，即 边上的高等于 .故选：B.
4．（2023春·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨市第三十二中学校校考期中）在 中，若 ， ，
则 的形状是（ ）
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
【答案】D
【解析】由余弦定理知 ，
因为 ， ，所以 ，所以 ，所以 ，
因此 ，所以 ，即 是等边三角形，故选：D.5．（2023春·江苏南通）如图所示，河边有一座塔 ，其高为 ，河对面岸上有 两点与塔底 在
同一水平面上，在塔顶部测得 两点的俯角分别为 和 ，在塔底部 处测得 两点形成的视角为
，则 两点之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为在塔顶部测得 两点的俯角分别为 和 ，所以在直角三角形 中， ，
可得 ，
在直角三角形 中， ，可得 ，
在 中，由题知 ，由余弦定理得
，得到 .
故选：C.
6．（2023·安徽芜湖·统考模拟预测）记 的内角 的对边分别为 ， ， ，若，则 为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【解析】由 ，得 ，
由正弦定理得 ，所以 ，
因为 ，所以 或 ，
所以 或 .即 是等腰或直角三角形.
故选：D.
7．（2023·四川成都·校考模拟预测）在 中， ， ， 分别为角 ， ， 的对边，已知
， ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，由正弦定理可得 ，整理可得
，所以 ，
为三角形内角， ，∴ ，∵ ， ，则 ，故B错误；
∵ ， ，
，解得 ，
由余弦定理 得 ，
解得 或 （舍去），故C正确，D错误.
又 ，所以 ，则三角形 为等边三角形，所以 ，则 ，故A错误.故选：C.
8．（2023·广西柳州·高三柳州高级中学校联考阶段练习）在 中，角 的边分别为 ，知
， ，则下列判断中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 该三角形有两解
C． 周长的最小值为12 D． 面积的最大值
【答案】C
【解析】对于A， ， ，由正弦定理得 ，
所以 ，故A正确；
对于B，由正弦定理得 得，所以 ，
因为 ，则 有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；
对于C，由 ，得
，
所以 ，当且仅当 时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C错误；
对于D，由选项C知， ，当且仅当 时取等号，
故 所以 面积的最大值为 ，故D正确.故选：C.
9．（2023·辽宁锦州·渤海大学附属高级中学校考模拟预测）锦州古塔坐落在大广济寺前，是辽宁省级文物.
据明嘉靖碑文（宣大巡抚文贵撰）载：金代的中靖大夫高琏曾写过《塔记》说，塔建于辽道宗清宁三年
（1057年），是为收藏皇后所降的舍利子而建.塔是砖实心密檐式，现高57米.塔身八面，每面雕有一佛胁侍，三个宝盖和两位飞天.飞天翱翔于上，大佛端坐龛中，胁待肃立龛旁.下面是古塔的示意图，游客（视
为质点）从地面D点看楼顶点A的仰角为30°，沿直线DB前进64米达到E点，此时看点C点的仰角为
45°，若 ，则该八角观音塔的高AB约为（ ）（ ）
A．63米 B．61米 C．57米 D．54米
【答案】C
【解析】不妨设 ，根据条件可得 ， ，
， ， ，
， 米．故选：C．
10．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）已知 中，角A，B，C对应的边分别为a、b、c，D是
AB上的三等分点（靠近点A）且 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B．
C．2 D．4
【答案】A
【解析】由 ，则 ，即 ，所以 ， ，则 ，
设 ，则 ，且 ，
△ 中 ，则 ，
△ 中 ，则 ，
又 ，即 ， （ 为△ 的外接圆半径），
所以 ， 即 ，
又 ，故 ， 时， .
故选：A
11．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）（多选）在 中，角 所对的边分别为 ，已知
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B． 为钝角三角形
C．若 ，则 的面积是
D．若 外接圆半径是 ，内切圆半径为 ，则
【答案】BD
【解析】设 ，则 ，
对于A ， ，故A不正确；对于B ，c最大，所以C最大， ，故B正确；
对于C，若 ，则 ， ，所以 ，
所以 的面积是 ，故C不正确；
对于D，若正弦定理 ，
的周长 ， ，所以内切圆半径为 ，所以 .故D正确.
