1 / 20
学科网（北京）股份有限公司
重难点专题08 二次函数与几何综合问题
重难点一与线段有关的基础计算
1.灵活选用y = ax2 + bx + c、y = a(x −ℎ)2 + k、y = a(x −x1)(x −x2)三种抛物线解析式；
2.抛物线上动点统一设为P(x,ax2 + bx + c)；
3.水平线段长L = |x2 −x1|，竖直线段长L = |y2 −y1|，任意两点距离用AB =
(x2 −x1)2 + (y2 −y1)2，
比较线段相等时直接使用距离平方公式简化计算。
1．如图，抛物线ݕ=−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 与x 轴交于A，B 两点（点B 在点A 的右侧），点C 在抛物线上，坐标
为݉
, −Ͷ ，݉
㘠ㄹ，连接ܣܥ，按照以下步骤作图：①以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点E，
交ܣܥ于点F；②以点C 为圆心，ܣܧ长为半径画弧ܩܯ，交ܣܥ于点G；③以点G 为圆心，ܧܨ长为半径
画弧，在ܣܥ下方与弧ܩܯ交于点H；④以点H 为圆心，ܧܨ长为半径画弧，在点H 下方与弧ܩܯ交于点I；
2 / 20
学科网（北京）股份有限公司
⑤连接ܥܫ并延长交抛物线ݕ=−
1
Ͷ ݔ2 +
1
2 ݔ+ 2 于点D，则ܥܦ的长为_____．
2．如图，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−͵ 线്
ㄹ交x 轴于ܣ−1,ㄹ,ܤ͵,ㄹ两点，过y 轴正半轴上一点C 作x 轴的
平行线交该抛物线于D，E 两点（点D 在左侧）．
(1)求该抛物线的函数表达式．
(2)若ܦܧ= ͵ܥܦ，求点E 的坐标．
3．如图，在平面直角坐标系中，סܣܥܤ= ꀀㄹι，ܱܥ= 2ܱܤ，tanסܣܤܥ= 2，点B 的坐标为1,ㄹ．抛物线ݕ=−ݔ2 +
香ݔ+ܿ
经过A、B 两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线ܣܤ上方抛物线上的一点，过点P 作ܲ
ܦ垂直x 轴于点D，交线段ܣܤ于点E，使ܲ
ܧ=
1
2 ܦܧ．求
点P 的坐标．
3 / 20
学科网（北京）股份有限公司
4．定义：由两条与ݔ轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图，
抛物线ܥ1ǣݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 与抛物线ܥ2ǣݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线ܥ1和抛物线
ܥ2与ݔ轴有相同的交点ܣ−͵,ㄹ，ܤ（点ܤ在点ܣ的右侧），与ݕ轴的交点分别为ܩ，ܪㄹ, −1 ．
(1)求抛物线ܥ2的解析式和点ܩ的坐标；
(2)点ܯ是ݔ轴下方抛物线ܥ1上的点，过点ܯ作ܯܰ
٣ ݔ轴于点ܰ
，交抛物线ܥ2于点ܦ，求线段ܦܯ与线段
ܦܰ
的长度的比值．
重难点二线段与周长最值问题
1.铅垂线段最值构造L = |y抛−y直线|二次函数，依靠对称轴x =−
b
2a求最值；
2.两条线段和最小采用将军饮马模型，借助抛物线对称轴作定点对称点，连线交点即为动点；
3.|PA −PB|最大值依据三角形三边关系，三点共线时取极值；
4.周长最值只需固定不变线段，转化为两条动线段和最小求解。
1．如图，在平面直角坐标系中，点ܣ2,Ͷ 在抛物线ݕ= 线ݔ2 线്
ㄹ上，过点ܣ作ݕ轴的垂线，交抛物线另
一侧于点ܤ，点ܥ，ܦ在线段ܣܤ上，且关于ݕ轴对称，分别过点ܥ，ܦ作ݔ轴的垂线交抛物线于点ܧ，ܨ，
则四边形ܥܦܨܧ的周长的最大值为（）
A．8
B．10
C．2 ͷ + 2
D．ͺ ͵ −ͺ
2．如图，抛物线ݕ=−
1
2 ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ܣ−1,ㄹ，ܤͶ,ㄹ，与ݕ轴交于点ܥ，连接ܤܥ，若点ܲ
