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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 8 2026-2027 学年八年级上学期数学周周测16 18.3～18.4 分式的加法与减法、整数指数幂 一、选择题（本题共10 小题，每小题3 分，共30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的） 1.计算(a3)−2的结果是( ) A. −a6 B. a6 C. 1 a6 D. − 1 a6 【答案】C 【详解】根据幂的乘方运算法则：(a3)−2 = a3×(−2) = a−6，由负整数指数幂定义得：a−6 = 1 a6。故选C。 2.下列计算正确的是( ) A. a2 ⋅a−3 = a−6 B. (a−1b3)−2 = a2b−6 C. ( 1 2)−1 = − 1 2 D. 5x−2 = 1 5x2 【答案】B 【详解】： A、a2 ⋅a−3 = a−1 = 1 a ≠a−6，计算错误； B、(a−1b3)−2 = a2b−6 = a2 b6，计算正确； C、( 1 2) −1 = 2 ≠− 1 2，计算错误； D、5x−2 = 5 x2 ≠ 1 5x2，计算错误。 3.计算(a − 1 b) ÷ ( 1 a −b)的结果是( ) A. − a b B. a b C. − b a D. b a 【答案】A 【详解】解：(a − 1 b) ÷ ( 1 a −b) = ab −1 b ÷ 1 −ab a = ab −1 b ⋅ a 1 −ab 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 8 = − a b， 故选：A． 4.已知A为整式，若计算 A xy+y2 − y x2+xy的结果为 x−y xy ，则A =( ) A. x B. y C. x + y D. x −y 【答案】A 【详解】对左侧分式通分： A y(x + y) − y x(x + y) = Ax −y2 xy(x + y) 等式右侧： x−y xy = (x−y)(x+y) xy(x+y) = x2−y2 xy(x+y) 对比分子得：Ax −y2 = x2 −y2，故A = x。故选A。 5.一份工作，甲单独做需a天完成，乙单独做需b天完成，则甲、乙两人合作一天的工作量是( ) A. a+b ab B. 1 a+b C. a+b 2 D. a + b 【答案】A 【详解】解：∵甲单独做需要a天完成，乙单独做需要b天完成， ∴甲一天的工作量为 1 a ，乙一天的工作量为 1 b ， ∴甲、乙合作一天可以完成的工作量为 1 a + 1 b = a+b ab ， 故选：A． 6.如果a −b = 3，那么(a − b2 a ) ⋅ a a+b的值是( ) A. 3 B. −3 C. 1 3 D. − 1 3 【答案】A 【详解】原式化简： (a −b2 a ) ⋅ a a + b = a2 −b2 a ⋅ a a + b = (a + b)(a −b) a + b = a −b 代入a −b = 3，原式= 3。故选A。 7.化简(1 −x) ÷ (1 − 1 x) ⋅x的结果是( ) A. −x2 B. 1 C. x2 D. −1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 8 【答案】A 【详解】原式化简： (1 −x) ÷ (1 − 1 x) ⋅x = (1 −x) ÷ x−1 x ⋅x = (1 −x) ⋅ x x−1 ⋅x = −x2。故选A。 8.已知a = ( 1 2)−3，b = (−2)2，c = (π −2026)0，则a，b，c的大小关系是( ) A. b < a < c B. b < c < a C. c < b < a D. a < b < c 【答案】C 【详解】分别计算： a = ( 1 2) −3 = 8，b = (−2)2 = 4，c = (π −2026)0 = 1 大小关系：c < b < a。故选C。 9.小明在作业本上书写了一个正确的演算过程，同桌小亮一不小心撕坏了一角，如图所示，则撕坏的一角中 “◼”为( ) A. x+1 x−1 B. x+5 x−1 C. 1 D. x x−2 【答案】C 【详解】根据完整演算等式反向化简，逐项约分抵消多余分式，最终求得被遮挡部分数值为1。