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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 62 第二十五章 一元二次方程 复习要点 1. 理解一元二次方程的定义、一般形式 `ax²+bx+c=0 (a≠0)`，能准确区分各项系数及判别 式 `Δ=b²-4ac` 的作用。 2. 掌握配方法、公式法、因式分解法解方程，深入理解“降次”的转化思想，能根据方程 特点灵活选择适当方法。 3. 掌握根的判别式与根与系数的关系，能利用它们判断根的情况并解决有关问题。 4. 掌握列一元二次方程解决实际问题的完整步骤（审、设、列、解、验、答），能根据实 际意义检验并取舍根。 复习重难点 重点 灵活选用适当方法解一元二次方程，并运用方程模型解决实际问题。 难点 从实际问题中抽象等量关系建立方程模型，以及理解“降次”思想，熟练完成配方与公式 推导。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 62 知识点 一元二次方程的定义及一般形式 1、一元二次方程的定义 （1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程叫一元二次方程． （2）概念解析： 一元二次方程必须同时满足三个条件： ①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 62 ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是2． （3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5 个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的 最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 2、一元二次方程的一般形式 （1）一般地，任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形 式叫一元二次方程的一般形式． 其中ax2 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项；c 叫做常数项．一次项系数b 和常数项c 可取任 意实数，二次项系数a 是不等于0 的实数，这是因为当a=0 时，方程中就没有二次项了，所以，此方程就 不是一元二次方程了． （2）要确定二次项系数，一次项系数和常数项，必须先把一元二次方程化成一般形式． 要点速测 1．（25-26 八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A： ，是整式方程，只含一个未知数 ，且 的最高次数为 ， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B： 含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C： 分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D： 未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 2．（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）将一元二次方程 化为一般形式，正确 ．．的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元二次方程的一般形式为 ，只需展开原式，移项合并同类项即可得到结果 【详解】解：原方程为 ， ∵展开方程左边，得 ， 合并同类项得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 62 移项整理为一般形式，两边同乘 得 3． （25-26 八年级下·山东济南·期末）若关于 的方程 是一元二次方程，则 ________． 【答案】2 【分析】根据一元二次方程定义列出关于 的条件，求解即可得到答案． 【详解】解： 关于 的方程 是一元二次方程， ，且 ， 解 得 ， 即 ， 由 得 ， ． 知识点 一元二次方程的解 （1）一元二次方程的解（根）的意义： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解 也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． （2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2 是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0） 的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量． ax12+bx1+c=0（a≠0），ax22+bx2+c=0（a≠0）． 要点速测 4．（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于 的一元二次方程 的一个根为 ，则 的 值为_________． 【答案】 【详解】解：∵关于 的一元二次方程 的一个根为 ， ∴ ， 解得： ． 5．（25-26 八年级下·安徽蚌埠·期末）已知 是关于 的方程 的一个根，则 ________． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 62 【答案】 【分析】把 代入方程中求得 的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是关于 的方程 的一个根， ∴ ，即 ， ∴ ． 知识点 解一元二次方程 1、解一元二次方程-直接开平方 形如x2=p 或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2=p 的形式，那么可得x=± ； 如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=± ． 2、解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配 方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方 程无实数解． 3、解一元二次方程-公式法 （1）把 a ac b b x 2 4 2 − − = （b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c 的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac 的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0 的前提下，把a、b、c 的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 62 4、解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个 因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二 次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得 到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 要点速测 6．（25-26 九年级上·北京东城·期中）用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) ． 【答案】(1) ， (2) ， (3) ， 【分析】（1）利用直接开方法求解即可； （2）利用求根公式法求解即可； （3）利用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 62 ， ， ； （3）解： ， 移项，得 ， 对 提取公因式 ，变形为 ， 提取公因式 ，得 ， 则 或 ， 解得 ， ． 7．（25-26 八年级下·山东威海·期末）用适当的方法解一元二次方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 因式分解： ； （2）解： 配方法： ． 知识点 一元二次方程根与系数的关系 1. 对于一元二次方程ax2 + bx + c = 0（a≠0），若方程两根为x1、x2，则x1+x2= - 𝑏 𝑎，x1x2 = 𝑐 𝑎，直接将根 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 62 的和与积的数值代入等式，构建关于参数的方程求解。 2.结合判别式△= b2 - 4ac≥0，确保方程有实根，避免所求参数使方程无解，通过联立方程与不等式确定参 数的准确取值。 要点速测 8．（25-26 八年级下·江苏扬州·期末）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为 ， ，且 ，求 的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为 ， 可得 ， ， ， ∴ ， ， ，即 ， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算 ，通过判断 证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于 的方程，求 解即可得到 的值． 【详解】（1）略 （2）解： 方程的两个实数根为 ， ，由根与系数的关系得： ， ， 又 ， 可得方程组 ， 解得 ， 将 ， 代入 ，得 ，即 ， 解得 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 62 知识点 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验 和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次 增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、 梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系， 列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求 出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程 要点速测 9．（25-26 八年级下·安徽安庆·期末）根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素 材 1 某农户承包了一块长方形果园 ，图1 是果园的平面图，其中 米， 米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道 路的宽度都为 米，左右两条纵向道路的宽度都为 米，中间部分种植水 果．出于货车通行等因素的考虑，道路宽度 不超过12 米，且不小于5 米． