专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 直线的倾斜角与斜率】..............................................................................................................................3
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................................................................4
【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】..................................................................................................................7
【题型4 直线的两点式、截距式方程】..................................................................................................................9
【题型5 直线的一般式方程】................................................................................................................................10
【题型6 直线过定点问题】....................................................................................................................................12
【题型7 三线能围成三角形的问题】....................................................................................................................13
【题型8 直线方程的综合应用】............................................................................................................................15
1、直线的方程
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解直线的倾斜角和斜率
的概念，掌握过两点的直线斜
率的计算公式
(2)根据确定直线位置的几何
要素，掌握直线方程的几种形
式(点斜式、两点式及一般式)
2024 年全国甲卷（文数）：
第10 题，5 分
2025 年天津卷：第12 题，5
分
从近几年的高考情况来看，高考对
直线方程的考查比较稳定，主要分为两
方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜
率、直线方程的求法；二是以直线与圆
知识点交叉命题，涉及到点到直线距
离，与圆相交弦长等问题；多以选择
题、填空题的形式出现，难度不大；复
习时应熟练掌握这些知识内容.
知识点
1 直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾
斜角．
②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α 的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
设A，B 为直线上的两点，则
就是这条直线的方向向量.
4．辨析直线方程的五种形式
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x 轴垂
直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x 轴垂
直的直线
①已知在y 轴上的截
距；②已知斜率
两点式
不能表示与x 轴、
y 轴垂直的直线
①已知两个定点；②
已知两个截距
截距式
不能表示与x 轴垂
直、与y 轴垂直、
过原点的直线
①已知两个截距；②
已知直线与两条坐标
轴围成的三角形的面
积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B 不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结
果均可以化为一般式
方程
知识点
2 求直线方程的一般方法
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点
，则可以利用直线的点斜式
求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【方法技巧与总结】
1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注
意过原点的特殊情况是否满足题意.
3．斜率为k 的直线的一个方向向量为(1,k).
4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线x⋅tanπ
5 + y −2=0的倾斜角为（ ）
A．π
5
B．3π
10
C．7π
10
D．4π
5
【答案】D
【解题思路】先将直线变形成斜截式，再根据倾斜角的取值范围结合直线斜率公式求得即可.
【解答过程】由题意可将原直线方程变形为y =−tanπ
5 ⋅x +2= tan 4π
5 ⋅x +2，
由倾斜角的取值范围[0,π)，所以倾斜角为4π
5 .即A、 B 、C 错误.
故选：D.
【变式1-1】（2025 高二上·全国·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1<k3<k2
B．k3<k1<k2
C．k1<k2<k3
D．k3<k2<k1
【答案】A
【解题思路】根据直线倾斜角大小即可判断三条直线斜率大小关系.
【解答过程】解：设直线l1，l2，l3的倾斜角分别为α1，α2，α3，
则由图知0°<α3<α2<90°<α1<180°，
所以tan α1<0，tan α2>tan α3>0，
即k1<0，k2>k3>0．
故选：A.
【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知θ是斜率为−1的直线的倾斜角，计算sin(θ−π
2 )=
．
【答案】
❑√2
2
【解题思路】根据正切函数值求出角进而得出正弦值即可.
【解答过程】因为θ是斜率为−1的直线的倾斜角，所以tanθ =−1，θ∈[0,π)，
所以θ = 3π
4 ，
所以sin(θ−π
2 )=sin(
3π
4 −π
2 )=sinπ
4 =
❑√2
2 ．
故答案为：
❑√2
2 .
【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线e
m x−y (e
m+1)
2+1=0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值
为
.
【答案】1
4
【解题思路】先求出直线的斜率k =e
m
(e
m+1)
2，化简可得k =
1
e
m+ 1
e
m +2 ，再利用基本不等式即可求得k的最
大值.
【解答过程】
k =e
m
(e
m+1)
2 =
1
e
m+ 1
e
m +2
≤
1
2❑√
e
m⋅1
e
m +2
= 1
4 ，
当且仅当m=0时取等号，所以k 的最大值为1
4 .
故答案为：1
4 .
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例2】（24-25 高二上·福建厦门·期中）已知两点A (−3,2)，B (2,1)，过点P(0,−1)的直线l 与线段AB
（含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)∪[1,+ ∞)
B．[−1,1)
C．(−∞,−1
5)∪[1,+∞) D．
[−1
5 ,1)
【答案】A
【解题思路】求出直线 PA、PB 的斜率后即可求直线/的斜率的范围.
【解答过程】如图所示：
k PA = −1−2
0+3 =−1，而k PB= −1−1
0−2 =1，
故直线l的取值范围为(−∞,−1)∪[1,+∞).
故选：A.
【变式2-1】（24-25 高二上·广东广州·期中）已知点A (2,−3),B (−5,−2)，若直线l:mx−y +m+1=0与
线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．[−4
3 , 3
4)
B．(−∞,−4
3)∪[
3
4 ,+∞)
C．[−3
4 , 4
3)
D．(−∞,−3
4)∪[
4
3 ,+∞)
【答案】B
【解题思路】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的
范围，利用直线的斜率公式即可求解.
