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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 16 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十五章 一元二次方程 建议用时：120 分钟，满分：120 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含有一个未知数，未知数的最高次数为2，据此逐 一判断选项即可． 【详解】解：选项A：方程 中含有 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项B：方程 不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项C：方程 中含有 个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； 选项D：方程 是一元二次方程，故此选项符合题意． 2．一元二次方程 的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】x2-x-2=0 因式分解为(x+1)(x-2)=0，解为 . 3．关于 的一元二次方程 化为一般形式后不含一次项，则 的值为（ ） A．0 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化简为一般式，再将一次项的系数为0 且二次项系数不为0，求解即可． 【详解】解： ， 一元二次方程不含一次项， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 16 ， ， ， ， 解得 ， 故选：D． 4．某次女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛（每两支队伍之间都赛1 场），单循环比赛共进行了 45 场，则参加比赛的队伍有（ ） A．8 支 B．10 支 C．7 支 D．9 支 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．设参加比赛的队伍有 支，根 据题意列出一元二次方程，解方程即可求解． 【详解】解：设参加比赛的队伍有 支，根据题意得， 解得： ， （舍去） 故选：B． 5．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能 源汽车的月销售量由一月份的8000 辆增加到三月份的12000 辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长 率为x，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000 辆，三月份增至12000 辆，需建立平均每月增长率x 的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的 倍，故三月份销量 为 ，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为 ，三月份销量为二月份的 倍，即 ． 根据题意，三月份销量为 辆，可得方程为： ． 故选B． 6．如图是一个简单的程序计算器，如果输出的数值为 ，则输入x 的值为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 16 A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了程序流程图和解一元二次方程，根据题意得： ，解出即可． 【详解】解：根据题意得： ， 即 ， ∴ ． 故选：C． 7．根据表格，判断关于x 的方程 的一个解的范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到 的值在两个相邻 处分别小于和大于，则方程 的解就在这两 个 之间． 【详解】解： 由表格可知：当 时， ， 当 时， ， 方程 的一个解 的取值范围为 ． 8．等腰三角形的两边长分别是方程 的两个根，则这个三角形的周长为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系及周长，由方程可得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 16 ，根据三角形的三边关系可得等腰三角形的底边长为，腰长为 ，进而即可求出三角形的周长，掌 握等腰三角形的定义及三角形的三边关系是解题的关键． 【详解】解：由方程 得， ， ， ∵ ， ∴等腰三角形的底边长为，腰长为 ， ∴这个三角形的周长为 ， 故选： ． 9．已知甲方程为 ，乙方程为 ，则关于甲、乙两方程的解的情况，下列叙述正确的是 （ ） A．甲有两个不相等的解，乙无解 B．甲、乙都有两个不相等的解 C．甲有两个相等的解，乙无解 D．甲有两个相等的解，乙有两个不相等的解 【答案】A 【分析】利用直接开平方法结合实数平方的非负性，分别判断两个方程解的情况即可． 【详解】解：甲方程： ∴两边开平方得 ， 解得 ，因此甲有两个不相等的实数解； 乙方程： ， ∵任意实数的平方都满足 ，不可能等于 ∴不存在实数 使等式成立，因此乙无解； 综上，甲有两个不相等的解，乙无解． 10．定义运算： ，例如 ， 时， ．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将 整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的 判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于 ，求解得到 的取值范围． 【详解】解：∵定义运算 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 16 ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 化简得 ， 解得 ． 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分） 11．关于x 的方程 是一元二次方程，则m 为__________． 【答案】 【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次为2 的整式方程是一元二次方程，据此可得 ，解 之即可得到答案． 