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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 24 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(福建专用) 第二十七章 反比例函数 建议用时：120 分钟，满分：150 分 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 1．下列函数中， 是 的反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、 是二次函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； B、 的分母不是 的单项式，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意； C、 ，符合反比例函数定义，该选项符合题意； D、 是正比例函数，不符合反比例函数定义，该选项不符合题意． 2．已知函数 ，y 随x 的增大而减小，另有函数 ，两个函数在同一平面直角坐标系内的大致图 象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： 函数 中y 随x 的增大而减小， ，且函数的图象经过第二、四象限， 函数 的反比例系数大于零， 反比例函数图象经过第一、三象限， 故选：B． 3．已知点（3，-2）在反比例函数 的图像上，则下列各点中，也在反比例函数图像上的是（ ） A．（3，-3） B．（-2,3） C．（1,6） D．（-2，-3） 【答案】B 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 24 【详解】∵反比例函数y= 图象过点（3，-2）， ∴-2= ，即k=-6， A 选项：∵3×（-3）=-9≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； B 选项：∵-2×3=-6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； C 选项：∵1×6=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； D 选项：∵-2×（-3）=6≠-6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选B． 4．已知关于 的函数 的图象位于第二、四象限，则反比例函数 的图象位于（ ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【详解】解：∵函数 的图象位于第二､四象限， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 根据反比例函数性质，当比例系数大于0 时，反比例函数图象位于第一､三象限， ∴反比例函数 的图象位于第一､三象限． 5．对于反比例函数 ，下列说法正确的是（ ） A．图象经过点 B．若点 ， 都在图象上，且 ，则 C．图象位于第二、四象限 D．当 时， 随 的增大而减小 【答案】D 【详解】解：将 代入函数 得： ， ∴这个函数的图象经过点 ，不经过点 ，则选项A 错误； ∵反比例函数 中的 ， ∴图象位于第一、三象限；则选项C 错误； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 24 在每一象限内， 随 的增大而减小， ∴当 时， 随 的增大而减小，选项D 正确； 若 ，或 ，则 ；若 ，则 ，则选项B 错误． 6．如图，反比例函数 的图象经过矩形 的边 的中点D，则矩形 的面积为（ ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】A 【详解】解：设点 的坐标为 ∵点 在反比例函数 的图象上 ∴ 由图可知 ， ∴ ∵ 是 的中点 ∴ ∴ ． 7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，通过调节电阻控制电流的变化来实现．如图是该台灯的电 流 与电阻 的函数关系图象，该图象经过点 ．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A． 与 的函数关系式是 B．当 时， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 24 C．当 时， D．当 时， 的取值范围是 【答案】C 【详解】解：A、设 与 的函数关系式是 ， ∵图象经过点 ， ∴ ，解得 ， ∴ 与 的函数关系式是 ，故A 正确，不符合题意； B、当 时， ，解得 ，故B 正确，不符合题意； C、 ∵反比例函数图象在第一象限， 随 的增大而减小， ∴当 时， ，故C 错误，符合题意； D、当 时， ， 当 时， ， ∴当 时， 的取值范围是 ，故D 正确，不符合题意． 8．