文档文本内容
第01 讲 集合
易错分析
易错点一 忽视集合中元素的互异性
易错点二 忽视对空集的讨论
易错点三 端点值的取舍判断不清
题型方法
题型一 判断元素与集合、集合与集合的关系
题型二 集合的交、并、补运算
题型三 参数取值（范围）问题
题型四 容斥原理
题型五 新定义问题
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：____________、____________、____________.
(2)元素与集合的关系是________或________，用符号______或________表示．
(3)集合的表示法：__________、____________、____________.
(4)常见数集的记法
2.集合的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A 中____________都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合B 的子
集，记作________(或B⊇A)．
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且________，就称集合A 是集合B 的真子集，记作________(或
BA)．
(3)相等：若A⊆B，且________，则A＝B.
(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是________________的子集，是________________________的真
子集．
3．集合的基本运算
常用结论
1．若集合A 有n(n≥1)个元素，则集合A 有2n个子集，2n－1 个真子集．
2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.
4．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．
题型梳理
知识清单
【易错点一】忽视集合中元素的互异性
【例1】（2023·全国乙卷·高考真题）已知等差数列
的公差为
，集合
，若
，则
（ ）
A．－1
B．
C．0
D．
【举一反三】
【变式1】（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．0 或1
【变式2】（2024·浙江温州·模拟预测）集合
,则以下可以是
的表达式的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·甘肃庆阳·二模）已知集合
，且
，则实数
的值为 ．
【易错点二】忽视对空集的讨论
【例1】（2025·辽宁本溪·模拟预测）已知集合
若
，则a 的取
值构成的集合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】
【变式1】（2024·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·江苏常州·三模）集合
，
，若
，则实数
m 的取值范围为 ．
易错分析
【变式3】（2024·安徽·模拟预测）已知
，
，若
，则
的取值范围为
．
【易错点三】端点值的取舍判断不清
【例1】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，若
，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【举一反三】
【变式1】（2025·河南·二模）已知集合
，
，若
，则a 的取值范围为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知集合
，若
，则实数a 的取值范
围是 ．
【变式3】（2024·贵州·三模）已知集合
，若
，则实数
的取值范围
为 .
【题型一】判断元素与集合、集合与集合的关系
【例1】（2022·全国乙卷·高考真题）设全集
，集合M 满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所
满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．
【举一反三】
【变式1】（2025·重庆·二模）已知全集
，集合
满足
，则（ ）
题型方法
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·甘肃白银·三模）已知集合
，集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（2025·江西·模拟预测）已知集合
，则
的真子集个数为 ．
【题型二】集合的交、并、补运算
【例2】（2023·全国甲卷·高考真题）设全集
,集合
，
（ ）
A．
B．
C．
D．
解题技巧
对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn 图表示；如果集合中的元素是连续
的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
【举一反三】
【变式1】（2025·广东·模拟预测）已知集合
，
，则如图所示的阴影部分表示的集
合为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2024·天津·三模）已知全集
，集合
，集合
，则
，
．
【变式3】（2021·江西·模拟预测）设全集
，集合
，
.
(1)当
时，求
；
(2)若
，求实数
的取值范围.
【题型三】参数取值（范围）问题
【例3】（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）设集合
，
，若
，则
（ ）．
A．2
B．1
C．
D．
【举一反三】
【变式1】（2025·江苏南京·一模）设集合
.若
，则实数
的取值范围是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（2025·河南·模拟预测）已知集合
，非空集合
，若
，则
的取
值范围是 ．
【变式3】（2024·辽宁·模拟预测）已知集合
，
，若
，则a 的
值为 .