故选：BD
12．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考二模）（多选）在 中，内角 ， ， 的对边分
别为 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ， ， ，则 边上的中线 长为
B．若 ， ， ，则 有两个解
C．若 不是直角三角形，则一定有
D．若 是锐角三角形，则一定有
【答案】CD
【解析】对于A，由 为 的中点得：
，所以 边上的中线 长为 ，故A错误；
对于B， ， ， ，因为 ，所以 ，
所以 或 ，
又因为 ，所以 ，且 只有一个解，所以 只有一个解，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，又因为 ，所以
，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 是锐角三角形，所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，所以 ，
同理 ，所以 ，故D正确.故选：CD.
13．（2023春·河北衡水·高三衡水市第二中学期末）（多选）在 中，内角 、 、 的对边分别是 、
、 ，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 为等腰三角形
B．若 ，则 为等腰三角形
C．若 ， ，则 为等边三角形
D．若 ， ， ，则 有两解
【答案】AC
【解析】对于A选项，若 ，由正弦定理可得 ，则 ，
所以， 为等腰三角形，A对；
对于B选项，因为 ，由正弦定理可得 ，
因为 、 中至少有一个是锐角，则 ，
从而可知 、 均为锐角，由 可得 ，
因为 、 ，则 、 ，所以， 或 ，
所以， 或 ，故 为等腰三角形或直角三角形，B错；
对于C选项，因为 ， ，由余弦定理可得 ，即 ，
所以， ，因此， 为等边三角形，C对；
对于D选项，因为 ， ， ，
由正弦定理 得 ，所以， 不存在，D错.
故选：AC.
14．（2023·天津·统考高考真题）在 中，角 所对的边分別是 ．已知
．
(1)求 的值；(2)求 的值；(3)求 ．
【答案】(1) (2) (3)
【解析】（1）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ；
（2）由余弦定理可得， ，即 ，
解得： 或 （舍去）．
（3）由正弦定理可得， ，即 ，解得： ，而 ，
所以 都为锐角，因此 ， ，
故 ．
15（2023春·湖南长沙·高一长沙一中校考阶段练习）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，
且满足 .(1)求角A；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 ，根据正弦定理得：
，
又 ，代入上式得： ，
，
又 ，所以 ，
又 ，所以 .
（2）由余弦定理得：
，代入 得： ，
根据基本不等式 ，得： ，当且仅当 时，等号成立，
的面积为： ，
故 面积的最大值为 .
16．（2023·天津·校联考模拟预测）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．满足
．
(1)求角B的大小；(2)设 ， ．（ⅰ）求c的值；（ⅱ）求 的值．
【答案】(1) (2)（ⅰ） ；（ⅱ）【解析】（1）由 ，
根据正弦定理得， ,
可得 ，
因为 ，故 ，则 ，
又 ，所以 .
（2）由（1）知， ，且 ， ，
（ⅰ）则 ，
即 ，解得 （舍）， .
故 .
（ⅱ）由 ，
得 ，
解得 ，则 ，
则 ，
，
则
.
17．（2023·天津河西·统考三模）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，.
(1)求 的值；
(2)若 ，
（i）求 的值；
（ⅱ）求 的值.
【答案】(1)
(2)（i） ；（ⅱ）
【解析】（1）由 ，且C是三角形的内角，则 ，
因为 ，由正弦定理得 ，
所以 .
（2）（i）由余弦定理得 ，
即 ，解得 或 .
（ⅱ）由（1）知 ，由 知A为锐角，得 ，
所以 ，
，
所以 .
18．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知锐角 的内角 的对边分别为 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 ，角 的平分线交 于点 ， ，求 的面积．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，由正弦定理得 ，整理得 ，
又由余弦定理得 ．
因为 ，所以 ．
（2）如图所示，因为 ，
所以 ．
又因为 ，所以 ．
由余弦定理得 ，
联立方程组 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
所以 ．19．（2023·广东佛山·校联考模拟预测）记锐角 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
．
(1)求 ；
(2)已知 的角平分线交 于点 ，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）因为 ，
由正弦定理可得 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）因为
，
因为 为锐角三角形，所以 ，解得 ，所以 ，
所以 ，即 的取值范围为 .
