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26.二次函数 数学活动
（导学案）
（1）能根据“和定积变”的数字规律，自主建立二次函数模型，熟练利用二次函数最值公式求解乘积最大
值.能通过动手作图感知抛物线的形成过程，掌握简单实物抛物线问题的建模方法，会利用二次函数图象性
质分析、解决基础几何与实际问题.系统梳理二次函数图象、增减性、最值的核心知识点，能灵活综合运用
知识解决探究性问题.
（2）经历观察猜想—列式建模—验证推理—归纳总结的完整探究过程，提升自主探究、合作交流、数学建
模的能力.通过代数探究与几何作图相结合的方式，深化数形结合思想的应用，掌握特殊到一般、转化的数
学思维方法.
（3）在自主探究和小组合作中体验数学规律的趣味性，增强学习数学的兴趣和自信心，感受数学与数字规
律、生活实物的紧密联系，体会数学的实用性和严谨性，培养主动探究、勇于实践的科学素养.
重点:探究和为定值的两个数的乘积最值规律，建立二次函数模型求解最值问题；感知抛物线的几何特征，
掌握简单实物抛物线问题的二次函数建模方法.
难点:从数字规律、实物图形中自主提炼变量关系，准确建立二次函数模型；结合数形结合思想，解释二次
函数最值、图象特征对应的实际意义.
第一环节 自主学习
温故知新：
创设情景，引入新课
情境提问：同学们，我们已经完整学完二次函数整章知识，知道二次函数可以解决生活中的最值、轨迹问
题.今天我们通过两个趣味数学活动，探究隐藏在数字和图形中的二次函数规律.
抛出问题：若两个数的和为10，这两个数的乘积是固定值吗？什么时候乘积最大？引发学生思考、口算猜
想.
导入课题：本节课我们通过自主探究、动手实践，用二次函数知识破解数字规律和抛物线图形奥秘——二
次函数数学活动.
【学法指导】
新知自研：自研课本数学活动的内容
【学法指导】自研课本数学活动页内容
（一）和定数乘积的最值探究
活动1.和为定数，哪个数的积最大？
自主计算，初步猜想
给定两个正整数和为10，学生分组计算：1×9、2×8、3×7、4×6、5×5、6×4……记录乘积结果，观察
变化规律，猜想规律.
规律：和为定值的两个数，两数越接近，乘积越大，两数相等时乘积最大.
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建模推理，验证猜想
设其中一个数为 x ，则另一个数为 10-x ，设两数乘积为 y ，列出函数关系式：
y=x(10-x)=-x²+10x （ x>0 ， 10-x>0 ，即 0<10 ）
引导学生分析函数：二次项系数<0 ，抛物线开口向下，函数有最大值.
根据顶点公式，当
5
2
b
x
a
= −
=
时，
2
max
4
25
4
ac
b
y
a
−
=
=
，验证猜想成立.
规律归纳，推广结论：若两个正数的和为定值 m ，设一数为 x ，另一数为 m-x ，乘积 y=-x²+mx ，当
2
2
b
m
x
a
= −
=
，即两数相等时，乘积取得最大值.
（二）抛物线图形建模探究
活动2 刹车距离与刹车时车速的关系
动手作图，感知图形：指导学生按照教材步骤作图：取一条直尺，固定一端点，将细绳一端固定于定点，
细绳长度大于直尺固定点到动点的距离，移动细绳端点，绘制出平滑曲线，观察曲线形状，感知抛物线轨
迹特征.
解决问题：由于惯性作用，汽车刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，这段距离被称为“刹车距离”，
为了测定某种型号汽车的刹车性能，对这种汽车的刹车距离进行测试，测得的数据见下表:
刹车时车速/(km/h)
40
48
56
64
72
80
刹车距离/m
17
22.4
27.9
35.3
43.4
52.8
(1)以刹车时车速为横坐标，刹车距离为纵坐标，根据表中数据，在平面直角坐标系中描点，并用平滑的曲
线连接这些点，得到大致满足这些数据的函数图象.
(2)通过观察图象估计函数的类型，求出一个大致满足这些数据的函数解析式.
(3)一辆该型号汽车在高速公路上发生交通事故，现场测得这辆车的刹车距离约为70m，已知这条高速公路
限速100km/h.请根据你确定的函数解析式，通过计算判断:在事故发生时，汽车是否超速行驶?
解决问题活动过程：①把6组坐标 (40,17)(48,22.4)(56,27.9)(64,35.3)(72,43.4)(80,52.8) 在平面直角
坐标系描点，用平滑曲线连接.
观察猜测图象特征：
图象从左向右上升，上升速度越来越快，曲线开口向上，符合二次函数（抛物线）特征，排除一次、反比
例函数.