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / 素 材 2 该农户在种植园区种植草莓，经市场调查，草莓培育一年可产果，若每平 方米的草莓销售平均利润为 元，每月可销售 的草莓；受天气原 因，农户为了快速将草莓出手，决定降价，若每平方米草莓平均利润下调 5 元，每月可多销售 草莓．果园每月的承包费为2 万元． (1)解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响．若中间种植的面积是 ，求道路宽度x 的值． (2)解决果园种植的预期利润问题（总利润 销售利润承包费）．若农户预期一个月该草莓的总利润为 万 元，则从购买草莓客户的角度考虑，每平方米草莓平均利润应该降价多少元？ 【答案】(1) (2)每平方米草莓平均利润下调 元 【分析】（1）由果园的长、宽及四周道路的宽度，可得出中间种植部分是长为 米、宽为 米的长方形，根据中间种植的面积是 ，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，取其符 合题意的值即可得出结论； （2）设每平方米草莓平均利润下调 元，则每平方米草莓平均利润为 元，每月可售出 平方米草莓，利用总利润 销售利润 承包费，可列出关于 的一元二次方程，解之可得出 的值，再结合要让利于顾客，即可确定结论． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 整理得： ， 解得： ， （不符合题意，舍去）， 道路宽度为10 米； （2）设每平方米草莓平均利润下调y 元， 整理得： ． 解得： ， ， 又 从客户的角度考虑，要让利于顾客， ． 答：每平方米草莓平均利润下调 元． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 题型1 一元二次方程的定义与一般形式 ▌例1 （25-26 八年级下·重庆沙坪坝·期末）下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断，一元二次方程需满足：只含有一个未知数，未知数的最高次数为2， 且是整式方程． 【详解】解：A、 只含一个未知数 ，未知数最高次数为 ，是整式方程，符合一元二次方程定 义； B、 未知数最高次数为，是一元一次方程，不符合要求； C、 含有两个未知数，是二元一次方程，不符合要求； D、 分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合要求． ▌迁移练1-1（25-26 八年级下·浙江丽水·期末）把方程 化为一般形式是__________． 【答案】 【分析】先展开方程左边两个一次式的乘积，再合并同类项，整理为一元二次方程的一般形式 即可． 【详解】解： ， 解题要点 1. 严格判定：解题先看方程是否“整式、只含一个未知数、最高次数为2”，必须满足二次项系数a≠ 0，这是判定与含参问题的易错点。 2. 标准变形：解题时将所有项移项至等号左边，合并同类项化为ax²+bx+c=0（a≠0）的标准形式，再 准确对应a、b、c 的值，避免符号错误。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / 原方程化为一般形式为 ． ▌迁移练1-2（25-26 八年级上·上海浦东新·期末）若关于 的方程 是一元二次 方程，则 ___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，理解此定义是关键；根据一元二次方程的定义，最高次项指数 为2 且二次项系数不为零，即可求解． 【详解】解：由题意，方程 为一元二次方程， 则满足 ， 解得 ， 即 或 ． 当 时，二次项系数 ；当 时，二次项系数 ． 故均符合条件． 故答案为： 或 ． ▌迁移练1-3（25-26 九年级上·全国·期中）已知 是关于 的一元二次方程，则 的 值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中 的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数 且系数 ． 【详解】解：由方程是关于 的一元二次方程，得 的最高次数为2，即 ， 解得 ． 又因为二次项系数 ，即 ， 所以 ， 当 时，方程为 ，满足一元二次方程的定义． 故答案为： ． 题型2 一元二次方程的解求参数的值 ▌例2 （2026·广东·中考真题）已知方程 的一个根是1，则 _____． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，将已知根代入原方程，得到关于的一元一次方程，求解即可得到 的值． 【详解】解: 因为是方程 的根， 将 代入方程得： ， 整理得 ， 移项得 ． ▌迁移练2-1（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）一元二次方程 的一个解是 ，则 的 值是______． 【答案】 【详解】解： 是一元二次方程 的一个解， 满足一元二次方程 ， 将 代入方程得 ， 整理得 ， 移项得 ． ▌迁移练2-2（25-26 八年级下·江苏淮安·期末）如果a 是方程 的一个实数根，则 的值为________． 【答案】2027 【分析】根据方程根的定义可推出 ，然后整体代入式子即可解答． 【详解】解：∵a 是方程 的一个实数根， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ▌迁移练2-3（25-26 八年级下·北京·期末）若 是关于 的方程 的一个根，代数式 解题要点 1. 直接代入法：若已知方程的一个根，直接将根代入原方程（或一般形式），转化为关于参数的方程， 解之即得参数值。 2. 判别式约束：若已知方程有实数根、相等根或无实数根等条件，需利用判别式Δ=b²-4ac 建立不等式 或方程求解，并确保二次项系数a≠0。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / 的值为__________． 【答案】 【分析】先由方程根的定义，得到 ，再化简所求代数式，将 整体代入计算即可得到答 案． 【详解】解： 是关于 的方程 的一个根， ，则 ， ． 题型3 解一元二次方程 ▌例3 （25-26 八年级下·湖南长沙·期末）解方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， 开平方，得 ， ∴ 或 ， 解得 ； （2）解： ， 移项，得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 因式分解，得 ， 或 ， ． ▌迁移练3-1（25-26 八年级下·辽宁盘锦·期末）解方程 (1) ； (2) ． 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，再开平方即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ． ▌迁移练3-2（25-26 八年级下·陕西西安·期末）解下列一元二次方程： (1) 解题要点 1. 方法选择策略：先观察方程特征。缺项（b=0）用直接开平方，二次项系数为1 且一次项为偶数优先 考虑配方法，一般形式首选公式法，易于因式分解则用因式分解法。 2. 计算核心步骤：无论何种方法，必须先将方程化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）。用公式法时，先 算判别式Δ=b²-4ac 判定根的情况，再代入求根公式，最后结果需化简。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / (2) 【答案】(1) ， (2) ， 【分析】（1）用因式分解法解一元二次方程； （2）用公式法解一元二次方程． 【详解】（1）解： ， 分解因式得： ， 可得： ， ， 解得： ， ； （2）解： ， 其中 ， ， ， ， 解得： ， ． ▌迁移练3-3（25-26 八年级下·河北张家口·期末）解一元二次方程 时，两位同学的解法如下： 嘉嘉同学 或 琪琪同学 原方程无实数根 (1)你认为她们的解法是否正确？直接写出判断结果：嘉嘉同学的解法______，琪琪同学的解法______（填 “正确”或“错误”）； (2)请选择合适的方法解一元二次方程： ． 【答案】(1)错误；错误． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / (2) ． 【分析】（1）由乘积为5 的两个因数有无数种情况从而可判断嘉嘉错误，通过移项分析发现琪琪对的分 析是错的； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵乘积为5 的两个因数有无数种情况， ∴嘉嘉由 得到 或 是错误的； 因 化为一般式是 ， ∴ ， ， ， ∴琪琪同学的解法错误； （2）解： 移项得： ， 提取公因式得： ， ∴ 或 ， ． 题型4 根据判别式判断一元二次方程根的情况 ▌例4 （2026·广东佛山·一模）不解方程，判断一元二次方程 的根的情况是________． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】首先将方程整理成一般式，然后利用判别式判断即可． 【详解】解：∵一元二次方程 ∴ ∴ ∴方程有两个不相等的实数根． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / ▌迁移练4-1（25-26 八年级上·上海普陀·期末）关于 的一元二次方程 的根的情况是______． 【答案】有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过 计算一元二次方程根的判别式 ，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，判别式 ， 由于 ， 因此 ， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． ▌迁移练4-2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的 实数根，则 ________________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，结合一元二次方程根的判别式求解参数 的值． 【详解】解： 方程 是关于 的一元二次方程， ． 方程有两个相等的实数根， ， 变形得 ， 解得 或 ， 又 ， ． ▌迁移练4-3（25-26 八年级下·山东泰安·期末）若关于 的一元二次方程 有两个不相 等的实数根，则 的取值范围为____________________． 解题要点 1. 化为标准式并计算Δ：先将方程化为ax²+bx+c=0（a≠0），准确找出a、b、c，代入判别式Δ=b²-4ac 求出具体数值。 2. 根据Δ符号下结论：Δ＞0⇔两个不等实根；Δ＝0⇔两个相等实根；Δ＜0⇔无实数根。含参问题还 需结合a≠0 及题目条件（如“有实根”则Δ≥0）建立不等式求参范围。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / 【答案】 且 【详解】解：∵方程 是关于x 的一元二次方程 ∴ ． ∵方程有两个不相等的实数根， ∴ ．其中 ， ， ， 代入得： ， 展开得 ， 化简得 ， 解得 ． 综上，k 的取值范围为 且 ． 