专题8.1 直线的方程（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 直线的倾斜角与斜率】..............................................................................................................................3
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】.....................................................................................................3
【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】..................................................................................................................4
【题型4 直线的两点式、截距式方程】..................................................................................................................5
【题型5 直线的一般式方程】..................................................................................................................................5
【题型6 直线过定点问题】......................................................................................................................................6
【题型7 三线能围成三角形的问题】......................................................................................................................6
【题型8 直线方程的综合应用】..............................................................................................................................6
1、直线的方程
考点要求
真题统计
考情分析
(1)理解直线的倾斜角和斜率
的概念，掌握过两点的直线斜
率的计算公式
(2)根据确定直线位置的几何
要素，掌握直线方程的几种形
式(点斜式、两点式及一般式)
2024 年全国甲卷（文数）：
第10 题，5 分
2025 年天津卷：第12 题，5
分
从近几年的高考情况来看，高考对
直线方程的考查比较稳定，主要分为两
方面进行考察，一是直线的倾斜角与斜
率、直线方程的求法；二是以直线与圆
知识点交叉命题，涉及到点到直线距
离，与圆相交弦长等问题；多以选择
题、填空题的形式出现，难度不大；复
习时应熟练掌握这些知识内容.
知识点
1 直线的方程
1．直线的倾斜角
(1)倾斜角的定义
①当直线l 与x 轴相交时，我们以x 轴为基准，x 轴正向与直线l 向上的方向之间所成的角α 叫做直线l 的倾
斜角．
②当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)直线的倾斜角α 的取值范围为0°≤α<180°.
2．直线的斜率
(1)直线的斜率
把一条直线的倾斜角α 的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k＝tan α.
(2)斜率与倾斜角的对应关系
图示
倾斜角(范围)
α＝0°
0°<α<90°
α＝90°
90°<α<180°
斜率(范围)
k＝0
k>0
不存在
k<0
(3)过两点的直线的斜率公式
过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝.
3．直线的方向向量
设A，B 为直线上的两点，则
就是这条直线的方向向量.
4．辨析直线方程的五种形式
方程形式
直线方程
局限性
选择条件
点斜式
不能表示与x 轴垂
直的直线
①已知斜率；②已知
一点
斜截式
y=kx+b
不能表示与x 轴垂
直的直线
①已知在y 轴上的截
距；②已知斜率
两点式
不能表示与x 轴、
y 轴垂直的直线
①已知两个定点；②
已知两个截距
截距式
不能表示与x 轴垂
直、与y 轴垂直、
过原点的直线
①已知两个截距；②
已知直线与两条坐标
轴围成的三角形的面
积
一般式
Ax+By+C=0
(A,B 不全为0)
表示所有的直线
求直线方程的最后结
果均可以化为一般式
方程
知识点
2 求直线方程的一般方法
1．求直线方程的一般方法
(1)直接法
直线方程形式的选择方法：
①已知一点常选择点斜式；
②已知斜率选择斜截式或点斜式；
③已知在两坐标轴上的截距用截距式；
④已知两点用两点式，应注意两点横、纵坐标相等的情况.
(2)待定系数法
先设出直线的方程，再根据已知条件求出未知系数，最后代入直线方程.
利用待定系数法求直线方程的步骤：①设方程；②求系数；③代入方程得直线方程.
若已知直线过定点
，则可以利用直线的点斜式
求方程，也可以利用斜截式、
截距式等求解(利用点斜式或斜截式时要注意斜率不存在的情况).
【方法技巧与总结】
1．牢记口诀：“斜率变化分两段，90°是分界线；遇到斜率要谨记，存在与否要讨论”.
2．“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注
意过原点的特殊情况是否满足题意.
3．斜率为k 的直线的一个方向向量为(1,k).
4．涉及直线与线段有交点问题，常根据数形结合思想，利用斜率公式求解．
【题型1 直线的倾斜角与斜率】
【例1】（2025·江苏南通·模拟预测）直线x⋅tanπ
5 + y −2=0的倾斜角为（ ）
A．π
5
B．3π
10
C．7π
10
D．4π
5
【变式1-1】（2025 高二上·全国·专题练习）如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（ ）
A．k1<k3<k2
B．k3<k1<k2
C．k1<k2<k3
D．k3<k2<k1
【变式1-2】（2025·上海奉贤·二模）已知θ是斜率为−1的直线的倾斜角，计算sin(θ−π
2 )=
．
【变式1-3】（2025·江西萍乡·一模）已知直线e
m x−y (e
m+1)
2+1=0(m∈R)的斜率为k，则k的最大值
为
.