结论：该变量关系近似二次函数.
②求二次函数解析式
设二次函数一般式：y=ax²+bx+c，选取三组差距较大、代表性强的数据：(40,17)、(64,35.3)、(80,52.8)，
代入列三元一次方程组：
1600a
40b
c
17
4096a
64b
c
35.3
6400a
80b
c
52.8
+
+
=
+
+
=
+
+
=
分步消元计算：
2式−1式：2496a+24b=18.3 ①
3式−2式：2304a+16b=17.5 ②
联立①②化简求解，近似得：
a≈0.0083,b≈-0.099,c≈7.7
解析式：y=0.0083x²-0.099x+7.7
验证：代入x=56，y≈0.0083×56²-0.099×56+7.7≈28.2，与实测27.9误差极小，模型成立.
③判断车辆是否超速（刹车距离70m，限速100km/h）
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已知y=70，代入解析式解方程，求出车速x，和100比较.
解方程：0.0083x²-0.099x+7.7=70
整理：0.0083x²-0.099x-62.3=0
两边同乘10000得：83x²-990x-623000=0
用求根公式
2
4
2
b
b
ac
x
a
−
−
=
，舍去负根（车速不能为负），计算得：x≈93.8km/h
∵ 93.8<100
结论：该车没有超速.
归纳总结：解决问题思路：
1. 建模思想：散点拟合，根据图象形状选择二次函数模型；
2. 待定系数法：三点代入求二次函数近似解析式；
3. 函数与方程转化：已知函数值解方程求自变量，结合实际舍去负根；
4. 实际应用：利用二次函数模型解决交通安全测速问题.
易错提醒：
1. 不能随便选2个点求解析式，三点才能确定二次函数；
2. 车速是正数，一元二次方程负根必须舍去；
3. 本题是实测数据拟合，解析式为近似式，计算结果存在微小误差属正常.
【自研自探】
自研课本数学活动内容
典型例题
例1.用一根长36cm的铁丝围成一个长方形，求长方形面积的最大值.
【分析】长方形面积=长×宽，长+宽=18（定值），构建二次函数，开口向下，顶点处面积最大.
【详解】设长方形长为xcm，则宽为(18-x)cm，面积为ycm²，依题意得
y=x(18-x)=-x²+18x
a=-1<0，函数有最大值。
顶点横坐标：
9
2
b
x
a
= −
=
宽：18-9=9
最大面积：y=9²=81
答：长和宽都为9cm（正方形）时，面积最大为81平方厘米.
例2.鹰眼技术助力杭州亚运，提升球迷观赛体验．如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如
图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，
B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．水平距离s与离地高度h的鹰眼数据如表：
s / m
0 9
12
15 18
21
…
h / m 0
4.2 4.8 5
4.8
4.2 …
(1)根据表中数据预测足球落地时，s =______m；
(2)求h关于s的函数解析式；
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(3)当守门员位于足球正下方，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度2.6m时，视为防守成功，若一次
防守中，守门员位于足球正下方时，
24m
s =
，请问这次守门员能否防守成功？试通过计算说明．
【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函
数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．
（1）根据抛物线的对称轴可直接得出结论；
（2）根据抛物线的对称性找到顶点，设出顶点式，再代入(
)
12,4.8 可求出参数，由此可解答；
（3）把
24
s =
代入二次函数解析式求出h，再与最大防守高度比较即可．
【详解】（1）解：由表格可知，
9
s =
时和
21
s =
时，h相等，
12
s =
时，
18
s =
时，h相等，
抛物线关于
15
s =
对称，
当
0
s =
时，
0
h =
，
30
=
s
时，
0
h =
；
（2）由（1）知，抛物线关于
15
s =
对称，设
2
(s 15)
5
h
a
=
−
+
，
把(
)
12,4.8 代入上述解析式，
2
(12 15)
5
4.8
−
+
=
a
，解得
1
45
a = −
，
2
2
1
1
2
(
15)
5
.