题型5 利用一元二次方程根与系数的关系求值 ▌例5 （25-26 八年级下·福建泉州·期末）已知 ， 是方程 的两个根，则 __________． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出 、 ，整体代入代数式求值． 【详解】解： ， 是方程 的两个根， 则 ， ， 故 ． ▌迁移练5-1（25-26 八年级下·浙江台州·期末）若 ，是方程 的两个实数根，则 的值为___________． 解题要点 1. 先验根与化标准：前提是方程必须有实数根（即Δ≥0），且必须化为标准形式ax²+bx+c=0（a≠0）， 再准确得出x₁+x₂=-b/a，x₁·x₂=c/a。 2. 灵活变形与整体代入：将所求代数式（如x₁²+x₂²、1/x₁+1/x₂、|x₁-x₂|等）用两根和与积表示，再 整体代入求值，避免单独求根。注意含参问题需先由Δ≥0 确定参数范围。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / 【答案】4 【分析】根据一元二次方程解的定义得到 ，根据根与系数的关系得到 ，将所求式子变 形后整体代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ， ∵ 是方程的根，满足方程等式， ∴ ，即 ， ∴ ． ▌迁移练5-2（25-26 八年级下·陕西西安·期末）已知 是一元二次方程 的两个不相等的 实数根，则 的值为__________． 【答案】 【分析】根据根与系数关系得到 ，再利用整体代入计算即可． 【详解】解：∵ 是一元二次方程 的两个不相等的实数根， ∴ ， ∴ ▌迁移练5-3（25-26 八年级下·浙江宁波·期末）若关于 的一元二次方程 的两个根 为 ， ，则 的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为完全平方公 式的展开形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程 ，其中 ， ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / 由根与系数的关系可得： ， ， 将所求代数式变形得： ， 代入计算得： ， 故 的值为． 题型6 用一元二次方程解决实际问题 ▌例6 （25-26 八年级下·陕西咸阳·期末）如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚， 一边利用教学楼10 米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21 米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54 平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60 平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)面积为54 平方米时车棚的长为9 米，宽为6 米 (2)解：不能围成面积为60 平方米的车棚； 理由：设 为x 米，则 为 米， 由题可得： ， 整理得 ， ∵ ， ∴不能围成面积为60 平方米的车棚． 【详解】（1）解：设 为x 米，则 为 米， 由题可得： ， 解得 ， ， ， （舍去）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / ， 米， ∴面积为54 平方米时车棚的长为9 米，宽为6 米； （2）略． ▌迁移练6-1（25-26 八年级下·浙江台州·期末）黄岩是东魁杨梅的始祖地，唯一的母树就在江口街道东岙 村，因果实特大，肉厚汁多而闻名，其上市时间集中在6 月中下旬至7 月初．据某采摘基地了解：正常情 况下，杨梅售价为每千克20 元时，每天可售出300 千克，通过市场调查发现，若每千克降价1 元，每天可 多售出25 千克．考虑运营成本，规定每千克售价不低于15 元． (1)当杨梅每千克定价为多少元时，每天能获得6300 元的销售额？ (2)该采摘基地每天所获得的销售额能否达到6500 元？请计算说明． 【答案】(1)18 元 (2)解：不能达到，理由如下： 假设杨梅每千克降价 元，采摘基地每天所获得的销售额能达到6500 元． 由题意得 ． 整理得 ． ， ∴方程没有实数根，该采摘基地每天所获得的销售额无法达到6500 元． 【分析】（1）根据“销售总价 销售单件的价格销售数量”列一元二次方程求解即可； （2）根据“销售总价 销售单件的价格销售数量”列一元二次方程，再根据一元二次方程的判别式确定 是否有解． 【详解】（1）解：设杨梅每千克降价 元． 由题意得 ． 解得 ， ． 当 时， ， 解题要点 1. 审题设列：仔细审题，找准等量关系，设未知数。将条件转化为方程，务必化为标准形式ax²+bx+c=0。 注意单位统一，并检验方程是否符合实际背景。 2. 验根取舍：解方程后，必须检验根是否满足题意。舍去负根、零根或使实际问题无意义的根（如人 数、长度不能为负），最后写出完整答语。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 当 时， （不符合题意，舍去）． 答：当杨梅每千克定价为18 元时，每天能获得6300 元的销售额． （2）略 ▌迁移练6-2（25-26 八年级下·浙江台州·期末）一纸侨批，半生守望，作为一部以世界记忆遗产“侨批” 文化为底色的方言电影，《给阿嬷的情书》自国内上映以来，凭借细腻的情感刻画与真挚的故事内核，唤 起了广泛而深刻的社会共鸣．截至 月初，《给阿嬷的情书》票房已超 亿元． (1)已知月 日至月 日这三天的日票房增长率相同，第一天日票房为 万，第三天日票房为 万， 那么这三天日票房的平均增长率是多少？ (2)随着电影的热映，取景地广东揭阳也吸引了众多游客前来“打卡”，片中信差落水的石板桥成了火爆的 打卡地之一，游客可以沉浸式体验“扛标旗、骑单车、写桥批”等同款打卡活动，据统计，当扛标旗单价 定为元时，每天约有 名游客参与，当扛标旗单价每上涨一元时，参与的游客数量减少 人，经涨价后 发现每天营收增加了 元，则扛标旗单价上涨了多少元？ 【答案】(1)这三天票房的平均增长率为 ； (2)扛标旗单价上涨了2 元或5 元． 【分析】（1）设这三天票房的平均增长率为 ，根据题意列方程解答即可； （2）设单价上涨了 元，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：设这三天票房的平均增长率为 解得： ， （舍去） 答：这三天票房的平均增长率为 ． （2）解：设单价上涨了 元， 解得： ， 答：扛标旗单价上涨了2 元或5 元． ▌迁移练6-3（25-26 八年级下·广西百色·期末）请完成“问题解决”中的任务1 和任务2． “广西桂林三日游”调研分析 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / 背景 10 月份报名参加“广西桂林三日游”的人数为1000 人，到12 月份报名的人数将达到1440 人． 素材1 该旅行社提供的“广西桂林三日游”旅行活动的初步方案为20 人组团，每人的团费为800 元． 素材2 经调查发现，若每人的团费每降低10 元，平均每个团的报名人数会增加1 人，但每人的团费不 能低于600 元． 问题解决： (1)任务1：求10 月份至12 月份“广西桂林三日游”旅行活动报名人数的月平均增长率； (2)任务2：若该旅行社要使平均每个团的总团费为24000 元，求降低团费后每人的团费． 【答案】(1)10 月份至12 月份报名人数的月平均增长率为 ； (2)降低团费后每人的团费为 元. 【分析】（1）设月平均增长率为 ，10 月人数为基础量1000 人，连续增长两个月到12 月1440 人，根据 平均增长率公式： 列一元二次方程求解，舍去负增长率． （2）设每人团费降低 元，则单人团费变为 元；每降 元多人，每组人数变为 人．总 团费=单人团费每组人数，列方程求解后，结合限制条件每人团费 元筛选合理解． 【详解】（1）解：设10 月份至12 月份报名人数的月平均增长率为 ． 由题意得方程： ， 两边同除以1000： ， 解得 或 （增长率不能为负，舍去）， 月平均增长率为 ． （2）解：设每人团费降低 元（ 为正整数）， 则降低后单人团费： ，每组报名人数： ． 由总团费 元列方程： ， 解得： ， ． 根据限制条件每人团费不能低于600 元检验： ①当 时，单人团费 元，符合 要求； ②当 时，单人团费 元， ，不符合要求，舍去． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 25 / 降低团费后每人的团费为600 元． 难点一 利用配方法的求最值问题 1. 配方构造的“恒等变形”障碍 学生易陷入“硬凑完全平方”的误区，忽视代数式的内在约束。尤其是面对含参系数、分式或复合函数时， 需先提取二次项系数，再巧妙添补常数项。此过程的难点在于确保每一步变形均为等价恒等变换，同时洞 察非标准形式（如双变量或隐含约束）下的转化路径，避免因机械套用公式导致构造失败。 2. 最值取得的“条件等价”认知偏差 配方后，学生常默认平方项为零时即为最值，却忽略定义域或参数范围的限定。难点在于将代数最值问题 升维为“在可行域内求平方项极值”的约束问题。需深刻理解：配方仅提供形式上的下界（或上界），而 实际最值必须在变量允许范围内验证，并处理边界情形，否则易产生增根或漏解。 难点精练 1．（25-26 九年级上·河北沧州·期末）配方法不仅可以用来解一元二次方程，还能解决一些与非负数有 关的问题或求代数式的最大值和最小值等．例如，我们用此方法求代数式 的最小值的过程如下： 解： ． ， ， 的最小值是9． 请根据以上材料，完成下列问题： (1)代数式 ，当 _______时，代数式 有最_______值（填“大”或 “小”），这个值是_______； (2)比较代数式 与 的大小，并说明理由． 【答案】(1)1；大；8 (2) ，理由如下： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 26 / ， ． 【分析】本题考查了配方法的应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的非负性． （1）多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出最值； （2）两式相减，配方后根据完全平方式恒大于等于0，可得差值的正负，即可得到两式的大小关系． 【详解】（1）解：∵ ，∴当 1 时，代数式 有最大值，这个值是 8； 故答案为：1，大，8． （2）略 2．（25-26 八年级下·江西抚州·期末）【阅读材料】配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可 以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值、最小值的问题． 例如：分解因式 ．又如，求代数 式 的最小值，我们可以通过配方得到： ．因为 ，所以 ，则 ，当 时， 有最小值，最小值是 ． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式： ； (2)当 为何值时，多项式 有最大值？并求出这个最大值． (3)若多项式 与一个单项式的和能通过配方法因式分解，请直接写出满足条件的所有单项式． 【答案】(1) (2)当 时，最大值为7． (3) 、 、 ． 