【题型2 直线与线段的相交关系求斜率范围】
【例2】（24-25 高二上·福建厦门·期中）已知两点A (−3,2)，B (2,1)，过点P(0,−1)的直线l 与线段AB
（含端点）有交点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)∪[1,+ ∞)
B．[−1,1)
C．(−∞,−1
5)∪[1,+∞) D．
[−1
5 ,1)
【变式2-1】（24-25 高二上·广东广州·期中）已知点A (2,−3),B (−5,−2)，若直线l:mx−y +m+1=0与
线段AB（含端点）有公共点，则实数m的取值范围为（ ）
A．[−4
3 , 3
4)
B．(−∞,−4
3)∪[
3
4 ,+∞)
C．[−3
4 , 4
3)
D．(−∞,−3
4)∪[
4
3 ,+∞)
【变式2-2】（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线l：(m+2) x +(m−1) y +m−1=0，若直线l与
连接A (1,−2)，B (2,1)两点的线段总有公共点，则l的倾斜角范围为（ ）
A．[−π
4 ,π
4 )
B．[
3π
4 ,π)
C．[
π
4 , 3π
4 )
D．[0,π
4 )∪(
3π
4 ,π)
【变式2-3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知点P(1,2)，经过点P 作直线l，若直线l 与连接
A(9,1)，B(5,8)两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（ ）
A．[
1
8 , 3
2)
B．[−1
8 , 3
2)
C．(−∞,−1
8)
D．(−∞,−1
8)∪[
3
2 ,+ ∞)
【题型3 直线的点斜式、斜截式方程】
【例3】（2025 高二·全国·专题练习）过点(1,2)且与直线y =2 x−3斜率相等的直线方程为（ ）
A．y −2=2(x−1)
B．y −1=−2(x−2)
C．y −2=−2(x−1)
D．y −1=2(x−2)
【变式3-1】（24-25 高二下·河南·阶段练习）若直线l的方向向量为(3,−❑√3)，且经过点(3,−❑√3)，则直线
l的方程为（ ）
A．x + ❑√3 y =0
B．x + ❑√3 y −6=0
C．x−❑√3 y =0
D．x−❑√3 y −6=0
【变式3-2】（24-25 高二上·北京怀柔·期末）已知直线的倾斜角为60°，且过点P(0,1)，则直线的方程为
（ ）
A．y =
❑√3
3 x−1
B．y =
❑√3
3 x +1
C．y = ❑√3 x−1
D．y = ❑√3 x +1
【变式3-3】（24-25 高二上·河北张家口·期末）已知直线l过点P(1,0)，将直线l绕点P逆时针旋转π
3
与x轴
重合，则直线l的方程为（ ）
A．y =
❑√3
3 x−1
B．y = ❑√3(x−1)
C．y =−
❑√3
3
(x−1)
D．y =−❑√3(x−1)
【题型4 直线的两点式、截距式方程】
【例4】（24-25 高二上·全国·课后作业）已知直线l过点(3,5)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方
程为（ ）
A．x + y +8=0
B．5 x−3 y =0
C．5 x−3 y =0或x + y −8=0
D．5 x−3 y =0或x + y +8=0
【变式4-1】（24-25 高二上·河北邢台·阶段练习）已知直线l的两点式为y −9
5−9 = x−8
2−8
，则（ ）
A．直线l经过点(5,2)
B．直线l的斜截式为x = 3
2 y −11
2
C．直线l的倾斜角为锐角
D．直线l的点斜式为y −2= 2
3 ( x−5)
【变式4-2】（24-25 高二上·江苏南通·期中）经过A (2,1)与B (1,2)两点的直线方程为 ．
【变式4-3】（2024·陕西西安·一模）过点P(1,3)，在x轴上的截距和在y轴上的截距相等的直线方程为
．
【题型5 直线的一般式方程】
【例5】（2025 高二上·全国·专题练习）过点(−3,0)和(0,4)，的直线的一般式方程为（ ）
A．4 x +3 y +12=0
B．4 x +3 y −12=0
C．4 x−3 y +12=0
D．4 x−3 y −12=0
【变式5-1】（24-25 高二上·陕西咸阳·期末）直线3 y −❑√3 x =0的倾斜角为（ ）
A．30°
B．150°
C．60°
D．120°
【变式5-2】（24-25 高二上·江西赣州·期末）对于直线l:❑√3 x−3 y + 4 =0，下列选项正确的是（ ）