45
45
3
h
s
s
s
= −
−
+
= −
+
（3）当
24m
s =
，
∴
2
2
1
1
(
15)
5
9
5
1.8 5
3.2
2.6
45
45
h
s
= −
−
+
= −
+
= −
+
=
，
∴守门员不能成功防守．
第二环节 合作探究
1. 讨论如何解决两数的和为定值，积最大问题？
2. 讨论如何解决抛物线型问题？
拓展提升：1．如图，一小球M 从斜坡OA上的点O处抛出．球抛出的路线可以用图中的抛物线表示，并建
立如图所示的平面直角坐标系，斜坡OA所在直线解析式为
1
2
y
x
=
，若小球到达最高点P 的坐标为
7 49
,
4 16
，
解答下列问题：
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(1)求抛物线的解析式；
(2)在斜坡OA上的B 点有一个障碍物，B 点的横坐标为
1
2 ，障碍物的高度为2，小球M 能否飞过这个障碍物？
通过计算说明理由；
(3)该高度为2的障碍物放在斜坡OA上，若使小球能够通过，求出障碍物放置的水平范围．
【详解】（1）解
7 49
,
4 16
P
，
设
2
7
49
4
16
y
a x
=
−
+
，
将(
)
0,0 代入得
1
a = −，
2
7
49
4
16
y
x
= −
−
+
．
（2）将
1
2
B
x =
代入
1
2
y
x
=
，
得，
1
4
B
y =
，
1
9
2
4
4
+
=
，
将
1
2
x =
代入
2
7
49
4
16
y
x
= −
−
+
，
得
3
2
y =
，
9
3
4
2
，
小球M 不能飞过这个障碍物；
（3）
2
7
49
1
2
4
16
2
x
x
−
−
+
−
=
，
2
7
49
49
1
2
2
16
16
2
x
x
x
−
−
+
+
−
=
，
2
3
2
0
x
x
−
+
−
=
，
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解得：
1
1
x = ，
2
2
x =
．
1
2
x
，
若使小球能够通过，障碍物放置的水平范围是：1
2
x
．
1.两数之和为20，其中一个数取值范围3 ≤x≤8，求两数乘积的最大值.
【详解】设一个数为x，两数积为y，则函数y=-x²+20x，对称轴x=10，开口向下，在对称轴左侧y随x增大而
增大，给定区间在对称轴左边，最大值在x=8处.
解答x=8，另一个数12
乘积y=8×12=96
答：乘积最大值为96.
2．如图，有一条双向隧道，其横断面由抛物线和矩形ABCO的三边组成，隧道的最大高度为4.9 米；
10
AB =
米，
2.4
BC =
米，
(1)在如图所示的坐标系中，求抛物线的解析式．
(2)若有一辆高为4米，宽为2米装有集装箱的汽车要通过隧道，则汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才
不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，问m的取值范围是多少？
【详解】（1）解：设抛物线解析式为
2
y
ax
bx
=
+
，
由题意知，隧道的最大高度为4.9 米；
10
AB =
米，
2.4
BC =
米，
由题意可知，抛物线的顶点坐标为(5,2.5) ，且过(10,0) 点，
则有
25
5
2.5
100
10
0
a
b
a
b
+
=
+
=
，
0.1
a
= −
，
1
b = ，
抛物线的解析式为
2
0.1(
5)
2.5
y
x
= −
−
+
，
（2）由题意得，
2
0.1(
5)
2.5
y
x
= −
−
+
当
4
2.4
1.6
y =
−
=
时，
2
0.1(
5)
2.5
1.6
x
−
−
+
=
，
1
2
x
=
，
2
8
x =
．
当
2
x = 或8时，集装箱刚好碰到隧道的顶部，此时
2
m =
，
当
3
m =
时，此时刚好违反交通规则，
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汽车靠近隧道的一侧离开隧道壁m米，才不会碰到隧道的顶部，又不违反交通规则，
2< <3
m
m
的取值范围是2< <3
m
．
1．(2026.四川成都)已知二次函数
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 的自变量x与函数y的几组对应值如表：
x … −2 −1 0 1 3
…
y … 3
4
3 0
12
−
…
下列说法错误的是（ ）
A．函数图象的开口向下
B．函数图象的对称轴是直线
1
x
−
=
C．2
0
a
c
+
=
D．
2
4
0
b
ac
−
【详解】解：将点(
) (
) (
)
1,4 , 1,0 , 0,3
−
代入
2
y
ax
bx
c
=
+
+ 得：
4
0
3
a
b
c
a
b
c
c
−
+
=
+
+
=
=
，
解得
1
2
3
a
b
c
= −
= −
=
，
∴二次函数的解析式为
2
2
3
y
x
x
−
=
−
+ ，
∵
1
0
a = −
，
∴函数图象的开口向下，则选项A正确；
将二次函数
2
2
3
y
x
x
−
=
−
+ 化成顶点式为
(
)
2
1
4
y
x
= −
+
+
，