点 ， 是反比例函数 第一象限图象上的两点，设 ，则 不经过第（ ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】A 【详解】解： 点 ， 是反比例函数 第一象限图象上的两点， 当 时， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， 当 时， ， ∴ ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 24 ∴ ， 综上， ， 一次函数 的图象经过第二、三、四象限，不过第一象限； 故选：A． 9．已知反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， 、 两点在该图象上，下列命 题：①过点 作 轴，为垂足，连接 .若 的面积为3，则 ；②若 ，则 ； ③若 ，则 其中真命题个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】∵反比例函数 的图象分别位于第二、第四象限， ∴k<0， ∵ 、 两点在该图象上， ∴y1= ，y2= ， ∴x1y1=k，x2y2=k， ①过点 作 轴， 为垂足， ∴S△AOC= = ， ∴ ，故①正确； ②若 ，则点A 在第二象限，点B 在第四象限，所以 ，故②正确； ③∵ ， ∴ ，故③正确， 故选D. 10．在反比例函数 （ 为常数）的图象上有三个点 ， ， ，则函数值 ， ， 的大小关系为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 6 / 24 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ， ， ∴双曲线在二，四象限，且在每一个象限内， 随 值的增大而增大， ∵点 ， ， 在双曲线上，且 ， ∴ ； 故选：D． 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11．已知反比例函数 的图象经过点 ，则 的值是__________． 【答案】12 【详解】解：∵反比例函数 的图象经过点 ， ∴ ， 解得， ， 故答案为：12． 12．已知近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距（ ）成反比，当近视眼镜的度数为200 度时，镜片焦距为 ，则镜片焦距为 时，近视眼镜的度数为______度． 【答案】250 【详解】解：∵近视眼镜的度数 （度）与镜片焦距 （ ）成反比， ∴可设 ． ∵当近视眼镜的度数为200 度时，镜片焦距为 ， ∴ ， 解得： ， ∴ ， 当镜片焦距为 时，即 ， ∴ ． 故答案为：250． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 7 / 24 13．如图，矩形 的边 与y 轴平行，顶点A 和C 的坐标分别为 和 ，反比例函数 的图象同时经过点B 与点D，则k 的值为______． 【答案】9 【详解】解：∵四边形 是矩形， 与 轴平行， ∴ 轴， ， ， ∵ ， ， ∴点 的横坐标为 ，纵坐标为，即 ， 同理， ， ∵点 在反比例函数 ， ∴ ， 解得， ， ∴ ， 故答案为：． 14．我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点A （2，4）与点B 是某反比例函数图象上的等距点，那么点A、B 之间的距离是_____． 【答案】 【详解】由题意可知，点B 与点A 关于直线y=x 对称， ∵点A（2，4）， ∴点B（4，2）， ∴ ， 故答案为： ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 8 / 24 15．如图，已知点A、B 在双曲线y＝ （m＞0）上，点C、D 在双曲线y＝ （n＜0）上，AC∥BD∥y 轴， AC＝3，BD＝4，AC 与BD 的距离为7，则m﹣n 的值为_____． 【答案】12 【详解】解：∵点A、B 在双曲线y＝ （m＞0）上，点C、D 在双曲线y＝ （n＜0）上， ∴设A（x， ），则C（x， ）． ∵AC 与BD 的距离为7， ∴B（x﹣7， ），D（x﹣7， ）． ∵AC＝3，BD＝4， ∴ ﹣ ＝3， ﹣ ＝4， ∴ ， ∴﹣3x＝4x﹣28，解得x＝4， ∴m﹣n＝12． 故答案为：12． 16．如图，一次函数 与反比例函数 的图象交于点A，过点A 作 交x 轴于点B，作 交反比例函数图象于点 ，过点 作 交x 轴于点 ，再作 交反比例函数图象 于点 ，依次进行下去，……，则点 的纵坐标为______ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 9 / 24 【答案】 / 【详解】解：如图，分别过点 , 作 轴的垂线，垂足分别为 . ∵一次函数 与反比例函数 的图象交于点 ， ∴联立 ，解得 ， ∴点 的坐标为 . ， ， ∴ 是等腰直角三角形. ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为 ， ∵点 在反比例函数 上, ， 解得 或 (负值舍去). ∴点 的坐标为 ； ， ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10 / ， ， ， 设 则 ∴点 的坐标为 ∵点 在反比例函数 上, ， 解得 (负值舍去). ∴点 的坐标为 ； 同理点 的坐标为 ； 以此类推，可得点 的纵坐标为 ， 故答案为： ． 