故选C。 10.已知a1 = x + 1(x ≠0且x ≠−1)，a2 = 1 1−a1，a3 = 1 1−a2，⋯⋯，an = 1 1−an−1，则a2025等于( ) A. −x + 1 B. x + 1 C. x x+1 D. − 1 x 【答案】C 【详解】∵a1 = x + 1，∴a2 = 1 1−a1 = 1 1−(x+1) = − 1 x， ∴a3 = 1 1−a2 = 1 1−(−1 x) = x x+1， ∴a4 = 1 1−a3 = 1 1−x x+1 = x + 1 = a1， ∴a5 = 1 1−a4 = 1 1−(x+1) = − 1 x = a2，⋯2025 ÷ 3 = 675， ∴a2025 = a3 = x x+1． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 8 故选C． 二、填空题：本题共6 小题，每小题3 分，共18 分。 11.计算：(−1)2024 + (π −3.14)0 −( 1 2) −2 = ． 【答案】−2 【详解】解：原式= 1 + 1 −4 = −2． 故答案为：−2． 12.计算 2ab a2−b2 − b a+b的结果是 ． 【答案】 b a−b 【详解】原式= 2ab (a+b)(a−b) − b(a−b) (a+b)(a−b) = 2ab−ab+b2 (a+b)(a−b) = ab+b2 (a+b)(a−b) = b(a+b) (a+b)(a−b) = b a−b． 13.若a −b = 1，则( b2 a −a) ⋅ 2a a+b的值为 ． 【答案】−2 【详解】原式= ( b2−a2 a ) ⋅ 2a a+b = −(a+b)(a−b) a ⋅ 2a a+b 约分化简得：−2(a −b)，代入a −b = 1，原式= −2 × 1 = −2。 14.阳阳同学在复习老师已经批阅的作业本时，发现有一道填空题被墨污染了(如图所示)，◼表示被墨污染的 部分.已知该题是正确的，则被墨污染部分的式子可能是 ．化简:(◼− 3 1−x) ÷ x x+1 = x+1 x−1 【答案】 x−3 x−1（答案不唯一） 【详解】设遮挡部分为M，由题意得： (M − 3 1 −x) ÷ x x + 1 = x + 1 x −1 M + 3 x −1 = x + 1 x −1 ⋅ x x + 1 = x x −1 M = x x−1 − 3 x−1 = x−3 x−1。 15.已知(a + b)2 = 4，(a −b)2 = 8，则 a b + b a的值为 ． 【答案】−6 【详解】由(a + b)2 = 4得：a2 + 2ab + b2 = 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 8 由(a −b)2 = 8得：a2 −2ab + b2 = 8 两式相加：2(a2 + b2) = 12，得a2 + b2 = 6 两式相减：4ab = −4，得ab = −1 原式= a b + b a = a2+b2 ab = 6 −1 = −6。 16.若( 1 3) −m = 2， 1 3n = 5，则92m−n = ． 【答案】400 【详解】由( 1 3) −m = 2，得3m = 2；由 1 3n = 5，得3n = 1 5。 92m−n = (32)2m−n = 34m−2n = (3m)4 (3n)2 代入数值： 24 (1 5) 2 = 16 1 25 = 16 × 25 = 400。 三、解答题：本题共6 小题,第17 题6 分，第18~20 题每题8 分，第21 题10 分，第22 题12 分，共52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（6 分）计算： (1) a2+2 a+1 − 3 1+a； (2) a a2−1 + 3a+1 a2−1 + 2a+3 1−a2． 【答案】 (1)解：原式= a2+2−3 a+1 = (a+1)(a−1) a+1 ＝a-1； (2)原式= a+3a+1−2a−3 a2−1 = 2a−2 a2−1 = 2(a−1) (a+1)(a−1) = 2 a+1． 18.(8分) 先化简，再求值：(x −2 − 5 x+2) ⋅ 2x+4 x2−3x，其中x = (1 −π)0 −| − 1 2 |. 