【详解】解：∵关于x 的方程 是一元二次方程， ∴ ， ∴ ． 12．若 是关x 的方程 的解，则 的值为___________． 【答案】2019 【分析】将 代入方程，得到 ，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵ 是关x 的方程 的解， ∴ ，即： ， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 16 ； 故答案为：2019． 【点睛】本题考查方程的解，代数式求值．熟练掌握方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键． 13．已知一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是 和3，它的二次项系数是1，写出符合条件的方程： __________（写方程的一般形式）． 【答案】 【分析】设出符合条件的一元二次方程，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到目标方 程． 【详解】解：设该一元二次方程为 ，方程的两个根为 ， ， 由根与系数的关系可得 ， ， ∴ ， ∴因此方程为 ． 14．已知关于 的方程 的解为 ， ，则关于 的方程 的解 为______． 【答案】 ， 【分析】此题考查利用换元法解一元二次方程，注意要根据方程的特点灵活选用合适的方法． 解数学题时， 把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法． 将第二个方程中的 看成一个整体，则由第一个方程的解可知 或 ，从而求解； 【详解】解：∵关于 的方程 的解为 ， ∴关于 的方程 的解为 ， ∴解得： ． 15．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4 个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若 ，则每个直角三角形的面积为________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 16 【答案】96 【分析】由题意知， ，由 ，可得 ，计算求出满足要求的 ，然 后求 ，根据每个直角三角形的面积为 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知， ， ∵ ， ∴ ， 解得 ， （舍去）， ∴ ， ∴每个直角三角形的面积为 ， 故答案为：96． 【点睛】本题考查了勾股定理．解题的关键在于对勾股定理的熟练掌握与灵活运用． 三、解答题（一）（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分） 16．用指定方法解下列方程： (1) ；（配方法） (2) ；（公式法） 【详解】（1）解： ， ， ， ， 所以 ． （2）解： ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 16 ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 17．已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求m 的取值范围； (2)当 时，求 的值． 【分析】本题考查了根与系数的关系：若 是一元二次方程 （ ）的两根时， ， ．也考查了根的判别式． （1）根据判别式的意义得到 ，然后解不等式即可； （2）由根与系数的关系韦达定理可知 ， ，再利用整体代入 即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得 ， 解得 ； （2）解：由韦达定理可知 ， ， ∵ ， ， 解得 ． 18．列方程（组）解应用题：某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚 下，围一块面积为600m2 的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m， 另外三面用69m 长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m 宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽． 【答案】30m，20m 【分析】设当茶园垂直于墙的一边长为xm 时，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据茶园的面积为600m2， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 16 列出方程并解答． 【详解】设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m， 根据题意，得x（69+1﹣2x）＝600， 整理，得x2﹣35x+300＝0， 解得x1＝15，x2＝20， 当x＝15 时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去； 当x＝20 时，70﹣2x＝30，符合题意． 答：这个茶园的长和宽分别为30m、20m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据数量关系列出方程是解题的关键． 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分） 19．某服装店发现：进货价为每件50 元，销售价为每件90 元的某品牌服装，平均每天可售出20 件．现服 装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装每降价2 元，那 么平均每天就可多售出3 件． (1)若要求销售这种服装平均每天盈利1000 元，同时要使顾客得到较多的实惠，那么售价应该定为多少元？ (2)平均每天盈利能否达到1250 元？请说明理由． 