20．（2023·湖南郴州·安仁县第一中学校联考模拟预测）已知 的内角 的对边分别为 ，且．
(1)求角A；
(2)若 的外接圆半径为1，求 的周长的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，由正弦定理可得 ，
整理得 ，则 ，
又因为 ，则 ．
（2）由正弦定理 ，可得 ，
由余弦定理得 ，
整理得 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 的周长为 ，
当且仅当 时，取等号， 的周长取到最大值 ．
21．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．
(1)求A的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ，
所以 ，即 ，
所以 或 （舍去）．
所以 ，结合 ，得 ．
（2）由（1）得:
．
因为 是锐角三角形，所以B，C均为锐角，
即 ， ，所以 ，
所以 ， ，
所以 的取值范围是 ．
22．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）已知锐角 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ，
，且 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 ，即 ，
得 ，由正弦定理可得 ，
所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）由正弦定理 ，
所以
.
因为 为锐角三角形，且 ，
所以 ，解得 ，
所以 ， ，
所以 ， ，
所以 的取值范围为 .
23．（2023·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）如图，在平面四边形 中， ， ，
．(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ， ，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ， ， ，由余弦定理得
，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ．
（2）设 ，
在 中，由正弦定理得 ，所以 ①，
在 中， ， ，
则 ，即 ②
由①②得： ，即 ，∴ ，
整理得 ，所以 ．24．（2023·广东广州·广州市培正中学校考模拟预测）在锐角 中，角 所对的边分别为 ，
且 .
(1)求角 的大小；
(2)若边 ，边 的中点为 ，求中线 长的取值范围.
【答案】(1) (2) .
【解析】（1）由余弦定理得 ，
即 ，
由正弦定理得
，
，即 ，
.
（2）由余弦定理得： ，则 .
由正弦定理得
所以 ，因为 是锐角三角形，所以 ，即 ，
则 .
中线 长的取值范围是 .
25．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知 、 、 分别为 的三个内角 、 、 的
对边长， ，且 ．
(1)求角 的值；
(2)求 面积的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由条件，可得 ，
由正弦定理，得 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ．
（2）由正弦定理，可知 ，
，∵ ，∴ ，∴ .
26．（2023·天津河北·统考二模）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
.
(1)求角A的大小；
(2)若 ， ，求边c及 的值.
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）根据正弦定理，
由 可得 .
即 ，即 ，
因为 ，所以 .
所以 ，即 .
（2）由正弦定理 ，可得 ，解得 ，
根据余弦定理可得 ，
即 ， ，解得 或 （舍去）
故 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
，所以 .
27．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）在 中，角 ， ， 所对的边分别是 ， ，
，若 .
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 的面积 的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ， ，
所以 可化为 ，
所以 ，又因为
解得 ，又因为 ，
所以 .
（2）由余弦定理得 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，
又因为 ，当且仅当 时等号成立，
所以 ，所以 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形的面积 ，当且仅当 时等号成立，
所以三角形面积的最大值为 .
28．（2023·山东烟台·统考三模）在 中， 为 中点， ．
(1)若 ，求 的面积；
(2)若 ，求 的长．【答案】(1) (2)
【解析】（1）在 中， ，
由余弦定理可知 ，
因为 ，所以 ，
所以 ;
（2）在 中，设 ,
则由正弦定理 ，
即 ，得 ，所以 ，
，
所以 ，
所以 ，
由正弦定理得： ，即 ．
29．（2023春·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习）在① ；②
；③ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并
作答.问题：在 中，角 所对的边分别为 ，且__________.
(1)求角 的大小；
(2)已知 ，且角 有两解，求 的范围.
【答案】(1)答案见解析(2)
【解析】（1）若选①：整理得 ，因为 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
若选②：因为 ，
由正弦定理得 ，
所以 ，所以 ，因为 ，所以 ；
若选③：由正弦定理整理得 ，所以 ，
即 ，因为 ，所以 ；
（2）将 代入正弦定理 ，得 ，所以 ，
因为 ，角 的解有两个，所以角 的解也有两个，所以 ，
即 ，又 ，所以 ，解得 .
30．（2023·全国·统考高考真题）已知在 中， ．
(1)求 ；
(2)设 ，求 边上的高．
【答案】(1) (2)6
【解析】（1） ， ，即 ，
又 ， ，， ，即 ，所以 ， .
（2）由（1）知， ，
由 ，
由正弦定理， ，可得 ， ，
.