【解答过程】由mx−y +m+1=0，得y −1=m(x +1)，
所以直线l的方程恒过定点P(−1,1)，斜率为m．
因为A (2,−3),B (−5,−2)，
所以k PA = −3−1
2+1 =−4
3 ,k PB= −2−1
−5+1 = 3
4 ．
由题意可知，作出图形如图所示，
由图象可知，m≥3
4 或m≤−4
3 ，
所以实数m的取值范围为(−∞,−4
3)∪[
3
4 ,+ ∞)．
故选：B．
【变式2-2】（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l：(m+2) x +(m−1) y +m−1=0，若直线l与
连接A (1,−2)，B (2,1)两点的线段总有公共点，则l的倾斜角范围为（ ）
A．[−π
4 ,π
4 )
B．[
3π
4 ,π)
C．[
π
4 , 3π
4 )
D．[0,π
4 )∪(
3π
4 ,π)
【答案】D
【解题思路】先求出直线l所过定点P的坐标，数形结合可求出直线l的斜率的取值范围，即可得出直线l的
倾斜角的取值范围．
【解答过程】直线l的方程可化为m(x + y +1)+(2 x−y −1)=0，由{
x + y +1=0
2 x−y −1=0)，可得{
x =0
y =−1)，
所以，直线l过定点P(0,−1)，
设直线l的斜率为k，直线l的倾斜角为α，则0≤α <π
因为直线PA的斜率为−1−(−2)
0−1
=−1，直线PB的斜率为−1−1
0−2 =1，
因为直线l经过点P(0,−1)，且与线段AB总有公共点，
将A (1,−2)代入方程：(m+2) x +(m−1) y +m−1=0
可得：3=0不成立，A (1,−2)不在直线l上，
所以−1<k ≤1，即−1<tanα ≤1，
因为0≤α <π所以0≤α ≤π
4 或3π
4 <α <π
故直线l的倾斜角的取值范围是[0,π
4 )∪(
3π
4 ,π)．
故选：D．
【变式2-3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点P(1,2)，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
A(9,1)，B(5,8)两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A．[
1
8 , 3
2)
B．[−1
8 , 3
2)
C．(−∞,−1
8)
D．(−∞,−1
8)∪[
3
2 ,+ ∞)
【答案】B
【解题思路】由题意作图，利用斜率的计算公式，可得答案.
【解答过程】由题意作图如下：
设直线AP的斜率为k AP，直线BP的斜率为k BP，直线l的斜率为kl，
由图可知k AP≤kl≤k BP，
由A (9,1)，B (5,8)，P(1,2)，则k AP= 1−2
9−1 =−1
8，k BP= 8−2
5−1 = 6
4 = 3
2，
所以−1
8 ≤kl≤3
2.
故选：B.
【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】
【例3】（2025 高二·全国·专题练习）过点(1,2)且与直线y =2 x−3斜率相等的直线方程为（ ）
A．y −2=2(x−1)
B．y −1=−2(x−2)
C．y −2=−2(x−1)
D．y −1=2(x−2)
【答案】A
【解题思路】根据直线的点斜式方程得到直线方程.
【解答过程】直线斜率为2 且过点(1,2)，由点斜式方程得y −2=2(x−1)．
故选：A．
【变式3-1】（24-25 高二下·河南·阶段练习）若直线l的方向向量为(3,−❑√3)，且经过点(3,−❑√3)，则直线
l的方程为（ ）
A．x + ❑√3 y =0
B．x + ❑√3 y −6=0
C．x−❑√3 y =0
D．x−❑√3 y −6=0
【答案】A
【解题思路】先根据方向向量求出斜率，再由点斜式求出直线方程.
【解答过程】因为直线l的方向向量为(3,−❑√3)，所以直线的斜率k = −❑√3
3
，
所以直线方程为y =−
❑√3
3 ( x−3)−❑√3，化简可得x + ❑√3 y =0.
故选：A.
【变式3-2】（24-25 高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1)，则直线的方程为
（ ）
A．y =
❑√3
3 x−1
B．y =
❑√3
3 x +1
C．y = ❑√3 x−1
D．y = ❑√3 x +1
【答案】D
【解题思路】首先得到直线的斜率，再由斜截式得到直线方程.
【解答过程】因为直线的倾斜角为60°，所以直线的斜率k = tan 60° = ❑√3，
又直线过点P(0,1)，所以直线的方程为y = ❑√3 x +1.
故选：D.
【变式3-3】（24-25 高二上·河北张家口·期末）已知直线l过点P(1,0)，将直线l绕点P逆时针旋转π
3 与x轴
重合，则直线l的方程为（ ）
A．y =
❑√3
3 x−1
B．y = ❑√3(x−1)
C．y =−
❑√3
3
(x−1)
D．y =−❑√3(x−1)
【答案】D
【解题思路】先求出直线l的倾斜角，再由点斜式即可得出答案.
【解答过程】直线l过点P(1,0)，将直线l绕点P逆时针旋转π
3 与x轴重合，
所以直线l的倾斜角为2π
3 ，所以tan2π
3 =−❑√3，
直线l的方程为：y =−❑√3(x−1).
故选：D.
【题型4 直线的两点式、截距式方程】
【例4】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l过点(3,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方
程为（ ）
A．x + y +8=0
B．5 x−3 y =0
C．5 x−3 y =0或x + y −8=0
D．5 x−3 y =0或x + y +8=0
【答案】C
【解题思路】当直线l经过原点时，直线方程为5 x−3 y =0；当直线l不经过原点时，设直线方程为
x
a + y
a =1，把点(3,5)的坐标代入即可得出．
【解答过程】由题得当直线l在坐标轴上的截距均为0 时，直线方程为y = 5
3 x，即5 x−3 y =0；
当直线l在坐标轴上的截距均不为0 时，直线方程可设为x
a + y
a =1，
将(3,5)代入可得a=8，此时直线方程为x + y −8=0．
综上，直线l的方程为5 x−3 y =0或x + y −8=0．
故选：C.
【变式4-1】（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线l的两点式为y −9
5−9 = x−8
2−8 ，则（ ）
A．直线l经过点(5,2)
B．直线l的斜截式为x = 3
2 y −11
2
C．直线l的倾斜角为锐角
D．直线l的点斜式为y −2= 2
3 ( x−5)
【答案】C
【解题思路】根据两点式方程可得直线l经过两点(8,9)，(2,5)，进而判断AD，再将两点式化为斜截式：
y = 2
3 x + 11
3 ，即可判断B，得到直线l的斜率为2
3 >0，即可判断C.
