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学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 1 / 5 2026-2027 学年九年级上册数学单元自测（福建专用） 第二十五章 一元二次方程（参考答案） 一、选择题（本大题共10 小题，每小题4 分，共40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D D D C D B B 二、填空题（本大题共6 小题，每小题4 分，共24 分） 11． -6 12． 1 4 x = ， 2 5 x = 13. 1 0 x = ， 2 2 x = 14. 10% 15. 5 16. 2 6 2 2 − 三、解答题（本大题共9 小题，共86 分） 17．（8 分） 【详解】解：在方程 2 2 5 1 0 x x − −= 中， 2 a = ， 5 b = −， 1 c − = ， 2 2 Δ 4 ( 5) 4 2 ( 1) 25 8 33 0 b ac = − = − −− = + = ，................4 分 ∴ Δ 5 33 2 4 b x a − = = ，................6 分 1 5 33 4 x + = ，................7 分 2 5 33 4 x − = ．................8 分 18．（8 分） 【详解】（1）解：∵关于x 的一元二次方程 2 1 0 x x m − + + = 有两个不相等的实数根， ( ) ( ) 2 Δ 1 4 1 1 >0 m = − − + ， 解得： 3 4 m − ；................4 分 （2）解：由题意得： 1 2 1 2 1 1 x x x x m + = = + ， ， ( ) 1 2 1 2 1 1 1 1 x x x x m m m + − = − + = − −= − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 2 / 5 2 m = − ， 1 2 1 2 2 x x x x + − = ．................8 分 19．（8 分） 【详解】（1）证明：∵关于x 的一元二次方程 ( ) 2 2 2 0 mx m x − + + = ， ∴ ( ) ( ) 2 2 Δ 2 4 2 2 0 m m m = + − = − ，且 0 m ， ∴该方程总有实数根；................4 分 （2）解：∵ ( ) 2 2 2 0 mx m x − + + = ， ∴( )( ) 1 2 0 x mx − − = ， 解得 1 1 x = ， 2 2 x m = ， ∵方程的两个根互为相反数， ∴ 2 1 0 m + = ， 解得 2 m = −．................8 分 20．（8 分） 【详解】（1）解：∵ 方程 2 2 0 x x k + + = 是一元二次方程，且有两个实数根， ∴ 2 Δ 2 4 1 0 k = − ， 4 4 0 k − ， 4 4 k − −， 1 k ；................4 分 （2）解：∵ 对于方程 2 2 0 x x k + + = ，根据韦达定理， 1 2 2 b x x a + = − = −， 1 2 c x x k a = = ， 又∵ 1 2 1 2 0 x x x x + − = ， ∴ 2 0 k −− = ， 解得 2 k = −， ∵ 2 1 −，符合（1）中k 的取值范围， ∴ 2 k = −．................8 分 21．（10 分） 【详解】（1）解：设垂直于墙的边长为xm，则平行于墙的边长为( ) 32 2 m x − ，依题意得：( ) 32 2 56 x x − = ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 3 / 5 解得： 1 2 2 14 x x = = ， ， 32 2 32 2 14 4 x − = − = ， 答：矩形场地的长为14m，宽为4m．................5 分 （2）不能，理由如下： 设垂直于墙的边长为m y ，则平行于墙的边长为(32 2 )m y − ， 依题意，得：(32 2 ) 130 y y − = ， 整理得： 2 16 65 0 y y − + = ， ∵ ( ) 2 16 4 65 4 0 = − − = − ， ∴不能围成一个面积为 2 130m 的矩形场地．...............10 分 22．（10 分） 【详解】（1）解：由一元二次方程的根与系数的关系可得， 1 2 10 2 5 b x x a − + = − = − = ， 1 2 1 5 c x x a = = ． 