【题型四】容斥原理
【例4】（2020·山东·高考真题）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜
欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62%
B．56%
C．46%
D．42%
【举一反三】
【变式1】（2023·四川雅安·一模）设
表示有限集合A 中元素的个数.则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式2】（2025·江苏·一模）我市某校共有1500 名学生在学校用午餐，每次午餐只能选择在楼上或楼下的一个食堂
用餐，经统计，当天在楼上食堂用午餐的学生中，有
的学生第二天会到楼下食堂用午餐：而当天在楼下食堂用午
餐的学生中，有
的学生第二天会到楼上食堂用楼午餐，则一学期后，在楼上食堂用午餐的学生数大约为（ ）
A．700
B．800
C．900
D．1000
【变式3】（2021·江西·模拟预测）2021 年是中国共产党成立100 周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党
史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国
大典》三支短视频，某大学社团有50 人，观看了《青春之歌》的有21 人，观看了《建党伟业》的有23 人，观看了
《开国大典》的有26 人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4 人，只观看了《建党伟业》和《开国大
典》的有7 人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6 人，三支短视频全观看了的有3 人，则没有观看任何一
支短视频的人数为 .
【题型五】新定义问题
【例5】（2020·浙江·高考真题）设集合S，T，S
N*，T
N*，S，T 中至少有两个元素，且S，T 满足：
①对于任意x，y
S，若x≠y，都有xy
T
②对于任意x，y
T，若x<y，则
S；
下列命题正确的是（ ）
A．若S 有4 个元素，则S∪T 有7 个元素
B．若S 有4 个元素，则S∪T 有6 个元素
C．若S 有3 个元素，则S∪T 有5 个元素
D．若S 有3 个元素，则S∪T 有4 个元素
解题技巧
解决集合新定义问题的关键
解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目所给定义和要求进行恰
当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
【举一反三】
【变式1】（2025·北京·模拟预测）集合
的所有三个元素的子集记为
记
为集合
中的最大元素，则
（ ）
A．10
B．40
C．45
D．50
【变式2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）
，若定义
，则
中的元素有 个．
【变式3】（2025·北京海淀·二模）记
表示有穷集合
的元素个数．已知
是正整数，集合
．若集
合序列
满足下列三个性质，则称
是“平衡序列”：
①
，其中
；
②
⫋，其中
；
③对于中的任意两个不同元素
，都存在唯一的
，使得
．
(1)设
，判断下列两个集合序列是否是“平衡序列”？（结论不要求证明）
(2)已知
且集合序列
是“平衡序列”，对于
，定义：
证明：
（i）当
时，
；
（ii）
．
一、单选题
1．（2024·全国甲卷·高考真题）已知集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·河北沧州·模拟预测）已知集合
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·河南·模拟预测）已知集合
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
4．（2025·北京·二模）已知集合
，集合
，那么（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
5．（2024·广东·模拟预测）已知全集
，集合
，若
有4 个子集，且
，则（ ）
A．
B．集合
有3 个真子集
C．
D．
6．（2024·江西·模拟预测）设集合
，
，若
，则
的值可以为（ ）
A．1
B．0
C．
D．
三、填空题
好题必刷
7．（2025·河北衡水·模拟预测）设集合
，
，若
，则
.
8．（2024·天津和平·二模）设集合
，
，
，则
．
9．（2022·江西九江·模拟预测）学校运动会，某班所有同学都参加了羽毛球或乒乓球比赛，已知该班共有23 人参加
羽毛球赛，35 人参加乒乓球赛，既参加羽毛球又参加乒乓球赛有6 人，则该班学生数为 ．
四、解答题
10．（2020·江西·模拟预测）已知集合
，且
.
（1）求a；
（2）写出集合A 的所有子集.
11．（2025·山东临沂·二模）对集合
，定义集合
，记
为有限集合
的元素
个数．
(1)若
，求
；
(2)给定集合
的子集
，求集合
的元素个数；
(3)设
为有限集合，证明：
．
12．（2024·宁夏·模拟预测）已知集合
.
(1)若
，且
是
的必要不充分条件，求
的取值范围；
(2)若函数
的定义域为
，且
，求
的取值范围.