A．直线l倾斜角为π
3
B．直线l经过第四象限
C．直线l在y轴上的截距为−4
3
D．直线l的一个方向向量为(3,❑√3)
【变式5-3】（24-25 高二上·河南·阶段练习）已知直线Ax + By +1=0在y轴上的截距是−1，其倾斜角是直
线❑√3 x−y =0的倾斜角的2 倍，则（ ）
A．A = ❑√3,B =1
B．A =−❑√3,B =−1
C．A = ❑√3,B =−1
D．A =−❑√3,B =1
【题型6 直线过定点问题】
【例6】（25-26 高二上·全国·课后作业）不论m,n为何实数，直线(m−n) x +(m+2n) y −3n=0过定点
（ ）
A．(1,−1)
B．(−1,1)
C．(0,0)
D．(2,2)
【变式6-1】（24-25 高二下·上海静安·期中）直线mx +(3m−1) y +1=0必过定点（ ）
A．(3, 1)
B．(−3, 1)
C．(
1
3 , 1)
D．(
1
3 , 0)
【变式6-2】（24-25 高二上·福建莆田·期中）若直线(3a+2) x +(a−1) y −a=0(a∈R)恒过定点A，则点
A 的坐标为（ ）
A．(
1
3 , 2
3)
B．(1,3)
C．(
1
5 , 2
5)
D．(
1
4 , 3
5)
【变式6-3】（24-25 高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线l:(m+2) x +(m−1) y +m−1=0，则直线l恒
过定点（ ）
A．(−1,0)
B．(0,1)
C．(0,−1)
D．(1,0)
【题型7 三线能围成三角形的问题】
【例7】（24-25 高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1: y = x +1，l2: y =−2 x + 4，l3:mx + y +1=0不能
围成三角形，则实数m的取值集合为（ ）
A．{1,−2)
B．{1,−2,3)
C．{−1,2,−3)
D．{−1,2)
【变式7-1】（24-25 高二上·福建·阶段练习）下面三条直线l1:4 x + y = 4，l2:mx + y =0，l3:2 x−3my = 4
不能构成三角形，则m的集合是（ ）
A．{−1, 2
3 }
B．{4 ,−1
6 }
C．{−1,−1
6 , 2
3 ,4}
D．{−1,−1
6 ,0, 2
3 ,4 }
【变式7-2】（24-25 高二上·湖南·期末）若三条不同的直线l1:ax + y +2=0，l2: x + y −1=0，
l3: x−y +3=0不能围成一个三角形，则a 的取值集合为（ ）
A．{−1,1}
B．{4,1}
C．{−1
2 ,1)
D．{4 ,−1,1}
【变式7-3】（24-25 高二上·全国·课后作业）使三条直线4 x + y −4 =0,mx + y =0,2 x−3my −4 =0不能
围成三角形的实数m 的值最多有几个（ ）
A．3 个
B．4 个
C．5 个
D．6 个
【题型8 直线方程的综合应用】
【例8】（24-25 高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线l:(a−1) y =(2a−3) x +1．
(1)求直线l所过定点；
(2)若直线l不经过第四象限，求实数a的取值范围；
(3)若直线l与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求l的方程．
【变式8-1】（24-25 高二上·山东·阶段练习）直线l方程为(m+1) x + y −2m−3=0(m∈R)．
(1)证明：无论m为何值，直线l过定点；
(2)已知O是坐标原点，若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，
求△AOB的周长及此时直线l的方程．
【变式8-2】（24-25 高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线l经过点P(−1,2).
(1)若l不过原点且在两坐标轴上截距和为零，求l的方程；
(2)设l的斜率k >0,l与两坐标轴的交点分别为A 和B，当△AOB的面积最小时，求l的斜截式方程.
【变式8-3】（24-25 高二上·福建·期中）已知直线l过点A (−3,2)，且l的一个法向量是(4,3).
(1)求直线l的方程；
(2)若直线l与y轴交于点C，将直线AC绕着点A逆时针旋转90
∘，点C所对应的点为D，求直线AD的方
程；
(3)在（2）的条件下，求∠CAD的角平分线所在的直线方程.
