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1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 2026 年秋季九年级开学学情自测卷 数学•全解全析 一、选择题（本大题有10 个小题，每小题3 分，共30 分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的） 1．下列方程是关于 的一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：A、方程分母含有未知数，是分式方程，不符合一元二次方程定义，故选项不符合题意； B、对 去括号、移项、合并同类项，得 ，符合一元二次方程定义，故选项 符合题意； C、未说明 ，当 时方程不是一元二次方程，故选项不符合题意； D、对 去括号、移项、合并同类项，得 ，是一元一次方程，故选项不符合题意． 2．如图，在 中，若点 、 分别是 、 的中点， ，则 （ ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【详解】解： 点 、 分别是 、 的中点， 为 的中位线， ， ， ， ， ， ． 3．菱形的两条对角线长分别为 、 ，则它的周长为（ ） 2 / 18 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图，菱形 的对角线 、 相交于O，且 ， ， ∴ ， ， ， ， 在 中， ， ∴菱形的周长为 ． 4．如图， 与 位似，点 为位似中心，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 与 位似， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 5．已知矩形的两条邻边长是方程 的两个根，则矩形的周长是（ ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】C 【详解】解：设矩形两条邻边长分别为 ， ， ， 是方程 的两个根， 由根与系数的关系得 ． 矩形的周长为 ． 6．为了探究特殊化的问题解决策略，三个边长均为 的正方形按如图所示的方式摆放， ， 分别是 正方形对角线的交点，则重叠部分的面积和为（ ） 3 / 18 学科网（北京）股份有限公司 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图， ， ， ， 在 和 中， ， ， ， 重叠部分的面积和为正方形面积的一半，即 ． 7．如图，在 中， ， ， ，点E 在边 上，以 为对角线作 ，则 的长度的最小值为（ ） A．5 B．6 C．6.5 D．10 【答案】A 【详解】解：如图，设 交 于点 ， 4 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ∵在 中， ， ， ， ∴ ， ∵四边形 为平行四边形， ∴ ， ， ∴由垂线段最短可得，当 时， 取最小值，此时 线段最短， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 8．如图，菱形 的边长为 ， ，点 从点 出发，沿 匀速运动，终点为 ， 设点 运动的路程为 ， 的面积为 （不妨设当点 与点 或点 重合时， ），则 关于 的 函数图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如下图所示，过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则 ， 5 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， ， ， ①当 ，即点 在 上时， ； ②当 ，即点 在 上时， ； ③当 ，即点 在 上时， ， 综上所述， ， 函数图象如下图所示： 9．如图，在 中， ， ， ， 为边 上一动点， 于 ， 于 ， 则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：连接 ，如图： 6 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ， ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，即 ， ∵ ， ， ∴四边形 是矩形， ∴ ， 当 时， 取得最小值，即 取得最小值， ∵ ， ∴ ，即 的最小值为 ． 10．已知关于x 的一元二次方程 的两根之差为2，则代数式 的最大值为（ ） A． B． C．4 D．10 【答案】C 【详解】解：设方程 的两根分别为 ， ． 由根与系数的关系得 ， ． ∵ 两根之差为2， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． 整理，得 ，即 ． 将 代入 ，得 ， 配方得 ． ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∴代数式 的最大值为4． 二、填空题（本大题有6 个小题，每小题3 分，共18 分） 7 / 18 学科网（北京）股份有限公司 11．若 ，且面积比为 ，则其对应边上的高的比为_______． 【答案】 【详解】解：∵ ，且面积比为 ， ∴相似比为 ， ∴对应边上的高的比为 ． 12．已知菱形的两条对角线的长分别为 和 ，则菱形的面积为________ ． 【答案】 【详解】解：菱形的面积为 ． 13．若 是一元二次方程 的两实数根 ，则 的值是___________． 【答案】 【详解】解：对于方程 可得 ， ∴ ． 14．如图，一块矩形纸片 ，长 ，宽 ，将这块矩形纸片沿对角线 对折（折痕 与折叠后得到的图形用虚线表示），得到 ，则 ______． 【答案】 【详解】解：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ， 由折叠的性质可知： ， ， ， ∴ ， ， ， ∵ 与 交于点 ， ∴ ， 在 与 中， 8 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得： ． 15．如图， 中， 是 的延长线上一点， 与 交于点 ， ．若 的面积为， 则 的面积为_______． 【答案】 【详解】解： 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 9 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ． 16．已知a，b 是一元二次方程 的两根，则 的值是 _____． 【答案】17 【详解】解：∵a，b 是一元二次方程 的两根， ∴ ， 则原式 ． 三、解答题（第17，18，19，20 题，每题6 分；第21，22，23 题，每题8 分；第24，25 题， 每题12 分；共9 小题，共72 分） 17．解方程 (1) ； (2) 【详解】（1）解： 或 10 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ∴ ， ；.............................................................................................................................................3 分 （2）解： ∴ ， ...............................................................................................................................6 分 18．