第二十六章 反比例函数
时间 90 分钟 满分 100 分
题号
一
二
三
总分
分数
一、选择题(共10 小题,每小题3 分,共30 分.每小题有四个选项,其中只有一个选
项符合题意)
1.(2023·广东揭阳期末)已知y=xk-1是反比例函数,则k 的值是
( )
A.0 B.1 C.2
D.3
2.(2023·广东东莞一模)已知反比例函数y=k
x (k≠0)的图象经过点M(-2,-3),则该函数
的图象位于( )
A.第一、三象限 B.第二、三象限
C.第二、四象限 D.第三、四象限
3.(2023·上海宝山区二模)在研究反比例函数的图象时,小明想通过列表、描点的
方法画出反比例函数的图象,但是在作图时,小明发现计算有错误,四个点中有一
个不在该函数图象上,那么这个点的坐标是
( )
x
…
-2
-1
2
1
2
…
y
…
-1
4
-2
-1
…
A.(-2,-1) B.(-1
2,4) C.(1,-2)
D.(2,-1)
4.(2023·广东广州天河区二模改编)若点A(x1,-2),B(x2,-1)在反比例函数y=k
2+1
x
(k 是
常数)的图象上,则下列结论正确的是( )
A.x2<0<x1
B.0<x1<x2
C.x2<x1<0
D.x2和x1的大小不能确定
5.(2023·北京海淀区模拟)如图是反比例函数y1=k1
x ,y2=k2
x 的部分图象,下列说法正
确的是( )
A.k2<k1<0 B.k2>k1>0 C.k1>k2>0 D.k1<k2<0
6.(2023·浙江宁波海曙区期中)要确定方程x2+x-5=0 的解,只需知道一次函数
y=x+1 和反比例函数y=k
x 的图象交点的横坐标.由上面的信息可知,k 的值为
(
)
A.1 B.-1
C.5 D.-5
7.(2023·河南师大附中联考)反比例函数y=a
x 和一次函数y=-ax+1(a≠0)在同一平面
直角坐标系中的图象可能是 ( )
A B C D
8.(2023·江苏常州钟楼区模拟)如图,平行四边形OABC 的顶点O,B 在y 轴上,顶点
A 在反比例函数y=k1
x (k1<0)的图象上,顶点C 在反比例函数y=k2
x (k2>0)的图象上,
则平行四边形OABC 的面积是
( )
A.-2k1
B.2k2 C.k1+k2 D.k2-k1
(第8 题） (第9 题）
9.(2023·北京朝阳区一模)如图,在平面直角坐标系中,一块墨迹遮挡了横轴的位置,
只留下部分纵轴和部分正方形网格,该网格的每个小正方形的边长都是2 个单位
长度,每个小正方形的顶点叫格点.若格点A,B 在函数y=k
x (x>0)的图象上,则k 的
值为
( )
A.6 B.12
C.24 D.48
10.(2023·四川达州通川区期末)如图是4 个台阶的示意图,每个台阶的高和宽分别
是1 和2,每个台阶凸出的角的顶点记作Tm(m 为1~4 的整数),反比例函数y=k
x
(x>0)的图象为曲线L.若曲线L 使得T1~T4这些点分布在它的两侧,每侧各2 个点,
则k 的取值范围是
( )
A.8≤k≤12
B.8≤k<12
C.8<k≤12
D.8<k<12
二、填空题(共6 小题,每小题3 分,共18 分)
11.(2023·江苏苏州姑苏区期中)若点A(a,b)在反比例函数y=4
x 的图象上,则代数式
ab-4 的值为 .
12.[中考创新题型|开放性试题]如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(2,2),反比例
函数y=k
x (k≠0)的图象与线段AB 有公共点,则k 的值可能是 .(写出一个即
可)
(第12 题） (第13 题)
13.(2023·陕西商洛期末)如图,一块砖的A,B,C 三个面的面积之比是5∶3∶1.如果
A,B,C 三个面分别向下放在地上,地面所受压强分别为p1,p2,p3,压强的计算公式为
p= F
S ,其中p 是压强,F 是压力,S 是受力面积,则p1,p2,p3的大小关系为 (用
小于号连接).
14.(2023·福建泉州期中)若直线y=kx(k>0)与双曲线y=2
x 的交点坐标为(x1,y1),
(x2,y2),则2x1y2-5x2y1的值为 .
15.(2023·安徽芜湖模拟)已知函数y1=k
x ,y2=-k
x (k>0),当2≤x≤4 时,函数y1的最大值
为a,函数y2的最小值为a-4,则a 的值为 .
16.[中考创新题型|填空双空题](2023·安徽蚌埠蚌山区段考)如图,两个边长分别为
a,b(a>b)的正方形连在一起,C,B,F 三点在同一直线上,反比例函数y=k
x 在第一象限
的图象经过小正方形右下顶点E.若OB2-BE2=8,则:
(1)S 正方形OABC-S 正方形DEFB= ;
(2)k 的值是 .