一、单选题
1．（2025·天津红桥·模拟预测）直线y = x +1的倾斜角为（ ）
A．π
4
B．π
3
C．π
2
D．3π
4
2．（2025·四川眉山·三模）已知点A (4,2❑√3),B(1,❑√3)，若向量⃗AB
是直线l的方向向量，则直线l的倾斜
角为（ ）
A．30
∘
B．60
∘
C．120
∘
D．150
∘
3．（2025·江西新余·一模）已知直线l的方程为y =(−a
2+1) x +b，则直线l的倾斜角的取值范围为（ ）
A．[0,π
4 )
B．[
π
4 ,π
2 )
C．[
π
4 ,π
2 )∪(
π
2 ,π)
D．[0,π
4 )∪(
π
2 ,π)
4．（2025·吉林长春·一模）直线x +2 y −4 =0与直线3 x + y −9=0所成角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
5．（2025·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线l1、l2、l3、l4中，斜率最小的是（ ）
A．l1
B．l2
C．l3
D．l4
6．（2025·安徽马鞍山·一模）设点A (2,1)，B (−2,3)，若直线ax + y +1=0与线段AB没有公共点，则实数
a 的取值范围为（ ）
A．(−∞,−1)
B．(−2,1)
C．(−1,2)
D．(1,+∞)
7．（2024·山东·二模）已知直线l与直线x−y =0平行，且在y轴上的截距是−2，则直线l的方程是（ ）
A．x−y +2=0
B．x−2 y + 4 =0
C．x−y −2=0
D．x +2 y −4 =0
8．（2025 高二上·全国·专题练习）已知直线kx−y +2=0和以M (3,−2)，N (2,5)为端点的线段相交，则
实数k 的取值范围为（ ）
A．(−∞,−4
3)
B．[
3
2 ,+∞)
C．[−4
3 , 3
2)
D．(−∞, 4
3)∪[
3
2 ,+ ∞)
二、多选题
9．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l 过点(0,2)，(❑√3,1)，则（ ）
A．点C (2,−1)在直线l 上
B．直线l 的两点式方程为y −1
2−1 = x−❑√3
0−❑√3
C．直线l 的一个方向向量的坐标为(1,−❑√3)
D．直线l 的截距式方程为
x
2❑√3 + y
2 =1
10．（2025·河南·模拟预测）已知△OAB为等腰直角三角形，O为坐标原点，点A在第一象限，点B在第四
象限，∠AOB =π
2
，若直线OA ,OB , AB的斜率都存在，记直线OA ,OB , AB的斜率分别为k1,k2,k3，则
k1,k2,k3的关系可能为（ ）
A．k1>k2>k3
B．k3>k1>k2
C．k1>k3>k2
D．k3>k2>k1
11．（2025·河北·模拟预测）已知正方形ABCD 在平面直角坐标系中，且AC : x +2 y −5=0，则直线AB的
方程可能为（ ）
A．3 x−y +1=0 B．3 x + y +1=0
C．x−3 y +1=0 D．x +3 y +1=0
三、填空题
12．（2025·陕西汉中·三模）若直线l过点(−1,1)，且其一个方向向量为⃗m=(1,1)，则直线l的方程为
.
13．（2024·上海青浦·二模）已知直线l1的倾斜角比直线l2: y = x tan 80°的倾斜角小20°，则l1的斜率为
．
14．（2025·湖南长沙·三模）过点A(1,4)，且在x轴、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有
条．
四、解答题
15．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知平面直角坐标系内两点M (m+3,3m+5)，N (2m−1,1)．
(1)当直线MN的倾斜角为锐角时，求m的取值范围；
(2)若直线MN的一个方向向量为⃗a=(1,−2025)，求m的值．
16．（24-25 高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点A (−4,3)，B (3,2)，过点P(0,−1)的直线l 与线段AB
有公共点.
(1)求直线l 的斜率k 的取值范围.
(2)求直线l 的倾斜角的取值范围.
17．（2025 高二·全国·专题练习）求适合下列条件的直线方程：
(1)过点(2,1)且在两坐标轴上的截距相等；
(2)过点(2,1)且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形．
18．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l的方程为(2m+1) x +(m+1) y −7m−4 =0．
(1)求证：不论m为何值，直线l必过定点M；
(2)过点M的直线l1交坐标轴正半轴于A ,B两点，当△AOB面积最小时，求△AOB的周长．
19．（25-26 高二上·全国·单元测试）已知直线l过点(1,2)，且直线l的倾斜角比直线❑√3 x−3 y +1=0的倾
斜角大π
12
．
(1)求直线l的方程；
(2)若点M (x1, y1)在直线l上，且x1∈[−2,1)，求y1+2
x1−1
的取值范围．
