专题8.7 抛物线（举一反三讲义）
【全国通用】
【题型1 抛物线的定义及其应用】..........................................................................................................................3
【题型2 抛物线的标准方程】..................................................................................................................................4
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】..............................................................................................................4
【题型4 抛物线的轨迹方程】..................................................................................................................................5
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】.....................................................................................................5
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】.................................................................................6
【题型7 抛物线的焦半径公式】..............................................................................................................................6
【题型8 抛物线的几何性质】..................................................................................................................................7
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】.............................................................................................7
【题型10 抛物线的实际应用】................................................................................................................................8
1、抛物线
考点要求
真题统计
考情分析
(1)掌握抛物线的定义、几何
图形、标准方程
(2)掌握抛物线的简单几何性
质(范围 、对称性、顶点、
离心率)
(3)了解抛物线的简单应用
2023 年新高考Ⅱ卷：第10
题，5 分
2023 年全国乙卷（文数）：第
13 题，5 分
2023 年北京卷：第6 题，4 分
2024 年新高考Ⅱ卷：第10
题，6 分
2024 年北京卷：第11 题，5 分
2025 年全国一卷：第10 题，6
分
2025 年全国二卷：第6 题，5
分
2025 年北京卷：第11 题，5 分
2025 年天津卷：第9 题，5 分
抛物线的方程及其性质是圆锥曲线
中的重要内容，抛物线及其性质是高考
数学的热点问题.从近几年的高考情况来
看，主要考查抛物线的定义、标准方
程、几何性质、面积问题等内容，在选
择、填空、解答题都可能出现，解题思
路和解题步骤相对固定，强调通性通
法，选择、填空题中难度不大，解答题
中难度偏大，一般以第一小问考查抛物
线的方程或轨迹问题，需要灵活求解.
知识点
1 抛物线的方程及其性质
1．抛物线的定义
(1)定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l(l 不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线.点F 叫作抛
物线的焦点，直线l 叫作抛物线的准线.
(2)集合语言表示
设点M(x,y)是抛物线上任意一点，点M 到直线l 的距离为d，则抛物线就是点的集合P={M||MF|=d}.
2．抛物线的标准方程与几何性质
标准方程
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
图形
顶点
(0,0)
(0,0)
轴
对称轴y=0
对称轴x=0
焦点
准线
离心率
e =1
e=1
开口
开口向右
开口向左
开口向上
开口向下
焦半径
范围
x≥0
x≤0
y≥0
y≤0
3．抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异
抛物线与椭圆、双曲线几何性质的差异：
①它们都是轴对称图形，但椭圆和双曲线又是中心对称图形；
②顶点个数不同，椭圆有4 个顶点，双曲线有2 个顶点，抛物线只有1 个顶点；
③焦点个数不同，椭圆和双曲线各有2 个焦点，抛物线只有1 个焦点；
④离心率取值范围不同，椭圆的离心率范围是0<e<1,双曲线的离心率范围是e>1，抛物线的离心率是e=1；
⑤椭圆和双曲线都有两条准线，而抛物线只有一条准线；
⑥椭圆是封闭式曲线，双曲线和抛物线都是非封闭式曲线.
知识点
2 抛物线标准方程的求解方法
1．抛物线标准方程的求解
待定系数法：求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的
类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
知识点
3 抛物线的焦半径公式
1．焦半径公式
设抛物线上一点P 的坐标为
，焦点为F.
(1)抛物线：
，
；
(2)抛物线：
，
；
(3)抛物线：
，
；
(4)抛物线：
，
.
注：在使用焦半径公式时，首先要明确抛物线的标准方程的形式，不同的标准方程对应于不同的焦半径公
式.
知识点
4 与抛物线有关的最值问题的解题策略
1．与抛物线有关的最值问题的两个转化策略
(1)转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”
“三角形两边之和大于第三边”，使问题得以解决.
(2)转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线
段最短”原理解决.
2．与抛物线有关的最值问题的求解策略
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何
法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值
的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解.
【方法技巧与总结】
1．通径：过焦点与对称轴垂直的弦长等于2p.
2．抛物线
上一点P
到焦点
的距离
，也称为抛物线的焦半
径.
