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第二十六章 二次函数全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 二次函数的概念与一般形式
题型2 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐 的图像与性质
题型3 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐤 的图像与性质
题型4 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐 的图像与性质
题型5 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+ 𝐤 的图像与性质
题型6 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜 的图像与性质
题型7 二次函数图像与系数的关系
题型8 抛物线形实际应用
题型9 二次函数图像变换综合
核心提升：重难题型归纳
题型1 二次函数与几何综合
题型2 二次函数与一次函数综合
题型3 二次函数的实际应用——面积问题
题型4 二次函数的实际应用——利润问题
题型5 二次函数与方程、不等式的综合
题型6 含参二次函数问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 二次函数的概念与一般形式
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. 𝑦= 𝑥2 +
1
𝑥 B. 𝑦= (𝑥+ 1)2 −𝑥2 C. 𝑦= 2𝑥2 −3𝑥+ 1 D. 𝑦= 3𝑥−2
2. 若 𝑦= (𝑚−2)𝑥𝑚2−2 + 3𝑥−1 是关于 𝑥 的二次函数，则 𝑚 的值为________。
3.【易错题】若 𝑦= (𝑚2 −4)𝑥2 + 3𝑥−1 是关于 𝑥 的二次函数，则 𝑚 的取值范围是________。
4. 将二次函数 𝑦= (𝑥−1)(2𝑥+ 3) 化为一般形式为________________，其中二次项系数为________，一
次项系数为________，常数项为________。
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5. 已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (0,3)，(1,0)，(−1,8)，求这个二次函数的解析式。
◆题型2 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐 的图像与性质
6. 抛物线 𝑦= 3𝑥2 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
7. 已知二次函数 𝑦= −2𝑥2。
(1) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(2) 当 𝑥> 0 时，𝑦 随 𝑥 的增大而________；当 𝑥< 0 时，𝑦 随 𝑥 的增大而________。
8. 点 𝐴 在抛物线 𝑦=
1
2 𝑥2 上，且点 𝐴 的横坐标为 2，求点 𝐴 的坐标。
9. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 经过点 (2,8)，求这个二次函数的解析式。
◆题型3 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐤 的图像与性质
10. 抛物线 𝑦= 2𝑥2 + 3 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
11. 将抛物线 𝑦= −𝑥2 向上平移 4 个单位，得到的抛物线解析式为________________。
12. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑘 的顶点坐标为 (0, −2)，且经过点 (1,0)，求这个二次函数的解析式。
◆题型4 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐 的图像与性质
13. 抛物线 𝑦= −(𝑥−3)2 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
14.【易错题】将抛物线 𝑦= 2𝑥2 向左平移 3 个单位，得到的抛物线解析式为（ ）
A. 𝑦= 2(𝑥−3)2 B. 𝑦= 2(𝑥+ 3)2 C. 𝑦= 2𝑥2 −3 D. 𝑦= 2𝑥2 + 3
15. 已知抛物线 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 的顶点坐标为 (2,0)，且经过点 (4,8)，求这个二次函数的解析式。
◆题型5 二次函数 𝐲= 𝐚(𝐱−𝐡)𝟐+ 𝐤 的图像与性质
16. 抛物线 𝑦= −2(𝑥−1)2 + 3 的开口方向为________，对称轴为________，顶点坐标为________。
17.【易错题】将抛物线 𝑦= 3𝑥2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位，得到的抛物线解析式为
（ ）
A. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 + 4 B. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 −4 C. 𝑦= 3(𝑥−2)2 + 4 D. 𝑦= 3(𝑥−2)2 −4
18. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(1) 用配方法将其化为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 的形式；
(2) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标。
19. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −6𝑥+ 8。
(1) 用配方法将其化为顶点式；
(2) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标。
◆题型6 二次函数 𝐲= 𝐚𝐱𝟐+ 𝐛𝐱+ 𝐜 的图像与性质
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20. 抛物线 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 5 的顶点坐标为（ ）
A. (2,1) B. (2,−1) C. (−2,1) D. (−2,−1)