4 / 20
学科网（北京）股份有限公司
为线段ܤܥ上的动点（与ܤ，ܥ不重合），作射线ܣܲ
交抛物线于点ܳ
，在点ܲ
的运动过程ܲܳܣܲ的最大值为（
）
A．
Ͷ
ͷ
B．
2ㄹ
C．
ͷ−1
2
D．不存在
3．如图，抛物线ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ ͵ 分别与ݔ轴正半轴、ݕ轴交于点ܣ，ܤ．点ܲ
在线段ܣܤ上运动（不与点
A，B 重合），过点ܲ
作ܲܳ
∥ݕ轴交抛物线于点ܳ
，则ܲܳ
的最大值是_____．
4．如图，在平面直角坐标系中，直线ݕ= ݔ+ ͵ 交ݔ轴于点ܣ，交ݕ轴于点ܤ，抛物线ݕ=−ݔ2 + 2ݔ+ 1
与ݕ轴交于ܥ点，若点ܧ在抛物线的对称轴上移动，点ܨ在直线ܣܤ上移动，则ܥܧ+ ܧܨ的最小值为
___________．
5．如图，抛物线ݕ= ݔ2 + 2ݔ−͵ 与x 轴交于点A，B（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，N 是抛物线
上一个动点且在第三象限，设点N 的横坐标为m，过点N 作x 轴的垂线，交x 轴于点M，交ܣܥ于点P．
5 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)用含m 的代数式表示线段ܲܰ
的长度，并求出其最大值；
(2)若ܲܰܲܯ=
1
2，求点P 的坐标．
6．如图，二次函数ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ（a，b 为常数）的图象与x 轴交于ܣ−Ͷ,ㄹ，ܤ1,ㄹ两点，与y 轴交
于点C，点P 是抛物线位于第三象限图象上的动点，过点P 作x 轴的平行线交y 轴于点N，交直线ܣܥ于点
D，过点P 作y 轴的平行线交直线ܣܥ于点E，交x 轴于点M．
(1)求二次函数表达式；
(2)如图1，当ܧܦ= ܣܥ时，求点P 的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，若点G 是抛物线对称轴的一个动点，过点G 向y 轴做垂线，垂足为H，连接
ܣܪ，ܲܩ，求ܣܪ+ܲ
ܩ的最小值．
7．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 与ݔ轴交于ܣ−͵,ㄹ，ܤ1,ㄹ两点，点ܲ
是
直线ܣܥ上方的抛物线上的一个动点（不与点ܣ，ܥ重合），过ܲ
作ݔ轴的垂线，垂足为ܧ，交直线ܣܥ于点
ܦ．
(1)求抛物线的表达式：
(2)若点ܲ
的横坐标为݉
，用含݉
的代数式表示ܲ
ܦ；
6 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(3)过点ܲ
作ܲܳ
٣ ܣܥ于点ܳ
，当ܲܳ
的值最大时，求点ܲ
的坐标及ܲܳ
的最大值．
重难点三与面积有关的问题（含压轴）
1.三角形通用铅垂高面积公式S△=
1
2 × 水平底× 铅垂高，不规则图形采用割补法，整体图形面积减去或
拆分多个规则图形面积；
2.已知面积求动点则设动点横坐标列方程求解，面积最值直接利用二次函数顶点公式计算，同时舍去超
出图像范围的无效解。
1．如图，直线ݕ= ݔ与抛物线ݕ=
1
2 ݔ2 −2ݔ+
ͷ
2交于ܣ，ܤ两点，点ܲ
是ݕ轴上的一个动点，当ᇞܲܣܤ的
周长最小时，ᇞܲ
ܣܤ的面积为（
）
A．
1ㄹ
͵
B．
12
ͷ
C．3
D．
1
ͷ
2．如图，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过点ܣ−͵,ㄹ,ܤ−2,͵ ,ܥㄹ,͵ ，顶点为D．若P 是抛物线上位于直
线ܣܥ上方的一个动点，求ᇞܣܲܥ的面积的最大值为_________．
3．如图，已知抛物线过点ܱ
(ㄹ,ㄹ)，ܣ(ͷ,ͷ)，且它的对称轴为ݔ= 2，点ܤ是抛物线对称轴上的一点，且点
ܤ在第一象限．当ᇞܱ
ܣܤ的面积为15 时，求ܤ的坐标为________．