∴函数图象的对称轴是直线
1
x
−
=
，则选项B正确；
又∵
1,
2,
3
a
b
c
= −
= −
= ，
∴
(
)
2
2
1
3
1
a
c
+
=
−
+
= ，则选项C错误；
(
)
(
)
2
2
4
2
4
1
3
16
0
b
ac
−
= −
−−
=
，则选项D正确．
2．（2025•连云港）如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a（x﹣3）2+2.5 运行，其中x 是铅球离初
始位置的水平距离，y 是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度OA 为1.6m，则铅球掷出的水
平距离OB 为 m．
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【解答】解：由题意，OA＝1.6m，
得A（0，1.6），
将A（0，1.6）代入y＝a（x﹣3）2+2.5，
得：1.6＝a（0﹣3）2+2.5，
解得：a = −
1
10，
∴y = −
1
10 (x −3)2 + 2.5，
令y＝0，得−
1
10 (x −3)2 + 2.5 = 0，
解得：x1＝8，x2＝﹣2，
∴OB为8m，
故答案为：8．
3．（2025·临沂校考）音乐广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一座高为1米的喷泉喷出
的水流状为抛物线形，喷水最大高度为3米，此时喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为
1
2 米，如图所
示，求水柱落地处离池中心的距离．
【详解】解：设这段抛物线的解析式为
(
)
(
)
2
0
=
−
+
y
a x
h
k a
，
由题意可知，顶点坐标为
1 3
2
，
，
∴
1
2
h =
，
3
k = ，
∴抛物线解析式
2
1
3
2
y
a x
=
−
+
，
由题意得抛物线经过(
)
0 1，，
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∴
2
1
1
0
3
2
a
=
−
+
，
解得
8
a = −，
∴抛物线解析式为
2
1
8
3
2
y
x
= −
−
+
当水柱落地时，
0
y =
，即
2
1
8
3
0
2
x
−
−
+
=
，
∴
2
1
3
2
8
x
−
=
，
解得
1
1
6
2
4
x =
+
，
2
1
6
2
4
x =
−
（舍去），
∴水柱落地处离池中心
1
6
2
4
+
米．
4．（2025•陕西）某景区大门上半部分的截面示意图如图所示，顶部L1，左、右门洞L2，L3 均呈抛物线型，
水平横梁AC＝16m，L1 的最高点B 到AC 的距离BO＝4m，L2，L3 关于BO 所在直线对称．MN，MP，
NQ 为框架，点M，N 在L1 上，点P，Q 分别在L2，L3 上，MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC．以O 为原点，
以AC 所在直线为x 轴，以BO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．
（1）求抛物线L1 的函数表达式；
（2）已知抛物线L3 的函数表达式为𝑦= −3
16 (𝑥−4)2，𝑁𝑄= 5
2 𝑚，求MN 的长．
【解答】解：（1）∵BO＝4m，
∴抛物线L1 的顶点B 坐标为（0，4），
设抛物线L1 的函数表达式为y＝a（x﹣0）2+4，
∵AC＝16m，
结合二次函数的对称性得 A（﹣8，0），C（8，0），
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将C（8，0）代入y＝a（x﹣0）2+4，
得0＝64a+4，
则𝑎= −1
16，
∴𝑦= −1
16 𝑥2 + 4；
（2）由（1）得抛物线L1 的函数表达式𝑦= −1
16 𝑥2 + 4，
∵MN∥AC，MP⊥AC，NQ⊥AC.𝑁𝑄= 5
2 𝑚，且抛物线L3 的函数表达式为𝑦= −3
16 (𝑥−4)2，
∴𝑦= 𝑦𝑁−𝑦𝑄= −1
16 𝑥2 + 4 −[−3
16 (𝑥−4)2] = 5
2，
整理得x2﹣3（x﹣4）2＝24，
∴x2﹣3x2+24x﹣48＝24，
∴x2﹣12x+36＝（x﹣6）2＝0，
解得x1＝x2＝6，
∴MN＝2×6＝12（m）.
知识技能：（1）和定积最值规律：两个正数和为定值，两数相等时乘积最大，可通过建立二次函数模型求
解最值；（2）实物抛物线建模：根据抛物线顶点、对称轴特征，合理设出二次函数解析式，代入已知点求
解，实现图形问题代数化；（3）熟练掌握二次函数开口、顶点、最值的综合应用.
思想方法：本节课核心用到三大数学思想：建模思想（将数字、图形问题转化为二次函数问题）、数形结
合思想（图象特征与解析式、函数值相互转化）、特殊到一般思想（从具体数字计算归纳通用规律）.
易错提醒：（1）建模时忽略自变量取值范围，未结合实际情境限定变量范围；（2）抛物线解析式设式错
误，未根据顶点、对称轴特征合理选择一般式、顶点式；（3）开口方向与最值正负混淆，开口向下函数有
最大值、开口向上有最小值；（4）代入坐标计算时符号、运算出错.