三、解答题（本大题共9 小题，共86 分） 17．（8 分）已知反比例函数 的图象的一支如图所示，它经过点 ． (1)求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支． (2)求当 ，且 时自变量x 的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 11 / 【答案】(1) ， 反比例函数图象的另一支如图所示． (2) 或 【详解】（1）解：（1）把点 代入表达式 ， 得 ， ∴ ， ∴反比例函数的表达式是 ． （2）当 时， ，解得 ． 由图象可知，当 ，且 时， 自变量x 的取值范围是 或 ． 18． （8 分）如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 （ ）的图象与反比例函数 （ ） 的图象交于点 ， (1)求m 的值； 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 12 / (2)根据图象，求出一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）解：将 代入反比例函数 （ ）， 得 ， 反比例函数为 ， 将 代入反比例函数 ， 得 ； （2）解：根据图象得，一次函数值大于反比例函数值时x 的取值范围是 或 ． 19．（8 分）已知 ， 与x 成正比例， 与 成反比例，且当 时， ；当 时， ． (1)求y 与x 之间的函数表达式； (2)当 时，求y 的值． 【答案】(1) (2)5 【详解】（1）解：设 ， ， 则 ， 根据题意，得： ， 解得： ， ∴ ； （2）解：当 时， ． 20．（8 分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点 与原点 重合，已知点 ，点 ．点 在反比例函数 的图象上． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 13 / (1)求反比例函数的表达式． (2)将 沿 轴正半轴平移 个单位长度后，点 恰好落在反比例函数的图象上，求 的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵四边形 是平行四边形，顶点 与原点 重合，点 ， ∴ ， ∵点 ， ∴点 的坐标为 ， 将 代入 ，得 ， ∴反比例函数的表达式为 ； （2）解：当点 沿 轴正半轴平移 个单位长度后，得到的点坐标为 ， 将 代入 ， 得 ， 解得 ． 21．（8 分）一辆客车从甲地出发前往乙地，平均速度（单位： ）与所用时间（单位：h）的函数关 系如图所示．其中 ． (1)求平均速度关于所用时间的函数表达式，并写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 14 / (2)若客车上午8 时从甲地出发，需在当天10 时24 分至11 时（含10 时24 分与11 时）之间到达乙地，求 客车平均速度的取值范围． 【答案】(1) 与的函数表达式为 (2)客车平均速度 的范围为 【详解】（1）解：设 与的函数关系式为 ，将 代入 中， ∴ ， 解得： ， 与的函数表达式为 ； ∵ ， ∴将 和 分别代入 中， 得 和 ， ∴ ， 与的函数表达式为 ； （2）解：当 时， (千米/小时)， 当 时， (千米/小时)， 客车平均速度 的范围为 ． 22．（10 分）如图所示，在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ．且与反比 例函数 的图象交于点 ． (1)求直线 的函数表达式； (2)根据函数图象，直接写出当反比例函数 的函数值 时，自变量 的取值范围； (3)设点 是 轴上的点，若 的面积等于12，直接写出点 的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 15 / 【答案】(1) (2) (3) 或 ． 【详解】（1）解： 点 在反比例函数 的图象上， ， ， 设直线 的函数表达式为 ， 将点 和点 代入得： ， 解得： ， 直线 的函数表达式为 ； （2）解：函数图象，当反比例函数 的函数值 时，自变量 的取值范围为 ； （3）解：设点 的坐标为 ， 直线 与 轴交于点 ， 令 ，则 ，解得： ， ， ， 的面积等于12， ， 或 ， 解得： 或 ， 点 的坐标为 或 ． 23． （10 分）如图，反比例函数 的图像与矩形 在第二象限内相交于 ，两点， ， ．连 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 16 / 接 ， ， ， ， 的面积分别为 ， ． (1)直接写出 的取值范围，并探究 与 之间的关系． (2)当 时， ①求k 的值及点 ， 的坐标； ②试判断 的形状，并求 的面积． 【答案】(1) ， (2)① ， ， ；② 是直角三角形， 【详解】（1）解：∵反比例函数 的图像与矩形 在第二象限内相交于 ， 两点， ∴ 当 时， ， 由图可知 ，即 ， 解得： ∴ ． ∵反比例函数 的图像与矩形 在第二象限内相交于 ， 两点， ∴ ， ， ∴ ． （2）①当 时， ∵ ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 17 / ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ， ． ② 是直角三角形． 