文档文本内容
试卷第1页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
第三十章直线与圆的位置关系全章高频重点题型
突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 直线与圆的位置关系判定
题型2 切线的性质与判定
题型3 切线长定理
题型4 正多边形与圆
核心提升：重难题型归纳
题型1 切线综合
题型2 切线中的计算综合
题型3 圆与坐标系/一次函数综合
题型4 切线中的动点/最值问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 直线与圆的位置关系判定
1. 已知
O 的半径为5，直线AB 与
O 相切，圆心O到直线AB 距离等于__________．
【答案】5
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，根据圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆
相切，即可得出结果．
【详解】解：∵
O 的半径为5，直线AB 与
O 相切，
∴圆心O到直线AB 距离等于5；
故答案为：5．
试卷第2页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
2．如图，⊙O 的半径OC=5cm，直线l⊥OC，垂足为H，且l 交⊙O 于A、B 两点，AB=8cm，
则l 沿OC 所在直线向下平移__________cm 时与⊙O 相切．
【答案】2
【详解】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA 中，HA=AB÷2 =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案是：2．
【点睛】本题考查垂径定理及直线和圆的位置关系．注意：直线和圆相切，则应满足d=R．
3．如图，已知
30
BOA
，M 为OB 边上一点，以M 为圆心、2cm 为半径作
M ．点M
在射线OB 上运动，当
4cm
OM
时，
M 与直线OA的位置关系是______．
【答案】相切
【分析】先作MC
OA
，再根据直角三角形的性质得出
2cm
CM
，然后根据
M 的半
径是2cm 可得答案．
【详解】解：过点M 作MC
OA
，交OA于点C ，
在Rt OMC 中，
4cm
OM
，
30
BOA
，
∴
1
2cm
2
CM
OM
．
∵
M 的半径是2cm ，点M 到直线OA的距离是2cm ，
∴
M 与直线OA的位置关系是相切．
试卷第3页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
4．如果圆的半径是6cm，圆心到直线的距离是8cm ，那么直线与圆的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．不能确定
【答案】A
【分析】先确定圆的半径r 和圆心到直线的距离d ，再比较d 与r 的大小，根据直线与圆
位置关系的判定规则即可得出结论．
【详解】解：由题意得，圆的半径
6cm
r
，圆心到直线的距离
8cm
d
8cm
6cm
d
r
根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相
离.
直线与圆的位置关系是相离
5．如图，在平面直角坐标系中，
P 与x 轴分别交于A、B 两点，点P 的坐标为(3, 1)
，
2 3
AB
．将
P 沿着与y 轴平行的方向平移，使得
P 与x 轴相切，则平移的距离为（
）
A．1
B．1 或2
C．3
D．1 或3
【答案】D
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为
解直角三角形的问题是关键．作PC
AB
于点C ，由垂径定理即可求得AC 的长，根据勾股
定理即可求得PA 的长，再分点P 向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可．
【详解】解：连接PA ，作PC
AB
于点C ，由垂径定理得：
试卷第4页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
1
1
2 3
3
2
2
AC
AB
，
在直角PAC
中，由勾股定理得：
2
2
2
PA
PC
AC
，
即
2
2
2
1
( 3)
4
PA
，
2
PA
，
P
e
的半径是2．
将
P 向上平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
1
2
3
；
将
P 向下平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
2 1
1
．
故选：D
◆题型2 切线的性质与判定
1．下列说法：①三点确定一个圆；②垂直于弦的直径平分弦；③三角形的内心到三角形
三条边的距离相等；④垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的个数是（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据三角形内心的概念和性质、垂径定理、切线的判定定理、确定圆的条件判
断即可．
本题考查了三角形的内切圆与内心，垂径定理，确定圆的条件，切线的判定，掌握基本
的概念是解题关键．
【详解】∵①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴①错误；
∵②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴②正确；
∵③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴③正确；
∵④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴④错误；
∴正确说法有②和③，共2 个．
故选：B．
2．如图，B 为
O 外一点，BA 与
O 相切于点A ，若
50
AOB
，则
B
______
.
