文档文本内容
1 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 一元二次方程的概念与一般形式
题型2 直接开平方法
题型3 配方法
题型4 公式法
题型5 因式分解法
题型6 选择最优解法
题型7 根的判别式
题型8 根与系数的关系
核心提升：重难题型归纳
题型1 增长率/降低率问题
题型2 几何面积问题
题型3 握手/互赠问题
题型4 营销利润问题
题型5 含参方程与判别式
题型6 根与系数的关系变形求值
题型7 整体思想与换元法
题型专练：高频重难特训
◆◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式
1. 下列方程中，不是一元二次方程一般形式的是（ ）
0
1
.
2
=
+
−x
A
x
x
B
3
.
2 =
2
1
.
2
2
=
+ x
x
C
x
x
D
2
1
3.
2
=
−
2. 【易错题】若关于x 的一元二次方程
5
9
)3
2
2
+
=
+
−
x
x
m
x
m
（
化为一般形式后不含一次项，则m 的值
为（ ）
A. 0
B. ±3
C. 3
D. −3
2 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
3. 若𝑥 = −1是关于x 的一元二次方程𝑥2 −2𝑥 + 𝑚 = 0的一个根，则m=________.
4. 将一元二次方程𝑥 = 3 − 2𝑥2化为一般形式为________________，其中二次项系数a=________，一次项
系数b=________，常数项c=________.
◆题型2 直接开平方法
5.解方程
81
2 =
x
.
6.解方程
25
16
2 =
x
7.解方程
98
)1
2
2 =
−
x
（
8.解方程
0
36
)1
2
4
2
=
−
−
x
（
◆题型3 配方法
9. 用配方法解一元二次方程𝑥2 + 8𝑥 − 1 = 0，将它转化为(𝑥+ 𝑚)2 = 𝑛的形式，则m+n=________.
10. 【配方思想】求证：无论x 取任何实数，代数式𝑥2 + 8𝑥 + 18的值总大于0.
◆题型4 公式法
11. 用公式法解方程
0
2
7
2
2
=
−
+
−
x
x
12. 解方程
0
3
2
2
2
=
+
+
x
x
13.解方程 𝑥(2𝑥 − 4) = −5 − 8𝑥
◆题型5 因式分解法
14.解方程 3(𝑥 − 3) = 2𝑥(3 − 𝑥)
15. 若代数式𝑥2 + 2𝑥的值为0，则x 的值为（ ）
A. 2
B. 0
C. −2 或0
D. −2
◆题型6 选择最优解法
16.选择适当的方法解方程
0
16
2
2
=
−
x
x
17.选择适当的方法解方程
0
1
3
2
2
2
=
+
+
x
x
18.解方程
2
2
)
5
(
)1
2
x
x
−
=
−
（
◆题型7 根的判别式
3 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
19. 已知a，b，c 为常数，点P(a，c)在第四象限，则关于x 的方程𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根
D. 无法判断
20. 若关于x 的一元二次方程𝑘𝑥2 −6𝑥 + 9 = 0有实数根，求k 的取值范围.
◆题型8 根与系数的关系
21. 若m，n 是一元二次方程3𝑥2 −5𝑥 + 1 = 0的两个实数根，求m+n−mn 的值.
22. 已知方程𝑥2 −𝑘𝑥 − 3 = 0的两个根互为相反数，则k=________，方程的根为________.
23. 若𝑥1，𝑥2是方程2𝑥2 + 4𝑥 − 3 = 0的两个根，求下列各式的值：
(1) （x₁−3）（x₂−3）；
(2) （x₁−x₂）².
◆题型1 增长率/降低率问题
1．今年3 月份某图书角中有藏书2500 册，到今年5 月份藏书数量增长到3600 册.求该图书角这两个月藏书
的平均增长率.
2. 受各方面因素的影响，最近两年来某市平均房价由每平方米40000 元下降到每平方米32400 元，求最近
两年该市房价的年平均下降率.
3.有一台电脑感染了某种病毒，经过两轮传播后共有25 台电脑被感染.
(1) 求每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑；
(2) 若病毒得不到控制，四轮感染后，被感染的电脑是否超过600 台？
◆题型2 几何面积问题
4． 某住宅小区内有一长方形地块，想在长方形地块内修筑同样宽的两条"之"字路，余下部分绿化，绿化的
面积为551 m².已知整个长方形空地的长为30 m、宽为20 m，求道路的宽.
5． 将一条长为20 cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.如果要使这两个正
方形的面积之和等于17 cm²，那么这条铁丝剪成的两段的长度分别是多少？
4 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
◆题型3 握手/互赠问题
6. 毕业晚会上，同学们互送照片，每人给每位同学一张照片，一共送出90 张照片，问毕业晚会上一共有多
少位同学？
7. 于老师购买了2304 张签名卡，在毕业典礼上，他向每位同学赠送了一张签名卡，每位同学间也互赠了一
张签名卡，签名卡恰好用完.设该班级有x 名学生，请列方程并求解该班级有多少名学生.
◆题型4 营销利润问题
8.. 某商场一款品牌服装平均每天可以售出10 件，每件盈利40 元.商场决定采取适当的降价措施，扩大销售
量，增加盈利.经市场调查发现：每件服装每降价1 元，平均每天就可以多售出2 件.如果需要盈利700 元，
同时尽可能让利于顾客，那么每件降价多少元？
9.某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个.调查表明：这种台灯的售价每上涨1
元，其月销售量就减少10 个. 要实现每月10000 元的销售利润目标，且售价不能低于60 元/个，
(1)求这种台灯的定价；
(2) 商场应进货多少个？
◆题型5 含参方程与判别式
10. 已知关于x 的一元二次方程(𝑚−2)𝑥2 −4𝑥 + 1 = 0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围为
________.
11. 已知关于x 的一元二次方程3𝑥2 + 𝑚𝑥 − 2 = 0，求证：无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根.