理由如下： ∵ ， ， ， ， ∴ ， ． ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ 是直角三角形，且 ． ∵ ， ， ∴ ， ， ∴ ． 24．（12 分）小嵊和小州两位九年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究： 素材提供： 图1 是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数 ( )的图象组成，其中 ，它的两 边分别平行 轴和 轴，第一象限的角平分线经过点 ，交反比例函数的图象于点 ， ， ． 问题解决： 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 18 / （1）反比例函数中 的值为___________； （2）小嵊将线段 按如图2 摆放， ， 两点都在反比例函数 ( )的图象上， 的中点恰好与 点 重合，且 ，则此时线段 刚好不能通过弯道，求此时点 的坐标． 探究提升： （3）小州借助同样的思路将矩形 按如图3 摆放，，两点都在反比例函数 ( )的图象上， 的中点恰好与点 重合，且 ，矩形 刚好不能通过弯道．若 ，要使矩形能通过 该弯道，求 的最大整数值．（参考数据： ， ， ） 【答案】（1）1；（2） ；（3）4 【详解】解：（1）过点 作 轴于点 ， ∵ 平分第一象限， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， 将 代入 得 ， 故答案为：1； （2）延长直线 ，分别交 轴于点 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 19 / ∵ ， ， ∴ ， ∴ 均为等腰直角三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， 设直线 ， 则 ， 解得： ， ∴直线 ， 由（1）可得反比例函数解析式为： 联立得 解得： ， ∴ ； （3）同（2）可得直线 ， ∵矩形 ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ 为平行四边形， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 20 / ∴ ， 过点 作 轴于点 ，过点作 于点 ， ∴ ， ∴ ∴ 为等腰直角三角形， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， 同理可得： ， ∴ ， ∵ ， ∴设直线 ， 则 ， 解得： ， ∴直线 ， 则联立 ， 解得： ， ， ， ∴ ， ∴ 的最大整数值为4． 25．（14 分）如图，直线 分别与 轴， 轴交于点 ，点 ，点 是反比例函数 图象 与直线 在第一象限内的交点，过点 作 轴于点 ，且 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 21 / (1)求反比例函数的表达式； (2)点 是直线 右侧反比例函数图象上一点，且 ，直线 交 轴于点 ，点 ， 是直线 上两点，点 在点 的左侧且 ，求 的最小值及此时点 的坐标； (3)在（2）的条件下，点 为反比例函数图象上一点，若 ，请直接写出所有符合条件的点 的横坐标． 【答案】(1)反比例函数解析式为 ； (2) 的最小值为 ，此时 ； (3)符合条件的点 的横坐标为 或 ． 【详解】（1）解：在一次函数 中，令 时， ， ， ， ， 当 时， ， ， 点 在反比例函数图象上， ， 反比例函数解析式为 ； （2）解：如图，过点 作 轴的平行线交直线 于点 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 22 / 设点 ， ，则 ， ， ， 整理得： ， 解得 或 （舍去）， ， 设直线 的解析式为 ， ，解得 ， 直线 的解析式为 ， ， ， ， ， 将点 沿着射线 方向平移 个单位长度得到点 ，连接 ， ， 则四边形 是平行四边形，则 ， ， 当点 、 、 共线时取等号，此时 最小，最小值为 的长， ， ， 直线 的解析式为 ， ， 由 ，解得 ， ，则 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 23 / 的最小值为 ，此时 ； （3）解：①当 在 左侧时，如图所示， 设 与 轴交于点 ，则 ， ，则 ， 当 时， ， ，则 ， 过点 作 轴，垂足为 ， ， ， ， ， ，则 ， ， ， ，即点 、 、 共线， 则点 为直线 与反比例函数 图象的交点， 由 得 ， 解得 或 （舍去）， 点 的横坐标为 ； ②当 在 右侧时，如图， 轴，则 ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 24 / 则 ， ，则 ， 直线 的解析式为 ， 由 得 ， 解得 或 （舍去）， 在 右侧的点 横坐标为 ． 综上分析，符合条件的点 的横坐标为 或 ．