【题型1 抛物线的定义及其应用】
【例1】（2025·重庆·三模）已知A 为抛物线C：x
2=2 py( p＞0)上一点，点A 到C 的焦点的距离为4，
到x 轴的距离为2，则p=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．6
【变式1-1】（2025·吉林·三模）已知抛物线C : y
2=8 x的焦点为F，点P(m,4)在抛物线C上，则|PF)=
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【变式1-2】（2025·陕西安康·三模）已知抛物线x
2=16 y上的点M到焦点F的距离为6，则点M到y轴的
距离为（ ）
A．2❑√2
B．4 ❑√2
C．2
D．4
【变式1-3】（2025·湖南长沙·一模）已知抛物线C : y = x
2
4
的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P 作l
的垂线，垂足为M.若| MF |=| PF |，则| PF |=（ ）
A．2
B．❑√3
C．4
D．2❑√3
【题型2 抛物线的标准方程】
【例2】（25-26 高二上·全国·单元测试）已知抛物线C 关于y 轴对称，顶点在坐标原点，且焦点在直线
x +2 y −6=0上，则抛物线C 的标准方程为（ ）
A．y
2=−12 x
B．x
2=8 y
C．x
2=−12 y
D．x
2=12 y
【变式2-1】（24-25 高二上·天津河西·期末）准线方程为y = 4的抛物线的标准方程是（ ）
A．x
2=8 y
B．x
2=−8 y
C．x
2=16 y
D．x
2=−16 y
【变式2-2】（2025·山西·二模）若点(2,2)在以原点为顶点x 轴为对称轴的抛物线C 上，则C 的方程为
（ ）
A．y
2=2 x
B．y
2= x +2
C．x
2=2 y
D．x
2= y +2
【变式2-3】（2024·宁夏石嘴山·三模）如图，过抛物线y
2=2 px( p>0)的焦点F 的直线l交抛物线于两点
A、B，交其准线于C，AE与准线垂直且垂足为E，若|BC)=2|BF),|AE)=3，则此抛物线的方程为（ ）
A．y
2= 3 x
2
B．y
2=9 x
C．y
2= 9 x
2
D．y
2=3 x
【题型3 抛物线的焦点坐标及准线方程】
【例3】（2025·北京朝阳·二模）若抛物线C : x
2=my(m≠0)的焦点坐标为(0,−1)，则抛物线C 的准线方
程为（ ）
A．x =2
B．x =1
C．y =2
D．y =1
【变式3-1】（2025·安徽·模拟预测）抛物线y = 1
8 x
2的焦点坐标是（ ）
A．(0,2)
B．(0,−2)
C．(−2,0)
D．(2,0)
【变式3-2】（2025·安徽·模拟预测）已知抛物线C :2 x
2+my =0
恰好经过圆M :(x−1)
2+( y +2)
2=1
的圆
心，则C的准线方程为（ ）
A．x = 1
2
B．x =−1
2
C．y = 1
8
D．y =−1
8
【变式3-3】（2025·安徽合肥·三模）已知抛物线C : x
2=2 py( p>0)的焦点为F，第一象限的点
P(x1, y1),Q(x2, y2)在抛物线上，且|PF)=|QF)+3,|PQ)=3 ❑√2．若x1+ x2=6，则抛物线C 的准线方程
为（ ）
A．y =−3
2
B．y =−3
C．y =−1
D．y =−2
【题型4 抛物线的轨迹方程】
【例4】（2025·湖南衡阳·三模）已知点F(2,0)，动圆P过点F，且与x =−2相切，记动圆圆心P点的轨迹
为曲线Γ，则曲线Γ的方程为（ ）
A．y
2=2 x
B．y
2= 4 x
C．y
2=8 x
D．y
2=12 x
【变式4-1】（2025·辽宁沈阳·一模）已知平面直角坐标系中不同的三点A(0,5),B( x ,0),C(0, y)，圆心
在y 轴上的圆E 经过A，B，C 三点，设点M 的坐标为(x , y)，则M 点的轨迹方程为（ ）
A．x
2=5 y( y ≠0)
B．y
2=5 x( x≠0)
C．y
2=−5 x( x≠0)
D．x
2=−5 y( y ≠0)
【变式4-2】（2025·河北邯郸·模拟预测）在平面内，到定点(2,0)的距离比到定直线x =−1的距离大1 的动
点M的轨迹方程是
．
【变式4-3】（2024·宁夏石嘴山·模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知点M (1,0), P为动点，以线段
MP为直径的圆与y轴相切．动点P的轨迹Γ的方程为
.