故答案为：2，1 5 ．................2 分 （2）解：∵m n ，实数m n 、满足 2 3 2 0 m m − − = ， 2 3 2 0 n n − − = ， ∴m n 、可看作方程 2 3 2 0 x x − − = 的两根， ∴ 1 2 3 3 m n mn + = = − ， ， ∴原式 2 2 m n mn + = ( ) 2 2 m n mn mn + − = 1 2 2 13 9 3 2 6 3 ， −− = = − − ∴原式的值为 13 6 − ．................6 分 （3）解：∵ 16 5 5 ， a b t ab t + = − = −， ∴将a b 、看作是方程 ( ) 2 16 5 0 5 x t x t − − + = − 的两实数根； ∴ ( ) 2 16 Δ 5 4 0 5 t t = − − − ，且 5 t ， ∴( ) 3 5 64 t − ， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4 / 5 ∴5 4 t − ， 解得 1 t ， ∴t 的最大值为1．................10 分 23．（10 分） 【详解】（1）解：设出发 7 0 2 t t 秒时，则 cm AP t = ， ( ) 5 cm BP AB AP t = − = − ， 2 cm BQ t = ． ∴ ( ) 1 1 5 2 4 2 2 PBQ S BP BQ t t = = − = 即 2 5 4 t t − + = 解得： 1 t = 或 4 t = （不符合题意，舍去）， ∴当出发1 秒后，PBQ 的面积等于 2 4cm ；................5 分 （2）不能，................6 分 理由：假设经过t 秒后，PBQ 的面积等于 2 7cm ，即1 7 2 BP BQ = ， ∴( ) 1 5 2 7 2 t t − = ， 整理得： 2 5 7 0 t t − + = ， 由于 ( ) 2 2 4 5 4 1 7 3 0 b ac − = − − = − ， 则方程没有实数根， ∴PBQ 的面积不能等于 2 7cm ．................10 分 24．（12 分） 【详解】（1）解： ( ) ( ) 2 2 2 2 4 5 2 2 1 1 5 2 1 3 x x x x x − + − = − − + − − = − − −， 2 2( 1) 0 x − − ， ( ) 2 2 1 3 3 x − − −−， 2 2 4 5 x x − + −的最大值为3 −；................4 分 （2）( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 3 1 2 3 5 4 6 2 2 0 x x x x x x x − + − + − = − + = − + ( ) 2 2 0 x − ， ( ) 2 2 2 2 x − + ， ( ) 2 2 2 0 x − + 2 2 3 1 2 3 5 x x x x − + + −；................8 分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 5 / 5 （3） 8cm, 6cm AC BC = = ，点P 在AC 边上以2cm / s的速度从点A 向C 移动，点Q 在CB 边上以1cm / s 的速度从点C 向点B 移动 点P 从A点运动到C 点所需时间为8 2 4s = ，点Q 从C 点运动到B 点所需时间为6 1 6s = ， 0 4 t ， 1 1 2 2 ABC PCQ S S S AC BC PC QC = − = − ， ( ) 1 1 8 6 8 2 2 2 S t t = − − ， ( ) 2 2 4 24 2 20 20 S t t t = − + = − + ， S 的最小值为20．................12 分 25.（14 分） 【详解】（1）解：∵搭建自行车车库为矩形，车库宽度AB 为xm，左右两侧各开一个1m的出口， 不锈钢栅栏总长70m，不锈钢栅栏状如“山”字形， ( ) ( ) 70 2 1 72 3 m BC x x x = − − − = − ． 故答案为：( ) 72 3x − ．................4 分 （2）解：由（1）可得，车库面积为： ( ) 2 72 3 3 72 S x x x x = − = − + ， 由题意得到 1 8 72 3 60 x x − ，解得4 8 x ， ∴ ( ) 2 3 72 4 8 S x x x = − + ．................9 分 （3）解：有必要，理由如下： 由（1）可得： ( ) 72 3 405 x x = − ，解得： 9 x = 或15（不符合题意舍去）， 当 9 x = 时， 72 3 45 BC x = − = ． ∴机动车停车位EF 向外移动1m． ∴有必要改动机动车停车位的位置规划，机动车停车位EF 向外移动1m．................14 分