21.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑏> 0 C. 𝑐> 0 D. 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
22. 已知点 𝐴(−1,𝑦1)，𝐵(2,𝑦2)，𝐶(3,𝑦3) 都在抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1 上，则 𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小关系为
________。
23. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3。
(1) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标；
(2) 求该抛物线与 𝑦 轴的交点坐标；
(3) 在直角坐标系中画出该函数的大致图像。
◆题型7 二次函数图像与系数的关系
24.【中考高频】二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，下列结论正确的是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑏＞0 C. 𝑐> 0 D. 𝑏2 −4𝑎𝑐< 0
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25.【易错题】二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，下列结论：①𝑎> 0；②𝑏< 0；③𝑐> 0；④
𝑏2 −4𝑎𝑐> 0；⑤𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0；⑥2𝑎+ 𝑏= 0，其中正确的个数是（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
26. 已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (1,0)，(−3,0)，(0,3)。求这个二次函数的解析式；
◆题型8 抛物线形实际应用
27. 如图，一座抛物线形拱桥，拱顶离水面 4 m，水面宽 8 m。
(1) 建立适当的坐标系，求抛物线的解析式；
(2) 若水面上涨 1 m，此时水面宽是多少？
◆题型9 二次函数图像变换综合
28.【易错题】将抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 3 先向左平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，求所得抛物线的
解析式。
29. 将抛物线 𝑦= 2𝑥2 −4𝑥+ 1 关于 𝑥 轴对称，求所得抛物线的解析式。
◆题型1 二次函数与几何综合
1. 已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，顶点为 𝑃，求 △𝐴𝐵𝑃 的面积。
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2. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 𝑦= −𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 经过点 𝐴(−1,0)，𝐵(3,0)。
(1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的顶点为 𝑃，求 △𝐴𝐵𝑃 的面积。
◆题型2 二次函数与一次函数综合
3. 已知一次函数 𝑦= 𝑥+ 1 的图像与二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 的图像交于 𝐴，𝐵 两点，求 𝐴，𝐵 两点
的坐标。
4. 如图，一次函数 𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏 的图像与二次函数 𝑦= 𝑥2 的图像交于 𝐴(−1,1)，𝐵(2,4) 两点。
(1) 求一次函数的解析式；
(2) 当 𝑥 为何值时，一次函数的值大于二次函数的值？
5.【易错题】如图，已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与直线 𝑦= 𝑥+ 1 交于 𝐴，𝐵 两点，求 𝐴，𝐵 两点的坐
标及 △𝐴𝑂𝐵 的面积（𝑂 为原点）。
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◆题型3 二次函数的实际应用——面积问题
6. 如图，用长为 20 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃，设垂直于墙的一边长为 𝑥 m，花圃的面积为
𝑦 m2。
(1) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数关系式，并写出自变量 𝑥 的取值范围；
(2) 当 𝑥 为何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？
7.【易错题】如图，某学校计划围一个矩形花园，矩形花园的一边靠墙（墙的最大可用长度为 9 m），另三
边用篱笆围成，中间隔有一道篱笆。设矩形花园垂直于墙的边 𝐴𝐵 的长为 𝑥 m，面积为 𝑦 m2。已知篱笆
总长为 24 m。
(1) 直接写出 𝑦 与 𝑥 的函数关系式，并写出 𝑥 的取值范围；
(2) 当边 𝐴𝐵 的长为多少时，矩形花园面积最大，最大面积是多少？
8. 某农场欲围建一个矩形养鸡场，其中一边利用现有的一堵墙（墙长 20 m），另外三边用总长为 40 m 的
篱笆围成。设矩形养鸡场垂直于墙的边长为 𝑥 m，面积为 𝑦 m2。
(1) 求 𝑦 关于 𝑥 的函数关系式，并写出自变量 𝑥 的取值范围；
(2) 当 𝑥 为何值时，养鸡场的面积最大？最大面积是多少？
．
◆题型4 二次函数的实际应用——利润问题
9.【易错题】某专卖店销售的一款童装每件进价为 80 元，销售价为 120 元，每天可售出 20 件。如果每
件童装降价 1 元，那么平均可多售出 2 件，设每件童装降价 𝑥 元。当每件童装降价多少元时，平均每天
盈利最大？最大利润是多少？
10. 某商店销售一种成本为每件 30 元的商品，物价部门规定每件售价不高于 50 元。经市场调查发现：
当每件售价定为 40 元时，每天可售出 60 件；当每件售价每提高 1 元时，每天的销售量就减少 2 件。
(1) 求每天销售利润 𝑊（元）与每件售价 𝑥（元）之间的函数关系式；
(2) 当每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
◆题型5 二次函数与方程、不等式的综合
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11. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(1) 当 𝑥 为何值时，𝑦= 0？