7 / 20
学科网（北京）股份有限公司
4．在平面直角坐标系中，二次函数ݕ= ݔ−݉
2 +݊
的顶点ܲ݉
,݊
在另一条抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ 2 上运
动．该二次函数图像与ݕ轴交于点A．过点P 作ܲ
ܤ٣ ݕ轴于点B．
(1)当݉
= 1 时，求点A 和点B 的坐标，并求ᇞܲ
ܣܤ的面积；
(2)当݉
1 时，求点A 的纵坐标ݕܣ的最小值．
5．如图，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与y 轴交于点ܥㄹ,͵ ，顶点为D，对称轴为直线ݔ=−1，点P 在抛物线
上，点P 的纵坐标为2，过点P 作x 轴的平行线交抛物线于另一点M，交y 轴于点E．若ᇞܦܯܲ
的面积是ᇞܥܯܲ
的面积的3 倍，求抛物线的解析式．
6．如图，抛物线与ݔ轴交于ܣ、ܤ两点，点ܣ坐标为1,ㄹ，顶点ܥ的坐标为Ͷ,Ͷ ；将抛物线沿着它的对称
轴上下平移后点ܥ的对应点为点ܦ，联结ܤܦ、ܤܥ．
8 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的表达式；
(2)把抛物线向上平移5 个单位，求סܦܤܥ的正弦值；
(3)设直线ܤܦ和平移前的抛物线交于点ܧ，联结ܥܧ，当ܵᇞܥܦܧ=
1
2ܵ
ᇞܥܦܤ时，求点ܧ的坐标．
7．已知，在平面直角坐标系中，点ܱ
为坐标原点，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ Ͷ 交ݔ轴于点ܣ−2,ㄹ，ܤ,ㄹ，
交ݕ轴于点ܥ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图1，点ܲ
是第一象限抛物线上一点，连接ܣܲ
交ݕ轴于点ܦ，设点ܲ
横坐标为ݐ，线段ܥܦ长为݀
，
求݀
与ݐ的函数关系式；
(3)如图2，在（2）的条件下，ܳ
为抛物线上一点，其横坐标为−݀
，连接ܤܳ
交ݕ轴于点ܧ，直线ܳ
ܦ交抛
物线于点ܨ，过点ܨ作ݔ轴的垂线，交ܣܲ
于点ܩ，交ܤܳ
于点ܪ，连接ܨܲ，若ܦܪ ܦܨ=
1͵ ͷ，求ᇞܲ
ܨܩ
的面积．
8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ1 = 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与坐标轴交于点ܣ−͵,ㄹ，ܤ，ܥ1,ㄹ点，过ܣ，
ܤ的直线解析式为ݕ2 =݇
ݔ+ ͵，ܯ为第二象限内抛物线上一动点．
9 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的解析式；
(2)求四边形ܣܯܤܥ面积的取值范围；
(3)若ᇞܯܣܤ的面积为ܵ1，ᇞܯܤܥ的面积为ܵ2，求ܵ1 +ܵ
2的最大值．
重难点四等腰、直角三角形的存在性问题
1.直角三角形分三种直角顶点讨论，利用勾股定理a2 + b2 = c2结合线段平方列式；
2.等腰三角形分PA = PB、AP = AB、BP = BA 三类，借助两点距离平方公式列式，PA = PB 可联立线段
垂直平分线与抛物线求交点，全部解算出后结合图像舍去增根。
1．如图，已知抛物线ݕ= ݔ2 −2ݔ−ͺ 与x 轴交于A 和B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C，顶
点为D 点．若点M 是抛物线上一点，点N 在y 轴上，连接ܥܯ，ܯܰ，当ᇞܥܯܰ
是以סܥܯܰ
为直角的等腰
直角三角形时，点M 的坐标为（
）
A．1, −ꀀ
B．Ͷ,ㄹ或−2,ㄹ
C．͵, −ͷ 或1, −ꀀ
D．1, −ꀀ或ㄹ, −ͺ
2．将抛物线ݕ= ݔ2 −ݔ+ ꀀ沿y 轴向下平移后，所得抛物线与x 轴交于点A、B，顶点为C，如果ᇞܣܤܥ
10 / 20
学科网（北京）股份有限公司
是等腰直角三角形，那么顶点C 的坐标是______．
