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第07 讲 离散型随机变量及其分布列、数字特征
目录
01 常考题型过关练
题型01 离散型随机变量分布列
题型02 离散型随机变量分布列
题型03 离散型随机变量的均值
题型04 离散型随机变量的方差
题型05 均值与方差的应用
02 核心突破提升练
03 真题溯源通关练
01 离散型随机变量分布列
1．设
为随机变量，从棱长为1 的正方体的12 条棱中任取2 条，当它们相交时，
；当它们平行时，
的值为它们之间的距离；当它们异面时，
.求随机变量
的分布列.
2．某商场做促销活动，凡是一家三口一起来商场购物的家庭，均可参加返现活动，活动规则如下：商家
在箱中装入20 个大小相同的球，其中6 个是红球，其余都是黑球；每个家庭只能参加一次活动，参加活动
的三口人，每人从中任取1 个球，只能取一次，且每人取球后均放回；若取到黑球则获得4 元返现金，若
取到红球则获得12 元返现金．若某家庭参与了该活动．
(1)若该家庭获得的返现金额为X（单位：元），求
的值；
(2)求该家庭获得的返现金额X 的分布列．
3．某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学”三个社团，据资料统计，新生通
过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．某新生通过考核选拔进入“摄影”“棋类”“国学”三个
社团的概率依次为m，
，n，三个社团他都能进入的概率为
，至少能进入一个社团的概率为
，且
．
(1)求m 与n 的值；
(2)该校规定，对进入“摄影”社的学生增加校本选修学分1 分，对进入“棋类”社的学生增加校本选修学
分2 分，对进入“国学”社的学生增加校本选修学分3 分，求该新生在社团方面获得校本选修学分的分布
列．
4．在临床上，
病毒的感染十分常见.假设某人感染
病毒的概率为
.若感染
病毒，检测结果呈阳
性的概率为
；若未感染
病毒，检测结果呈阴性的概率为
.检测结果相互独立.
(1)求某人
病毒检测结果呈阴性的概率；
(2)现有4 人参加此项
病毒检测，用
，
分别表示这4 个人中
病毒检测结果呈阳性和阴性的人数，
记
，求随机变量
的分布列及均值.
5．某人参加射击比赛，他击中目标的概率是
．
(1)设
为他射击6 次击中目标的次数，求随机变量
的分布列；
(2)若他只有6 颗子弹，且当他击中目标时，就不再射击；当他未击中目标时，就继续射击，直至子弹打
完，求他射击次数
的分布列；
(3)设
为他第一次击中目标时所需要射击的次数，求
的分布列．
02 离散型随机变量分布列性质
6．设正数
，随机变量
的分布列，若随机变量
的期望为1，则
最小值为（ ）
0
A．1
B．
C．2
D．4
7．已知随机变量
的分布列如下所示，且
，则
（ ）
1
2
3
A．
B．
C．
D．
8．随机变量
的分布列是．若
，则
（ ）
1
2
A．2
B．3
C．4
D．5
9．设随机变量
的分布列为
分别为随机变量
的数学期望与
方差，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
10．若随机变量
的分布列如下表所示，则
（ ）
0
1
A．
B．2
C．
D．
11．
某次国际象棋比赛规定，胜一局得3 分，平一局得1 分，负一局得0 分，某参赛队员比赛一
局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为
，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
03 离散型随机变量的均值
12．在两个大小相同，距离不同的区域内进行投掷沙包的比赛，每人至多投3 次．具体比赛规则如下：在
距离较远的区域内投一次特制沙包，投进得5 分，没投进不得分；在距离较近的区域内投两次普通沙包，
每投进一次得3 分，没投进不得分，且得分高于5 分则获得相应奖励，若前两次均投进或均未投进，都停
止比赛．已知甲同学在距离较远的区域内投中沙包的概率是
，在距离较近的区域内投中沙包的概率是
，且每次是否投进互不影响．
(1)若甲同学先投特制沙包，求他投掷2 次就停止该项比赛的概率；
(2)为使获得奖励的概率最大，甲同学应先投哪种沙包；
(3)为使投中沙包累计得分的期望最大，甲同学应先投哪种沙包．
13．某校为了更好地践行“共创体育梦想，团结可达天下”的体育理念，特举办了相关知识竞赛活动．已
知有
两类问题可供选择，其中
类问题答对得5 分，答错得0 分，
类问题答对得10 分，但答错扣2
