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第一章 有理数全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量
题型2 有理数的分类
题型3 数轴的三要素及应用
题型4 相反数的概念与性质
题型5 绝对值的求法与基本应用
题型6 有理数的大小比较
核心提升：重难题型归纳
题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合
题型2 数轴上的动点问题
题型3 有理数与数轴的综合应用
题型专练：高频重难特训
◆题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量
1．在
1
- -
，
3
- - ，
6
- + ，
2
3
-
，
11
5
æ
ö
- +
ç
÷
è
ø 中，负数有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
2．在一次数学测验中，某班的平均分是90 分，把高于平均分的部分记作正数，小丽得分是
97 分，记作______分，小军得分5
- 分，他实际得分是______分．
3．如果小明向南走 80 米，记作80
+
米，那么小华从同一地点向北走 50 米，记作________
米，这时他们两人相距________米．
4．负数广泛应用到生产和生活中，例如，若水库的水位下降30 米记作30
-
米，那么上升
50 米记作________米．
◆题型2 有理数的分类
5. 将下列各数填入适当的括号内：
3
1
6, 3,
,8.9, 2
, 3.4,0.3,0, 0.010010001
4
2
-
-
-
-
+
¼
&
，
正数集合：{ }
整数集合：{ }
负有理数集合：{ }
正分数集合：{ }
◆题型3 数轴的三要素及应用
6.点P 从数轴上表示2 的点出发，先向左移动3 个单位，再向右移动7 个单位，则点P 最终
表示的数是（ ）．
A．2
B．4
C．6
D．8
7．实数a ，b 在数轴上所表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．a
b
<
B．a
b
=
C．a
b
>
D．a
b
= -
8．下列数轴表示正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
9.如果数轴上的点A 对应有理数为2
- ，那么与A 点相距6 个单位长度的点所对应的有理数
为___________．
10.在数轴上画出下列各点，它们分别表示：3
+ ，0 ，
1
3 4
-
，1
12 ，3
- ，1.25
-
．
◆题型4 相反数的概念与性质
11. 2022
-
的相反数的倒数是（ ）
A．2022
-
B．2022
C．
1
2022
-
D．
1
2022
12.代数式4
3
x - 与2
9
x -
的值互为相反数，则x 的值为（ ）
A．3
-
B．2
C．3
D．6
13.（1）
3
- -
= ______；（2）
3
+ -
= ______；（3）
3
- +
= ______．
14.如图，若点A 和点D 表示的数互为相反数，则原点是点________．
◆题型5 绝对值的求法与基本应用
15. 2022
-
的绝对值是（ ）
A．
1
2022
B．
1
2022
-
C．2022
-
D．2022
16．点M ，N ，P ，Q 在数轴上的位置如图所示，其中到原点的距离与3
- 到原点的距离相
等的点是（ ）
A．M
B．N
C．P
D．Q
17．已知2
3
x
<
<
，化简
2
2
3
x
x
-
+
-
的结果为（ ）
A．1
-
B．1
C．2
5
x -
D．3
2x
-
18．实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简
2
1
a -
为（ ）
A．1 a
-
B．
1
a -
C．
1
a +
D．
1
a
- -
19．若
2
3
0
x
y
-
+
+
=
，则
2026
x
y
+
的值为（ ）
A．1
B．1
-
C．0
D．无法确定
20．若
1
6
x -
=
，那么x 的值为（ ）
A．5
-
B．7
C．5
- 或6
D．5
- 或7
21.已知
2
x =
，
= 4
y
，且x
y
>
，则x
y
-
= _____．
22．请写出一个绝对值小于3 的整数___________．
23．绝对值小于3.5 的所有有理数的乘积为___________．
24.某电业局要对某市区的电路进行巡检，某检修小组从A 地出发，在东西向的马路上进行
检修，如果规定向东行驶为正，向西行驶为负，检修车一天中八次行驶记录如下：
4, 7, 9, 8, 6, 5, 2, 4
-
-
-
-
+
+
+
+
（单位：千米）．
(1)收工时该检修小组距离A 地多远？
(2)该检修小组这一天行驶的总路程为多少千米？
25．尊师重教是我国的传统美德．在教师节这天，出租车司机小王在东西方向的街道上免费
接送教师．规定向东为正，向西为负，当天出租车的行程（单位：km ）如下：3
- ，8
- ，
10
+
，6
- ，7
+ ，6
+ ．
(1)小王接送教师这天出租车的总行程是多少千米？
(2)若出租车每千米耗油0.1L ，则小王接送教师这天共耗油多少升？
◆题型6 有理数的大小比较
26.比较大小：
（1）
2
5
-
_________0 ；
（2）
3
4
-
_________
4
5
-
；
27.三种液体在标准大气压下的沸点如表：其中沸点最低的液体是_________．
液体名称
液态氧
液态酒精
液态氨
沸点/℃
183
-
78
33.4
-
◆题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合
1．数轴上两点间的距离等于这两点所对应的数的差的绝对值.例：如图所示，点A 、B 在数
轴上分别对应的数为a 、b ，则A 、B 两点间的距离表示为AB
a
b
=
-
．
根据以上知识解题：
(1)若数轴上两点A 、B 表示的数为x ，2
- ．
①A 、B 之间的距离可用含x 的式子表示为______；
②若该两点之间的距离为3，那么x 的值为______．
(2)
2
1
x
x
+
+
- 的最小值为______，
(3)已知，
2
1
3
4
21
x
x
y
y
+
+
-
´
-
+
+
=
，则x
y
-
的最大值是______和最小值是______
（直接写出答案即可）
◆题型2 数轴上的动点问题
2．如图，一个点从数轴上的原点出发，先向右移动2 个单位长度，再向左移动5 个单位长