【答案】 解：原式= (x−2)(x+2)−5 x+2 ⋅ 2(x+2) x(x−3) = (x + 3)(x −3) x + 2 ⋅2(x + 2) x(x −3) = 2x+6 x ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 8 ∵x = (1 −π)0 −| − 1 2 | = 1 − 1 2 = 1 2， ∴原式= 2x+6 x = 2×1 2+6 1 2 = 14 19.(8分) 先化简，再求值：( x2−1 x+2 −x + 1) ÷ x−1 x2+4x+4，其中x = −4． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式= [ x2−1 x+2 − (x+1)(x+2) x+2 ]. x2+4x+4 x−1 ⋯⋯第一步 = −3x−3 x+2 ⋅ (x+2)2 x−1 ⋯⋯第二步 = (−3x−3)(x+2) x−1 ⋯⋯第三步 = − 3(x+1)(x+2) x−1 ．⋯⋯第四步 (1)【任务一】填空： ①以上化简步骤中，第 步是约分得到的，约分的依据是 ; ②第 步开始出现错误，这一步错误的原因是 ． (2)【任务二】请写出正确的化简过程，并代入求值． 【答案】 (1) ①三 ; 分式的基本性质 ②一 ; 添括号时,所添括号里面的第二项没有变号 (2)原式=[ x2−1 x+2 - (x−1)(x+2) x+2 ]⋅ x2+4x+4 x−1 = x2−1−(x−1)(x+2) x+2 ⋅ (x+2)2 x−1 = x2−1−x2−x+2 x+2 ⋅ (x+2)2 x−1 = −(x−1) x+2 ⋅ (x+2)2 x−1 = -(x+2) = -x-2. 当x=-4 时,原式=-(-4)-2=4-2=2. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 8 20.(8分) 已知A = x + y，B = x2 −y2，C = x−y x ÷ (x − 2xy−y2 x ). (1)若 A B = 1 5，求C的值; (2)当y = 1，且3C为整数时，求x的整数值． 【答案】 (1)∵ A B = 1 5, ∴ x+y x2−y2 = 1 5. ∴ 1 x−y = 1 5. ∴C= x−y x ÷ x2−2xy+y2 x = x−y x ⋅ x (x−y)2 = 1 x−y = 1 5. (2)当y=1 时,3C= 3 x−1. ∵3C 为整数, ∴x-1=±1 或±3. ∴整数x 的值为0 或2 或-2 或4. ∵x≠0 且x≠1, ∴整数x 的值为2 或-2 或4. 21.(10 分) 小刚家和小丽家到学校的路程都是3 km，其中小丽走的是平路，速度为2vkm/h.小刚需要走1 km的上坡路、 2 km的下坡路，在上坡路上的速度为vkm/h，在下坡路上的速度为3vkm/h． (1)小刚从家到学校需要多长时间？ (2)小刚和小丽谁在路上花费的时间更少？少用多长时间？ 【答案】 (1)解：∵小刚走上坡路的时间为 1 v h，走下坡路的时间为 2 3v h， ∴小刚从家到学校需要的时间为 1 v + 2 3v = 5 3v (h)． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 8 (2)小丽花费的时间为 3 2v h， ∵ 5 3v − 3 2v = 1 6v (h)， ∴小丽花费的时间更少，少用了 1 6v h． 22.(12 分) 为了安全方便，某自助加油站只提供两种自助加油方式：“每次定额只加200元”与“每次定量只加40升”.自助 加油站规定每辆车只能选择其中一种自助加油方式，那么哪种加油方式更合算呢?请以两种加油方式各加油 两次予以说明． (1) 【分析问题】 “更合算”指的是两次加油后平均油价更低.由于汽油单价会变，不妨设第一次加油时油价为x元/升，第二次 加油时油价为y元/升(x ≠y)． ①两次加油，每次只加200元的平均油价为 元/升; ②两次加油，每次只加40升的平均油价为 元/升; (2) 【解决问题】请比较两种平均油价，并用数学语言说明哪种加油方式更合算． 【答案】 (1) 2xy x+y ; x+y 2 (2) 解: x+y 2 - 2xy x+y = (x+y)(x+y)−4xy 2(x+y) = (x−y)2 2(x+y). ∵x>0,y>0,x≠y, ∴x+y>0,(x −y)2>0. ∴ x+y 2 - 2xy x+y>0,即 x+y 2 > 2xy x+y. ∴当x≠y 时,“每次定额只加200 元”更合算. 小学 初中