分．每位参赛的选手需从这两类题中共抽出3 个问题并作答（每个题抽取后不放回，且每次答题互不影
响），且要求从
类题中至少抽1 道．设选手甲答对
类每个问题的概率分别为
．
(1)求选手甲共答对3 道题的概率；
(2)若选手甲第1 道题是从
类题中抽出并回答正确，记选手甲的累计得分为
，则要使
最大，选手
甲应该如何选择剩余的2 道题？
14．某中医研究所研制了一种治疗
疾病的中药，为了解其对
疾病的作用，要进行双盲试验．把60 名患
有
疾病的志愿者随机平均分成两组，甲组正常使用这种中药，乙组用安慰剂代替中药，全部疗期结束
后，统计得甲、乙两组的康复人数分别为20 和5．
(1)根据所给数据，完成下面
列联表，并判断是否有
的把握认为使用这种中药与
疾病康复有关
联．
组别
康复情况
康复
未康复
总计
甲组
20
30
乙组
5
30
总计
(2)若将乙组未用药（用安慰剂代替中药）而康复的频率视为这种疾病的自愈概率，现从患有
疾病的人群
中随机抽取3 人，记其中能自愈的人数为
，求
的分布列和均值．
15．欲从A，B 两个频道中选出一个优选频道作为校园之声广播，现对这两个频道轮流播放进行测试，每
次播放一个频道.已知A 频道每次播放成功的概率为
，B 频道每次播放成功的概率为
，且每次播放互不
影响.
约定1：任选一个频道进行播放，若播放成功，便成为优选频道；
约定2：从A 频道开始播放，先成功播放的频道为优选频道，当决定出优选频道或两频道都播放3 次均失
败，结束测试.
(1)按照约定1，求在播放一次就成功的条件下，A 频道成为优选频道的概率；
(2)按照约定2，
（i）两个频道共播放不超过4 次时，求A 频道成为优选频道的概率；
（ii）测试结束时，求B 频道播放次数
的分布列与数学期望.
16．某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动.现有4 名男教师，2 名女教师报
名，本周随机选取2 人参加.
(1)记参加活动的女教师人数为X，求X 的分布列及期望
；
(2)若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2 项活动，且选择参加1
项或2 项的可能性均为
，每名男教师至少从中选择参加2 项活动，且选择参加2 项或3 项的可能性也均
为
，每人每参加1 项活动可获得“体育明星”积分3 分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取
的两人得分之和为Y，求Y 的期望
.
04 离散型随机变量的方差
17．商品的价格指数是用于衡量该商品价格随时间变化的相对指标，它可以帮助分析该商品的通胀或通缩
趋势、市场供需变化和成本波动.下表是2024 年某地区每个月苹果的价格指数：
月
份
1 月
2 月
3 月
4 月
5 月
6 月
7 月
8 月
9 月
10 月
11 月
12 月
指
数
151
152
149
146
151
147
151
154
152
151
152
153
(1)若从2024 年随机抽取1 个月，求该月苹果的价格指数大于150 的概率；
(2)若从2024 年1~6 月随机抽取3 个月，从7~12 月随机抽取1 个月，记
为随机抽取到苹果的价格指数大
于150 的月份的个数，求
的分布列和数学期望；
(3)若从2024 年1~4 月、5~8 月、9~12 月各随机抽取1 个月，分别记
、
、
为这个月苹果的价格指
数大于150 的月份的个数，则
、
、
中哪个最大?（结论不要求证明）
18．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随
机调查了
名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
第二款
第三款
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取人，记
为这人中愿意购买第二款新品的人数，求
的分布
列和数学期望
；
(3)用“
”表示顾客愿意购买第款新品，“
”表示顾客不愿意购买第款新
品．写出方差
、
、
的大小关系并说明理由．
19．某甜品店打算推出三款新品，在前期市场调研时，将顾客按照年龄分为青少年组中年组和老年组，随
机调查了200 名顾客对这三款新品的购买意愿，统计数据如下（单位：人）：
青少年组
中年组
老年组
愿意
不愿意
愿意
不愿意
愿意
不愿意
第一款
40
20
80
20
20
20
第二款
30
30
60
40
30
10
第三款
50
10
80
20
10
30
假设顾客的购买意愿相互独立.用频率估计概率.