3．已知，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于ܣ−1,ㄹ，ܤ͵,ㄹ两点，与y 轴交于
点ܥㄹ,͵ ．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P 是抛物线上一动点，过点P 作ܲ
ܦ٣ ݔ轴于点D，交直线ܤܥ于点E．当点P 在第一象限时，求线段ܲ
ܧ的最大值；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得ᇞܳ
ܣܥ是等腰三角形？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，
请说明理由．
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ（香，ܿ是常数）经过点ܣ1,ㄹ，ܤㄹ,͵ ．点P 在此
抛物线上，其横坐标为݉
．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)当点P 在x 轴上方时，结合图象，写出m 的取值范围；
(3)若此抛物线在点P 左侧部分（包括点P）的最低点的纵坐标为2 −2݉
．
①求m 的值；
②点D 为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得ᇞܲ
ܦܳ
为直角三角形？若存在，请直
接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
11 / 20
学科网（北京）股份有限公司
5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线ݕ1 =−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ܤ，ܣ−͵, ㄹ，与ݕ轴交于点ܥㄹ, ͵ ．
(1)求直线ܣܥ和抛物线的解析式．
(2)若ܯ是抛物线对称轴上的一点，是否存在点ܯ，使得以ܯ, ܣ, ܥ三点为顶点的三角形是以ܣܯ为腰的等腰
三角形？若存在，请求出点ܯ的坐标；若不存在，请说明理由．
6．已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt ᇞܣܤܥ的斜边ܤܥ在x 轴上，直角顶点A 在y 轴的正半轴上，
ܣㄹ,2 ,ܤ−1,ㄹ．
(1)求过A、B、C 三点的抛物线的解析式；
(2)设点ܲ݉
,݊
是抛物线在第一象限部分上的点，ᇞܲܣܥ的面积为S，求S 关于݉
的函数关系式，并求使S
最大时点P 的坐标；
(3)在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得ᇞܯܲܥ为等腰三角形（P 为上述（2）问中使S 最大时的
点）？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
重难点五特殊平行四边形的存在性问题
12 / 20
学科网（北京）股份有限公司
1.平行四边形核心使用中点公式xA+xC
2
=
xB+xD
2
，
yA+yC
2
=
yB+yD
2
，分三条线段分别作对角线分类计算动点；
2.矩形在平行四边形基础上加邻边垂直勾股条件，菱形增加邻边长度相等限制，正方形同时满足垂直、
邻边相等双重条件。
1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线ݕ= ݔ2 −香ݔ−ܿ
经过点ܣ(͵,ㄹ),ܤ(ㄹ, −Ͷ)．
(1)求抛物线的表达式；
(2)M 是抛物线上一点，过点M 作y 轴的平行线交直线ܣܤ于点N，是否存在以ܯ,ܰ,ܱ,ܤ为顶点的四边形是
平行四边形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．
2．如图，在平面直角坐标系ݔܱݕ中，二次函数ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
