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专题17 抛物线中的最值问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，若 ， 是抛物线上一动点，则 的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【解析】根据题意,作图如下：
设点P在其准线x=-1上的射影为A,由抛物线的定义得: .
所以要使 取得最小值,只需 最小.
因为 (当且仅当M,P,A三点共线时取“=”),此时点P的纵坐标为1,设其横坐标为x.
0
因为P(x,1)为抛物线 上的点,则有 ，解得： .
0
当P为( ,1)时, 取得最小值2.故选：B．
2．抛物线 上的点P到直线 距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设抛物线 上一点为 ， ，
点 ， 到直线 的距离 ，
当 时，即当 ， 时，抛物线 上一点到直线 的距离最短，为 ，
故选：C3．已知 是抛物线 上三个动点，且 的重心为抛物线的焦点 ，若 ， 两点均在 轴
上方，则 的斜率的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【解析】依题意，设 ， ， ，由 ， 在 轴上方，故 ， ，
因为抛物线为 ，所以 ，
则 ，所以 ，则 ，
注意到 ，故 ，即 ，
又 ，代入可得 ，
故 ，即 ，解得 ，
当且仅当 时，等号成立，因而 .故选：B.
4．已知 是抛物线 上的一个动点，则点 到直线 和 的距离之和的最小
值是（ ）
A．3 B．4 C． D．6
【解析】由 消去 得 ，因为 ，所以方程 无解，即直线 与抛物线无交点；
过点 作 于点 ， 于点 ，记抛物线 的焦点为 ，连接 ，
因为 点 到直线 的距离为 , 为抛物线 的准线，根据抛物的定
义可得， ，则 到直线 和 的距离之和为 ，
若 ， ， 三点不共线，则有 ，
当 ， ， 三点共线，且 位于 之间时， ，则 ，
又 ，所以 ，即所求距离和的最小值为 .
故选： .
5．设抛物线 的准线为 ，定点 ，过准线 上任意一点 作抛物线的切线 ， 为切
点，过原点O作 ，垂足为H．则线段MH长的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为抛物线 的准线为 ，焦点为 ，所以过点 作抛物线的切线 ，设切点 ，
所以 ，则 ，所以直线 的方程分别为 ；
，联立可得 ，所以 ，即 ，
又因为点 在准线 上，则 ， ，
设直线 的方程为： 代入抛物线的方程可得： ，
所以 ，则 ，所以直线 过定点 ，又因为焦点 ， ，所以 点在以
为直径的圆上，又因为 的中点为 ，所以 ，
所以 ，故选：C.
6． ， 是抛物线 上的两个动点， 为坐标原点，当 时， 的最小值为（ ）
A． B．4 C．8 D．64
【解析】设直线 的方程为 ， ， ， 直线 的方程为 ，
由 ，解得 ，即 ，，则 ，
由 ，解得 ，即 ，则 ，
，当且仅当 时取等号，
的最小值为8．故选：C．
7．已知过抛物线 焦点 的直线 交抛物线于M、N两点，则 的最小值为（ ）A． B． C． D．6
【解析】由题意可得焦点 ，且直线 斜率存在，
设直线 的方程为： ， ， ，
由 可得 ，所以 ， ，
由抛物线的定义可得： ， ，
所以 ，
因为 ，所以
当且仅当 即 时等号成立，所以 的最小值为 ，故选：A.
8．直线 与抛物线： 交于 ， 两点， 为坐标原点，直线 ， 的斜率之积为-1，以线段
的中点为圆心， 为半径的圆与直线 交于 ， 两点，则 的最小值为（ ）
A．16 B．20 C．32 D．36
【解析】
设直线 ，联立 则该直线与 交点坐标 ，
直线 ， 的斜率之积为-1，
所以直线 ，则该直线与 交点坐标 ，线段 的中点 ，令 ，则
最小值为16，当 或 时取得最小值.