【分析】（1）仿照材料，利用配方法计算即可得出结果； （2）将所求式子变形为 ，结合 得出 ，从而即可得出结果； （3）利用配方法，分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 27 / ； （2）解： ， ， ， 当 时， ， 取得最大值为7． （3）解：当 ，需要加单项式 ； 当 ，需要加单项式 ； 当 ，需要加单项式 ． 所以满足条件的单项式为： 、 、 ． 3．（25-26 九年级上·江西抚州·期中）配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法经常被用到代数 式的变形中，帮助解决一些与非负数有关或求代数式的最大值、最小值等问题． 【材料一】我们定义：一个整数能表示成 （ ，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如， 5 是“完美数”，理由：因为 ，再如， ，（ ， 是整数），所 以 也是“完美数”． 【材料二】例如，把二次三项式 进行配方，可求其最值． 解： 当 时， 的最小值为2． 请通过阅读以上材料，解决以下问题： (1)下列各数中，“完美数”有_____（只填序号）：①7；②10；③15；④34． (2)若 是“完美数”，可配方成 （ ， 为整），求 与 的值； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 28 / (3)已知实数 ， 均满足 ，求代数式 的最小值． 【答案】(1)②④ (2) (3)1 【分析】本题主要考查了配方法的应用，偶次方的非负数的性质、完全平方式、新定义等内容，熟练掌握 相关知识是解题的关键． （1）依据“完美数”的定义求解即可； （2）把 配方成 的形式，即可求解； （3）根据 ，可得 ，则原式变形为 ，再配方，即可求解． 【详解】（1）解：∵ ， ∴7 不是“完美数”； ， ∴10 是“完美数”； ∵ ， ∴15 不是“完美数”； ∵ ， ∴34 是“完美数”； 故答案为：②④ （2）解：∵ ， 可配方成 （ ， 为整）， ∴ ； （3）解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 29 / ， 即当 时，代数式 取得最小值，最小值为1． 难点二 换元法解一元二次方程 1. 整体构造的识别障碍 难点在于从复杂多项式中敏锐识别出可重复替换的“整体模块”，如互为倒数或平方关系的代数式。学生 易被表面形式迷惑，难以完成从“旧元”到“新元”的等价映射，导致换元失败。 2. 还原求解的等价疏忽 引入新元后，常忽视对定义域（如分母不为零）的等价转换，且解出新值后，易遗漏“回代”求解原未知 数的关键步骤，或因反向代入复杂方程而产生运算错误。 难点精练 1．（25-26 八年级下·山东济南·期末）解方程 时，我们可以将 看成一个整体， 设 ，则原方程可化为 ，解得 ， ．当 ，即 ，解得 ；当 ， 即 ，解得 ．所以原方程的解 ， ． (1)请你利用这种方法解方程： ； (2)已知 三条边的长度分别为 ，，，若满足 ，且 ，请判断 的形状，并说明理由． 【答案】(1) ， (2) 是直角三角形；理由如下： 是 的三边， ， ， 设 ， 则原方程可化为 ， 解得： ， （舍去）， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 30 / 得 ． 又 ， ． ． 是直角三角形． 【分析】（1）根据题中方法，设 ，将原方程可化为 ，解方程求出 ， ； 分别代入求出 的值即可； （2）根据题中方法，设 ，求出 ，结合 ，根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】（1）解：设 ， 则原方程可变为： ， 解得： ， ， 当 即 时，解得： ； 当 即 时，解得： ； ∴原方程的解为： ， ； （2）略 2．（25-26 八年级下·安徽滁州·期末）阅读材料： 为解方程 ，我们可以将 视为一个整体，然后设 ，则 ， 原方程可化为 ，① 解得 ， ． 当 时， ， ， ． 当 时， ， ， ． 原方程的解为 ， ， ， ． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程： ． (2)若四个连续正整数的积为 ，求出这四个连续的正整数． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 31 / 【答案】(1)原方程的解为 ， ， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设 ，则原方程可化为 ，利用因式分解法解方程，再 求x． （2）设最小数为 ，由题意得 ，即 ，设 ，则 再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x 即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设 ， 则原方程可化为 ， 因式分解得 ， 解得 ， ， 当 时， ，配方，得 ， 解得 ， ， 当 时， ，配方，得 ， 解得 ， 原方程的解为 ， ， ． （2）解：设最小数为 ， 由题意得 ， 即 ， 设 ， 则 ，即 ， 因式分解得 ， ， ， 为正整数， ，即 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 32 / 因式分解得 ， 解得 ， 舍去． 这四个整数为 ． 3．（25-26 九年级上·江苏扬州·期中）阅读下面的材料： 换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一 个整体，并用新字母代替(即换元),则能使复杂的问题简单化． 如：解方程 ，可将方程变形为 ，设 ，则 ，原方程化为 ， 解得 ， ．当 时， 无意义，舍去；当 时， ，解得 ，∴原方程 的解为 ， ． 利用以上学习到的方法解决下列问题： (1)解方程： ； (2)已知实数x、y 满足 ；求 的值． 【答案】(1) ， ． (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，换元法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，模仿题干解题方法，进行计算，即可作答． （2）先整理得 ，则 ，再得 ，解得 ， ，再逐个 分析检验，即可作答． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， 设 ，则 ， 原方程化为 ， ∴ ， 解得 ， ．当 时， 无意义，舍去； 当 时， ，解得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 33 / ∴原方程的解为 ， ． （2）解：依题意， ， 设 ， 原方程化为 ， ∴ ， ∴ ， 解得 ， ． 当 时， ， ∴ ， 当 时， ， ∴ 无意义，舍去； 综上： ． 难点三 判别式和根与系数的关系综合问题 1. 双重条件的兼容性陷阱 学生易孤立使用韦达定理求参，却忽略判别式需保证方程有实根的前提。难点在于必须联立“Δ≥0”与“两 根和、积”的代数条件，并求交集，否则极易产生使方程无解的增根。 2. 代数变形的非等价转化 利用两根和积构造关系式（如求最值、证明不等式）时，难点在于将目标多项式灵活变形为含“x₁+x₂”与 “x₁x₂”的对称式，并严格注意变形过程中参数取值范围的变化，避免非等价放缩导致结论失真。 难点精练 1．（25-26 八年级下·黑龙江大庆·期末）已知关于x 的一元二次方程 ． (1)若方程有两个实数根，求实数k 的取值范围； (2)若方程的两个实数根 ， 满足 ，求k 的值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 34 / 【答案】(1)实数 的取值范围是 (2) 【分析】（1）一元二次方程有两个实数根，说明根的判别式大于等于 ，据此列出不等式求解即可得到 的 取值范围． （2） 利用一元二次方程根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，代入已知等式得到关于 的方程，求 解后结合（1）中 的范围筛选得到正确的 值． 【详解】（1）解：∵关于 的一元二次方程 有两个实数根， ∴ ，解得 ． 即实数 的取值范围为 ． （2）解：∵一元二次方程 的两个实数根 ， ， ∴ ， ， 又∵ ， ∴ ，解得 ， ． 由（1）知 ，故 不符合要求舍去，因此 ． 2．（25-26 八年级下·安徽宣城·期末）已知关于 的一元二次方程 ． (1)求证：无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程有两个实数根 ， ，且 ，求 值． 【答案】(1)证明： 无论 取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2) 的值为 【分析】本题考查一元二次方程实数根与 的关系及实数根和方程的系数关系． （1）当 时，方程有两个不相等的实数根； （2）当方程为 ， ， ，根据其关系可列方程计算 值． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 35 / 【详解】（1）略 （2）根据题意得 ， ， ， 解得 ， 的值为 ． 3．（25-26 八年级下·北京通州·期末）已知，关于 的一元二次方程 ． (1)求证： 取任意实数时，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根 ， ，满足 ，求 的值． 【答案】(1)证明：∵ ， ∴ ． ∵ ∴ ． ∴ 取任意实数，方程总有两个不相等的实数根． (2) ， 【分析】（1）根据根的判别式求解即可； （2）先根据根与系数的关系求出 和 ，再整理 ，代入 和 列 出一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程 有两个实数根 ， ， ∴根据根与系数的关系得， ， ， ∵ ， ∴ ，整理得： ，即 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 36 / 解得： ， ． 难点四 用一元二次方程解决动态几何问题 1. 运动状态的代数化建模障碍 难点在于将几何图形中的动点路径、速度与时间关系，精准转化为线段长度或面积的代数表达式。学生易 忽略运动过程中图形形状的变化（如点在线段或延长线上），导致方程定义域界定失准。 2. 方程解的几何合理性检验 解出方程后，难点在于既要验证解是否满足运动时间范围，又要结合图形几何性质（如边长非负、三边关 系）剔除增根。此双重检验极易被遗漏，造成答案与几何实际情境不符。 难点精练 1．（25-26 九年级下·黑龙江大庆·期中）如图，在 中， ， ， ．点 从点 出发，以 的速度沿 运动；同时，点 从点 出发，以 的速度沿 运动．当点 到 达点 时， 、 两点同时停止运动．设动点运动的时间为 ． (1) ， （用含t 的代数式表示） (2)则当t 为何值时， 的面积为 ． 【答案】(1) ； (2) 或4 时， 的面积为 【分析】（1）根据点P、Q 运动的速度，表示出 、 即可； （2）利用两点运动的速度表示出 的长，进而表示出 的面积 ；把 代入，解 方程可得结论． 【详解】（1）解：∵ ，点 从点 出发，以 的速度沿 运动， ∴ ； ∵点 从点 出发，以 的速度沿 运动， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 37 / ∴ ； （2）解：由题意得： ， ， ， ∴ ； 由题意得： ， 解得： 或 ， ∴ 或4 时， 的面积为 ． 