的图象与x 轴交于A，B 两点，A 点在原点
的左侧，B 点的坐标为͵,ㄹ，与y 轴交于点ܥㄹ, −͵ ，点P 是直线ܤܥ下方的抛物线上一动点．
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)连接ܱܲ
,ܲܥ，并把ᇞܱܲ
ܥ沿ܥܱ
翻折，得到四边形ܱܲܲ
Ԣܥ，那么是否存在点P，使四边形ܱܲܲ
Ԣܥ为菱形？
若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
13 / 20
学科网（北京）股份有限公司
3．如图，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
过ܣ͵,͵͵ͷ 、ܤͶ,2 、ܥㄹ,2 三点，点P 是x 轴上的动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图甲所示，连接ܣܥ、ܥܲ、ܲܤ、ܤܣ，是否存在点P，使四边形ܣܤܲܥ为等腰梯形？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，说明理由；
(3)点H 是题中抛物线对称轴l 上的动点，如图乙所示，求四边形ܣܪܲܤ周长的最小值．
4．如图，抛物线ݕ= ݔ2 +ܿ
与直线ݕ=݇
ݔ交于A，B 两点，与y 轴交于点C，已知B 点的坐标是2,2 ．
(1)求直线ܣܤ及抛物线的解析式．
(2)求ᇞܣܤܥ的面积．
(3)点P 在抛物线上，点Q 在直线ܣܤ上，在坐标平面内是否存在点M，使得以A，P，Q，M 为顶点的四边
形是正方形？若存在，请直接写出点M 的坐标；若不存在，请说明理由
5．我们约定：若关于x 的二次函数ݕ1 = 线1ݔ2 + 香1ݔ+ܿ
1与ݕ2 = 线2ݔ2 + 香2ݔ+ܿ
2同时满足线1്
ㄹ，线2്
ㄹ，|线1 +
14 / 20
学科网（北京）股份有限公司
线2| +
香1 −香2 +ܿ
1 +ܿ
2 2 = ㄹ，则称函数y1 与y2 互为“回旋”函数．根据该约定，解答下列问题：
(1)求二次函数ݕ= ݔ2 −Ͷݔ+ ͵ 的“回旋”函数的解析式；
(2)若关于x的二次函数ݕ= 线ݔ2 + 2线ݔ+ܿ
的顶点在它的“回旋”函数图象上，且当ܿ线ݔ
线−ܿ
线时，−Ͷ ݕ2 Ͷ，
求a，c 的值；
(3)关于x 的函数ݕ1 = 线ݔ2 + 香ݔ+ܿ
线㘠ㄹ的图象顶点为M，与x 轴的交点为A、B，当它的“回旋”函数ݕ2的
顶点为N，与x 轴的交点为C、D，从左往右依次是A、B、C、D，若ܣܥ= ͵ܤܥ，是否存在b 使得ܣܯܦܰ
为矩形？
6．已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 2ݔ+ܿ
与ݔ轴交于点ܣ,ܤ2,ㄹ（点ܣ在点ܤ的左侧），与ݕ轴交于点ܥ，对称轴
是直线ݔ=
1
2 ,ܲ
是第一象限内抛物线上一个动点，过点ܲ
作ܲ
ܪ٣ ݔ轴于点ܪ，与线段ܤܥ交于点ܯ．
(1)求抛物线的解析式．
(2)当ᇞܲ
ܯܥ是以ܯܥ为底边的等腰三角形时．
（i）求线段ܲ
ܯ的长；
（ii）已知ܳ
是直线ܲ
ܥ上一点，直线ܲ
ܯ上是否存在一点ܭ，使得以ܳ
,ܯ,ܥ,ܭ为顶点的四边形是矩形？若
存在，求出点ܭ的坐标；若不存在，请说明理由．
重难点六二次函数与相似三角形
1.先算出定三角形边长与比例，无规定对应顶点时必须分两组对应关系讨论，根据相似比例
AB
A1B1 =
BC
B1C1 =
AC
A1C1列分式方程；
2.设动点坐标代入求解，最后检验坐标是否符合图像位置，剔除不合理解。
1．已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ−Ͷ 经过点ܣ−2,ㄹ，ܤͶ,ㄹ，与ݕ轴的交点为ܥ．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若点ܲ
是该抛物线上一点，且位于其对称轴݈
的右侧，过点ܲ