(2) 当 𝑥 为何值时，𝑦> 0？
(3) 当 𝑥 为何值时，𝑦< 0？
12. 已知二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像经过点 (−1,0)，(3,0)，(0,−3)。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 当 𝑥 为何值时，𝑦> 0？
13.【易错题】已知关于 𝑥 的一元二次方程 𝑥2 −2𝑥+ 𝑘= 0。
(1) 若方程有两个不相等的实数根，求 𝑘 的取值范围；
(2) 若方程的两个实数根为 𝑥1，𝑥2，且满足 𝑥1
2 + 𝑥2
2 = 6，求 𝑘 的值。
◆题型6 含参二次函数问题
14. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −1。
求证：无论 𝑚 取何值，该抛物线与 𝑥 轴总有两个交点；
15.【易错题】已知二次函数 𝑦= (𝑚−1)𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚+ 1。若该抛物线与 𝑥 轴有两个交点，求 𝑚 的取
值范围。
一、选择题
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. 𝑦= 2𝑥+ 1 B. 𝑦=
1
𝑥2 C. 𝑦= 𝑥2 −2 D. 𝑦= (𝑥−1)2 −𝑥2
2. 抛物线 𝑦= −(𝑥−2)2 + 3 的顶点坐标是（ ）
A. (2,3) B. (−2,3) C. (2,−3) D. (−2,−3)
3.【易错题】将抛物线 𝑦= 3𝑥2 先向左平移 2 个单位，再向下平移 1 个单位，得到的抛物线的解析式为
（ ）
A. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 + 1 B. 𝑦= 3(𝑥+ 2)2 −1 C. 𝑦= 3(𝑥−2)2 + 1 D. 𝑦= 3(𝑥−2)2 −1
4. 二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 5 的最小值为（ ）
A. −1 B. 1 C. 3 D. 5
5.【中考高频】已知抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与 𝑥 轴的一个交点坐标为 (𝑚, 0)，则代数式 𝑚2 −2𝑚+ 2024
的值为（ ）
A. 2021 B. 2023 C. 2025 D. 2027
6. 如图，二次函数 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）
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A. 𝑎> 0 B. 𝑏> 0 C. 𝑐< 0 D. 𝑎+ 𝑏+ 𝑐< 0
7.【易错题】已知二次函数 𝑦= (𝑎−1)𝑥2 + 2𝑥+ 1 的开口向上，则 𝑎 的取值范围是（ ）
A. 𝑎> 0 B. 𝑎> 1 C. 𝑎< 0 D. 𝑎< 1
8. 已知点 𝐴(−2,𝑦1)，𝐵(1,𝑦2)，𝐶(3,𝑦3) 都在抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 1 上，则 𝑦1，𝑦2，𝑦3 的大小关系是
（ ）
A. 𝑦1 < 𝑦2 < 𝑦3 B. 𝑦1 < 𝑦3 < 𝑦2 C. 𝑦2 < 𝑦1 < 𝑦3 D. 𝑦2 < 𝑦3 < 𝑦1
二、填空题
9. 抛物线 𝑦= 2(𝑥−3)2 + 1 的对称轴是________，顶点坐标是________。
10.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −6𝑥+ 𝑚 的最小值为 1，则 𝑚 的值为________。
11. 将抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥+ 3 化为顶点式为________________。
12. 已知抛物线 𝑦= 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥+ 𝑐 经过点 𝐴(1,0)，𝐵(3,0)，则抛物线的对称轴为________。
13. 某商品原价 100 元，连续两次涨价后售价为 121 元，则平均每次涨价的百分率为________。
14. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 的图像与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点，与 𝑦 轴交于点 𝐶，则 △𝐴𝐵𝐶 的面
积为________。
三、解答题
15. 已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −4𝑥+ 3。
(1) 用配方法将其化为 𝑦= 𝑎(𝑥−ℎ)2 + 𝑘 的形式；
(2) 指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3) 当 −1 ≤𝑥≤3 时，求函数的最大值和最小值。
16. 已知抛物线的顶点坐标为 (1, −2)，且经过点 (2,1)。
(1) 求这个二次函数的解析式；
(2) 求该抛物线与 𝑥 轴的交点坐标。
17. 如图，抛物线 𝑦= 𝑥2 −2𝑥−3 与 𝑥 轴交于 𝐴，𝐵 两点（点 𝐴 在点 𝐵 的左侧），与 𝑦 轴交于点 𝐶。
(1) 求 𝐴，𝐵，𝐶 三点的坐标；
(2) 求 △𝐴𝐵𝐶 的面积。
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18. 某跳水运动员进行 10 m 跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是经过原点 𝑂 的一条
抛物线。在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面 10
2
3 m，入水处距池边的距
离为 4 m。同时，运动员在距水面高度为5m 以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就
会出现失误。
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，
距池边的水平距离为 3
3
5 m，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由。
19.【易错题】已知二次函数 𝑦= 𝑥2 −2𝑚𝑥+ 𝑚2 −1。
(1) 求证：无论 𝑚 取何值，该抛物线与 𝑥 轴总有两个交点；
(2) 若该抛物线与 𝑥 轴的两个交点之间的距离为 4，求 𝑚 的值。
20. 某商店将进货价为每件 40 元的商品按每件 50 元售出时，每天可售出 200 件。已知这种商品每涨价
1 元，每天的销售量就减少 10 件。问：将售价定为多少时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