在 和 中，由余弦定理可得：
，两式相加可得：
其最小值为36，当 或 时取得最小值.故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．已知抛物线C： 的焦点为F，P为C上一点，下列说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为
B．直线 与C相切
C．若 ，则 的最小值为4
D．若 ，则 的周长的最小值为11
【解析】抛物线C： ，即 ， ， ，设 ，
对选项A：抛物线C的准线方程为 ，正确；
对选项B： ，整理得到 ，方程有唯一解，故相切，正确；
对选项C： ， 时取等号，错误；
对选项D：过点 作 垂直于准线于 ， ，当
共线时等号成立，正确.故选：ABD
10．已知抛物线C： 的焦点F到准线l的距离为4，过焦点F的直线与抛物线相交于
， 两点，则下列结论中正确的是（ ）
A．抛物线C的准线l的方程为
B． 的最小值为4
C．若 ，点Q为抛物线C上的动点，则 的最小值为6
D． 的最小值
【解析】由焦点 到准线 的距离为4可得 ，所以抛物线的方程为 ，
A中，由抛物线的方程为 ，所以可得准线方程为 ，故A正确；
中，过焦点的直线为 ，则 ，整理可得 ，
可得 ， ，所以 ， 时取等号，
最小值为8，所以 不正确；
中， 满足 ，可知点 在抛物线内部， 过 作准线的垂线，垂足为 ，则
，
当且仅当 ， ， 三点共线时取等号，所以 的最小值为6，故 正确；中，由B的解析可知： 由抛物线的方程可得： ，
所以 ，当且仅当 时取等号，所以 正确；
故选：ACD．
11．已知点 在抛物线C： 上，过P作圆 的两条切线，分别交C
于A，B两点，且直线AB的斜率为 ，若F为C的焦点， 为C上的动点，N是C的准线与坐标轴
的交点，则（ ）
A． B．
C． 的最大值是 D． 的最大值是
【解析】由题意可知，点 与圆心同在 上，
所以过P所作圆的两条切线关于直线 对称，所以 ．
设 ， ， ，则 ，
同理可得 ， ，则 ，得 ，
所以 ，由 ，得 ．
将 代入抛物线C的方程，得 ，解得 ，故抛物线C的方程为 ，所以A错误，B正
确．设 ，作 垂直准线于 ，如下图所示：
由抛物线的性质可得 ，所以 ，当 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时，θ最大，即 最小．
由题意可得 ，设切线MN的方程为 ，
联立方程组 ，消去x，得 ，由 ，可得 ，
将 代入 ，可得 ，所以 ，即M的坐标为 ，
所以 ， ，所以 的最大值为 ，即C正确，D错误．
故选：BC
12．已知 为坐标原点， 为抛物线 上一点，直线 与 交于 两点，过 作
的切线交于点 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若点 为 ，且直线 与 倾斜角互补，则 或
C．点 在定直线 上
D．设 点为 ，则 的最小值为3【解析】对于选项A，设 ，联立抛物线和直线整理可得 ，
利用韦达定理可知 ，
则 ，
将 代入整理可得 ，即A正确；
对于B，若点 为 ，且直线 与 倾斜角互补，则可知 与 都不重合，即 ；
所以 ，即 ，整理得
整理得 ，解得 或 ；
当 时，直线 过点 ，不合题意；所以 ，即B错误；
对于C，易知直线 恒过定点 ，如下图所示：
不妨设 在第一象限，则 在曲线 上，易得
则在 处的切线方程为 ，又 ,
整理可得，在 处的切线方程为 ，同理则 在曲线 上，易得
则在 处的切线方程为 ，且 ；
所以在 处的切线方程为 ，联立 ，解得 ，即切线交点 的横坐标恒为3；
即点 在定直线 上，所以C正确；
对于D，设 ，则 ，
当且仅当 时， ，即 的最小值为 ，即D错误.
故选：AC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．在平面直角坐标系 中，已知点 ，动点P满足：过点 作直线 的垂线，垂足为 ，且
，则 的最小值为 ．
【解析】设 点坐标为 ，则 ， ，又因为 ，所以 ，
由 ，得 ，所以 ， 是抛物线 上的点，
设 ，则 ,
因为 ，所以当 时， 取最小值，此时 ．
14．已知 是抛物线 的焦点， 为抛物线上的动点，且点 的坐标为 ，则 的最
大值是 .
【解析】 ，由抛物线的定义知 等于 到准线 的距离，
记直线 与准线的夹角为 ，可得 ，①若 斜率不存在，则原式 ，
②若 斜率存在，当PA与抛物线相切时， 最小，
设 的直线方程为 ，联立 得 ，由 得 ，即 ，
故 ，此时
15．已知点P在抛物线 上，P到 的距离是 ，P到 的距离是 ，
则 的最小值为 .
【解析】设 ，因为 ，所以 ，
， ，
，
对称轴为 ，所以当 时， 取得最小值 .
16．已知点 ，动点 在函数 的图像上，动点 在以 为圆心半径为2的圆上，则
的最小值为 .
【解析】根据题意画出图像动点 满足 ，设 ，可得 的轨迹为圆 ，
设 ，且 ，可得 ，
化简可得， ，
所在方程又为 ，令 ，解得 ，此时满足 ，
可得 ，即 ，可得 的最小值为 的最小值，
当 三点共线，且为抛物线的法线时，取得最小值，
设 ， 的导数为 ，可得 ，解得
即 ，即有 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．在平面直角坐标系中， 为坐标原点，直线 ，已知动点 到点 的距离等于点 到直线
的距离，设点 的轨迹为 .
(1)过点 且斜率为2的直线与曲线 交于两个不同的点 、 ，求线段 的长；
(2)求曲线 上的点到直线 的最短距离.