31．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已
知 ， ，
(1)求 的值及 的面积；
(2) 的平分线与BC交于D， ，求a的值．
【答案】(1) ， ；(2) ．
【解析】（1）根据题意，结合正弦定理边角互化得 ，
即 ，因为B， ，
所以 ， ，
所以 ，因为在锐角 中， ，所以 ．
所以 ，因为 ，
所以 ，解得 ，
所以 的面积 .（2）因为 的平分线与BC交于D， ，所以 ，
即 ，所以 ，由于 ，
所以 ， 所以 ，所以 ．
1．（2023·河南开封·校考模拟预测）在 中，内角 所对的边分别为 ，
则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】在 中，
因为 ，所以 ，则 ，
所以 ，且 均为锐角，故 ，
由余弦定理得 ，所以
，
又 ，当且仅当 时等号成立，
所以 的最大值是 .故选：B.
2．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）在 中， 平分 ，则 的最小
值为（ ）
A． B．
C． D．【答案】C
【解析】如图，记 ，
在 中， ，则 ，
在 中， ，则 ,
∵ 平分 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴
∴ ，∴
∴ ，∴ ，
∴ 或 ，
当 时， 为等腰三角形，∴ ， ，∴ ；
当 时， ，即 ，
∴ ，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
∵ ，∴ 的最小值为 .
故选：C.
3．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测） 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
且 ， ，则下面四个选项中错误的是（ ）
A． B．
C． D． 周长的最大值为3【答案】C
【解析】由于 ，所以 ，
由正弦定理可得 ，
由于 ，所以 ，由于 是三角形内角，则 ，故A正确；
由余弦定理知 ，即 ，由于 ，
所以 ，当且仅当 时等号成立，故B正确；
又由正弦定理知 ，
所以
，
当且仅当 时等号成立，故 周长的最大值为3，故D正确；
由 得 ， ，
所以
，故C错误.
故选：C.
4．（2023·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）在 ABC中，内角A，B，C的对应边分别为
△
a，b，c，已知 ，且 ABC的面积为 ，则 ABC周长的最小值为（ ）
△ △
A． B．6 C． D．
【答案】B【解析】由题设及三角形内角和性质： ，
根据正弦定理及诱导公式得 ，
， ， ，即 ，
，则 ，则 ，解得 ,则 ，
所以 ，则 ，
又 仅当 时等号成立，
根据余弦定理得 ，即 ，
设 的周长为 ，则 ，
设 ，则 ，
根据复合函数单调性：增函数加增函数为增函数得： 在 上为单调增函数，
故 ，故 ，当且仅当 时取等.故选：B
5．（2023·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）（多选）已知 三个内角 、 、 的对
应边分别为 、 、 ，且 ， .则下列结论正确的是（ ）
A． 面积的最大值为
B．
C． 的最大值为
D． 的取值范围为【答案】ACD
【解析】对于A选项，因为 ， ，由余弦定理和基本不等式可得
，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
故 ，
所以， 的面积的最大值为 ，A对；
对于B选项， ，B错；
对于C选项，由正弦定理可得 ，则 ，
因为 ，则 ，所以， ，
由平面向量数量积的定义可得
，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故 的最大值为 ，C对；
对于D选项，因为 ，则 ，
由题意可知， ，所以， ，，
当 时， ，则 ；
当 时， ，则 .
综上所述， 的取值范围为 ，D对.
故选：ACD.
6．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若
，且 ，则当边 取得最大值时， 的周长为________.
【答案】
【解析】因为 ，由正弦定理可得 ，
即 ，
整理可得 ，
因为 、 ，所以， ，则 ，故 ，
由正弦定理可得 ，
整理可得 ，
因为 ，当 时， 取最大值，且 的最大值为 ，
此时， ，
，所以， ，
因此，当边 取得最大值时， 的周长为 .故答案为： .
7．（2023·河南周口·统考模拟预测）设锐角三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且
，则 的取值范围是______.
【答案】
【解析】由 ,得 ,
由余弦定理得 ,
由正弦定理得 ,即 ,
又 ，所以 ,
即 ,所以 ，
因为 为 的内角,所以 (舍去)或 ,所以 .
由正弦定理得
因为 ,
又 ，所以
,
由于 得 ，由 ，得 ，则 ，所以
，
当 时， 取最大值 ，当 时， 等于 ，
当 时， 等于 ，
而 ，
所以 取值范围是 ，
故答案为：
8．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ，且
，边 上有一动点 .