【解答过程】由题意，直线l经过两点(8,9)，(2,5)，故AD 错误，
将两点式化为斜截式：y = 2
3 x + 11
3 ，故B 错误，
直线l的斜率为2
3 >0，所以直线l的倾斜角为锐角，故C 正确.
故选：C.
【变式4-2】（24-25 高二上·江苏南通·期中）经过A (2,1)与B (1,2)两点的直线方程为 ．
【答案】x + y −3=0
【解题思路】利用两点式方程可得直线AB的方程.
【解答过程】由题意可知，经过A (2,1)与B (1,2)两点的直线方程为y −1
2−1 = x−2
1−2，即x + y −3=0.
故答案为：x + y −3=0.
【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）过点P(1,3)，在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为
．
【答案】y =3 x或x + y −4 =0
【解题思路】按直线是否过原点，结合直线的截距式方程求解即得.
【解答过程】当直线过原点时，直线y =3 x在x轴上的截距和在y轴上的截距相等，则直线方程为y =3 x；
当直线不过原点时，设直线方程为x
a + y
a =1，则1
a + 3
a =1，解得a= 4，直线方程为x + y −4 =0，
所以所求直线方程为y =3 x或x + y −4 =0.
故答案为：y =3 x或x + y −4 =0.
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】（2025 高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（ ）
A．4 x +3 y +12=0
B．4 x +3 y −12=0
C．4 x−3 y +12=0
D．4 x−3 y −12=0
【答案】C
【解题思路】根据题意，利用直线的截距式方程求得直线的方程，再化为一般式方程，即可求解.
【解答过程】由直线过点(−3,0)和(0,4)，可得直线的截距式得直线方程为x
−3 + y
4 =1，
整理得4 x−3 y +12=0，即直线的一般式方程为4 x−3 y +12=0.
故选：C.
【变式5-1】（24-25 高二上·陕西咸阳·期末）直线3 y −❑√3 x =0的倾斜角为（ ）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
【答案】A
【解题思路】根据直线的一般式得出斜率，再结合斜率与倾斜角的关系计算得出倾斜角.
【解答过程】直线3 y −❑√3 x =0的斜率为k =
❑√3
3 ，
设倾斜角为θ，0°≤θ<180°，
所以
❑√3
3 =tanθ，所以θ =30°.
故选：A.
【变式5-2】（24-25 高二上·江西赣州·期末）对于直线l:❑√3 x−3 y + 4 =0，下列选项正确的是（ ）
A．直线l倾斜角为π
3
B．直线l经过第四象限
C．直线l在y轴上的截距为−4
3
D．直线l的一个方向向量为(3,❑√3)
【答案】D
【解题思路】由直线的斜率和倾斜角的关系可判断A；令x =0，求出直线l过点M(0, 4
3)可判断B 和C；
根据直线过两点，可求得两点间的向量，判断所得向量是否与向量(3,❑√3)共线可判断D.
【解答过程】设直线l的倾斜角为α，α ∈[0,π)，
对于A，直线l的斜率为−
❑√3
−3 =
❑√3
3 ，所以tan α =
❑√3
3 ，则α =π
6 ，故A 错误；
对于B，当x =0时，y = 4
3 ，即直线l过点M(0, 4
3)，且倾斜角为π
6 <π
2 ，
所以直线l经过第一、二、三象限，不经过第四象限，故B 错误；
对于C，由B 知，直线l在y轴上的截距为4
3 ，故C 错误；
对于D，当y =0时，x =−4 ❑√3
3
，即直线l过点N(−4 ❑√3
3
,0)，
则⃗NM =(
4 ❑√3
3
, 4
3)= 4 ❑√3
9
(3,❑√3)，所以直线l的一个方向向量为(3,❑√3)，故D 正确.
故选：D.
【变式5-3】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知直线Ax + By +1=0在y轴上的截距是−1，其倾斜角是直
线❑√3 x−y =0的倾斜角的2 倍，则（ ）
A．A = ❑√3,B =1
B．A =−❑√3,B =−1
C．A = ❑√3,B =−1
D．A =−❑√3,B =1
【答案】A
【解题思路】根据截距的定义，可得所求直线与y轴的交点，根据直线❑√3 x−y =0求得倾斜角，通过斜率
定义，可得答案.
【解答过程】由直线Ax + By +1=0在y轴上的截距是−1，则直线过(0,−1)，可得A ⋅0+ B⋅(−1)+1=0
，解得B =1；
由直线❑√3 x−y =0，设该直线的倾斜角为α，则tan α = ❑√3，解得α =60
∘，
设直线Ax + y +1=0的倾斜角为β，斜率为k，
由β =2α =120
∘，则k = tan β = tan120
∘=−❑√3，
由k =−A，则−A =−❑√3，解得A = ❑√3.
故选：A.
【题型6 直线过定点问题】
【例6】（25-26 高二上·全国·课后作业）不论m,n为何实数，直线(m−n) x +(m+2n) y −3n=0过定点
（ ）
A．(1,−1)
B．(−1,1)
C．(0,0)
D．(2,2)
【答案】B
【解题思路】法一：直线方程(m−n) x +(m+2n) y −3n=0可化为m(x + y)+n(2 y −x−3)=0，解方程组
{
x + y =0
2 y −x−3=0)即可求解；
法二：直线方程(m−n) x +(m+2n) y −3n=0可化为(m−n)(x +1)+(m+2n)( y −1)=0，解方程组
{
x +1=0
y −1=0)即可求解.
【解答过程】法一：直线方程(m−n) x +(m+2n) y −3n=0可化为m(x + y)+n(2 y −x−3)=0，
令{
x + y =0
2 y −x−3=0)，解得{
x =−1
y =1 )，即定点坐标为(−1,1).