三、解答题(共6 小题,共52 分)
17.(6 分)(2023·浙江温州瓯海区模拟)已知反比例函数y=k
x (k≠0)图象的一支如图所
示.
(1)求这个反比例函数的解析式;
(2)当y≤4 且y≠0 时,求自变量x 的取值范围.
18.(8 分)如图,在平面直角坐标系xOy 中,双曲线y=m
x 与直线y=-2x+2 交于点
A(-1,a).
(1)求a,m 的值;
(2)若点P 是双曲线y=m
x 上一点,且OP 与直线y=-2x+2 平行,求点P 的坐标.
19.(9 分)(2023·浙江杭州一模)设函数y1=k1x+b,函数y2=k2
x (k1,k2,b 是常数,k1>0,
k2>0,b>0).已知函数y1的图象与y 轴交于点A,与函数y2的图象的一个交点为
B(1,m).
(1)若k2=3,m=b+1.①函数y1的解析式为 ;
②当2<y1<y2时,x 的取值范围是 .
(2)设点A 关于x 轴的对称点为点C,将点C 向左平移2 个单位长度得到点D.若点
D 恰好也是函数y1,y2图象的交点,写出k1,k2之间的数量关系,并说明理由.
20.(9 分)(2023·广东广州天河区一模)一辆客车从甲地出发前往乙地,平均速度
v(km/h)与所用时间t(h)之间的函数关系如图所示,其中60 km/h≤v≤120 km/h.
(1)求v 关于t 的函数解析式.
(2)客车上午8:00 从甲地出发.
①客车需在当天14:40 至15:30(含14:40 和15:30)间到达乙地,求客车行驶的平均
速度v 的范围.
②客车能否在当天12:30 前到达乙地?说明理由.
21.(10 分)[课标课增|理解函数值的意义](2022·山东济宁三模)某种型号的温控水
箱的工作过程是:接通电源后,在初始温度20 ℃下加热水箱中的水;当水温达到设
定温度80 ℃时,加热停止;此后水箱中的水温开始逐渐下降,当下降到20 ℃时,再
次自动加热水箱中的水至80 ℃时,加热停止;…,按照以上方式不断循环.
小明根据学习函数的经验,对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了
探究.发现水温y 是时间t 的函数,其中y(单位:℃)表示水箱中水的温度,t(单位:min)
表示接通电源后的时间.
下面是小明的探究过程,请补充完整:
(1)下表记录了32 min 内14 个时间点的温控水箱中水的温度y 随时间t 的变化情
况.
t/min
0
1
2
3
4
5
8
10
y/℃
20
35
50
65
80
64
40
32
t/min
16
18
20
21
24
32
…
y/℃
20
m
80
64
40
20
…
m 的值为 .
(2)①当0≤t≤4 时,写出一个符合表中数据的函数解析式: ;
当4<t≤16 时,写出一个符合表中数据的函数解析式: .
②如图,在平面直角坐标系中,描出了上表中部分数据对应的点,根据描出的点,画
出当0≤t≤32 时,温度y 随时间t 变化的函数图象.
(3)如果水温y 随时间t 的变化规律不变,预测水温第8 次达到40 ℃时,距离接通
电源 min.
22.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,O 为原点,△ABO 的边AB 垂直于x 轴,垂足为
点B,反比例函数y=k
x (x<0)的图象经过AO 的中点C,交AB 于点D,连接CD.点D
的坐标为(-4,n),且AD=3.
(1)求k 的值;
(2)求线段CD 所在直线对应的函数解析式;
(3)设点E 是线段CD 上的动点(不与点C,D 重合),过点E 且平行于y 轴的直线l 与
反比例函数的图象交于点F,求使△OEF 面积最大的点F 的坐标.
第二十六章 反比例函数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
A
A
A
C
D
C
C
D
D
D
11.0
12.2(答案不唯一,1≤k≤4 即可)
13.p1<p2<p
3
14.6
15.2
16.(1)4 (2)4
1.A
2.A ∵反比例函数y=k
x (k≠0)的图象经过点M(-2,-3), k=
∴
6>0,∴该函数的图象位于
第一、三象限.
3.A ∵-2×(-1)=2,-1
2×4=1×(-2)=2×(-1)=-2,∴这个点的坐标是(-2,-1).
4.C ∵k2≥0, k
∴2+1>0,∴反比例函数y=k
2+1
x
(k 是常数)的图象在第一、三象限,在
每个象限内,y 随x 的增大而减小.∵点A(x1,-2),B(x2,-1)在反比例函数y=k
2+1
x
(k 是常
数)的图象上,-2<-1<0,∴点A,B 在第三象限, x
∴2<x1<0.