【题型5 抛物线上的点到定点的距离及最值】
【例5】（2025·全国·模拟预测）已知A 是抛物线C：y
2= 4 x上的点，N (4,0)，则|AN )的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．4
D．2❑√3
【变式5-1】（24-25 高二下·河南洛阳·阶段练习）设O为坐标原点，F为抛物线C：y
2=8 x的焦点，点A在
抛物线C上.若|AF )=5，则|OA)=（ ）
A．6 ❑√6
B．9
C．3
D．❑√33
【变式5-2】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知直线l: x =−5，点P(3,0)，点A(4,1)，动点Q到点P的距
离比到直线l的距离小2，则|QA |+|QP|的最小值为（ ）
A．4
B．6
C．7
D．8
【变式5-3】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知抛物线x
2=2 py ( p>0)，点A (4,4)在抛物线上，点
B (0,3)，若P 点是抛物线上的动点，则|PB)的最小值为( )
A．8
B．2❑√2
C．9
D．3
【题型6 抛物线上的点到定点和焦点距离的和、差最值】
【例6】（2025·海南儋州·模拟预测）已知A(1, 5
4 )，B(0,4)，P 为抛物线y = x
2−2 x +2上一动点，则
|PA)+|PB)的最小值为（ ）
A．9
4
B．11
4
C．13
4
D．5
【变式6-1】（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，M 为C 上的动点，N 为直线
l: x + ❑√3 y +3=0上的动点，设点M 到y 轴的距离为d，则| MN |+d的最小值为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式6-2】（2025·辽宁葫芦岛·一模）已知点P是抛物线y
2= 4 x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与
点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）
A．2❑√2
B．3
C．❑√5
D．9
2
【变式6-3】（2025·江西萍乡·一模）设抛物线C : x
2=16 y的焦点为F，斜率不为0 的直线l 过点A(3,4)，
过F 作l 的垂线，垂足为P，Q 是C 上的一个动点，则| FQ|+| PQ|的最小值为（ ）
A．11
2
B．6
C．13
2
D．7
【题型7 抛物线的焦半径公式】
【例7】（2025·广东佛山·三模）已知抛物线Γ ：y
2＝2 px ( p>0)上的点A的横坐标为4，抛物线Γ的焦点
为F．若|AF )=5，则p的值为（ ）
A．18
B．9
C．4
D．2
【变式7-1】（2025·北京海淀·一模）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，点M(
3
2 , y0)在C上，
|MF)=2，则|y0)=（ ）
A．1
B．❑√2
C．❑√3
D．2
【变式7-2】（2025·安徽蚌埠·三模）设抛物线C : y
2=2 px( p>0)的焦点为F，过C 上一点A 作其准线的
垂线，设垂足为B，若cos∠BAF = 3
5 ,| AF |=10，则p=（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【变式7-3】（2025·四川成都·模拟预测）已知抛物线C : y = 4 x
2的焦点为F , P是抛物线C上的一点，O为
坐标原点，若|PO)=
❑√5
2
，则（ ）
A．p=2
B．|PF )=2
C．准线为y =−1
4
D．|PF)= 17
16
【题型8 抛物线的几何性质】
【例8】（2025·安徽·模拟预测）已知点P在抛物线y
2= 4 x上，则点P到点(4,0)的距离的最小值为（ ）
A．2
B．2❑√2
C．2❑√3
D．4
【变式8-1】（24-25 高二下·重庆·阶段练习）已知x轴上一定点A (a,0)(a>0)，和抛物线y
2=2 px ( p>0)上
的一动点M，若|AM )≥a恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
A．(0, p
2)
B．(0, p)
C．(0, 3 p
2 )
D．(0,2 p)
【变式8-2】（24-25 高三下·河南开封·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C : y
2=8 x , P为x轴正
半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A ,B两点，若∠OAP=120°，则四边形OAPB的周长为
（ ）
A．64 ❑√3
B．64
C．80 ❑√3
D．80
【变式8-3】（24-25 高二下·云南·期中）已知抛物线C : y
2=8 x，其中AC，BD是过拋物线焦点F的两条