法二：直线方程(m−n) x +(m+2n) y −3n=0可化为(m−n)(x +1)+(m+2n)( y −1)=0，
则{
x +1=0
y −1=0)，解得{
x =−1
y =1 )，即定点坐标为(−1,1).
故选：B.
【变式6-1】（24-25 高二下·上海静安·期中）直线mx +(3m−1) y +1=0必过定点（ ）
A．(3, 1)
B．(−3, 1)
C．(
1
3 , 1)
D．(
1
3 , 0)
【答案】B
【解题思路】将直线分离参数为m(x +3 y)+(1−y)=0，令{
x +3 y =0
1−y =0 )，可得定点.
【解答过程】根据题意，直线mx +(3m−1) y +1=0，
即m(x +3 y)+(1−y)=0，
令{
x +3 y =0
1−y =0 )，得{
x =−3
y =1 )，
故直线mx +(3m−1) y +1=0必过定点(−3,1).
故选：B.
【变式6-2】（24-25 高二上·福建莆田·期中）若直线(3a+2) x +(a−1) y −a=0(a∈R)恒过定点A，则点
A 的坐标为（ ）
A．(
1
3 , 2
3)
B．(1,3)
C．(
1
5 , 2
5)
D．(
1
4 , 3
5)
【答案】C
【解题思路】将直线化为(3 x + y −1)a+2 x−y =0，据此可得定点坐标.
【解答过程】(3a+2) x +(a−1) y −a=0⇔ (3 x + y −1)a+2 x−y =0，
令{
3 x + y −1=0
2 x−y =0 )，解得{
x = 1
5
y = 2
5)
，则所过定点为(
1
5 , 2
5).
故选：C.
【变式6-3】（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l:(m+2) x +(m−1) y +m−1=0，则直线l恒
过定点（ ）
A．(−1,0)
B．(0,1)
C．(0,−1)
D．(1,0)
【答案】C
【解题思路】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.
【解答过程】直线l:m( x + y +1)+2 x−y −1=0，由{
x + y +1=0
2 x−y −1=0)，解得{
x =0
y =−1)，
所以直线l恒过定点(0,−1).
故选：C.
【题型7 三线能围成三角形的问题】
【例7】（24-25 高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1: y = x +1，l2: y =−2 x + 4，l3:mx + y +1=0不能
围成三角形，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1,−2)
B．{1,−2,3)
C．{−1,2,−3)
D．{−1,2)
【答案】C
【解题思路】根据给定条件，求出直线的斜率及直线l1,l2交点坐标，再利用斜率相等及3 条直线共点求出
m值.
【解答过程】直线l1,l2,l3的斜率分别为k1=1,k2=−2,k3=−m，纵截距分别为1,4 ,−1
由{
y = x +1
y =−2 x + 4)，解得{
x =1
y =2)，即直线l1,l2的交点为A(1,2)，
由直线l1,l2,l3不能围成三角形，得直线l1//l3或l2//l3或点A在直线l3上，
则−m=1或−m=−2或m+2+1=0，解得m=−1或m=2或m=−3，
所以实数m的取值集合为{−1,2,−3).
故选：C.
【变式7-1】（24-25 高二上·福建·阶段练习）下面三条直线l1:4 x + y = 4，l2:mx + y =0，l3:2 x−3my = 4
不能构成三角形，则m的集合是（ ）
A．{−1, 2
3 }
B．{4 ,−1
6 }
C．{−1,−1
6 , 2
3 ,4}
D．{−1,−1
6 ,0, 2
3 ,4 }
【答案】C
【解题思路】三直线不能构成三角形时共有4 种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过
同一个点，在这四种情况中，分别求出实数m的值．
【解答过程】当直线l1:4 x + y = 4平行于l2:mx + y =0时，m= 4．
当直线l1:4 x + y = 4平行于l3:2 x−3my = 4时，m=−1
6，
当l2:mx + y =0 平行于l3:2 x−3my = 4时，−m= 2
3m，无解．
当三条直线经过同一个点时，把直线l1 与l2的交点(
4
4−m , −4 m
4−m )，代入l3:2 x−3my = 4，
得2×
4
4−m −3m× −4 m
4−m = 4，解得：m=−1或m= 2
3，
综上，满足条件的m的集合为为{4 ,−1
6 ,−1, 2
3 }.
故选：C．
【变式7-2】（24-25 高二上·湖南·期末）若三条不同的直线l1:ax + y +2=0，l2: x + y −1=0，
l3: x−y +3=0不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（ ）
A．{−1,1}
B．{4,1}
C．{−1
2 ,1)
D．{4 ,−1,1}
【答案】D
【解题思路】分线线平行和三线共点讨论即可.
【解答过程】若l1//l2，则−a=−1，解得a=1．若l1//l3，则−a=1，解得a=−1．
若l1，l2，l3交于一点，联立方程组{
x + y −1=0
x−y +3=0)，解得得{
x =−1
y =2 )，
代入ax + y +2=0，得−a+2+2=0，解得a= 4，故a 的取值集合为{4 ,−1,1}．
故选：D.
【变式7-3】（24-25 高二上·全国·课后作业）使三条直线4 x + y −4 =0,mx + y =0,2 x−3my −4 =0不能
围成三角形的实数m 的值最多有几个（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【答案】B
【解题思路】根据题设，讨论存在两条直线平行或三条直线交于一点，分别求出对应m 值，进而验证是否
满足题设，即可得答案.
【解答过程】要使三条直线不能围成三角形，存在两条直线平行或三条直线交于一点，
若4 x + y −4 =0,mx + y =0平行，则4
m = 1
1，即m= 4；
若mx + y =0,2 x−3my −4 =0平行，则m
2 =
1
−3m，即无解；
若4 x + y −4 =0,2 x−3my −4 =0平行，则4
2 =
1
−3m，即m=−1
6 ；
若三条直线交于一点，{
4 x + y −4 =0
mx + y =0
2 x−3my −4 =0)，可得m= 2
3或m=−1；
经检验知：m∈{−1,−1
6 , 2
3 ,4}均满足三条直线不能围成三角形，故m 最多有4 个.
