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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 21 第二十五章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别 式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程 特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实 际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式 推导。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 21 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的 方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 21 ①整式方程，即等号两边都是 ；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； ②只含有一个 ； ③未知数的最高次数是 ． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5 个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的 最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式 ．这种 形式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任 意实数，二次项系数a 是不等于0 的实数，这是因为当a=0 时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就 不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成 ． 要点速测 1．（25-26 八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程 化为一般形式，正确 ．．的是（ ） A． B． C． D． 3． （25-26 八年级下·山东济南·期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的 是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的 解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0） 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 21 要点速测 4．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的 值为_________． 5．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）已知 是关于 的方程 的一个根，则 ________． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程- 形如x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用 解一元二次方程． 如果方程化成x2=p 的形式，那么可得x=± ； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ． 2、解一元二次方程- （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配 方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解． 3、解一元二次方程- （1）把 a ac b b x 2 4 2 − − = （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c 的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac 的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0 的前提下，把a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 21 4、解一元二次方程- （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个 因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二 次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得 到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26 九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) ． 7．（25-26 八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= ，x1x2 = ， 直接将根的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= ，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确 定参数的准确取值。 要点速测 8．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 21 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为 ． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次 增长后为a（1+x）；第二次增长后为 ，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1． ：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2． ：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3． ：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解： 准确求出方程的解． 5． ：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素 材 1 某农户承包了一块长方形果园 ，图1 是果园的平面图，其中 米， 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道 路的宽度都为 米，左右两条纵向道路的宽度都为 米，中间部分种植水 果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度 不超过12 米，且不小于5 米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 21 素 材 2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平 方米的草莓销售平均利润为 元，每月可销售 的草莓；受天气原 因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调 5 元，每月可多销售 草莓．果园每月的承包费为2 万元． (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是 ，求道路宽度x 的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润 销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为 万 元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26 八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． ▌迁移练1-1（25-26 八年级下·浙江丽水·期末）把方程 化为一般形式是__________． ▌迁移练1-2（25-26 八年级上·上海浦东新·期末）若关于 的方程 是一元二次 方程，则 ___________． ▌迁移练1-3（25-26 九年级上·全国·期中）已知 是关于 的一元二次方程，则 的 值为___． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠ 0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再 准确对应a、b、c 的值，避免符号错误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 21 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程 的一个根是1，则 _____． ▌迁移练2-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程 的一个解是 ，则 的 值是______． ▌迁移练2-2（25-26 八年级下·江苏淮安·期末）如果a 是方程 的一个实数根，则 的值为________． ▌迁移练2-3（25-26 八年级下·北京·期末）若 是关于 的方程 的一个根，代数式 的值为__________． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1) ； (2) ． ▌迁移练3-1（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1) ； (2) ． ▌迁移练3-2（25-26 八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程， 解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac 建立不等式 或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1 且一次项为偶数优先 考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先 算判别式Δ=b²-4ac 判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 21 (1) (2) ▌迁移练3-3（25-26 八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程 时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填 “正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程： ． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是________． ▌迁移练4-1（25-26 八年级上·上海普陀·期末）关于 的一元二次方程 的根的情况是______． ▌迁移练4-2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的 实数根，则 ________________． ▌迁移练4-3（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相 等的实数根，则 的取值范围为____________________． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac 求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还 需结合a≠0 及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ▌例5 （25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知 ， 是方程 的两个根，则 __________． ▌迁移练5-1（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若 ，是方程 的两个实数根，则 的值为___________． ▌迁移练5-2（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知 是一元二次方程 的两个不相等的 实数根，则 的值为__________． ▌迁移练5-3（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根 为 ， ，则 的值为______． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚， 一边利用教学楼10 米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21 米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54 平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60 平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）， 再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再 整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0 确定参数范围。 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。 注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人 数、长度不能为负），最后写出完整答语。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / ▌迁移练6-1（25-26 八年级下·浙江台州·期末）黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙 村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6 月中下旬至7 月初．据某采摘基地了解：正常情 况下，杨梅售价为每千克20 元时，每天可售出300 千克，通过市场调查发现，若每千克降价1 元，每天可 多售出25 千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15 元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300 元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500 元？请计算说明． ▌迁移练6-2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批” 文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤 起了广泛而深刻的社会共鸣．截至 月初，《给阿嬷的情书》票房已超 亿元． (1)已知月 日至月 日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为 万，第三天日票房为 万， 那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的 打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价 定为元时，每天约有 名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少 人，经涨价后 发现每天营收增加了 元，则扛标旗单价上涨了多少元？ ▌迁移练6-3（25-26 八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1 和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 背景 10 月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000 人，到12 月份报名的人数将达到1440 人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20 人组团，每人的团费为800 元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10 元，平均每个团的报名人数会增加1 人，但每人的团费不 能低于600 元． 问题解决： (1)任务1：求10 月份至12 月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000 元，求降低团费后每人的团费． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时， 需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞 察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题 升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而 实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26 九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有 关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式 的最小值的过程如下： 解： ． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式 ，当 _______时，代数式 有最_______值（填“大”或 “小”），这个值是_______； (2)比较代数式 与 的大小，并说明理由． 2．（25-26 八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可 以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式 ．又如，求代数 式 的最小值，我们可以通过配方得到： ．因为 ，所以 ，则 ，当 时， 有最小值，最小值是 ． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / (1)分解因式： ； (2)当 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式 与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 3．（25-26 九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数 式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 （ ，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如， 5 是“完美数”，理由：因为 ，再如， ，（ ， 是整数），所 以 也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式 进行配方，可求其最值． 解： 当 时， 的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若 是“完美数”，可配方成 （ ， 为整），求 与 的值； (3)已知实数 ， 均满足 ，求代数式 的最小值． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生 易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知 数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26 八年级下·山东济南·期末）解方程 时，我们可以将 看成一个整体， 设 ，则原方程可化为 ，解得 ， ．当 ，即 ，解得 ；当 ， 即 ，解得 ．所以原方程的解 ， ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / (1)请你利用这种方法解方程： ； (2)已知 三条边的长度分别为 ，，，若满足 ，且 ，请判断 的形状，并说明理由． 2．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ， 原方程可化为 ，① 解得 ， ． 当 时， ， ， ． 当 时， ， ， ． 原方程的解为 ， ， ， ． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程： ． (2)若四个连续正整数的积为 ，求出这四个连续的正整数． 3．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一 个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程 ，可将方程变形为 ，设 ，则 ，原方程化为 ， 解得 ， ．当 时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ，∴原方程 的解为 ， ． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程： ； (2)已知实数x、y 满足 ；求 的值． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两 根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与 “x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个实数根，求实数k 的取值范围； (2)若方程的两个实数根 ， 满足 ，求k 的值． 2．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 值． 3．（25-26 八年级下·北京通州·期末）已知，关于 的一元二次方程 ． (1)求证： 取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ， ，满足 ，求 的值． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易 忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关 系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26 九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发，以 的速度沿 运动；同时，点 从点 出发，以 的速度沿 运动．当点 到 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / 达点 时， 、 两点同时停止运动．设动点运动的时间为 ． (1) ， （用含t 的代数式表示） (2)则当t 为何值时， 的面积为 ． 2．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，，两点分别从 ， 同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒， 的面积等于 ？ ② 的面积能否等于 ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点 到达 后不停止，立即以原速沿 返回；点 到达 后不停止，继续以原速沿射线 方向运动， 直到点 第一次回到 时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒 的面积等于 ？ 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形 中， ， ，点 从 点 出发，沿射线 方向以每秒 个单位长的速度移动，点 从点 出发，沿射线 方向以每秒个单位 长的速度运动，设点 的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时， 的面积为； (2)当 是 的角平分线时，求出此时点 的坐标； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / (3)当为何值时， 是等腰三角形？ 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受 陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼 顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， 若满足 ，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ① ；② (2)已知关于x 的方程 是“差根方程”，求a 的值． (3)已知 是直角三角形，斜边 的长为 ，若 的两边 、 的长是一个二次项系数为1 的 “差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于 的一元二次方程 （ ，，均为 常数， ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ① ；② ；③ ． (2)若 是“邻根方程”，求 的值． (3)若一元二次方程 （ ，，均为常数， ）为“邻根方程”，求出 ，，应满足的 数量关系． 3．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和 有且只有一个相同的实数根 ，所以这两个方程为“同伴方程”． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ① ；② ；③ (2)关于x 的一元二次方程 与 为“同伴方程”，求m 的值； (3)若关于x的一元二次方程 （ ）同时满足 和 ，且与 互为“同伴方程”，求n 的值． 基础达标 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． 1 2 x+ = B． 2 4 3 x x − = C． 2 1 x y + = D． 3 5 − = xy 2．将一元二次方程 2 3 2 x x - = 化成一般形式后，常数项是2 −，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A．3，2 − B．3，1 C．3，1 − D．3，0 3．用配方法解方程 2 8 3 x x − = −时，配方后正确的是（ ） A． 2 ( 4) 19 x + = B． 2 ( 4) 13 x + = C． 2 ( 4) 19 x − = D． 2 ( 4) 13 x − = 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． 2 4 0 x − = B． 2 6 0 x x − − = C． 2 4 4 0 x x − + = D． 2 1 0 x x − + = 5．矩形的周长为24cm ，其中一边长为cm x ，面积为 2 32cm ，则列出关于x 的方程为（ ） A． 2 32 x = B． ( ) 2 32 12 x = − C． ( ) 32 12 x x = − D． ( ) 32 2 12 x = − 二、填空题 6．若关于x 的一元二次方程 2 2025 0 ax bx = - - 有一个根为 1 x = −，则a b + = ． 7．若关于x 的方程( ) 2 2 2 6 9 0 m m x x − + + − = 是一元二次方程，则m 的值是 ． 8．原来商场将进价为每件80 元的某商品按每件100 元出售，一天可售出100 件．后来经调查发现，每件 该商品降价1 元，销量可增加10 件，商场想获利2250 元．设将该商品每件降价x 元，根据题意，可列方程 为 ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程 2 2025 1 0 x x − + = 的两个根，则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ( )( ) 1 1 m n + + = ． 10．（24-25 九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶ ( )( ) * 2 2 a b a b a = − − − ．判定关于x 的方程* 0 x k = 的根的情况： ． 三、解答题 11．解下列方程： (1) 2 4(2 1) 81 0 x + − = ． (2) 2 1 6 3 0 2 x x − + = （用配方法）． (3) 2 2 4 5 0 x x − − = （用公式法）． 12．阅读下列关于解方程： 2 2 8 18 0 x x − − = 的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， 2 2 8 18 x x − = ① 两边同除以2 得， 2 4 9 x x − = ② 配方得， 2 4 4 9 x x − + = ③ 即，( ) 2 2 9 x − = 2 3 x − = 或 2 3 x − = −④ 1 5 x = ， 2 1 x = −⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 13．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14m）， 另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2m宽的门（门不用木栏）．已 知建成后所用木栏总长为32m，当AB 的长是多少时，矩形苗圃ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 14．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m m − + + + −= (1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值． 15．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售1500个，7 月份销售2160个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200 个/月，但 如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400 个．若 增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 能力进阶 一、单选题 1．若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 ( 1) 2 1 0 m x x m − + + − = 的常数项为0，则方程的两个根为（ ） A． 1 2 1, 0 x x = − = B． 1 2 1, 1 x x = − = C． 1 2 1, 2 x x = − = − D． 1 2 0, 1 x x = = 2．已知a b ，是方程 2 3 0 x x + − = 的两个实数根，则 2 2025 a b − + 的值是（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 3．若关于x 的一元二次方程方程( ) 2 1 4 1 0 m x x − + + = 有实数根，则m 的取值范围是（ ） A． 5 m 且 1 m B． 5 m ，且 1 m C． 5 m D． 5 m 二、填空题 4．（24-25 八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x 的方程( ) ( ) 2 4 2 3 2 0 m m x m x − − + − − = 是一元二次方程，则m 的 值为 ． 5．已知 1 x 、 2x 是方程 2 2 4 0 x x − − = 的两个实数根，则 2 2 1 2 1 2 3 x x x x + + = ． 6．定义 2 * 2 a b a b + = ，则方程( ) ( ) 2 2 2 * 2 1 x x x x − = 的解为 ． 三、解答题 7．用合适的方法解下列方程： (1) 2 2 4 x x − = (2)( ) 2 2 2 4 x x + = (3) ( ) 1 3 x x + = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / (4)( )( ) 2 1 3 4 x x − + = 8．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 5 0 x m x m − − + − = ． (1)当方程有两个实数根时，求m 的取值范围． (2)当方程的两个根 1 2 x x 、 满足 2 2 1 2 1 2 12 x x x x + = + 时，求m 的值． 9．某景区5 月份的游客人数比4 月份增加60% ，6 月份的游客人数比5 月份减少10% ． (1)设该景区4 月份的游客人数为a 万人，请用含a 的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4 月 5 月 6 月 游客人数/ 万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5 月份、6 月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40 元的文化衫，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件，通过 市场调查发现，每件文化衫售价每降低1 元，日销售量增加2 件．若商家想要达到日利润432 元，为尽快 销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 10．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （a≠0）的两个 实数根为x1，x2，则 1 2 1 2 b c x x x x a a + = − = ， ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例： 已知一元二次方程 2 1 0 x x − −= 的两个实数根分别为m，n，求 2 2 m n mn + 的值． 解：∵一元二次方程 2 1 0 x x − −= 的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 m n mn mn m n + = + = − = −． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 2 6 15 0 x x − − = 的两根为 1 x ， 2x ，则： 1 2 x x + = ____， 1 2 x x = _____； (2)一元二次方程 2 2 4 1 0 x x − + = 的两个根为 1 x ， 2x ，求 1 2 1 1 x x + 的值； (3)若 1 x ， 2x 是关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m − + + + = 的两个实数根且 1 2 1 2 3 x x x x + = −，求m 的值．