【答案】(1)售价应定为70 元 (2)不能，理由见解析 【分析】（1）设每件降价 元，根据销售这种服装平均每天盈利1000 元，列出方程，解方程即可； （2）根据每天盈利达到1250 元，列出方程，判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：设每件降价 元， 由题意列方程： ， 整理得 ， 解得 ， ， 要使顾客得到较多实惠，取 ，售价为 元， 答：售价应定为70 元． （2）解：当 ， 整理得： ， 判别式 ，方程无实数根， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 答：平均每天盈利不能达到1250 元． 20．数学课上，老师在黑板上书写了 两个整式； ， ． (1)比较 的大小； (2)若 ，证明： 不可能小于0． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）通过计算并判断 的正负性，即可比较 的大小； （2）利用整式的加减运算法则表示出 ，再利用配方法整理得 ，最后利用非负数的性质即 可证明． 【详解】（1）解： ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 不可能小于0． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 21．如图所示，在四边形 中， ， ， ，动点 从点 出发沿AD 方向向点 以 的速度运动，动点 从点 开始沿着 方向向点 以 的速度运动．点 分别从点 和点 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动． (1)当运动秒时，线段 _____ _____ （用含有t 的代数式表示） (2)经过多长时间，四边形 是矩形？ (3)经过多长时间，PQ 的长为 ？ 【答案】(1)t， (2) (3)经过5 秒或9 秒， 的长为 【分析】此题主要考查一元二次方程的应用，矩形的性质，勾股定理，解题的关键是熟知矩形的判定和性 质是解题的关键 （1）根据路程=速度乘以时间列式即可； （2）四边形 为矩形，根据 ，列方程求解即可； （3）根据勾股定理，根据 ，列方程求解即可． 【详解】（1）由题意，得线段 ， 故答案为：t， ； （2）解：∵四边形 为矩形， 则 ，即 ， 解得： ； （3）解：过点 作 于点 在 中，根据勾股定理 ， 已知 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / ， 则可得方程 ， 即 ， 移项可得 ， 两边同时开平方得 ； 当 时， 移项可得 ， 解得 ； 当 时， 移项可得 ， 解得 ； 所以，经过秒或秒， 的长为 ． 五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分） 22．阅读下列材料： 解方程 ， 解：设 ，则原方程化为 ， 解得 ， ． 当 时， ，解得： ； 当 时， ，解得 ． 原方程的解为： ， ， ， ． 以上解一元二次方程的方法叫做换元法，通过换元法达到了降次或者简化方程的目的，这体现了数学中的 转化思想． (1)请用上述方法解下列方程： ； (2)已知实数 ， 满足 ，求 的值． 【答案】(1) ， ； (2) ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【分析】本题主要考查了运用换元法解方程．解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，通过换元的 方法降低方程的次数，从而达到简化方程的目的，使解方程更容易． （1）设 ，则原方程可化为 ，利用因式分解法求出未知数 的值，从而把一元二次方 程转化为两个一元一次主程，通过解一元一次方程求出原方程的解； （2）设 ，则原方程化为 ，通过解一元二次方程求出 的值，即可得到 的值，根据平方的非负性把不符合条件的解舍去． 【详解】（1）解： 设 ， 则原方程可化为 ， 分解因式可得： ， 解得： ， ， 当 时，可得： ， 解得： ， 当 时，可得： ， 解得： ， 原方程的解为 ， ； （2）解： ， 整理得： ， 设 ， 则原方程化为 ， 整理得： ， 分解因式可得： ， 解得： ， ， 当 时， ， 当 时， (不符合题意，舍去)， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / ． 23．配方法是数学中重要的一种思想方法，能帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等 问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 (a，b 是整数)的形式，可称这个数为“完美数”．例如，5 是“完美数”，理由：因为 ，再如， ，(x，y 是整数)，所以 也 是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式 进行配方，可求其最值． 解： ； 当 时， 的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题∶ 【解决问题】 (1)下列各数中，“完美数”有 (只填序号)； ① ； ② ； ③ ． 【探究问题】 (2)若 可配方成 ， 为正整数），则 的值为 ； (3)已知 ，是整数，是常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的一个 值， 并说明理由； 【拓展应用】 (4)已知实数 ， 均满足 ，求代数式 的最小值． 【答案】（1）②； （2）9； （3）解: ，理由如下： ， 要使为“完美数”， 则 需为完全平方式， 故 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 此时 ，符合“完美数”定义， ； （4） 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握 相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）将 配方成 的形式，即可得解； （3） ，要使为“完美数”， 则 需为完全平方式，故 ，据此求解即可； （4） ，据此求解即可． 【详解】解：（1）由于② ，所以②是完美数， ； 所以 , 不能表示成 (a，b 是整数)的形式，不是完美数 故答案为：②； （2）由 ， 可配方成 ， ， ， ， 故答案为：9； （3）略 （4） ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / ， 当 时， 的最小值为2025．