故选：B.
【题型8 直线方程的综合应用】
【例8】（24-25 高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线l:(a−1) y =(2a−3) x +1．
(1)求直线l所过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【答案】(1)(1,2)
(2)[
3
2 ,+∞)
(3)2 x + y −4 =0
【解题思路】（1）由方程变形可得a(2 x−y)−3 x + y +1=0，列方程组，解方程即可；
（2）数形结合，结合直线图象可得出关于实数a的不等式，解之即可；
（3）求得直线与坐标轴的交点，可得面积，进而利用二次函数的性质可得最值.
【解答过程】（1）由l:(a−1) y =(2a−3) x +1，即a(2 x−y)−3 x + y +1=0，
则{
2 x−y =0
−3 x + y +1=0)，解得{
x =1
y =2)，所以直线过定点(1,2).
（2）因为直线l不过第四象限，结合图形可知，直线l的斜率存在，所以a≠1，
此时，直线l的方程可化为y = 2a−3
a−1 x +
1
a−1，记点A (1,2)，则kOA =2，
由图可得0≤2a−3
a−1 ≤2，解得a≥3
2，因此，实数a的取值范围是[
3
2 ,+∞).
（3）已知直线l:(a−1) y =(2a−3) x +1，且由题意知a≠1，
令x =0，得y =
1
a−1 >0，得a>1，
令y =0，得x =
1
3−2a >0，得a< 3
2，
则
S = 1
2 ×
1
a−1 ×
1
3−2a =
1
−4 a
2+10a−6
=
1
−4(a−5
4)
2
+ 1
4
，
所以当a= 5
4 时，S取最小值，
此时直线l的方程为(
5
4 −1) y =(2× 5
4 −3)x +1，即2 x + y −4 =0.
【变式8-1】（24-25 高二上·山东·阶段练习）直线l方程为(m+1) x + y −2m−3=0(m∈R)．
(1)证明：无论m为何值，直线l过定点；
(2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，
求△AOB的周长及此时直线l的方程．
【答案】(1)证明见详解
(2)△ABO的周长为6+2❑√5，直线l的方程x +2 y −4 =0
【解题思路】（1）将直线l的方程变形为m(x−2)+ x + y −3=0，令{
x−2=0
x + y −3=0)，解得即可；
（2）首先求出直线在x、y轴上的截距，即可求出m的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值
及此时m的值，从而求出直线l的方程及三角形的周长.
【解答过程】（1）因为直线l的方程(m+1) x + y −2m−3=0，即m(x−2)+ x + y −3=0，
令{
x−2=0
x + y −3=0)，解得{
x =2
y =1)，
所以直线l恒过定点(2,1)；
（2）因为直线l的方程(m+1) x + y −2m−3=0，依题意m+1≠0，即m≠−1，
令x =0，得到y =2m+3；令y =0，得到x = 2m+3
m+1 ；
令{
2m+3>0
2m+3
m+1 >0)
，解得m>−1，
可得S△ABC = 1
2|2m+3)|
2m+3
m+1 )= (2m+3)
2
2|m+1) ，
令m+1=t >0，则S△ABC = (2t +1)
2
2|t )
= 4 t
2+ 4t +1
2t
=2t + 1
2t +2≥2+2= 4，
当且仅当2t = 1
2t ，即t = 1
2 ,m=−1
2时，等号成立
此时直线l的方程为x +2 y −4 =0，
且A (4,0)，B (0,2)，|AB)=
❑√4
2+2
2=2❑√5，
所以当△ABO的面积最小时，△ABO的周长为6+2❑√5，直线l的方程x +2 y −4 =0.
【变式8-2】（24-25 高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线l经过点P(−1,2).
(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的方程；
(2)设l的斜率k >0,l与两坐标轴的交点分别为A 和B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.
【答案】(1)x−y +3=0
(2)y =2 x + 4
【解题思路】（1）设l的点斜式方程为y −2=k (x +1),k ≠0，求出两坐标轴上的截距，求出k，即可得
解；
（2）求出两坐标轴上的截距，再根据△AOB的面积结合基本不等式求出△AOB的面积最小时k的值，即
可得解.
【解答过程】（1）由题意知，l的斜率存在且不为0，
设斜率为k，则l的点斜式方程为y −2=k (x +1)，
则它在两坐标轴上截距分别为−1−2
k 和k +2，
所以−1−2
k +k +2=0，解得k =−2（此时直线过原点，舍去）或k =1，
所以l的点斜式方程为y −2= x +1，即x−y +3=0；
（2）由（1）知，A(−2
k −1,0),B (0,k +2)，(k >0)，
所以△AOB的面积S = 1
2|−2
k −1)⋅|k +2)= (k +2)
2
2k
= k
2 +2+ 2
k ≥2❑√
k
2 ⋅2
k +2= 4，
当且仅当k
2 = 2
k 即k =2时，等号成立，
l的点斜式方程为y −2=2(x +1)，
所以l的斜截式方程为y =2 x + 4.
【变式8-3】（24-25 高二上·福建·期中）已知直线l过点A (−3,2)，且l的一个法向量是(4,3).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线l与y轴交于点C，将直线AC绕着点A逆时针旋转90
∘，点C所对应的点为D，求直线AD的方
程；
(3)在（2）的条件下，求∠CAD的角平分线所在的直线方程.
【答案】(1)4 x +3 y +6=0
(2)3 x−4 y +17 =0
(3)x +7 y −11=0
【解题思路】（1）根据直线的点法式方程可得出直线l的方程；
（2）求出点C的坐标，可得出直线AC的斜率，分析可知，AD⊥AC，可得出直线AD的斜率，利用点斜
式可得出直线AD的方程；
（3）设直线AC的倾斜角为α，分析可知，90
∘<α <135
∘，则∠CAD的角平分线所在的直线的倾斜角为
α + 45
∘，利用两角和的正切公式可求出角平分线所在直线的斜率，再利用点斜式可得出所求直线的方程.