在 的网格图中，已知 和点 ． (1)以点M 为位似中心，位似比为2，画出 的位似图形 ； (2)写出 的各顶点坐标． 【详解】(1)如图， 即为所求： 11 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ...............................................................................3 分 (2) ， ， .........................................................................................................................6 分 19．如图， 是等腰三角形， ，点D、E 分别是 、 的中点，连接 并延长至点F， 使 ，连接 、 、 ． (1)求证：四边形 是矩形； (2)若 ， ，求矩形 的周长． 【详解】(1)证明：∵点E 是 的中点， ， ， 四边形 是平行四边形，......................................................................................................................1 分 点D 为等腰 的底边 的中点， ，即 ， 四边形 是矩形......................................................................................................................................3 分 （2）解：∵ 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形， ，.................................................................................................................................................4 分 点D 是 的中点， 12 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ， ， ， 矩形 的周长 ．............................................................................................6 分 20．已知关于 的一元二次方程 有两个实数根． (1)求实数 的取值范围； (2)若 ， 是该方程的两个根，且满足 ，求 的值． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 有两个实数根， ∴ ， 解得 ；.........................................................................................................................................................2 分 （2）解：∵ ， 是该方程的两个根， ∴ ， ， ∴ ，...................................................................................4 分 解得 ， ， 由（1）可知： ， ∴ ．............................................................................................................................................................6 分 21．如图，在 中，D 为 边一点，E 为 边中点，过C 作 交 的延长线于点F，延长 与 延长线交于点G． (1)求证： ． (2)若 ，求 的长． 【详解】(1)证明：∵ ， ∴ ， ∵E 为 边中点， ∴ ，......................................................................................................................................................2 分 ∵在 和 中， 13 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ；.................................................................................................................................4 分 （2）解：∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，.............................................................................................................................................6 分 ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ．.......................................................................................................................................................8 分 22．健身运动已成为一种时尚，各种健身俱乐部应运而生，某健身俱乐部2020 年有会员200 人，其中男、 女会员人数之比为 ． (1)求该健身俱乐部2020 年男、女会员各有多少名？ (2)预计今后两年该俱乐部男、女会员的人数每年分别按k 人和（ ）人递增，这样到2022 年该俱乐部 男、女人数之比将变为 ． ①求k 的值； 2020 ② 年该俱乐部每个男、女会员的年会费分别为1000 元和900 元，若每个男会员的年会费每年增加300 元，每个女会员的年会费每年以相同的百分数递增，这样2022 年该俱乐部全体女会员年会费总量将达到 2020 年全体男会员年会费总量的 ．问2022 年该俱乐部每个女会员的年会费是否与男会员的年会费相 等？ 【详解】（1）解：设该健身俱乐部2020 年有女会员x 人，则有男会员4x 人． 依据题意，得 ， 解得， ， ， 答：该健身俱乐部2020 年有男会员160 人，女会员40 人．.......................................................................2 分 （2）解：①依据题意得： ， 14 / 18 学科网（北京）股份有限公司 解得： ， 经检验 是所列方程的根， 故 ；.............................................................................................................................................................5 分 ②设每个女会员的年会费每年增长的百分数为y， ， 整理得 ， 解得 ， （不合题意，舍去）， 2022 年女会员每人年会费： （元）， 2022 年男会员每人年会费： （元）． 