度，规定向右运动为“＋”，向左运动为“－”，则终点表示的数是
0
2
5
3
+
+ -
= - ．
(1)点A 从表示3 的点出发，先向左移动5 个单位长度，再向右移动4 个单位长度，则终点
表示的数是______；
(2)点B 从表示2.5 的点出发，以每秒2 个单位长度的速度沿数轴向左运动，同时点C 从原点
出发，以每秒1 个单位长度的速度沿数轴向右运动，当点B 运动到3.5
-
所在点的位置时，求
B ，C 两点之间的距离；
(3)点M 从表示5
- 的点出发，先向左移动1 个单位长度，再向右移动2 个单位长度，再向左
移动3 个单位长度，再向右移动4 个单位长度⋯⋯依次操作2026 次后，求点M 表示的数．
◆题型3 有理数与数轴的综合应用
3．综合与探究
【背景知识】
数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将“数”与“形”完美地结合．研究数轴我们发
现了许多重要的规律．如图①，若数轴上点A ，B 表示的数分别为a ，b （b
a
>
），则线段
AB 的长（点A 到点B 的距离）为b
a
-
，记作AB
b
a
=
-
．
请用上面材料中的知识，解答下面的问题．
【问题情境】
如图②，一个点从数轴上的原点开始，沿数轴先向左移动4 个单位长度到达点A ，再向右
移动3个单位长度到达点B ，然后再向右移动4 个单位长度到达点C ．
【问题探究】
(1)①请在图②中表示出A ，B ，C 三点的位置；
②点A 到点B 的距离AB = __________，点A 到点C 的距离AC = __________．
(2)若点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点M 从点B ，
点N 从点C 出发分别以每秒1个单位长度和每秒2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．
①设运动时间为t 秒
0
t >
，则点P 表示的数为__________，点M 表示的数为__________，
点N 表示的数为__________．（用含t 的代数式表示）
②在①的条件下，试探究在运动的过程中，4MN
PM
-
的值是否随着时间t 的变化而变化？
若变化，请说明理由；若不变，请求出其值．
一、选择题
1．在数2
- ，0.5，3
+ ，0，
3
4
-
中，负数有（ ）个．
A．1
B．2
C．3
D．4
2．下列图形中是数轴的是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．5 的相反数是（ ）
A．5
B．5
-
C．1
5
D．
1
5
-
4．2026
-
的绝对值是( )
A．2026
B．2026
-
C．2026
±
D．
1
2026
-
5．已知2
3
a -
与5
b
-
互为相反数，则2a
b
-
= （ ）
A．1
-
B．1
C．2
-
D．2
6．如图，圆的周长为4 个单位长度，在该圆的圆周4 等分点处分别标上0 ，1，2 ，3，再
将数轴（表示2
- 的点右侧的部分）按顺时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示2025 的点与
圆周上标记数字（ ）的点重合．
A．0
B．1
C．2
D．3
二、填空题
7．微信具有“收款”和“付款”两项功能，若收款50 元，记作50
+
元，那么付款24 元，可记作
___________元．
8．在2
+ ，0，
5
6
-
，
1
2
+
，2025，3
- ，0.25，10 中，非负整数有______个．
9．如图，数轴上的点A 表示的数是______．
10．已知数轴上点A 表示的数是2
- ，点B 表示的数是3，则点A ，B 之间的距离是________．
11．如图，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，可以确定墨迹盖住的整数有________个．
12．（1）
3
- -
= _______；（2）
3
+ -
= _______；（3）
3
- +
= _______．
13．比较大小，在横线上填“ >”，“=”或“<”．
（1）2
3 ___________0.67；（2）0.75
-
___________
8
9
-
．
三、解答题
14．在数轴上表示下列各题：并用“＜”号连接．3.5，3.5
-
，0，2，4，1.5
-
15．一辆货车从仓库出发在东西街道上运送水果，规定向东为正方向，依次到达的5 个销售
地点分别为A ，B ，C ，D ，E ，最后回到仓库0．货车行驶的记录（单位：千米）如下：
1
+ ，3
+ ，6
- ，1
- ，2
- ，5
+ ．请问：
(1)销售点E 距离仓库多远？
(2)试求出该货车共行驶了多少千米；
(3)如果货车运送的水果以100 千克为标准质量，超过的千克数记为正数，不足的千克数记
为负数，则运往A ，B ，C ，D ，E 五个地点的水果质量可记为50
+
，15
-
，25
+
，10
-
，
15
-
，则该货车运送的水果总质量是多少千克？
16．科技改变世界．快递分拣机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确放入相应的格
口，还会感应避让障碍物、自动归队取包裹，没电的时候还会自己找充电桩充电．某分拣仓
库计划平均每天分拣20 万件包裹，但实际每天的分拣量与计划相比会有出入，下表是该仓
库9 月份第三周分拣包裹的情况（超过计划量的部分记为正，未达到计划量的部分记为负）：
星期
一
二
三
四
五
六
日
分拣情况（单位：万件）
5
+
0
3
-
4
+
1
-
6
+
7
-
(1)该仓库本周内分拣包裹数量最多的一天是星期________，最少的一天是星期______，最
多的一天比最少的一天多分拣_______万件包裹；
(2)该仓库本周实际一共分拣多少万件包裹？
17．在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4 个单位长度到达点A ，再向右爬了2
个单位长度到达点B ，然后又向左爬了10个单位长度到达点C ．
(1)画出数轴，标出
, ,
A B C 三点在数轴上的位置；
(2)根据点C 在数轴上的位置，点C 可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位
长度到达的？
(3)若蚂蚁从点D 出发，先向右爬了7 个单位长度，再向左爬了4 个单位长度，此时它恰好回
到了原点，求点D 表示的数．