互相垂直的弦，直线AC的倾斜角为α，当α = 45°时，如图所示的“蝴蝶形图案（阴影区域）”的面积为
（ ）
A．4
B．8
C．16
D．32
【题型9 抛物线中的三角形（四边形）面积问题】
【例9】（2025·甘肃白银·模拟预测）已知圆E：
(x−2)
2+ y
2=5
与抛物线C：y
2=2 px ( p>0)交于A，B 两
点，且直线AB 过C 的焦点F，点K 与点F 关于原点对称，M 为C 上一点，当△MFK为等腰三角形时，
△MFK面积的最大值为（ ）
A．1
B．2
C．❑√5
D．2❑√3
【变式9-1】（2025·浙江嘉兴·三模）已知抛物线C : y
2= 4 x，其准线为l，焦点为F，过M (3,0)的直线PQ
与l和C从左到右依次相交于A，P，Q三点，且| FQ|=10，则△FAP和△FAQ的面积之比为（ ）
A．1
4
B．1
5
C．1
6
D．1
7
【变式9-2】（2025·福建厦门·一模）过抛物线C：y
2= 4 x的焦点F 的直线l 交C 于A，B 两点，交直线
x =−1于点P，若⃗PA =⃗AB，则△OAF与△OBF的面积之比为（ ）
A．1
4
B．1
2
C．3
4
D．1
【变式9-3】（2025·湖北武汉·二模）已知抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，过F作直线交抛物线C于
A ,B两点，过A ,B分别作准线l的垂线，垂足分别为M , N，若△AFM和△BFN的面积分别为8 和4，则
△MFN的面积为（ ）
A．32
B．16
C．8 ❑√2
D．8
【题型10 抛物线的实际应用】
【例10】（2025·海南海口·一模）世界上第一个太阳灶设计者是法国的穆肖，1860 年他奉拿破仑三世之
命，研究用抛物面镜反射太阳能集中到悬挂的锅上，供驻在非洲的法军使用．目前世界上太阳灶的利用相
当广泛，技术也比较成熟，它不仅可以节约煤炭、电力、天然气，而且十分干净，毫无污染，是一个可望
得到大力推广的太阳能利用装置．如图是某学校数学小组制作了一个太阳灶模型，其口径为1m，高为
0.25m 的抛物面，则其轴截面所在抛物线的顶点到焦点的距离为（ ）
A．0.25
B．0.5
C．1
D．2
【变式10-1】（2025·全国·模拟预测）某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物
线拱形部分的桥面跨度为21.6m，拱顶距水面10.9m，路面厚度约1m．若小组计划用绳子从桥面石栏放下
摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（ ）
A．3m
B．4m
C．5m
D．6m
【变式10-2】（2025·福建莆田·二模）如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶O离水面3m，水面宽
6m．水面上升1m 后，水面宽度是
m．
【变式10-3】（24-25 高二上·陕西渭南·阶段练习）如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而
成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为
80cm 时，灯的深度为50cm．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到88cm，并
且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为
cm．
一、单选题
1．（2025·四川·三模）抛物线C : y
2=2 px ( p>0)的焦点为F，A (2,−4)是抛物线C 上一点，则|AF )=
（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
2．（2025·北京海淀·三模）点M (5,3)到抛物线y =a x
2的准线的距离为6，那么该抛物线的标准方程是
（ ）
A．x
2=12 y
B．x
2= 1
12 y或x
2=−1
36 y
C．x
2=−1
36 y
D．x
2=12 y或x
2=−36 y
3．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知抛物线C的方程为x
2=my，则“抛物线C经过点(4,1)”是“抛物线C
的焦点为(0,2)”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．（2025·福建漳州·模拟预测）已知点N (1,1)，抛物线C：x
2= 4 y的焦点为F，P 是C 上的动点，则
|PN )+|PF)的最小值为（ ）
A．3
2
B．2
C．5
2
D．3
5．（2025·江苏南通·三模）已知抛物线C : x
2= 4 y的焦点为F，准线为l，点A 在C 上，过A 作l 的垂线，
垂足为A1．若∣AF ∣=∣A1 F ∣，则∣AF ∣=（ ）
A．2
B．4
C．6
D．8
6．（2025·北京西城·模拟预测）已知平面直角坐标系中，动点M到F(0,−2)的距离与点M到x轴的距离