【解答过程】（1）因为直线l的一个法向量是(4,3)，
又过点A (−3,2)所以可得直线l的方程为4 (x +3)+3( y −2)=0，
化简得4 x +3 y +6=0，所以所求直线的方程为4 x +3 y +6=0.
（2）因为直线l与y轴交于点C，由（1）知l的方程为4 x +3 y +6=0，所以C (0,−2)，
因为A (−3,2)，所以k AC =−4
3 ，
将直线AC绕着点A逆时针旋转90
∘，点C所对应的点为D，
则AD⊥AC，所以k AD= 3
4 .
由点A (−3,2)可知直线AD方程为y −2= 3
4
(x +3)，即3 x−4 y +17=0.
（3）设直线AC的倾斜角为α，因为tan α =k AC =−4
3 <−1= tan135
∘，
所以，90
∘<α <135
∘，则135
∘<α + 45
∘<180
∘，
所以，∠CAD的角平分线所在直线的倾斜角为α + 45
∘，
则∠CAD的角平分线所在直线的斜率为
k = tan(α + 45
∘)= tan α + tan 45
∘
1−tan α tan 45
∘=
−4
3 +1
1−(−4
3)×1
=−1
7 ，
因此，∠CAD的角平分线所在直线的方程为y −2=−1
7
(x +3)，即x +7 y −11=0.
一、单选题
1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线y = x +1的倾斜角为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．3π
4
【答案】A
【解题思路】由直线的斜截式方程求出直线的斜率，最后根据直线斜率与直线倾斜角的关系进行求解即可.
【解答过程】直线y = x +1的斜率为1，则直线y = x +1的倾斜角为π
4 .
故选：A.
2．（2025·四川眉山·三模）已知点A (4,2❑√3),B(1,❑√3)，若向量⃗AB是直线l的方向向量，则直线l的倾斜
角为（ ）
A．30
∘
B．60
∘
C．120
∘
D．150
∘
【答案】A
【解题思路】根据直线的方向向量、斜率公式及倾斜角与斜率的关系即可求解.
【解答过程】直线的斜率k = 2❑√3−❑√3
4−1
=
❑√3
3 ，
所以直线l的倾斜角为30
∘.
故选：A.
3．（2025·江西新余·一模）已知直线l的方程为y =(−a
2+1) x +b，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[0,π
4 )
B．[
π
4 ,π
2 )
C．[
π
4 ,π
2 )∪(
π
2 ,π)
D．[0,π
4 )∪(
π
2 ,π)
【答案】D
【解题思路】求出直线l的斜率的取值范围，利用直线倾斜角与斜率的关系可得出直线l的倾斜角的取值范
围.
【解答过程】直线l的斜率为k =−a
2+1≤1，设该直线的倾斜角为θ，则tanθ≤1，
又因为0≤θ<π，故θ∈[0,π
4 )∪(
π
2 ,π).
故选：D.
4．（2025·吉林长春·一模）直线x +2 y −4 =0与直线3 x + y −9=0所成角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
【答案】B
【解题思路】根据题意，求得两条直线的斜率，然后由两直线的夹角公式代入计算，即可得到结果.
【解答过程】直线x +2 y −4 =0斜率k1=−1
2，直线3 x + y −9=0斜率k2=−3，
设两直线的夹角为θ，则tanθ =|
k2−k1
1+ k1k2)=|
−3+ 1
2
1+(−3)×(−1
2))
=1，
且0°≤θ≤90°，所以θ = 45°.
故选：B.
5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线l1、l2、l3、l4中，斜率最小的是（ ）
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
【答案】B
【解题思路】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论.
【解答过程】由图可知l1的倾斜角为锐角，l2、l3、l4的倾斜角为钝角，
则直线l1的斜率为正数，直线l2、l3、l4的斜率均为负数，
且l2、l3、l4中，直线l2的倾斜角最小，故直线l2的斜率最小.
故选：B.
6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点A (2,1)，B (−2,3)，若直线ax + y +1=0与线段AB没有公共点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−2,1)
C．(−1,2)
D．(1,+∞)
【答案】C
【解题思路】由直线方程可判断直线的斜率−a和经过的定点P(0,−1)，结合题意作图，需使
k PB<−a<k PA成立，解之即得.
【解答过程】由ax + y +1=0可知直线的斜率为−a，且经过定点P(0,−1)，
由点A (2,1)，B (−2,3)可得直线PA , PB的斜率分别为：k PA = 1−(−1)
2−0
=1,k PB= 3−(−1)
−2−0 =−2，
作图如下，由图知，要使直线ax + y +1=0与线段AB没有公共点，
需使k PB<−a<k PA，解得−1<a<2.
故选：C.
7．（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y =0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）
A．x−y +2=0
B．x−2 y + 4 =0
C．x−y −2=0
D．x +2 y −4 =0
【答案】C
【解题思路】依题意设直线l的方程为x−y +m=0，代入(0,−2)求出参数的值，即可得解.
【解答过程】因为直线l平行于直线x−y =0，所以直线l可设为x−y +m=0，
因为在y轴上的截距是−2，则过点(0,−2)，代入直线方程得0−(−2)+m=0，
解得m=−2，所以直线l的方程是x−y −2=0.
故选：C.
8．（2025 高二上·全国·专题练习）已知直线kx−y +2=0和以M (3,−2)，N (2,5)为端点的线段相交，则
实数k 的取值范围为（ ）
A．(−∞,−4
3)
B．[
3
2 ,+∞)
C．[−4
3 , 3
2)
D．(−∞, 4
3)∪[
3
2 ,+ ∞)
【答案】C
【解题思路】根据题意可知直线kx−y +2=0恒过定点A (0,2)，根据斜率公式结合图象分析求解.