◆题型6 根与系数的关系变形求值
12. 已知关于x 的一元二次方程x2 + (m −2)x − m = 0.
(1) 求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；
(2) 如果方程的两个实数根为x1，x2，且
1
)1
1
2
1
−
=
+
+
x
x
）（
（
，求m 的值.
13. 已知m，n 是关于x 的一元二次方程x2 −2(a + 1)x + a2 + 5 = 0的两个实数根.
(1) 若(m−1)(n−1)=28，求a 的值；
(2) 已知等腰△ABC 的一边长为7，若m，n 恰好是△ABC 另外两边的长，求△ABC 的周长.
◆题型7 整体思想与换元法
14. 对于实数a，b，定义运算"※"：𝑎※𝑏 = 𝑎2 − 2𝑏，例如：5※1=5²−2×1=23.如果x※x=0，那么x 的值为
________.
15. 【阅读材料】解方程(𝑥−1)2 −5(𝑥−1) + 4 = 0时，可以将x-1 看成一个整体，设x-1=y，则原方程
化为y2 −5𝑦 + 4 = 0，解得y₁=1，y₂=4.当y=1 时，即x-1=1,解得x=2;当y=4 时，即x-1=4，解得x=5,所以
5 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
原方程的解为x₁=2，x₂=5.
请利用上述方法解方程：(3x−5)²−4(5−3x)+3=0.
一、选择题
1．一元二次方程(𝑥−3)2 = 4的根的情况是（ ）
A. 有两个相等的实数根
B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根
D. 只有一个实数根
2. 一元二次方程𝑥2 −𝑥 + 1 = 0的根的情况是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根
D. 没有实数根
3. 一次聚会中，每两人都握了一次手，所有人共握手10 次，则参加聚会的人数为（ ）
A. 4 人
B. 5 人
C. 6 人
D. 7 人
4. 某市平均房价由每平方米40000 元下降到每平方米32400 元，设年平均下降率为x，则可列方程为（ ）
A. 40000(1−x)²=32400
B. 40000(1+x)²=32400
C. 40000−2×40000x=32400
D. 40000(1−2x)=32400
5. 一种商品原价200 元，连续两次降价后售价为162 元，若每次降价的百分率相同，则每次降价的百分率
为（ ）
A. 5%
B. 10%
C. 15%
D. 20%
6. 某商场将进货价为30 元的台灯以40 元售出，平均每月能售出600 个.售价每上涨1 元，月销售量就减少
10 个.要实现每月10000 元的销售利润，且售价不能低于60 元，则台灯的定价应为（ ）
A. 50 元
B. 60 元
C. 80 元
D. 50 元或80 元
二、填空题
7. 关于x 的一元二次方程𝑥2 −3𝑥 + 𝑚 − 1 = 0有两个不相等的实数根x₁，x₂，则实数m 的取值范围为
________.
8. 一条直线上有n 个点，共可以构成15 条线段，则n=________.
9. 某农场一种作物的产量两年内从300 千克增加到363 千克，设平均每年增产的百分率为x，则可列方程
为________________.
10. 某商品2022 年每件进价为125 元，2024 年每件进价为80 元，则这种商品每件进价的年平均下降率为
________.
6 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
11. 有一种流感病毒，刚开始有2 人患了流感，经过两轮传染后共有128 人患流感.设每轮传染中平均一个
人传染x 个人，则可列方程为________________.
12. n 边形有________条对角线；若一个多边形有14 条对角线，则它的边数为________.
三、解答题
13. 选择适当的方法解下列方程：
(1) 2x²−16=0；
(2) 2x²−16x=0；
(3) x²−4x−1=0（用配方法）.
14. 某公司今年1 月份盈利2 万元，到今年3 月份盈利4.5 万元，假设每月盈利的平均增长率相同.
(1) 求每月盈利的平均增长率；
(2) 预计今年4 月份盈利多少万元？
15. 根据素材完成任务.
(1) 【素材1】生产某款零部件的一间工厂因引入一体化加工，生产效率提升，4 月份生产100 个零部件，
同年6 月份生产144 个.求4 月份到6 月份生产数量的平均增长率；
(2) 【素材2】该零部件成本为30 元/个，当售价为40 元/个时，月销售量为600 个，售价每上涨1 元，月
销售量减少10 个.批发商为使月销售利润达到10000 元，且尽可能让消费者得到实惠，实际售价应定为每个
多少元？
16. 在△ABC 中，∠B=90°，AB=6 cm，BC=8 cm.点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以1 cm/s 的速度移动，
点Q 从点B 开始沿边BC 向点C 以2 cm/s 的速度移动，且点P，Q 分别从点A，B 同时出发.
(1) 经过几秒后，△PBQ 的面积等于8 cm²？
(2) 线段PQ 能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由.
17. 已知关于x 的一元二次方程𝑥2 −2(𝑚−1)𝑥 + 𝑚2 − 5 = 0.
(1) 当方程有两个实数根时，求m 的取值范围；
(2) 当方程的两个根𝑥1，𝑥2满足
12
2
1
2
2
2
1
+
=
+
x
x
x
x
时，求m 的值.
7 / 7
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
18. 已知关于x 的一元二次方程
0
1
)1
2
(
2
2
=
+
+
+
−
k
x
k
x
，有两个不相等的实数根
2
1, x
x
.
(1) 求实数k 的取值范围；
(2) 若方程的两实数根满足
2
1
2
1
x
x
x
x
=
+
，求k 的值.