(1)从顾客中随机抽取1 人，估计该名顾客愿意购买第一款新品的概率；
(2)从三个不同年龄组的顾客中各随机抽取1 人，记
为这3 人中愿意购买第二款新品的人数，求
的分布
列和数学期望
；
(3)用“
”表示顾客愿意购买第款新品，“
”表示顾客不愿意购买第款新
品．直接写出方差
的大小关系．
20．在一次知识竞赛中，参赛选手应从8 个不同的题目中随机抽取3 个题目进行作答.已知这8 个题目中，
选手甲只能正确作答其中的6 个，而选手乙正确作答每个题目的概率均为
，且甲、乙两位选手对每个
题目作答都是相互独立的.
(1)记选手甲正确作答的题目的个数为
，乙正确作答的题目个数为
，求
，
概率分布；
(2)结合你所学过的概率知识说明：甲乙两名选手谁更优秀.
21．某工厂有甲、乙两个车间生产同一种零件，下表记录了随机抽取的上一年的10 个工作日两个车间生产
的零件个数：
甲车间
62
63
43
74
73
70
59
70
43
66
乙车间
39
45
50
36
23
20
23
38
51
39
(1)从记录的这10 个工作日中随机抽取1 天，求甲车间生产的零件个数小于50 的概率；
(2)用频率估计概率，若从未来的工作日里随机抽取3 天（假设每次抽取的结果互不影响），记X 为乙车间
生产零件的个数超过甲车间的天数，求X 的分布列和数学期望；
(3)从记录的这10 个工作日中随机抽取1 天，用“ξ=0”表示甲车间生产的零件个数在区间[40，a）内，用
“ξ=1”表示甲车间生产的零件个数在区间[a，80]内.请写出一个实数a 的值使得方差D(ξ)取到最大值.（结论
不需要证明）
05 均值与方差的应用
22．习近平总书记指出，人工智能是引领新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力，正深刻改变着人们的
生产、生活、学习方式，推动人类社会迎来人机协同、跨界融合、共创分享的智能时代.随着中国人工智能
行业市场规模的不断扩大，各行各业人工智能应用渗透度也在不断提升，下图是2021-2023 年中国人工智
能在互联网、电信、政务、金融、制造业、交通、服务、教育等8 个行业的渗透度的变化情况：
(1)从上图2021 年8 个行业中随机抽取3 个，求其中恰有一个行业人工智能渗透度不低于
的概率；
(2)从上图2022 年和2023 年8 个行业中各随机抽取1 个，设其中人工智能渗透度高于
的行业个数为
，求
的分布列及数学期望；
(3)从上图2023 年8 个行业中随机抽取1 个，用“
”表示人工智能行业渗透度在区间
内，用
“
”表示人工智能行业渗透度在区间
内，若方差
取得最大值，请写出实数
的取值范
围.（结论不要求证明）
23．某校将开展“古诗词””知识竞赛，经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中产
生．现准备了
个不同问题进行测试，甲、乙两名学生都能正确回答其中的
个问题，且甲、乙两名学生
对每个问题回答正确与否都相互独立．评委会设计了两种测试方案：
方案一：从装有
个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取
个问题作答；
方案二：从装有
个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取
个问题作答．
假设甲同学选择方案一，乙同学选择方案二．
(1)求乙同学答对问题个数的分布列和均值；
(2)若测试过程中答对个问题得
分，答错扣分．你认为哪位学生得分高？哪位学生发挥更稳定？请说明
理由．
24．高黎贡山国家级自然保护区位于云南省保山市，被誉为“世界自然博物馆”及“动植物物种基因
库”．经过几十年的发展，某种濒临灭绝动物数量有大幅度的增加．已知这种动物
拥有两个亚种（分别
记为
种和
种）．为了调查该区域中这两个亚种的数目，某动物研究小组计划在该区域中捕捉100 个动
物
，统计其中
种的数目后，将捕获的动物全部放回，作为一次试验结果．重复进行这个试验共20 次，
记第次试验中
种的数目为随机变量
．设该区域中