5.D ∵已知反比例函数y1=k1
x ,y2=k2
x , k
∴1=xy1,k2=xy2.由题图可知,当x<0 时,y1>y2,
xy
∴
1<xy2<0, k
∴1<k2<0.
【一题多解】
解法1:(特殊值法)示意图如图所示,当x=-1 时,y1=-k1,y2=-k2. y
∵1>y2>0, -k
∴
1>-k2>0,
k
∴1<k2<0.
解法2:由题图可得,两个函数的部分图象均位于第二象限, k
∴1<0,k2<0,排除B,C 选
项.又当x<0 时,y1>y2, k
∴1<k2.故选D.
6.C 令x+1=k
x
，整理,得x2+x-k=0,由题意可知k=5.
7.C 当a>0 时,反比例函数y=a
x 的图象在第一、三象限,一次函数y=-ax+1 的图
象经过第一、二、四象限,故选项A 错误,选项C 正确;当a<0 时,反比例函数y=a
x
的图象在第二、四象限,一次函数y=-ax+1 的图象经过第一、二、三象限,故选项
B,D 错误.故选C.
8.D 如图,过点A 作AE⊥y 轴于点E,过点C 作CD⊥y 轴于点,
∵∠AEB=∠CDO=90°,
∠ABE=∠COD,AB=CO,∴△ABE≌△COD(AAS),∴△ABE 和△COD 的面积相等.又点
C 在y=k2
x 的图象上,∴△ABE 的面积=△COD 的面积=1
2|k2|.同理可得△AOE 的面
积=△CBD 的面积=1
2|k1|,∴平行四边形OABC 的面积=2(1
2|k2|+1
2|k1|)=|k2|+|k1|=k2-
k1.
9.D 由题图可得,点A 的横坐标为4,点B 的横坐标为8,设点A 的纵坐标为a,则点
B 的纵坐标为a-6.∵点A,B 在函数y=k
x (x>0)的图象上,∴4a=8(a-6),解得a=12,∴点
A 的坐标为(4,12), k=
∴
4×12=48.
10.D ∵每个台阶的高和宽分别是1 和2, T
∴
1(8,1),T2(6,2),T3(4,3),T4(2,4).当反比例
函数y=k
x (x>0)的图象过点T1(8,1),T4(2,4)时,k=8;当反比例函数y=k
x (x>0)的图象过
点T2(6,2),T3(4,3)时,k=12, k
∴的取值范围是8<k<12.
11.0 将(a,b)代入y=4
x ,得b=4
a, ab=
∴
4, ab-
∴
4=4-4=0.
12.2(答案不唯一,1≤k≤4 即可)
13.p1<p2<p3 ∵p=F
S ,F>0, p
∴随S 的增大而减小. A
∵,B,C 三个面的面积之比是
5∶3∶1, p
∴
1,p2,p3的大小关系是p1<p2<p3.
14.6 由题意知,直线y=kx(k>0)过原点和第一、三象限,且与双曲线y=2
x 交于两
点,则这两点关于原点对称, x
∴1=-x2,y1=-y2.∵交点都在双曲线y=2
x 上,
x
∴1y1=2,x2y2=2,
∴原式=-2x2y2+5x2y2=3x2y2=3×2=6.
【一题多解】
将(x1,y1),(x2,y2)代入直线y=kx,得y1=kx1,y2=kx2, x
∴1y2=x2y1.将(x1,y1),(x2,y2)代入双曲线
y=2
x ,得x1y1=x2y2=2, x
∴1x2y1y2=4,∴(x1y2)2=4, x
∴1y2=±2. k>
∵
0,∴直线y=kx 与双曲线
y=2
x 的交点在第一、三象限, x
∴1与y2异号, x
∴1y2=-2,∴原式=2x1y2-5x1y2=-3x1y2=
-3×(-2)=6.
15.2 ∵y1=k
x ,y2=-k
x (k>0),2≤x≤4, y
∴1随x 的增大而减小,y2随x 的增大而增大,∴当
x=2 时,y1的最大值为k
2=a,y2的最小值为-k
2=a-4, -a=a-
∴
4,解得a=2.
16.(1)4 (2)4 (1)∵四边形OABC 和四边形DEFB 都是正方,∴∠OAB=∠BDE=90°,
OA=AB,BD=DE, OB
∴
2=OA2+AB2=2OA2,BE2=BD2+DE2=2BD2. OB
∵
2-
BE2=8,∴2OA2-2BD2=8, OA
∴
2-BD2=4, S
∴
正方形OABC-S 正方形DEFB=4.(2)设点E 的坐标是
(x,y),则AO+DE=x,AB-BD=y.