2．（25-26 九年级下·山东淄博·期末）如图，矩形 中， ， ，点 从 开始沿 边向点 以 的速度移动，点 从点 开始沿 边向点 以 的速度移动，，两点分别从 ， 同时出发． (1)若当其中一个点到达终点时，两个点都停止运动． ①经过几秒， 的面积等于 ？ ② 的面积能否等于 ？如果能，求出运动的时间；如果不能，请说明理由． (2)若点 到达 后不停止，立即以原速沿 返回；点 到达 后不停止，继续以原速沿射线 方向运动， 直到点 第一次回到 时，两点同时停止运动．在整个运动过程中，第几秒 的面积等于 ？ 【答案】(1)①经过2 秒或4 秒后， 的面积等于 ；② 的面积不能等于 ； (2)当为 秒或 秒， 的面积等于 ． 【分析】（1）①设运动时间为x 秒，根据三角形面积公式构建方程求解即可； ②设运动时间为x 秒， 的面积等于 ，根据三角形面积公式构建方程，解方程即可判断； （2）分两种情况讨论，用面积公式列方程即可得到答案． 【详解】（1）解：①设运动时间为x 秒，则 ， ， 又 ， ∴ ， 根据题意，得 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 38 / 解得 ， ． ∴经过2 秒或4 秒后， 的面积等于 ； ②设运动时间为x 秒， 的面积等于 ， 根据题意，得 ， 整理得 ， ∴ ， ∴方程无解， ∴ 的面积不能等于 ； （2）解：设运动的时间为t 秒， ①当 时， ， 由题意，得 ， 解得： ， ； ②当 时， ， 由题意，得 ， 解得： ， （舍去）， 综上所述，当为 秒或 秒时， 的面积等于 ． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）如图：在直角坐标系中，长方形 中， ， ，点 从 点 出发，沿射线 方向以每秒 个单位长的速度移动，点 从点 出发，沿射线 方向以每秒个单位 长的速度运动，设点 的运动时间为秒． (1)如图1，当为何值时， 的面积为； (2)当 是 的角平分线时，求出此时点 的坐标； (3)当为何值时， 是等腰三角形？ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 39 / 【答案】(1) (2) 或 (3) 或 或 或 【分析】（1）用含的式子表示三角形底 与高 ，代入面积公式列方程，舍去负根即可求出的值； （2）利用长方形对边平行得到 ，结合角平分线条件推导出 ，得到 ，用表示 ，在 中利用勾股定理列出关于的方程求解，即可得到点 坐标； (3)先写出三点坐标，借助平面内两点距离公式写出 、 、 三条边长代数式，分 、 、 三类情况列方程求解，舍去不符合实际运动意义的根，即可得到所有符合条件的的值． 【详解】（1）解：如图，由题意得 ， ， ， 当 的面积为时， ，解得 或 （不合题意，舍去）， 即当 时， 的面积为； （2）解：如图， ∵四边形 是长方形， ∴ ， ， ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 40 / ∴ ， 在 中， ， ∴ ， 解得 或 ， 即 或 ， ∴此时点 的坐标为 或 ； （3）解：由题意得 ， ， ， ∴ ， ， ， 是等腰三角形，可分三种情况讨论： ① ，则 ， 解得 或 （不合题意，舍去）； ② ，则 ， 解得 或 ； ③ ，则 ， 解得 或 （不合题意，舍去）； 综上， 或 或 或． 难点五 一元二次方程中新定义型综合问题 1. 新概念的等价转化障碍 难点在于快速捕捉题目自定义运算或特殊规则的数学本质，并将其等价转化为常规的方程形式。学生易受 陌生表述干扰，难以剥离表象，从而无法建立有效方程模型。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 41 / 2. 嵌套条件的分类讨论疏漏 新定义往往嵌套附加条件（如整数根、特定范围），求解时须按参数或根的性质分层讨论。难点在于需兼 顾新定义规则与判别式、韦达定理的隐性约束，分类时极易出现重复或遗漏，导致解集失准。 难点精练 1．（25-26 八年级下·广东深圳·期末）已知关于x 的一元二次方程 有两个实数根 ， ， 若满足 ，则此类方程叫做“差根方程”．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： (1)下列是“差根方程”的是________；（填写序号） ① ；② (2)已知关于x 的方程 是“差根方程”，求a 的值． (3)已知 是直角三角形，斜边 的长为 ，若 的两边 、 的长是一个二次项系数为1 的 “差根方程”的两个实数根，求出这个“差根方程”． 【答案】(1)① (2) (3) 【分析】本题考查新定义“差根方程”，一元二次方程的求解、完全平方公式和勾股定理的应用，熟练掌 握相关知识，正确理解新的定义是解题的关键． （1）先求解两个方程，再根据“差根方程”定义判断即可； （2）先求解方程得到两个根，根据“差根方程”定义列方程求解即可； （3）利用勾股定理和“差根方程”的定义，结合完全平方公式求出两根之和与两根之积，再写出二次项系 数为1 的方程即可． 【详解】（1）解：① 解得： 或 ， ， 是“差根方程”； ② 解得： ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 42 / ， ②不是“差根方程”； （2）解：方程 因式分解得： ， 解得： ， ， 方程 是“差根方程”， ， ， 或 ， 解得： 或 ； （3）解： 设 、 ， 是直角三角形，斜边 的长为 ， ， ， 、 是“差根方程”的两个实数根， ， ， ， ， ， ， 、 是三角形的边长，均为正数， ， 方程二次项系数为1， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 43 / 所求差根方程为 ． 2．（25-26 八年级下·浙江绍兴·期末）定义：如果关于 的一元二次方程 （ ，，均为 常数， ）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ① ；② ；③ ． (2)若 是“邻根方程”，求 的值． (3)若一元二次方程 （ ，，均为常数， ）为“邻根方程”，求出 ，，应满足的 数量关系． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 【分析】（1）分别求得①②③中方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义判断即可； （2）先求出方程的两个根，再根据“邻根方程”的定义列出关于 的一元一次方程，求解即可； （3）设方程 的两个根为 、 ，根据“邻根方程”的定义得 ，利用根与系数的关 系，结合完全平方公式即可得到 ， ，的数量关系． 【详解】（1）解：①解方程 得 ， ， ， 方程 是“邻根方程”； ②解方程 得 ， ， 方程 不是“邻根方程”； ③解方程 得 ， ， ， 方程 是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程 得： ， ， 该方程是“邻根方程”， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 44 / 或 ， 解得： 或 ． （3）解： 一元二次方程 为“邻根方程”， ∴ ， 设方程 的两个根为 、 ，则 ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 3．（25-26 九年级上·甘肃兰州·期中）阅读与思考 定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们就称这两个方程为“同伴方程”．例如 和 有且只有一个相同的实数根 ，所以这两个方程为“同伴方程”． (1)根据所学定义，下列方程属于“同伴方程”的有______；（只填写序号即可） ① ；② ；③ (2)关于x 的一元二次方程 与 为“同伴方程”，求m 的值； (3)若关于x的一元二次方程 （ ）同时满足 和 ，且与 互为“同伴方程”，求n 的值． 【答案】(1)①③ (2) 或 (3) 或 【分析】本题考查了一元二次方程的解、新定义“同伴方程”． 分别求出三个方程的解，根据“同伴方程”的定义进行判断即可； 先求出一元二次方程 的解 ， ，根据一元二次方程 与 为 “同伴方程”，分情况求解即可； 一元二次方程 （ ）同时满足 和 ，可知方程的解为 ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 45 / 分情况求出 值即可． 【详解】（1）解： 解方程 ， 可得： ， ； 解方程 ， 可得： ； 解方程 ， 可得： ， ； 其中方程 和方程 有且只有一个相同的实数根， 方程 是“同伴方程”； （2）解：解方程 ， 可得： ， ， 当相同的根是 时， 把 代入方程 ， 可得： ， 解得： ； 此时方程为 ，可得： ， ，符合题意； 当相同的根是 时， 把 代入方程 ， 可得： ， 解得： ， 此时方程为 ，可得： ， ，符合题意； 的值是或 ； （3）解： 关于x 的一元二次方程 同时满足 和 ， 方程 的解是 ， ， 方程 的解为 ， ， 方程 与方程 是“同伴方程”， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 46 / 或 ， 或 ． 基础达标 一、单选题 1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A． 1 2 x+ = B． 2 4 3 x x − = C． 2 1 x y + = D． 3 5 − = xy 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的 最高次数为2 的整式方程）逐一判断各选项即可． 【详解】解：A. 1 2 x+ = ：是一元一次方程，不符合条件； B. 2 4 3 x x − = ：只含有一个未知数x ，且x 的最高次数为2，是一元二次方程； C. 2 1 x y + = ：含有两个未知数x 和y ，是二元一次方程，不符合条件； D. 3 5 xy − = ：含有两个未知数x 和y ，且乘积项xy的次数为2，是二元二次方程，不符合条件； 故选：B． 2．将一元二次方程 2 3 2 x x - = 化成一般形式后，常数项是2 −，则二次项系数和一次项系数分别是（ ） A．3，2 − B．3，1 C．3，1 − D．3，0 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程的概念，将方程整理为一般形式 2 0 ax bx c + + = ，确定各项系数即可求 解． 【详解】解：原方程 2 3 2 x x − = 移项得： 2 3 2 0 x x − − = ， ∴方程的一般形式为 2 3 2 0 x x − − = ，其中二次项系数为3，一次项系数为-1，常数项为2 - ， ∴二次项系数和一次项系数分别是3和-1， 故选：C． 3．用配方法解方程 2 8 3 x x − = −时，配方后正确的是（ ） A． 2 ( 4) 19 x + = B． 2 ( 4) 13 x + = C． 2 ( 4) 19 x − = D． 2 ( 4) 13 x − = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 47 / 【答案】D 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，通过配方法将方程转化为完全平方形式，进而确定正确选项． 