【解答过程】因为直线kx−y +2=0恒过定点A (0,2)，如图.
又因为k AM =−4
3 ，k AN = 3
2，所以直线的斜率k 的范围为[−4
3 , 3
2).
故选：C.
二、多选题
9．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l 过点(0,2)，(❑√3,1)，则（ ）
A．点C (2,−1)在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为y −1
2−1 = x−❑√3
0−❑√3
C．直线l 的一个方向向量的坐标为(1,−❑√3)
D．直线l 的截距式方程为
x
2❑√3 + y
2 =1
【答案】BD
【解题思路】应用两点式、方向向量求斜率判断A、C；写出直线的两点式和截距式判断B、D.
【解答过程】A：因为直线l 过点(0,2)，(❑√3,1)，所以直线l 的斜率为k1= 1−2
❑√3−0 =−
❑√3
3 ，
设A (0,2)，则k AC = 2−(−1)
0−2
=−3
2 ≠k1，故点C (2,−1)不在直线l 上，错；
B：直线l 的两点式方程为y −1
2−1 = x−❑√3
0−❑√3
，对；
C：若直线l 的一个方向向量的坐标为(1,−❑√3)，则k1=−❑√3，与A 分析不符，错；
D：由B 中两点式方程，整理得截距式方程为
x
2❑√3 + y
2 =1，对.
故选：BD.
10．（2025·河南·模拟预测）已知△OAB为等腰直角三角形，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四
象限，∠AOB =π
2 ，若直线OA ,OB , AB的斜率都存在，记直线OA ,OB , AB的斜率分别为k1,k2,k3，则
k1,k2,k3的关系可能为（ ）
A．k1>k2>k3
B．k3>k1>k2
C．k1>k3>k2
D．k3>k2>k1
【答案】AB
【解题思路】讨论∠AOx<π
4 、∠AOx>π
4 ，结合斜率与夹角关系判断各项的正误.
【解答过程】当0<∠AOx<π
4 时，k3>1>k1>0>k2；
当π
4 <∠AOx<π
2 时，k1>1>0>k2>k3.
故选：AB.
11．（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD 在平面直角坐标系中，且AC : x +2 y −5=0，则直线AB的
方程可能为（ ）
A．3 x−y +1=0 B．3 x + y +1=0
C．x−3 y +1=0 D．x +3 y +1=0
【答案】BC
【解题思路】由正方形的特征可知，直线AC与直线AB夹角为π
4 或3π
4 ，由直线AC斜率利用两角差的正
切公式求出直线AB的斜率，对照选项即可判断.
【解答过程】设直线AB的倾斜角为α，直线AC的倾斜角为β，直线AC斜率为−1
2，
有tan β =−1
2，则3π
4 < β <π，依题意有β −α =π
4 或β −α =3π
4 ，
当β −α =π
4 时，tan (β −α )=
tan β −tan α
1+ tan β ⋅tan α =1，
即
−1
2 −tan α
1−1
2 tan α
=1，解得tan α =−3，即直线AB的斜率为−3，
对比选项，只有B 选项满足；
当β −α =3π
4 时，tan (β −α )=
tan β −tan α
1+ tan β ⋅tan α = tan 3π
4 =−1，
即
tan α + 1
2
1−1
2 tan α
=−1，解得tan α = 1
3，即直线AB的斜率为1
3，
对比选项只有C 选项满足.
故选：BC.
三、填空题
12．（2025·陕西汉中·三模）若直线l过点(−1,1)，且其一个方向向量为⃗m=(1,1)，则直线l的方程为
.
【答案】x−y +2=0
【解题思路】用直线的方向向量可以确定直线的斜率，然后利用点斜式方程求出直线方程.
【解答过程】由题意可知，直线的斜率为k = 1
1 =1.
而直线l过点(−1,1)，所以直线方程为y −1=1×(x +1)，
即：x−y +2=0.
故答案为：x−y +2=0.
13．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2: y = x tan 80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为
．
【答案】❑√3
【解题思路】根据直线l2方程求出直线l2斜率为tan 80°，由此确定直线l2倾斜角80°，结合已知条件求
得直线倾斜角为60°，由此即可求得直线l1的斜率.
【解答过程】由直线l2方程：y = x tan 80°得l2的倾斜角为80°，
所以l1的倾斜角为60°，即l1的斜率为tan 60°= ❑√3.
故答案为：❑√3.
14．（2025·湖南长沙·三模）过点A(1,4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有
条．
【答案】3
【解题思路】先设直线为y =kx或x
a + y
a =1或x
a −y
a =1，计算得出满足截距绝对值相等直线方程即可判断.
【解答过程】因为在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线，
故设直线为y =kx或x
a + y
a =1或x
a −y
a =1，
若直线y =kx过点A(1,4)，则4 =k，得直线为y = 4 x；
若直线x
a + y
a =1过点A(1,4)，则1
a + 4
a =1,a=5，得直线为x + y =5；
若直线x
a −y
a =1过点A(1,4)，则1
a −4
a =1,a=−3，得直线为x−y +3=0；
所以满足条件的直线有3 条；
故答案为：3.
四、解答题
15．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点M (m+3,3m+5)，N (2m−1,1)．
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
(2)若直线MN的一个方向向量为⃗a=(1,−2025)，求m的值．
【答案】(1)(−4
3 ,4)
(2)m= 4052
1011
【解题思路】（1）结合两点求斜率，解不等式即可得出答案；
（2）根据方向向量得k = 3m+ 4
−m+ 4 =−2025，解方程即可得出答案.