分别作݈，ݔ轴的垂线，垂足分别为ܯ，ܰ，
连接ܯܰ．若ᇞܲ
ܯܰ
和ᇞܱ
ܤܥ相似，求点ܲ
的坐标．
2．如图①，二次函数ݕ=−
1
ͺ ݔ2 +
1
Ͷ ݔ+ ͵ 的图象交x 轴于A、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C
点，连接ܣܥ，过点C 作ܥܦ٣ ܣܥ交ܣܤ于点D．
15 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)求点D 的坐标；
(2)如图②，在直线ܤܥ上取一点M（不与点B 重合），在直线ܥܦ的右上方是否存在这样的点N，使得以C、
M、N 为顶点的三角形与ᇞܤܥܦ全等？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．
3．如图所示，抛物线坐标轴交于ܣ、ܤ、ܥ(ㄹ,͵)，其顶点是ܦ( −1,Ͷ)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)试判断ᇞܤܥܦ的形状，并说明理由；
(3)探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C 为顶点的三角形与ᇞܤܥܦ相似？若存在，请直接写出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
4．如图所示，抛物线经过点ܣ−͵,ㄹ，ܤ1,ㄹ，ܥㄹ, −͵ ，它的对称轴为直线݈．
(1)求ᇞܣܤܥ的面积；
(2)求抛物线的解析式；
(3)点ܲ
是该抛物线上的一个动点，过点ܲ
作直线݈
的垂线，垂足为点ܦ，点ܧ是直线݈
上的点，若以点ܲ
，
16 / 20
学科网（北京）股份有限公司
ܦ，ܧ为顶点的三角形与ᇞܣܱܥ全等，求满足条件的点ܲ
，点ܧ的坐标．
重难点七二次函数与几何变换
1.抛物线平移遵循左加右减、上加下减规则，顶点式y = a(x −ℎ)2 + k 仅改变ℎ、k；
2.折叠属于轴对称，折痕垂直平分对应点连线，利用中点公式验证；
3.旋转前后线段长度不变，熟记90°、180° 坐标变换规律，将变换后点坐标代入抛物线建立方程计算。
1．如图，抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ，ܤ͵,ㄹ交ݕ轴于点ܥ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)在抛物线上是否存在一点ܲ
，使ᇞܤܥܲ
是以ܤܥ为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，
请求出点P 的坐标；
(3)若ܯ为抛物线对称轴上的一点，连接ܣܯ，ܤܯ，将ᇞܣܤܯ沿直线ܣܯ翻折得到ᇞܣܤԢܯ，若点ܤԢ恰好落
在抛物线的对称轴上，求点ܯ的坐标．
2．抛物线ݕ= 线ݔ2 + Ͷ线ݔ线香ㄹ与ݔ轴交于ܣ，ܱ两点（点ܣ在点ܱ
左侧），点ܥ是抛物线的顶点，连接ܣܥ、
ܥܱ．
(1)求ܣ、ܥ的坐标（用含线的式子表示）；
(2)若抛物线与直线݈ǣݕ=݇
ݔ+ 2线്݇
ㄹ交于ܯݔ1,ݕ1 ，ܰ
ݔ2,ݕ2 两点，当ݔ1，ݔ2满足1 −ݔ1 −1 + ݔ2 = 1
时，直线݈
是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标，否则，请说明理由；
17 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(3)如图，若ᇞܣܱܥ是等腰直角三角形，点ܤ是一动点且满足ܣܤ= Ͷ线2，连接ܤܥ，将线段ܤܥ绕点ܥ逆时
针旋转12ㄹι到ܲ
ܥ，连接ܣܲ，求ܣܲ
的最大值．
重难点八二次函数解决角度问题
1.遇到45°角构造一线三垂直全等模型实现线段转化，30°、60° 角利用直角三角形三边比例1ǣ ͵ǣ2 列式；
2.等角可通过平行线、相似、对称进行等量转换，通用方法为过角顶点作横竖辅助线，把角度条件全部转
化为线段长度关系再结合函数计算。