【详解】解： 2 8 3 x x − = −， 配方得： 2 8 16 3 16 x x − + = −+ ， 整理方程：( ) 2 4 13 x − = ， 故选：D． 4．下列方程中，有两个相等实数根的是（ ） A． 2 4 0 x − = B． 2 6 0 x x − − = C． 2 4 4 0 x x − + = D． 2 1 0 x x − + = 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程 2 0(a 0) + + = ax bx c 根的判别式 2 4 =b ac − 与根的关系，熟练掌握根的判 别式与根的关系式解答本题的关键．当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当 0 = 时，一元二 次方程有两个相等的实数根；当 0 时，一元二次方程没有实数根．通过计算各选项对应的一元二次方程 根的判别式，判断是否有两个相等实数根即可． 【详解】A．判别式 ( ) 2 Δ 0 4 1 4 16 0 = −− = ，有两个不等实根，不符合题意； B．判别式 ( ) ( ) 2 Δ 1 4 1 6 1 24 25 0 = − −− = + = ，有两个不等实根，不符合题意； C．判别式 ( ) 2 Δ 4 4 1 4 16 16 0 = − − = − = ，此时方程有两个相等实根，符合题意； D．判别式 ( ) 2 Δ 1 4 1 1 1 4 3 0 = − −= − = − ，无实根，不符合题意． 故选：C． 5．矩形的周长为24cm ，其中一边长为cm x ，面积为 2 32cm ，则列出关于x 的方程为（ ） A． 2 32 x = B． ( ) 2 32 12 x = − C． ( ) 32 12 x x = − D． ( ) 32 2 12 x = − 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键；先根据周长表示出长 方形的另一边长，再根据面积= 长宽，出方程． 【详解】解：长方形的周长为24cm ，其中一边为cm x ，则长方形的另一边长为( ) 12 cm x − ， 根据题意得， ( ) 32 12 x x = − 故选：C． 二、填空题 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 48 / 6．若关于x 的一元二次方程 2 2025 0 ax bx = - - 有一个根为 1 x = −，则a b + = ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的解，解决本题的关键是将x 代入到方程中求出关于a、b 的等式． 根据题意，把 1 x = −代入 2 2025 0 ax bx = - - 求解即可． 【详解】解：把 1 x = −代入 2 2025 0 ax bx = - - ，得 2025 0 a b + − = ∴ 2025 a b + = 故答案为：2025． 7．若关于x 的方程( ) 2 2 2 6 9 0 m m x x − + + − = 是一元二次方程，则m 的值是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义．根据只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式 方程叫一元二次方程进行解答即可． 【详解】解：依题意可得 2 2 0 2 2 m m + − = ， ， 解得 2 m = ， 故答案为：2 ． 8．原来商场将进价为每件80 元的某商品按每件100 元出售，一天可售出100 件．后来经调查发现，每件 该商品降价1 元，销量可增加10 件，商场想获利2250 元．设将该商品每件降价x 元，根据题意，可列方程 为 ． 【答案】(100 80 )(100 10 ) 2250 x x − − + = 【分析】本题主要考查了一元二次方程在销售利润问题中的应用，熟练掌握“总利润 = 每件利润×销售量” 这一数量关系是解题的关键，涉及知识点有利润问题的基本数量关系、一元二次方程的实际应用 ．先分析 降价x 元后每件商品的利润以及销售量，再根据“总利润 = 每件利润销售量”的关系来列方程． 【详解】解：原来每件商品利润为100 80 20 − = 元，降价x 元后，每件商品利润为( ) 100 80 x − − 元；原来一 天销售100件，降价1元销量增10件，降价x 元后，销量为( ) 100 10x + 件． ∵总利润 = 每件利润销售量，且总利润为2250 元， ( )( ) 100 80 100 10 2250 x x − − + = 故答案为：( )( ) 100 80 100 10 2250 x x − − + = ． 9．（2025·黑龙江绥化·中考真题）已知m ，n 是关于x 的一元二次方程 2 2025 1 0 x x − + = 的两个根，则 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 49 / ( )( ) 1 1 m n + + = ． 【答案】2027 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系以及代数式求值，先求出根与系数的关系，将代数式变形 后代入计算即可． 【详解】解： m ，n 是关于x 的一元二次方程 2 2025 1 0 x x − + = 的两个根， 2025 1 2025, 1 1 1 m n mn − + = − = = = ， ( )( ) 1 1 1 2025 1 1 2027 m n m n mn + + = + + + = + + = ， 故答案为：2027． 10．（24-25 九年级下·河南周口·期中）对于任意实数a、b，规定运算∶ ( )( ) * 2 2 a b a b a = − − − ．判定关于x 的方程* 0 x k = 的根的情况： ． 【答案】有两个实数根 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及实数的运算，根据新的运算法则列出一元二次方程， 再用因式分解法直接求解即可解答． 【详解】解：根据题意得：* 0 x k = 可化为( )( ) 2 2 0 x k x − − − = ， 解得： 1 2 2 2 x k x = + = ， ， ∴关于x 的方程* 0 x k = 有两个实数根． 故答案为：有两个实数根． 三、解答题 11．解下列方程： (1) 2 4(2 1) 81 0 x + − = ． (2) 2 1 6 3 0 2 x x − + = （用配方法）． (3) 2 2 4 5 0 x x − − = （用公式法）． 【答案】(1) 1 2 7 11 , 4 4 x x = = − (2) 1 2 2 33 12, 2 33 12 x x = + = − + (3) 1 2 2 14 2 14 , 2 2 x x + − = = 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法：直接开平方法、配方法、公式法等 小学 初中 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 50 / 是解题的关键． （1）用直接开平方法求解即可； （2）用配方法求解即可； （3）用公式法求解即可． 【详解】（1）解：移项，得 2 4(2 1) 81 x + = ． 两边同时除以4，得 2 81 (2 1) 4 x + = ． 开平方，得 9 2 1 2 x + = ， ∴ 1 2 7 11 , 4 4 x x = = − ． （2）解：次项系数化为1，得 2 24 12 0 x x − + = ． 移项，得 2 24 12 x x − = − ． 配方，得 2 24 144 132 x x − + = ， 即 2 ( 12) 132 x − = ． 开平方，得 12 2 33 x − = ， ∴ 1 2 2 33 12, 2 33 12 x x = + = − + ． （3）解： 2, 4, 5 a b c = = − = − ， 2 2 4 ( 4) 4 2 ( 5) 56 0 b ac = − = − −− = ， 方程有两个不相等的实数根， 2 4 4 56 2 14 2 2 2 b b ac x a − − = = = ， ∴ 1 2 2 14 2 14 , 2 2 x x + − = = ． 12．阅读下列关于解方程： 2 2 8 18 0 x x − − = 的解题过程，解决下列问题． 解：移项得， 2 2 8 18 x x − = ① 两边同除以2 得， 2 4 9 x x − = ② 配方得， 2 4 4 9 x x − + = ③ 即，( ) 2 2 9 x − = 2 3 x − = 或 2 3 x − = −④ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 51 / 1 5 x = ， 2 1 x = −⑤ (1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________； (2)请你写出正确的解答过程． 【答案】(1)③；只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程的方法和步骤． （1）根据配方法解一元二次方程的方法和步骤，即可获得答案； （2）利用配方法解该一元二次方程即可． 【详解】（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的 平方，而右边没有加． 故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加； （2）解： 2 2 8 18 0 x x − − = ， 移项得， 2 2 8 18 x x − = ， 两边同除以2 得， 2 4 9 x x − = ， 配方得， 2 4 4 9 4 x x − + = + ， 即， 2 ( 2) 13 x − = ， ∴ 2 13 x − = 或 2 13 x − = − ， ∴ 1 2 13 x = + ， 2 2 13 x = − ． 13．如图，园林部门计划在某公园建一个矩形苗圃ABCD，苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14m）， 另外三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并各留2m宽的门（门不用木栏）．已 知建成后所用木栏总长为32m，当AB 的长是多少时，矩形苗圃ABCD的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】当AB 的长为22 m 3 时，矩形苗圃ABCD的面积最大，最大面积为 2 308 m 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 52 / 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，正确求得S 与x 的关系成为解题的关键． 设矩形苗圃ABCD的面积为 2 m S ，它的一边AB 的长为m x ，则BC 的长为 ( ) 32 3 2 2 36 3 m x x − + = − ，若它 的面积为 ( ) 36 3 S x x = − ，然后利用二次函数的性质求出最大值即可． 