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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 7 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(广东专用) 第二十六章 二次函数 （参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D B A D D D C C 二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分） 11． 12．y＝（x+1）2﹣5 13. 14. 15.37 三、解答题（一）（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分） 16．（8 分） （1）解： ，................2 分 该函数图象的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ；................4 分 （2）解： ， 抛物线的开口向下，................6 分 当 时， 随 的增大而增大．................8 分 17．（8 分） （1）解：∵顶点坐标是 ∴可设解析式为 ................2 分 把点 代入 得 ， ∴ ∴ ................5 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 7 （2）解：当 时， ， ∴点 在这条抛物线的图象上．................8 分 18．（8 分） （1）解：设每次下降的百分率为a， 根据题意，得： ，................2 分 解得： （舍）或 ， ∴每次下降的百分率为 ；................4 分 （2）解：设每千克应涨价x 元，每天盈利为W 元， 由题意得， ................6 分 ，................7 分 ∵ ， ∴当 时，W 最大，最大为 ， ∴每千克应涨价 元该商场每天盈利最多，最多是6125 元................8 分 四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分） 19．（9 分） （1）解：由题意可得抛物线的顶点坐标为 ，点C 的坐标为 ．................1 分 设抛物线的函数表达式为 ， 将 代入上式，得 ， 解得 ，................3 分 乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式为 （或 ）．...........4 分 （2）乒乓球发球器此次发出的球无效，................5 分 由题意可知点A 的横坐标为1.4， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 7 当 时， ， ， 乒乓球越过了球网 ．................6 分 令 ，则 ， 解得 ， ．................8 分 ， 乒乓球没有落在球台 上． 综上可得乒乓球发球器此次发出的球无效．................9 分 20．（9 分） 解：[建立模型] 以 的中点为平面直角坐标系的原点，如图所示： ................1 分 ∵ 款帐篷搭建时张开的宽度 ，顶部高度 ∴ ................2 分 设抛物线函数关系式为 ................3 分 ∵抛物线经过点 ∴ 解得 ................4 分 即 ；................5 分 [运用模型]∵ ，且椅子高度 ，宽度 ∴ ................6 分 解得 ................7 分 则 的距离为2； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 7 ∵椅子数量为正整数 ∴最多可摆放的椅子数量为张．................9 分 21．（9 分） （1）解∶y=- x（x-4）=-x2+4x；................2 分 根据题意得：0<m<3，PC=PD-CD， 设直线OA 的解析式为 ， 把点A（3，3）代入，得：3=3k， 解得：k=1， ∴直线OA 的解析式为y=x，................3 分 ∵D（m，0），PD⊥x 轴，P 在y=-x2+4x 上，C 在直线OA 上， ∴P（m，-m2+4m），C（m，m）， ∴PD=-m2+4m，CD= m，................4 分 ∴PC=PD-CD=-m2+4m-m=-m2+3m ， ∴当 时，线段PC 最大，最大；值为 ；................5 分 （3）解：存在，理由如下： ∵C（m，m），P（m，-m2+4m）， ∴OD=m，CD=m，PD=-m2+4m， ， ， 当0<m<3 时，仅有OC=PC， 由（2）得：PC= PD-CD=-m2+3m， ∴ ，解得： 或0（舍去）， ∴此时 ；................6 分 当m≥3 时，点C 在点P 的上方，此时PC=CD-PD=m2-3m， 当OC=PC 时， ， 解得： 或0（舍去）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 7 ∴此时点 ；................7 分 当OC=OP 时，有OC2=OP2， ∴ ， 解得：m=5 或3（舍去）或0（舍去）， ∴此时点P（5，-5），................8 分 当PC=OP 时， ， 解得：m=4 或0（舍去）， ∴此时点P（4，0）； 综上所述，存在，点P 的坐标为 或 或（5，-5）或（4，0）．................9 分 五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分） 22．（12 分） 解：(1)①；................2 分 （2）① 抛物线 与直线 只有一个交点， 方程 有两个相等的实数根，即 ． ． ． 联立 与 ，得 ， ． “二倍点”的坐标为 ．................4 分 将 代入 ，得 ． ． ， 解得 ． ． 二次函数的表达式为 ．................6 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 7 ②存在，t 的值为 或 ． ．................7 分 ①当𝑡+ 1 ≤ 1 2，即 时，在 处y 有最小值， ， 即 ， 解得 （舍去）， ．................8 分 ②当 ，即 时，y 的最小值为 ， 令 ，得 （舍去）．................10 分 ③当 时，在 处y 有最小值， ∴𝑡+ 4 = (𝑡− 1 2) 2 + 7 4， 解得 ， （舍去）． 综上所述，t 的值为 或 ．................12 分 23．（12 分） （1）9................2 分 或 ；................4 分 （2）解：由（1）得，当 时， ， 当 时，两个水池面积差的最大值为 的最大值， （ ）， ，................6 分 当 时， 取最大值，为 ， 两个水池面积差的最大值为 ，此时 ；................8 分 （3）解：当水池3 与水池2 的面积相等时， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 7 整理得 ， （ ）有唯一值， ，解得 ．................12 分
