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第21 讲 向量的转换与计算
一．选择题（共1 小题）
1．
是抛物线
的焦点，过
作两条斜率都存在且互相垂直的直线
，
，
交
抛物线
于点
，
，
交抛物线
于点
，
，则
的最小值是
A．8
B．
C．16
D．
二．解答题（共14 小题）
2．已知抛物线
的准线为，焦点为
，
的同心在
轴的正半轴上，
且与
轴相切，过原点作倾斜角为
的直线
，交于点
，交
于另一点
，且
．
（Ⅰ）求
和抛物线
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率存在且互相垂直的相交线
、
，设
与抛物线
相交于点
、
，
与抛物线
相交于点
、
，求
的最小值．
3．已知抛物线
过点
．
（1）求抛物线
的标准方程，并求其准线方程；
（2）是否存在平行于
为坐标原点）的直线，使得直线
与的距离等于
？若
存在，求直线的方程，若不存在，说明理由．
（3）过抛物线
的焦点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与抛物线
相交
于点
，
，
与抛物线
相交于点
，
，求
的最小值．
4．已知点
在抛物线
上，点
到抛物线
的焦点
的距离为2，
过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
、
，设
与抛物线相交于点
、
，
与抛
物线相交于点
、
．
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（1）求抛物线
的方程；
（2）求
的最小值．
5．如图，已知直线与抛物线
交于
，
两点，点
的坐标为
，
交
于点
，
，抛物线的焦点为
．
（1）求
的值；（2）记条件（1）所求抛物线为曲线
，过点
作两条斜率存在且互相
垂直的直线
，
，设
与曲线
相交于点
，
，
与曲线
相交于点
，
，求
的最小值．
6．已知平面内一动点
到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与轨迹
相交于点
，
，
与轨迹
相交于点
，
，求
的最小值．
7．已知椭圆
的方程为
，
为左焦点，点
在椭圆上．
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与椭圆
相交于点
，
．
与椭圆
相交于点
．
，求
的最小值．
8．设定点
，动圆
过点
且与直线
相切．
（1）求动圆圆心
的轨迹
的方程；
（2）过点
作两条斜率存在且互相垂直的直线
，
，设
与轨迹
相交于点
，
，
与轨迹
相交于点
，
，求
的最小值．
9．已知椭圆
的两个焦点是
和
，并且经过点
，抛物线的顶点
在
坐标原点，焦点恰好是椭圆
的右顶点
．
（Ⅰ）求椭圆
和抛物线
的标准方程；
（Ⅱ）过点
作两条斜率都存在且互相垂直的直线
、
，
交抛物线
于点
、
，
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交抛物线
于点
、
，求
的最小值．
10．已知两点
及
，点
在以
、
为焦点的椭圆
上，且
、
、
构成等差数列．
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点，与椭圆相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，
请说明理由．
11．如图，已知点
和圆
，
是圆
的直径，从左到右
、
和
依次是
的四等分点，
（异于
，
是圆
上的动点，
，交
于
，
，直线
与
交于
，
为定值．
（1）求点
的轨迹曲线
的方程及
的值；
（2）设
是过原点的直线，直线与
垂直相交于
点，与轨迹
相交于
，
两点，
且
．是否存在直线，使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
12．椭圆的一个顶点为
，焦点在
轴上，若右焦点到直线
的距离为
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）设
是过原点的直线，直线与
垂直相交于点
且与椭圆相交于
、
两点，
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，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
13．如图，已知点
和圆
，
是圆
的直径，从左到右
和
依次
是
的四等分点，
（异于
、
是圆
上的动点，
，交
于
，
，
直线
与
交于
，
为定值．
（1）求
的值及点
的轨迹曲线
的方程；
（2）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点、与轨迹
相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线，使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存
在，请说明理由．
14．已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点
，
为顶点的三角形的周长为
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设
是过原点的直线，是与
垂直相交于
点、与椭圆相交于
，
两点的直线，
，是否存在上述直线使
成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，
请说明理由．
15．如图，已知抛物线
，点
，
，
，
，抛物线上的点
，
，过点
作直线
的垂线，垂足为
．
（Ⅰ）求直线
斜率的取值范围；
（Ⅱ）求
的最大值．