种的数目为
，
种的数目为
均大于100 ，每一次试验均相互独立．
(1)求
的分布列；
(2)记随机变量
．定义
，且
．证明：
．
25．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜
负），且每一局甲赢的概率都是
，随机变量
表示最终的比赛局数．
(1)求随机变量
的分布列和期望
；
(2)若
，设随机变量
的方差为
，求证：
．
26．在某诗词大会的“个人追逐赛”环节中，参赛选手应从10 个不同的题目中随机抽取3 个题目进行作
答.已知这10 个题目中，选手甲只能正确作答其中的7 个，选手乙正确作答每个题目的概率均为0.7，而且
甲、乙两位选手对每个题目作答都是相互独立的.
(1)求选手乙正确作答2 个题目的概率；
(2)求选手甲正确作答的题目个数的概率分布列和数学期望；
(3)从期望和方差的角度分析，你认为甲、乙两位选手谁晋级的可能性更大？请说明理由.
27．为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000 位顾客进行奖励． 规定：每位顾客从一个装有4
个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2 个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
(1) 若袋中所装的4 个球中有1 个所标的面值为50 元，其余3 个均为10 元，求①顾客所获的奖励额为60
的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；
(2) 商场对奖励总额的预算是6000 元，并规定袋中的4 个球只能由标有面值为10 元和50 元的两种球组
成，或标有面值20 元和40 元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾
客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4 个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由
1．（2025·江西新余·模拟预测）某高校为了丰富大学生的业余生活，每年定期举行乒乓球比赛.通过资格赛
和淘汰赛，该高校的李猛和张明进入决赛，决赛采用五局三胜制，即选手率先获得三局胜利时，比赛结束
并获得冠军.根据以往李猛和张明的比赛胜负数据分析，李猛每局获胜的概率为
，张明每局获胜的概率为
，每局比赛相互独立.
(1)求四局结束比赛的概率；
(2)此次决赛设总奖金10 万元，若决赛结果为3:0，则冠军奖金为8 万元，亚军奖金为2 万元；若决赛结果
为3:1，则冠军奖金为7 万元，亚军奖金为3 万元；若决赛结果为3:2，则冠军奖金为6 万元，亚军奖金为4
万元.求李猛此次决赛获得奖金数
的分布列和数学期望.
2．（2025·河北保定·模拟预测）把一颗质地均匀，四个面上分别标有复数、
、、
（为虚数单位）
的正四面体玩具连续抛掷两次，第一次出现底面朝下的复数记为
，第二次出现底面朝下的复数记为
．
(1)用
表示“
”这一事件，求事件
的概率
；
(2)设复数
的实部为
，求
的分布列及数学期望．
3．（2025·上海黄浦·三模）甲、乙、丙三人进行投篮比赛，共比赛10 场，规定每场比赛分数最高者获
胜，三人得分（单位：分）情况统计如下：
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
8
10
10
7
12
8
8
10
10
13
乙
9
13
8
12
14
11
7
9
12
10
丙
12
11
9
11
11
9
9
8
9
11
(1)从上述10 场比赛中随机选择一场，求甲获胜的概率；
(2)在上述10 场比赛中，从甲得分不低于10 分的场次中随机选择两场，设
表示乙得分大于丙得分的场
数，求
的分布列和数学期望
；
(3)假设每场比赛获胜者唯一，且各场相互独立，用上述10 场比赛中每人获胜的频率估计其获胜的概率.