【详解】解：设矩形苗圃ABCD的面积为 2 m S ，它的一边AB 的长为m x ，则BC 的长为 ( ) 32 3 2 2 36 3 m x x − + = − ， ( ) ( ) 2 2 36 3 3 36 3 6 108 S x x x x x = − = − + = − − + ． 3 0 − ， 当 6 x 时，S 随x 的增大而减小， . 0,36 3 14 x x − ， 22 3 x ． 22 6 3 ， 当 22 3 x = 时，S 有最大值， 308 3 S = 最大值 ． 答：当AB 的长为22 m 3 时，矩形苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为 2 308 m 3 ． 14．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m m − + + + −= (1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根； (2)当该方程的两个实数根互为相反数时，求m 的值． 【答案】(1)见解析 (2) 1 2 − 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根和系数的关系，掌握相关知识点是解题关 键． （1）根据一元二次方程根的判别式求解即可； （2）由一元二次方程根和系数的关系，得到 1 2 2 1 x x m + = + ，再根据相反数的定义得到 1 2 0 x x + = ，即可求 出m 的值． 【详解】（1）证明： ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m m − + + + −= ， 其中 1 a = ， ( ) 2 1 b m = − + ， 2 1 c m m = + −， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 53 / ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 4 1 1 4 4 1 4 4 4 5 0 m m m m m m m = − + − + − = + + − − + = ， 无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根 （2）解：设方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m m − + + + −= 的两个根为 1 x 和 2x ， 1 2 2 1 x x m + = + ， 该方程的两个实数根互为相反数， 1 2 0 x x + = ， 2 1 0 m + = ， 1 2 m = − ． 15．某头盔经销商5 至7 月份统计，某品牌头盔5 月份销售1500个，7 月份销售2160个，且从5 月份到7 月份销售量的月增长率相同．请解决下列问题． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)某工厂已建有一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条生产线最大产能是1200 个/月，但 如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/月，现该厂要保证每月生产头盔5400 个．若 增加生产线，则投入成本就会增多，从节省成本的角度看，应该增加几条生产线？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为20% (2)增加4 条生产线 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意列出相应的一元二次方程求解即可． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意列出一元二次方程进行求解； （2）设增加x 条生产线，根据条件列出一元二次方程求解，再根据要节省投入的条件下，确定解． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x． 依题意，得： ( ) 2 1500 1 2160 x + = ， 解得： 1 0.2 20% x = = ， 2 2.2 x = − （不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）解：设增加x 条生产线．( )( ) 1200 30 1 5400 x x − + = ， 解得 1 4 x = ， 2 35 x = （舍去）， 答：从节省成本的角度看，增加4 条生产线． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 54 / 能力进阶 一、单选题 1．若关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 ( 1) 2 1 0 m x x m − + + − = 的常数项为0，则方程的两个根为（ ） A． 1 2 1, 0 x x = − = B． 1 2 1, 1 x x = − = C． 1 2 1, 2 x x = − = − D． 1 2 0, 1 x x = = 【答案】D 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程．根据常数项为0 求出m 的值，代入方程后解方程即可． 【详解】解：∵方程常数项为 2 1 m −， ∴由题意得 2 1 0 m −= ，解得： 1 m = ， ∵ 1 0 m− ， ∴ 1 m = −， ∴方程为： 2 2 2 0 x x − + = ， 提公因式得： ( ) 2 1 0 x x −+ = ， ∴ 0 x = 或 1 0 x −+ = ， ∴方程的两个根为 1 0 x = ， 2 1 x = ， 故选：D． 2．已知a b ，是方程 2 3 0 x x + − = 的两个实数根，则 2 2025 a b − + 的值是（ ） A．2029 B．2028 C．2027 D．2026 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的根，根与系数的关系．由a 是方程 2 3 0 x x + − = 的一个实数根，可得 2 3 a a = −+ ．由根与系数的关系，可得 1 1 1 a b + = −= −．代入 2 2025 a b − + 即可求解． 【详解】解：a 是方程 2 3 0 x x + − = 的一个实数根， 2 3 0 a a + − = ， 2 3 a a = −+ ． a b ，是方程 2 3 0 x x + − = 的两个实数根， 1 1 1 a b + = −= −． 2 2025 a b − + ( ) ( ) 3 2025 2028 1 2028 2029 a b a b = −+ − + = − + + = + = ， 故选A． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 55 / 3．若关于x 的一元二次方程方程( ) 2 1 4 1 0 m x x − + + = 有实数根，则m 的取值范围是（ ） A． 5 m 且 1 m B． 5 m ，且 1 m C． 5 m D． 5 m 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是根据一元二次方程的定义确定二次 项系数不为0，再结合根的判别式确定m 的取值范围． 根据一元二次方程的定义及根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负，联 立解不等式组即可． 【详解】由题意得： 2 4 0 1 0 b ac m − − ， ， ∴ 2 4 4( 1) 0 1 0 m m − − − ① ② 由①得：16 4 4 0 m − + ， 4 20 m − − 解得： 5 m 由②得： 1 m ， ∴m 的求值范围为： 5 m 且 1 m ， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25 八年级下·安徽蚌埠·期中）关于x 的方程( ) ( ) 2 4 2 3 2 0 m m x m x − − + − − = 是一元二次方程，则m 的 值为 ． 【答案】 6 【分析】本题考查一元二次方程的定义，直接开配方法解一元二次方程，根据一元二次方程的定义“只含有 一个未知数，并且未知数的最高指数是2 的整式方程，且二次项系数不等于0”，即可进行求解． 【详解】解：由题意得， 2 2 0 4 2 m m − − = ， 解得 2 6 m m = ， 因此 6 m = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 56 / 故答案为： 6 ． 5．已知 1 x 、 2x 是方程 2 2 4 0 x x − − = 的两个实数根，则 2 2 1 2 1 2 3 x x x x + + = ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的变形求值，解题的关键是根据根与系 数的关系得到 1 2 2 x x + = ， 1 2 4 x x = −． 根据根与系数的关系可得出 1 2 2 x x + = ， 1 2 4 x x = −，代入并利用完全平方公式变形计算即可得出结论． 【详解】解：∵ 1 x 、 2x 是方程 2 2 4 0 x x − − = 的两个实数根， ∴ 1 2 2 x x + = ， 1 2 4 x x = −， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 4 0 x x x x x x x x + + = + + = + − = ． 故答案为：0． 6．定义 2 * 2 a b a b + = ，则方程( ) ( ) 2 2 2 * 2 1 x x x x − = 的解为 ． 【答案】 1 2 1 3, 1 3 x x = + = − 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法-公式法以及新定义运算，正确运用新定义化简方程是解题的关 键． 利用题中的新定义化简所求方程，然后再运用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：根据题中的新定义得： 2 2 2 2 2 2 4 2 * , *2 2 2 x x x x x x x x + + = = ， ∵( ) ( ) 2 2 2 * 2 1 x x x x − = ， ∴ 2 2 2 2 4 1 2 2 x x x x + + − = ，整理得： 2 2 2 0 x x − − = ， 这里 1 2 2 a b c = = − = − ， ， ， ∵ ( ) 4 4 2 1 12 = −− = ， ∴ 2 12 1 3 2 x = = ，即 1 2 1 3, 1 3 x x = + = − ． 故答案为： 1 2 1 3, 1 3 x x = + = − ． 三、解答题 7．