【解析】（1）已知动点 到点 的距离等于点 到直线 的距离，
所以曲线 的轨迹是以点 为焦点，直线 为准线的抛物线，其标准方程为 ①，
因为过点 且斜率为2的直线与曲线 交于两个不同的点 、 ，则直线 的方程为 ②，
联立①②，消去 并整理得 ，设点 ， ，由韦达定理得 ，
此时 ；（2）不妨设点 是抛物线 上的点，则点 到直线 的距离
，
易知当 时， ，故曲线 上的点 到直线 的最短距离为 ．
18．已知抛物线 的焦点为 ，直线 与抛物线 交于点 ，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条互相垂直的弦 ， ，设弦 ， 的中点分别为P，Q，求 的最小
值．
【解析】（1）依题意，设 ．由抛物线的定义得 ，解得： ，
因为 在抛物线 上，所以 ，所以 ，解得： ．
故抛物线 的方程为 ．
（2）由题意可知 ，直线 的斜率存在，且不为0．
设直线 的方程为 ， ， ．
联立 ，整理得： ，
则 ，从而 ．因为 是弦 的中点，所以 ，同理可得 ．
则
，
当且仅当 且 ，即 时等号成立，故 的最小值为8．
19．已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 且垂直于 轴的直线交抛物线于 两点，
．
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ， 是抛物线 上两动点，以 为直径的圆经过点 ，点 ， ， 三点都不重合，求
的最小值
【解析】（1）由题知 ，∴ ，∴ ，抛物线 的方程为 ．
（2）设直线 的方程为 ，设点 ， ，
由方程组 得: ，∴ ，
即 ，且 ， ，
∴ ，
，∵以 为直径的圆经过点 ，∴ ，∴ ，
∴ ，即 ，∴ ，∴ ，
∴ ，∴ 或 ，若 ，
直线 ： 过 点，不合题意，舍去． ，
∴ ．则 ，
所以当 时， 最小，且最小值为11.
20．已知抛物线C： ，F为抛物线C的焦点， 是抛物线C上点，且 ；
(1)求抛物线C的方程；
(2)过平面上一动点 作抛物线C的两条切线PA，PB（其中A，B为切点），求 的最大
值.
【解析】（1）依题意得： ，∴ ，∴ ，
所求抛物线 的方程为 ；
（2）抛物线 的方程为 ，即 ∴ ，
设 ， ， 则切线PA，PB的斜率分别为 ， .
所以切线PA： ，∴ ，又 ， ，
同理可得切线PB的方程为 ，
因为切线PA，PB均过点 ，所以 ， ，
所以 ， 为方程 的两组解.
所以直线AB的方程为 .联立方程 ，消去x整理得 ，
∴ ，∴ .
∴ ， ，由抛物线定义可知 ， ，
所以 ，∵ ，
∴ ，令 ，
∴原式 ，
即原式的最大值 .
21．如图，已知点 是焦点为F的抛物线 上一点，A，B是抛物线C上异于P的两
点，且直线PA，PB的倾斜角互补，若直线PA的斜率为 .
(1)求抛物线方程；
(2)证明：直线AB的斜率为定值并求出此定值；
(3)令焦点F到直线AB的距离d，求 的最大值.
【解析】（1）将点 代入抛物线方程可得： ，所以抛物线 ；
（2）证明：设 ，与抛物线方程联立可得：，∴ ，
因为直线PA，PB的倾斜角互补，用 代k可得：
因此， ，即 .
（3）解：由（2）可知， ， ，
因此 ，
到直线AB的距离 ，所以
∵ ，
∴ ，
令 ，由 ，得
∴
当且仅当 时取等号.所以 的最大值为 .
22．如图，已知椭圆 和抛物线 ，斜率为正的直线 与 轴及椭圆 依次交于 、
、 三点，且线段 的中点 在抛物线 上．(1)求点 的纵坐标的取值范围；
(2)设 是抛物线 上一点，且位于椭圆 的左上方，求点 的横坐标的取值范围，使得 的面积存
在最大值．
【解析】（1）由题意可设直线 的方程为 ，则 ，
联立 可得 ，
，可得 ，①
设点 、 ，由韦达定理可得 ， ，
设点 ，则 ， ，
将点 的坐标代入抛物线 的方程得 ，则 ，
代入①可得 ，可得 ，解得 ，
因此 .因此，点 的纵坐标的取值范围是 .
（2）解：设点 ，则点 到直线 的距离为 ，
，故 的面积 ，②将 代入②得 ，
令 ，记 ，则 ，则 ，
因为 在 上单调递减，所以，函数 在 内有唯一的极值点，且为极大值点，
所以， ，可得 ，③
因为点 在椭圆 的左上方，则 ，④
由③④可得 ，因此，点 的横坐标的取值范围是 .