1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ 2 与x 轴相交于ܣ−1,ㄹ，ܤͶ,ㄹ两点，与y
轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P 是直线ܤܥ上方抛物线上一动点，连接ܲ
ܤ，ܲܥ，求ᇞܲ
ܤܥ面积的最大值以及此时点P 的坐标；
(3)抛物线上是否存在点Q，使סܳܥܤ=Ͷͷι？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2．在平面直角坐标系ݔܱݕ中，抛物线ݕ= 线ݔ2 + 香ݔ+ ͵ 的图象与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ和点ܤ͵,ㄹ．与y 轴
交于点C，D 是线段ܱ
ܤ上一点．
(1)求这条抛物线的表达式．
18 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(2)如图，过点D 作ܦܩ٣ ݔ轴，交该抛物线于点G，当סܤܩܦ= סܦܩܥ时，求D 的坐标；
(3)点P 为该抛物线上第一象限内一点，当ܱ
ܦ= 1，且סܲܣܥ+ סܦܥܣ= Ͷͷι时，求点P 的坐标．
3．已知抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
与x 轴交于点ܣ−1,ㄹ和点B，对称轴为直线ݔ= 1，抛物线与y 轴交于C
点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图（甲），P 是抛物线第一象限内的任一点，过点P 作ܲ
ܦ٣ ݔ轴于D，直线ܤܥ与ܲ
ܦ交于点E，当ᇞܥܧܲ
是以ܲ
ܧ为底的等腰三角形时，求P 点的坐标；
(3)如图（乙），若点M 是抛物线上任意一点，且满足סܯܣܤ= 2סܣܥܱ，求M 的坐标．
4．如图，四边形ܱ
ܣܤܥ是矩形，点A 的坐标为−,ㄹ，点C 的坐标为ㄹ,͵ ，点P 从点C 出发，沿CO 以
每秒1 个单位长度的速度向点O 出发，同时点Q 从点O 出发，沿OA 以每秒2 个单位长度的速度向点A 运
动，当点P 与点O 重合时运动停止．设运动时间为t 秒．
19 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)当ݐ= 2 时，ܵᇞܱܲܳ
= ；
(2)当ᇞܱܲܳ
与ᇞܤܳܣ相似时，求t 的值；
(3)当ݐ= 1 时，抛物线ݕ=−ݔ2 + 香ݔ+ܿ
经过P，Q 两点，与x 轴交于另一点M．抛物线的顶点为N，问该
抛物线上是否存在点D，使סܯܳܦ=
1
2 סܯܰܳ
？若存在，求出所有满足条件的D 的坐标；若不存在，说明理
由．
5．如图，已知抛物线ݕ=−
1
͵ ݔ2 + 香ݔ+ܿ
交ݔ轴于ܣ−͵,ㄹ，ܤͶ,ㄹ两点，交ݕ轴于点ܥ，点ܲ
是抛物线上
一点，连接ܣܥ、ܤܥ．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接ܱܲ
，ܤܲ，若2ܵᇞܤܱܲ
= ͵ܵᇞܣܱܥ，求点ܲ
的坐标；
(3)在抛物线的对称轴上有一动点ܳ
，若סܳܤܣ= 1ͷι，请直接写出点ܳ
的坐标．
6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数ݕ=
1
2 ݔ−2 的图象分别交ݔ轴、ݕ轴于点ܣ、ܤ，抛物线ݕ= ݔ2 + 香ݔ+ܿ
经过点ܣ、ܤ，ܧ是线段ܱ
ܣ的中点．
20 / 20
学科网（北京）股份有限公司
(1)求抛物线的解析式；
(2)点ܨ是抛物线上的动点，当סܱܧܨ= סܤܣܧ时，求点ܨ的横坐标；
(3)在抛物线上是否存在点ܲ
，使得ᇞܣܤܲ
是以点ܣ为直角顶点的直角三角形，若存在，请求出ܲ
点坐标，
若不存在，请说明理由．
(4)抛物线上（ܣܤ下方）是否存在点ܯ，使得סܣܤܯ= סܣܤܱ？若存在，求出点ܯ到ݕ轴的距离，若不存
在，请说明理由．