(1)当 为边 中点时，若 ，求 的长度；
(2)当 为 的平分线时，若 ，求 的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：因为 ，
所以 ，即 .
由正弦定理，得 .
因为 ，所以 .
因为 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 .
因为 为边 中点，所以 ，则 .又 ，
所以 ，即 ，即 ，
所以 .
（2）在 中，由余弦定理，得 .
又 ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，所以 .
因为 平分 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
令 ，则 .
因为 在 上单调递增，
所以当 即 时， 取得最大值为 ，所以 的最大值为 .
9．（2023·全国·统考高考真题）记 的内角 的对边分别为 ，已知 的面积为 ，
为 中点，且 ．
(1)若 ，求 ；
(2)若 ，求 ．
【答案】(1) ；(2) .
【解析】（1）方法1：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中， ，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，则 ，
，所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点， ， ，
则 ，解得 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，解得 ，有 ，则 ，
，过 作 于 ，于是 ， ，
所以 .
（2）方法1：在 与 中，由余弦定理得 ，
整理得 ，而 ，则 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
方法2：在 中，因为 为 中点，则 ，又 ，
于是 ，即 ，解得 ，
又 ，解得 ，而 ，于是 ，
所以 .
10．（2023·山东·山东师范大学附中校考模拟预测）在① ；②
两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在 中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若D为 边上一点，满足 ， ，且
______．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求角 ；
(2)求 的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）选① ，
由正弦定理可得 ，
即 ，
因为 ，故 ，
又 ，故 .
选② ，
由正弦定理得 ，
即 ，即 ，
即 ，而 ,
故 ，又 ，故 .
（2）因为 ，故 ，
在 中， ，得 ,
在 中， ,得 ,故 ，而 ，
所以 ，
由题意知 ，
故 ，即 的取值范围为 .
11．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
c，已知 ，其中， ．
(1)求角B的大小；
(2)若 ，求△ABC面积的最大值．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）方法一：由 ，
根据正弦定理边化角得： ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，所以 ，
又 ，所以 ；
方法二：由 ，
根据余弦定理：得 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，又 ，得 ；（2）由（1）及余弦定理知 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，
所以 的面积 ，
所以 面积的最大值为 .
12．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测） 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
，且 的面积 .
(1)求 ；
(2)若 内一点 满足 ， ，求 .
【答案】(1) (2)
【解析】（1）解：由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，则 ，所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 .
（2）解：由（1）知 ， ，所以 ，所以 ，
设 ，因为 ，所以 ，因为 ，所以 ，
因为在 中 ，由正弦定理
可得 ，
在 中， ，则 ，则 ，
由正弦定理 ，即 ，所以， ，
因为 ，所以 .
13．（2023·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）已知 分别是 的角 的对边，
.
(1)求证： ；
(2)求 的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】（1）由正弦定理及知，，
由余弦定理得， ，
或 .
.
（2）由（1）和正弦定理得，
，
，
设 ，则 ，则 ，
设 ，
则 在 上单调递增，则 ，
即 .
的取值范围为 .
14．（2023·浙江·校联考模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 .
(1)若 外接圆的半径为 ，求 面积的最大值；
(2)若 内切圆的半径为 ，求 面积的最小值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由 得， ，所以 ，又 ，所以 ，
所以 ，因为 ，所以 ；
由 外接圆的半径为 ，则得 ，
由余弦定理得， ，即 ，
所以 ，解得
所以 ，故 面积的最大值为 .
（2）如图，圆 是 的内切圆，切点分别是 、 、 ，
由 ，内切圆的半径为 ，所以 ，
则 ， ，
所以 ，
即得 ，
而 ，所以 ，
所以 ，解得 舍去），
所以 ，
故 面积的最小值为 .
15．（2023·河南郑州·统考模拟预测）如图，在 中， ，点 在 延长线上，且．
(1)求 ；
(2)若 面积为 ，求 ．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）因为 ,设 ,则 ,
由余弦定理得 ，因为 ，
所以
在 中,由正弦定理得 ,
在 中,由正弦定理得 ,
因为 ,所以
整理得 .
（2）由 得 ,
由（1）得 ,所以 ,在 中, ,
由余弦定理得
.
16．（2023·河南·校联考模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ， ， ，
.
(1)求A；
(2)若 ，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）∵ ，即 ，
由于 ，则 ，即 ，
两边同乘以 可得： ，
则 ，且 ，解得 .