的差为2，则M的轨迹方程是（ ）
A．x
2=8 y( y ≥0)或x =0( y <0)
B．y
2=8 x( x ≥0)或y =0( x<0)
C．x
2=−8 y( y ≤0)或x =0( y >0)
D．y
2=−8 x( x ≤0)或y =0( x>0)
7．（2025·海南海口·模拟预测）如图，设抛物线y
2=8 x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点
A，B，C，其中点A，B 在该抛物线上，点C 在y 轴上，若| FA |=9，| FB|= 4，则| AB|
|BC | =（ ）
A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
8．（2025·甘肃白银·三模）如图，抛物线E: y
2= 4 x的焦点为F，过点F且斜率为1 的直线交抛物线E于
A ,B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C , MN ⊥y轴于点N，则四边形CMNF的面积
等于（ ）
A．12
B．8
C．6
D．7
二、多选题
9．（2025·湖北·模拟预测）已知点P在抛物线y
2=12 x上运动，F为抛物线的焦点，点M (4,1)，则
|PM )+|PF)的值可能是（ ）
A．9
B．8
C．7
D．6
10．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线C : y
2= 4 x的焦点为F，点P( x0, y0)在C 上，则（ ）
A．抛物线C 的准线方程为x =2
B．F 的坐标为(1,0)
C．若y0=2，则|PF )=2
D．|PF)≥2
11．（2025·宁夏石嘴山·模拟预测）已知抛物线x
2=2 py( p>0)的焦点为F，A，B 是抛物线上两动点，且
|AF )的最小值为1，M 是线段AB 的中点，P(2,3)是平面内一定点，则（ ）
A．p=2
B．若| AF |+|BF |=8，则M 到x 轴距离为4
C．若⃗AF =2⃗FB，则|⃗AB)= 9
2
D．| AP|+| AF |的最小值为4
三、填空题
12．（2025·广西·模拟预测）若抛物线y
2=2 px( p>0)经过点C (1,−2)，则该抛物线的焦点坐标为
.
13．（2025·湖南·模拟预测）已知抛物线y
2=−4 x上，点A (m,−4)在此抛物线上，F为抛物线的焦点，则
|AF )=
．
14．（2025·辽宁大连·一模）在抛物线 C : y
2=2 px ( p)>0)上有横坐标为 2 的点 A，过A 作 AB 垂直于
C 的准线，垂足为B，记C 的焦点为F ，连接AF ，BF ，若△ABF 的面积为 5
2 ， 则p 的值为
.
四、解答题
15．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：y
2=2 px的焦点为F，抛物线C 上点M (2, y0)满足|MF)=3.
(1)求抛物线C 的方程；
(2)设点D (−1,0)，过D 作直线l 交抛物线C 于A，B 两点，证明：x =1是∠AFB的角平分线.
16．（2025·山东泰安·模拟预测）抛物线C : y
2=2 px ( p>0)，点F为焦点，点M、N是抛物线C上任意不
重合的两点.当直线MN过点F且垂直x轴时，|MN )= 4.
(1)求抛物线C及其准线的方程；
(2)若以线段MN为直径的圆过点F，求△MFN面积的最小值.
17．（2025·云南昭通·模拟预测）过抛物线T : y
2=2 px( p>0)上的点A(x0, y0)的直线l1
，l2
分别交抛物线
T于点B，C．设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，k1k2=−1，当x0=0且点B，C关于x轴对称时，△ABC
的面积为16．
(1)求抛物线T的方程；
(2)当y0=2时，证明：直线BC过定点．
18．（2025·河南信阳·模拟预测）某企业生产的系列玻璃器皿产品成功入选“一带一路十周年·国礼品
牌”．其中某型号高脚杯的轴截面为抛物线C，如图1 所示．往高脚杯中缓慢倒水，当杯中的水深为1cm
时，水面宽度为4cm，如图2 所示．以O 为坐标原点建立平面直角坐标系，P，Q 是抛物线C 上异于点O
的两点，且满足⃗OP⋅⃗OQ =0．
(1)求抛物线C 的方程；
(2)求证：直线PQ 过定点；
(3)过点O 作PQ 的垂线，垂足为H．是否存在一个定点到点H 的距离为定值?如果存在，求出该定点的坐
标；如果不存在，请说明理由．
19．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知F为抛物线C : y
2=2 px的焦点，点P在拋物线C上，且点P的纵坐标
为3，以线段PF为直径的圆与直线x =3相切．
(1)求抛物线C的方程；
(2)直线l交抛物线C于A 、B两点，作PD⊥l于点D，若直线PA 、PB的斜率之和为3，是否存在定点R
，使得|DR)为定值？若存在，求出定点R的坐标；若不存在，请说明理由．