【解答过程】（1）设直线MN的倾斜角为θ，因为倾斜角θ为锐角，
所以直线MN的斜率k =tanθ>0，
又k =
3m+5−1
(m+3)−(2m−1) = 3m+ 4
−m+ 4 >0，
即(3m+ 4)(m−4)<0，解得−4
3 <m<4，
即m的取值范围为(−4
3 ,4)．
（2）直线MN的一个方向向量为⃗a=(1,−2025)，
所以k = 3m+ 4
−m+ 4 =−2025，
解得m= 4052
1011 ．
16．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点A (−4,3)，B (3,2)，过点P(0,−1)的直线l 与线段AB
有公共点.
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围.
(2)求直线l 的倾斜角的取值范围.
【答案】(1)(−∞,−1]∪[1,+∞)或斜率不存在
(2)[
π
4 , 3π
4 )
【解题思路】（1）结合题意由斜率的定义直接求解即可；
（2）由斜率与倾斜角的关系求解即可；
【解答过程】（1）如图，由题意可知
k PA = 3−(−1)
−4−0 =−1，
k PB= 2−(−1)
3−0
=1
要使直线l 与线段AB有公共点，
则直线l 的斜率k 的取值范围是(−∞,−1]∪[1,+∞)或斜率不存在.
（2）由题意可知，l 的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间.
又PB的倾斜角是π
4 ，PA的倾斜角是3π
4 ，
所以直线l 的倾斜角α的取值范围是[
π
4 , 3π
4 ).
17．（2025 高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程：
(1)过点(2,1)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点(2,1)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
【答案】(1)x−2 y =0或x + y −3=0．
(2)x + y −3=0或x−y −1=0．
【解题思路】（1）法一：分a=0和a≠0两种情况讨论，利用直线的截距式方程得到直线方程；
法二：因为截距相等，分直线斜率为−1和直线过原点两种情况讨论，得到直线方程；
（2）法一：利用直线的截距式方程，|a)=|b)，代入点，得到方程；
法二：根据等腰直角三角形得到直线的斜率为±1，利用直线的点斜式方程得到直线方程.
【解答过程】（1）法一：设直线在坐标轴上的截距为a，
①当a=0时，直线过点(2,1)和(0,0)，所以直线方程为y = 1
2 x，即x−2 y =0．
②当a≠0时，直线方程为x
a + y
a =1，代入点(2,1)可得a=3，即直线方程为x + y −3=0．
综上所述，直线方程为x−2 y =0或x + y −3=0．
法二：因为直线在两坐标轴上截距相等，所以直线斜率为−1或直线过原点．
①当直线斜率为−1时，直线方程为y −1=−(x−2)，即x + y −3=0．
②当直线过原点时，k = 1
2，直线方程为y = 1
2 x，即x−2 y =0．
综上所述，直线方程为x−2 y =0或x + y −3=0．
（2）法一：因为可以围成三角形，所以在坐标轴上的截距均不为0，
设直线方程为x
a + y
b =1，因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以|a)=|b)，
代入点(2,1)可得{
a=3,
b=3)或{
a=1,
b=−1,)所以直线方程为x + y −3=0或x−y −1=0．
法二：因为直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以直线的斜率为±1，
又直线过定点(2,1)，所以直线方程为y −1=±(x−2)，
即所求直线方程为x + y −3=0或x−y −1=0．
18．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l的方程为(2m+1) x +(m+1) y −7m−4 =0．
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M；
(2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于A ,B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．
【答案】(1)证明见解析
(2)8+2❑√10
【解题思路】（1）将直线方程整理为关于参数m的表达式，利用其对任意m恒成立的条件，即可证明直线
过定点；
（2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然
后求出对应三角形的周长即可.
【解答过程】（1）由(2m+1) x +(m+1) y −7m−4 =0可得，m(2 x + y −7)+ x + y −4 =0，
令{
2 x + y −7=0,
x + y −4 =0 ⇒{
x =3,
y =1,))所以直线l过定点M (3,1)．
（2）由（1）知，直线l1恒过定点M (3,1)，
由题意可设直线l1的方程为y −1=k (x−3)(k <0)，直线l1与x轴、y轴正半轴的交点分别为A ,B，
令x =0，得yB=1−3k；令y =0，得x A =3−1
k ．
所以△AOB的面积S = 1
2
(1−3k )(3−1
k)= 1
2[(−9k )+(−1
k)+6)≥1
2[2❑√
(−9k )(−1
k)+6)=6，
当且仅当−9k = 1
−k ，即k =−1
3时等号成立，此时△AOB面积最小，
A (6,0),B (0,2)，|AB)=
❑√6
2+(−2)
2=2❑√10，
△AOB的周长为6+2+2❑√10=8+2❑√10．
所以当△AOB面积最小时，△AOB的周长为8+2❑√10．
19．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l过点(1,2)，且直线l的倾斜角比直线❑√3 x−3 y +1=0的倾
斜角大π
12．
(1)求直线l的方程；
(2)若点M (x1, y1)在直线l上，且x1∈[−2,1)，求y1+2
x1−1的取值范围．
【答案】(1)x−y +1=0；
(2)(−∞,−1
3).
【解题思路】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线l的斜率，应用点斜式写出直线方
程；
（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.
【解答过程】（1）因为直线❑√3 x−3 y +1=0的斜率为k =
❑√3
3 ，所以其倾斜角为α =π
6 ，
则l的倾斜角为π
6 +π
12 =π
4 ，可知l的斜率kl= tanπ
4 =1，
所以l的方程为y −2= x−1，即x−y +1=0；
（2）y1+2
x1−1表示M (x1, y1)与点A(1,−2)连线的斜率k AM，
又M (x1, y1)是直线l在x∈[−2,1)部分上的动点，如下图示：
则k AC = −1+2
−2−1 =−1
3，直线AB 的斜率不存在，则k AM ≤k AC，
即
y1+2
x1−1的取值范围为(−∞,−1
3).