（2）由题意及正弦定理 ，得 ， ，
则
，
由（1）可知 ，且 为锐角三角形，则 ，解得 ，
则 ，所以 ，
故 的取值范围是 .
17．（2023·北京丰台·统考二模）在四边形ABCD中， ，再从条件①，条件②
这两个条件中选择一个作为已知，解决下列问题．
(1)求BD的长；
(2)求四边形ABCD的面积．
条件①： ；
条件②： ．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】(1)选①， ；选②，
(2)选①， ；选②，
【解析】（1）选①，由余弦定理得 ，
解得 ，
选②，在 中，由余弦定理得 ，在 中，由余弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得 .
（2）选①， ， ，
故 ，
在 中， ，所以 ⊥ ，故 ，
所以四边形ABCD的面积为 ；
选②， ，故 ，故 ，
因为 ，所以 ，
故 ，
，
故四边形ABCD的面积为 .
18．（2023·广东广州·统考二模）记 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，已知
.
(1)求 ；
(2)若点 在 边上，且 ， ，求 .
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解：因为 ，由余弦定理可得 ，
化简可得 ，由余弦定理可得 ，
因为 ，所以， .
（2）解：因为 ，则 为锐角，所以， ，
因为 ，所以， ，
所以， ，
设 ，则 ，
在 和 中，由正弦定理得 ， ，
因为 ，上面两个等式相除可得 ，
得 ，即 ，
所以， .
19．（2023·湖南长沙·周南中学校考三模）在 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，
.
(1)求 ；(2)若 ，求 面积 的最小值.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）解： ，
.
由正弦定理得 .
.
因为 ，则 ，
， ，
则 ，
所以， ，即 ，
所以， ，
，即 .
（2）解：由（1）得 .
若 ，则 、 均为钝角，则 ，矛盾，
所以， ， ，此时 、 均为锐角，合乎题意，
，
当且仅当 时，等号成立，且 为钝角.
，则 ，且 为锐角，由 ，解得 ，即 ，
当且仅当 时，等号成立，
， .
因此， 面积的最小值为 .
20．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中， ， ，
．
(1)求 ；
(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）如图，在 中，由正弦定理可得 ，
在 中，由正弦定理可得 ．
因为 ，所以 ，所以 ．
而 ， ，故 ，
又 ，所以得到 ．
因为 ，故 ，故 ．
（2）因为 ，且 ，故 ， 为等边三角形．
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
故梯形ABCD的面积 ．
21．（2023·全国·模拟预测）已知锐角三角形 的内角 的对边分别为 ，且
.
(1)求角 ；
(2)若 为 的垂心， ，求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）由题可得，
结合正弦定理可得 ，即 ，
∴ ，又 ，∴ .
（2）设边 ， 上的高分别为 ， 则 为 与 的交点，
则在四边形 中， ，
∵ ，∴ ，故 ，
在 中， ， ，
则 ，即 ，
当且仅当 时取等号.∴ ，故 面积的最大值为 .22．（2023·福建漳州·统考三模）如图，平面四边形 内接于圆O，内角 ，对角线AC的长为
7，圆 的半径为 .
(1)若 ， ，求四边形 的面积；
(2)求 周长的最大值.
【答案】(1) (2)
【解析】（1）如图所示，连结 ，
在 中， ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
因为 ，所以 为等边三角形，
，
， ，
在 中， ，即 ，
又 ，
，
.
（2）设 ， ，
则在 中， ， ，则 ，即 ，故 ，
因为 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，
，则 ，
，故 ，当且仅当 时，等号成立，
所以 ，即 周长的最大值为 .
23．（2023·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）如图，平面四边形ABCD中， ， ，． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足 ．
(1)求四边形ABCD的外接圆半径R；
(2)求 内切圆半径r的取值范围．
【答案】(1) (2)
【解析】（1）在 中， ，
所以 ，由正弦定理， ，可得 ，
再由余弦定理， ，又 ，所以 .因为 ，
所以 ，所以A，B，C，D四点共圆，
则四边形ABCD的外接圆半径就等于 外接圆的半径.
又 ，所以 .
（2）由（1）可知： ，则 . ，
则 .
在 中，由正弦定理，
，所以 ， ，则，
又 ，所以 ，所以 ， ，所以 .