2022 ∴ 年该俱乐部每个女会员的年会费与男会员的年会费相等．..............................................................8 分 23．如图1，在平行四边形 中， ， ， ， ， 相交于点 ，且 ， ，连接 ． (1)求 的长； (2)求证： ； (3)如图2，设 与 相交于点 ，连接 ，求 的长． 【详解】（1）解：在平行四边形 中， ， 四边形 是菱形， ， ， ， 相交于点 ， ， ， ， ， ．............................................................................................................2 分 (2)证明： ， 四边形 为平行四边形．（两组对边分别平行的四边形是平行四边形） 四边形 是菱形， ， 15 / 18 学科网（北京）股份有限公司 四边形 为矩形．（一个角是直角的平行四边形是矩形）， ， ；......................................................................................................................................................4 分 （3）解：过点D 作 于点H， 根据菱形的面积，得 ， ， 解得 ， ，......................................................6 分 四边形 是菱形，四边形 为矩形， ， ， ．........................................................................................8 分 24．对于关于 的代数式 ，若存在实数 ，使得当 时，代数式的值等于 ，则称 为这 个代数式的“镜像值”．例如：对于代数式 ，当 时，代数式的值等于 ；当 时，代数式的值 等于，我们就称 和 都是这个代数式的“镜像值”． (1)代数式 的镜像值是________； (2)判断代数式 是否有镜像值．若有，请求出此代数式的镜像值；若没有，则说明理由； (3)关于 的代数式 ，若此代数式有两个镜像值，且两个镜像值的差为整数，求正整数 的值． 【详解】（1）解：设代数式 的镜像值为 ，根据定义得 ， 整理得 ， 解得 ， 即代数式 的镜像值是和 ．..........................................................................................................2 分 16 / 18 学科网（北京）股份有限公司 (2)代数式 没有镜像值， 理由：设代数式 的镜像值为 ， 根据定义得 ， 整理得， ， 计算根的判别式 ， 方程没有实数根， 代数式 没有镜像值．....................................................................................................................5 分 （3）解：设代数式 的镜像值为 ， 根据定义得 ， 整理得 ， 为正整数，代数式有两个镜像值， ，方程是一元二次方程，且 ， 方程的两个根为 ， 则两个根差的绝对值为 ，8 分 两个镜像值的差为整数， 是正整数， 是正整数， 为正整数， ， 即 ， 满足条件的整数平方只有，即 ， 得 ，符合要求 正整数 的值为．.......................................................................................................................................12 分 25．如图，平面直角坐标系中，四边形 为矩形，点A，B 的坐标分别为 ， ，动点M 从点O 出发，以每秒1 个单位的速度沿线段 向终点A 运动，同时点N 以相同速度从点B 出发，沿线段 向终 点C 运动，过点N 作 ，交 于点P，连接 ，设运动时间为t 秒． 17 / 18 学科网（北京）股份有限公司 (1)求直线 的解析式． (2)用含t 的代数式表示P 的坐标 （直接写出答案）． (3)是否存在t 的值，使以P，A，M 为顶点的三角形与 相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请 说明理由． 【详解】（1）解：∵四边形 为矩形， ∴ ， ∵点A，B 的坐标分别为 ， ， ∴点 ，.....................................................................................................................................................1 分 设直线 的解析式为： ， 由题意可得： ， 解得： ， ∴直线 的解析式为： ；..........................................................................................................4 分 （2）延长 ，交 于点G，可得出 ， ∵动点运动t 秒后， ∴ ， ∴ ， 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 ∵点A，C 的坐标分别为 ， ， ∴ ， ∴ ，................................................................................................................................6 分 ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 则 ， ， ∴P 点的坐标为 ；..............................................................................................................................8 分 （3）当 时，且 ，则 ， ∴ ， ∴ ∴ ，............................................................................................................................................................10 分 当 时，且 ，则 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 综上所述： 或 ．..................................................................................................................................12 分