OA
∵
2-BD2=4, AB
∴
2-BD2=4,∴(AB+BD)(AB-BD)=4,∴(AO+DE)(AB-BD)=4, xy=
∴
4.∵
点E 在反比例函数y=k
x 在第一象限的图象上, k=xy=
∴
4.
17.【参考答案】(1)由图象可知,该函数图象经过点B(-3,2),
将其坐标代入y=k
x (k≠0),得2= k
-3 ,
解得k=-6,
∴反比例函数的解析式为y=-6
x . (3 分)
(2)令y=4,即-6
x =4,解得x=-3
2,
∴当y≤4 且y≠0 时,x≤-3
2或x>0.
(6 分)
18.【参考答案】(1)∵点A(-1,a)在直线y=-2x+2 上,
a=-
∴
2×(-1)+2=4,
(2 分)
∴点A 的坐标是(-1,4).
将点A 的坐标代入y=m
x ,得m=-4.
(4 分)
(2) OP
∵
与直线y=-2x+2 平行,
∴直线OP 的解析式为y=-2x.
(5 分)
∵点P 是双曲线y=-4
x 上的一点,
∴联立方程得{
y =−4
x ,
y =−2 x,
解得x=√2或x=-√2.
故点P 的坐标为(√2,-2√2)或(-√2,2√2).
(8 分)
19.【参考答案】(1)
y
①1=x+2
(2 分)
解法提示: k
∵2=3, y
∴2=3
x .
∵点B(1,m)在函数y2的图象上,
m=
∴
3
1=3,
B
∴(1,3),b+1=3,
b=
∴
2, y
∴1=k1x+2.
∵点B(1,3)在函数y1的图象上,
∴3=k1+2,
解得k1=1,
∴函数y1的解析式为y1=x+2.
②0<x<1
(5 分)
(2)k2=2k1.理由如下:
对于y1=k1x+b,令x=0,则y1=b,
A
∴(0,b).
∵点A 关于x 轴的对称点为点C,
C
∴(0,-b),
∴将点C 向左平移2 个单位长度得到点D(-2,-b).
∵点D 恰好也是函数y1,y2图象的交点,
-b=-
∴
2k1+b,-b= k2
-2
, k
∴1=b,k2=2b,
k
∴2=2k1.
(9 分)
【图示速解】
(1)②根据两函数解析式可画出大致图象如图.
由图可知,当0<x<1 时,函数y1的图象位于直线y=2 的上方,位于函数y2的图象下
方,∴当2<y1<y2时,x 的取值范围是0<x<1.
20.【参考答案】(1)设v 关于t 的函数解析式为v=k
t ,
将(5,120)代入v=k
t ,得120=k
5,解得k=600,
v
∴关于t 的函数解析式为v=600
t (5≤t≤10).
(4 分)
(2)①当14:40 到达乙地时,
t=20
3 ,v=600
t =600÷20
3 =90(km/h);
当15:30 到达乙地时,
t=15
2 ,v=600
t =600÷15
2 =80(km/h).
∴客车行驶的平均速度v 的范围为80 km/h≤v≤90 km/h.
(7 分)
②不能.理由:若客车在当天12:30 到达乙地,则t=4.5,
此时v=600
4.5 =400
3 (km/h),400
3 >120,
故客车不能在当天12:30 前到达乙地.
(9 分)
21.【参考答案】(1)50
(2 分)
解法提示:由题意可知,第16 min 到第18 min 是加热过程,温度上升.由表格可知,
在加热阶段,每分钟温度上升15 ℃, 2
∴分钟温度上升30 ℃, m=
∴
20+30=50.
(2)
y=
①
15t+20 y=320
t
(6 分)
②函数图象如图所示.
(8 分)
(3)56
(10 分)
22.【参考答案】(1) AD=
∵
3,D(-4,n),
A
∴(-4,n+3). (1 分)
C
∵
是OA 的中点,
C
∴(-2,n+3
2 ).(2 分)
∵点C,D 都在反比例函数y=k
x 的图象上,
-
∴2×n+3
2 =-4n,解得n=1,
k=-
∴
4. (4 分)
(2) n=
∵
1, C
∴(-2,2),D(-4,1).
设线段CD 所在直线对应的函数解析式为y=ax+b,
则{
-2a+ b=2,
-4a+ b=1,
解得{
a= 1
2 ,
b=3,
∴线段CD 所在直线对应的函数解析式为y=1
2x+3.
(6 分)
(3)如图,设E(m,1
2m+3),则F(m,- 4
m).
由(2)知,C(-2,2),D(-4,1), -
∴4<m<-2,
EF=
∴
1
2m+3+ 4
m, S
∴
△OEF=1
2(1
2m+3+ 4
m)×(-m)=-1
2(1
2m2+3m+4)=-1
4(m+3)2+1
4,
当S△OEF最大时,m=-3.
经检验,m=-3 符合题意,
F
∴(-3,4
3 ).
(10 分)