用合适的方法解下列方程： (1) 2 2 4 x x − = 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 57 / (2)( ) 2 2 2 4 x x + = (3) ( ) 1 3 x x + = (4)( )( ) 2 1 3 4 x x − + = 【答案】(1) 1 1 5 x = + ， 2 1 5 x = − (2) 1 2 x = ， 2 2 3 x = − (3) 1 1 13 2 x −+ = ， 2 1 13 2 x −− = (4) 1 7 2 x = - ， 2 1 x = 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是学会根据方程的特征正确寻找解方程的方法． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用直接开方法解方程即可； （3）利用公式法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 2 2 4 x x − = ， 原方程可化为 2 2 1 5 x x − + = ， 即( ) 2 1 5 x − = ， 1 5 x −= 或 1 5 x −= − ， 1 1 5 x = + ， 2 1 5 x = − ； （2）解：( ) 2 2 2 4 x x + = ， 原方程可化为 2 2 x x + = ， 2 2 x x + = 或 2 2 x x + = − ， 1 2 x = ， 2 2 3 x = − ； （3）解：( ) 1 3 x x + = ， 原方程可化为 2 3 0 x x + − = ， 其中 1 a = ， 1 b = ， 3 c = −， ( ) 2 Δ 1 4 1 3 1 12 13 0 = −− = + = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 58 / 1 13 2 x − = ， 1 1 13 2 x −+ = ， 2 1 13 2 x −− = ． （4）解：( )( ) 2 1 3 4 x x − + = ， 原方程可化为 2 2 5 7 0 x x + − = ， ( )( ) 2 7 1 0 x x + − = ， 2 7 0 x + = 或 1 0 x−= ， 1 7 2 x = − ， 2 1 x = ． 8．已知关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 5 0 x m x m − − + − = ． (1)当方程有两个实数根时，求m 的取值范围． (2)当方程的两个根 1 2 x x 、 满足 2 2 1 2 1 2 12 x x x x + = + 时，求m 的值． 【答案】(1) 3 m (2) 1 m = 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到 ( ) ( ) 2 2 2 1 4 5 0 m m = − − − − ，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根 1 2 x x 、 得到， ( ) 2 1 2 1 2 2 1 , 5 x x m x x m + = − = − ，结合完全平方公式的变形得到 ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x + = + − ，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 1 5 0 x m x m − − + − = ，方程有两个实数根， ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 4 5 0 m m = − − − − ， 整理得，8 24 m ， 解得， 3 m ； （2）解：方程 ( ) 2 2 2 1 5 0 x m x m − − + − = 的两个根 1 2 x x 、 ， ∴ ( ) 2 1 2 1 2 2 1 , 5 x x m x x m + = − = − ， ∵ ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 x x x x x x + = + − ， ∴( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 12 x x x x x x + − = + ，整理得，( ) 2 1 2 1 2 3 12 x x x x + − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 59 / ∴ ( ) ( ) 2 2 2 1 3 5 12 m m − − − = ， 整理得， 2 8 7 0 m m − + = ， ∴( )( ) 1 7 0 m m − − = ， 解得， 1 2 1, 7 m m = = ， 当 1 m = 时， 2 4 0 x − = ， 解得， 1 2 2, 2 x x = − = ，符合题意； 当 7 m = 时， 2 12 44 0 x x − + = ， ∵ ( ) 2 12 4 44 144 176 32 0 = − − = − = − ， ∴原方程无实数， ∴ 7 m = 舍去， ∴ 1 m = ． 9．某景区5 月份的游客人数比4 月份增加60% ，6 月份的游客人数比5 月份减少10% ． (1)设该景区4 月份的游客人数为a 万人，请用含a 的代数式（结果化到最简）填表： 月份 4 月 5 月 6 月 游客人数/ 万人 a ①____________ ②____________ (2)求该景区5 月份、6 月份游客人数的月平均增长率； (3)景区特色商品营销店推出一款成本价为40 元的文化衫，如果按每件60 元销售，每天可卖出20 件，通过 市场调查发现，每件文化衫售价每降低1 元，日销售量增加2 件．若商家想要达到日利润432 元，为尽快 销售完该款商品，每件售价应定为多少元？ 【答案】(1)填表见解析 (2) 20% (3)每件售价应定为52 元 【分析】（1）先根据增长的情况，计算出五月份的人数，再计算出六月份的人数即可； （2）设该风景区5 月份、6 月份游客人数的月平均增长率为x ，根据四月份人数和六月份的人数列出方程 求解即可； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 60 / （3）设每件的售价定为y 元，则每件的销售利润为( ) 40 y − 元，每天可卖出( ) 140 2y − 件，根据商家想要达 到日利润432 元，列出方程求解即可． 本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 【详解】（1）解：∵该景区5 月份的游客人数比4 月份增加60% ，6 月份的游客人数比5 月份减少了10% ， 且该景区4 月份的游客人数为a 万人， ∴该景区5 月份的游客人数为( ) 1 60% 1.6 a a + = 万人， ∴6 月份的游客人数为( ) ( ) 1 10% 1 60% 1.44 a a − + = 万人． ∴五月的人数为1.6a 万人，六月的人数为1.44a 万人； 填表如下： 月份 4月 5 月 6 月 游客人数/万 人 a 1.6a 1.44a （2）解：设该风景区5 月份、6 月份游客人数的月平均增长率为x ， 根据题意得：( ) 2 1 1.44 a x a + = ， 解得： 1 0.2 20% = = x ， 2 2.2 x = − （不符合题意，舍去）． 答：该风景区5 月份、6 月份游客人数的月平均增长率为20%； （3）解：设每件的售价定为y 元，则每件的销售利润为( ) 40 y − 元，每天可卖出 ( ) ( ) 20 2 60 140 2 y y + − = − 件， 根据题意得：( )( ) 40 140 2 432 y y − − = ， 整理得： 2 110 3016 0 y y − + = ， 解得： 1 52 y = ， 2 58 y = ∵为尽快销售完该款商品 ∴ 52 y = ． 答：每件售价应定为52 元． 10．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于x 的一元二次方程 2 0 ax bx c + + = （a≠0）的两个 实数根为x1，x2，则 1 2 1 2 b c x x x x a a + = − = ， ，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 61 / 已知一元二次方程 2 1 0 x x − −= 的两个实数根分别为m，n，求 2 2 m n mn + 的值． 解：∵一元二次方程 2 1 0 x x − −= 的两个实数根分别为m，n，∴m+n=1，mn=-1，则 ( ) ( ) 2 2 1 1 1 m n mn mn m n + = + = − = −． 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题： (1)一元二次方程 2 6 15 0 x x − − = 的两根为 1 x ， 2x ，则： 1 2 x x + = ____， 1 2 x x = _____； (2)一元二次方程 2 2 4 1 0 x x − + = 的两个根为 1 x ， 2x ，求 1 2 1 1 x x + 的值； (3)若 1 x ， 2x 是关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m − + + + = 的两个实数根且 1 2 1 2 3 x x x x + = −，求m 的值． 【答案】(1)6，15 − (2) 1 2 1 1 4 x x + = (3) 3 m = 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系； （1）根据一元二次方程根与系数的关系直接进行计算即可； （2）根据根与系数的关系先求出 1 2 2 x x + = ， 1 2 1 2 x x = ，然后将 1 2 1 1 x x + 进行变形求解即可； （3）根据根与系数的关系先求出 1 2 2 1 x x m + = + ， 2 1 2 1 x x m = + ，然后求出m 的值，然后结合 0 求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程 2 6 15 0 x x − − = 的两根为 1 x ， 2x ， 则： 1 2 6 x x + = ， 1 2 15 x x ? - ； （2）解：∵一元二次方程 2 2 4 1 0 x x − + = 的两个根为 1 x ， 2x ， ∴ 1 2 2 x x + = ， 1 2 1 2 x x = ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 1 2 4 1 2 x x x x x x + + = = = ； （3）解：∵ 1 x ， 2x 是关于x 的方程 ( ) 2 2 2 1 1 0 x m x m − + + + = 的两个实数根 ∴ 1 2 2 1 x x m + = + ， 2 1 2 1 x x m = + ， ∵ 1 2 1 2 3 x x x x + = −， ∴ 2 2 1 1 3 m m + = + −， ∴ 2 2 3 0 m m − − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 62 / 解得： 3 m = 或 1 m = −， ∵ ( ) ( ) 2 2 2 1 4 1 0 m m = − + − + ， 解得： 3 4 m ， ∴ 1 m = −不符合题意， 3 m = .