甲、乙、丙三人接下来又将进行6 场投篮比赛，设
为甲获胜的场数，
为乙获胜的场数，
为丙获胜的
场数，写出方差
，
，
的大小关系，并说明理由.
4．（2025·河南周口·二模）小林、小张、小陈、小王4 位同学参加校园文化知识竞赛活动，每位同学只回
答一个问题，且小林、小张、小陈、小王答对的概率分别为
，
，
，
，每位同学答对与否相互独立.
(1)在小林答对的情况下，求恰有3 位同学答对题目的概率；
(2)若答对题目得2 分，答错题目得0 分，X 表示4 位同学得分之和，求X 的数学期望.
5．（2024·北京丰台·一模）某医学小组为了比较白鼠注射A，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20
只健康白鼠做试验．将这20 只白鼠随机分成两组，每组10 只，其中第1 组注射药物A，第2 组注射药物
B．试验结果如下表所示．
疱疹面积（单位：
）
第1 组（只）
3
4
1
2
0
第2 组（只）
1
3
2
3
1
(1)现分别从第1 组，第2 组的白鼠中各随机选取1 只，求被选出的2 只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的
概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3 只抽血化验，求第2 组中被抽中白鼠只数
的分布列和数学期望
；
(3)用“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内，“
”表示第
组白鼠注射
药物后皮肤疱疹面积在
区间内（
），写出方差
，
的大小关系．（结论不要求证
明）
6．（2025·广东中山·一模）某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从6 道备选题中一次性随机
抽取3 道题，按题目要求独立完成.规定：至少正确完成其中2 道题的便可通过.已知6 道备选题中应聘者甲
有4 道题能正确完成，2 道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不
影响.
(1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的分布列及数学期望；
(2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面试通过的可能性大？
7．（2024·湖南·二模）猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名，该游戏中有A，B，C 三首歌
曲.嘉宾甲参加猜歌名游戏，需从三首歌曲中各随机选一首，自主选择猜歌顺序，只有猜对当前歌曲的歌名
才有资格猜下一首，并且获得本歌曲对应的奖励基金.假设甲猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲
的概率及猜对时获得相应的奖励基金如下表：
歌曲
猜对的概率
0.8
0.5
0.5
获得的奖励基金金额/元
1000
2000
3000
(1)求甲按“
”的顺序猜歌名，至少猜对两首歌名的概率；
(2)甲决定按“
”或者“
”两种顺序猜歌名，请你计算两种猜歌顺序嘉宾甲获得奖励基金的期
望；为了得到更多的奖励基金，请你给出合理的选择建议，并说明理由.
1．已知随机变量X 的分布为
，则期望
．
2．某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1000 份，
记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数
0
1
2
3
4
单数
假设：一份保单的保费为0.4 万元；前3 次索赔时，保险公司每次赔偿0.8 万元；第四次索赔时，保险公司
赔偿0.6 万元.假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.
(1)估计一份保单索赔次数不少于2 的概率；
(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.
（i）记
为一份保单的毛利润，估计
的数学期望
；
（ⅱ）如果无索赔的保单的保费减少
，有索赔的保单的保费增加
，试比较这种情况下一份保单毛
利润的数学期望估计值与（i）中
估计值的大小．（结论不要求证明）
3．在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到
以上（含
）的同学
将获得优秀奖．为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如
下数据（单位：m）：
甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25；
乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23；
丙：9.85，9.65，9.20，9.16．
假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立．
(1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率；
(2)设X 是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，估计X 的数学期望E（X）；
(3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明）