试卷第5页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】40
【分析】本题考查了切线的性质、含90角的直角三角形，解题的关键是掌握切线的性质．
根据BA 与
O 相切于点A ，得出
90
OAB
，再利用含的直角三角形的性质求解．
【详解】
BA与
O 相切于点A ，
OA
AB
，
90
OAB
，
50
AOB
，
90
40
B
AOB
，
故答案为：40 ．
3．如图，AB 为
O 的直径，CB 是
O 的切线，切点为点B，点D 为
O 上一点，连接CD
并延长交BA 的延长线于点
,
E CD
CB
．
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
4,
8
AE
DE
，求
O 的半径长．
【答案】(1)见解析
(2)6
【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理、切线的判定与性质．
（1）连接OD ，由切线的性质得CB
AB
，则
90
B
，因为CD
CB
，OD
OB
，所
以
2
2
2
2
2
CD
OD
CB
OB
OC
，则
90
ODC
，即可证明CD是
O 的切线；
（2）由
90
ODE
，得
2
2
2
DE
OD
OE
，而
4,
8
AE
DE
，OD
OA
，则
试卷第6页，共6页
学科网（北京）股份有限公司
2
2
2
8
4
OA
OA
，求得
6
OA
，所以
O 的半径长为6 ．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
∵AB 为
O 的直径，CB 与
O 相切于点B，
∴CB
AB
，
∴
90
B
，
∵CD
CB
，OD
OB
，
∴
2
2
2
2
2
CD
OD
CB
OB
OC
，
∴ODC 是直角三角形，且
90
ODC
，
∵OD 是
O 的半径，且CD
OD
，
∴CD是
O 的切线；
（2）解：∵
90
ODE
B
，
∴
2
2
2
DE
OD
OE
，
∵
4,
8
AE
DE
，OD
OA
，
∴
2
2
2
8
4
OA
OA
，
解得
6
OA
，
∴
O 的半径长为6 ．
4.如图，ABC 中，AB
AC
，O为BC 的中点，AB 与
O 相切于点D ．
(1)求证：AC 是
O 的切线；
(2)若
4
BD
，
5
BO
，求AD 的长．
试卷第7页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】(1)证明见解析
(2) 9
4
【分析】本题考查切线的判定性质、等腰三角形性质与角平分线性质、勾股定理与方程
思想．
（1）通过作辅助线构造垂线段，利用等腰三角形“三线合一”得角平分线，结合角平分线
性质证明垂线段等于半径，从而判定切线．
（2）先在Rt BDO 中求出半径OD ，再设AD
x
，利用等腰三角形三线合一与勾股定理
建立方程求解．
【详解】（1）证明：如图，连接AO ，DO ，作OE
AC
于点E ．
∵AB
AC
，O为BC 的中点，
∴AO 平分
BAC
．
∵AB 与
O 相切于点D ，
∴OD 是
O 的半径，OD
AB
，
∵OE
AC
，AO 平分
BAC
，
∴OD
OE
．
∴OE 也是
O 的半径，
∴AC 是
O 的切线；
（2）解：在Rt BDO 中，
4
BD
，
5
BO
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
OD
BO
BD
．
设AD
x
，则
4
AB
AD
BD
x
．
∵AB
AC
，O为BC 的中点，
∴AO
BC
，即
90
AOB
．
在Rt ADO 中，
2
2
2
2
9
AO
AD
OD
x
；
在Rt ABO 中，
2
2
2
2
(
4)
25
AO
AB
BO
x
，
试卷第8页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∴
2
2
9
(
4)
25
x
x
，
展开化简得8
9
9
x
，解得
9
4
x
，
∴
9
4
AD
．
◆题型3 切线长定理
1．如图，PA ，PB 是
O 的两条切线，A，B 是切点，C 是AB 上一点，过点C 画
O 的切
线，分别交PA ，PB 于点D，E，
12cm
PA
，则PDE 的周长是________cm．
【答案】24
【详解】解：
PA 和PB 是
O 的两条切线，
12
PA
PB
，
同理可得：DA
DC
，EB
EC
，
PDE
△
的周长
PD
DE
PE
PD
DC
EC
PE
PD
DA
EB
PE
m
24 c
PA
PB
．
2．已知，如图，AB 是
O 的直径，直线DC ，DA 分别切
O 于点C ，点A ，连接BC ，OD ．
(1)求证：BC
OD
∥
；
试卷第9页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
35
ODC
，
12
AB
，求出BC 的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，
直线DC ，DA 分别切
O 于点C ，
CD
AD
，
在ADO 与CDO中，
CD
AD
OC
OA
OD
OD
，
SSS
ADO
CDO
≌
，
AOD
COD
，
1
2
AOD
AOC
，
1
2
B
AOC
，
B
AOD
，
∴BC
OD
∥
；
(2) BC 的长
7
3
．
【分析】（1）连接OC ，根据切线长定理可知CD
AD
，证明
SSS
ADO
CDO
≌
△
△
，
可知
1
2
AOD
AOC
，根据圆周角定理得到
1
2
B
AOC
，即可证明BC
OD
∥
；
（2）根据全等三角形的性质得到
2
70
ADC
CDO
，可知
110
AOC
，进而得到
70
BOC
，根据弧长公式计算即可．
【详解】（1）略；
（2）解：∵ADO
CDO
≌
，
∴
2
70
ADC
CDO
180
110
AOC
ADC
，
70
BOC
，
试卷第10页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
12
AB
，
6
OB
，
BC
的长
70 π
6
7 π
180
3
．
3.已知：如图，
O 是Rt ABC 的内切圆，
90
C
．若
12cm
AC
，
9cm
BC
，求
O 的
半径r；若AC
b
，BC
a
，AB
c
，求
O 的半径r．
【答案】．3；
1
2 a
b
c
【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的性质及半径的求法，利用切线长定理得出四
边形OFCD 是正方形是解题的关键；
首先设AC 、AB 、BC 与
O 的切点分别为D、E、F；证四边形OFCD 是正方形；根据
切线长定理可得：
1
2
CD
CF
AC
BC
AB
，由此可求出r 的长．
【详解】解：如图；
设AC 、AB 、BC 与
O 的切点分别为D、E、F；
在Rt
ABC
△
，
90
C
，
12cm
AC
，
9cm
BC
；
根据勾股定理
2
2
15cm
AB
AC
BC
；
四边形OFCD 中，OD
OF
，
90
ODC
OFC
C
；
则四边形OFCD 是正方形；
由切线长定理，得：AD
AE
，CD
CF
，BE
BF
；
则
1
2
CD
CF
AC
BC
AB
；
试卷第11页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
即：
1
12
9 15
3
2
r
．
当AC
b
，BC
a
，AB
c
，
由以上可得：
1
2
CD
CF
AC
BC
AB
；
即：
1
2
r
a
b
c
．
则
O 的半径r 为：
1
2 a
b
c
．
4.如图，在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
O 是ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ．
(1)连接OA、OB ，则
AOB
______．
(2)若
6
BD
，
4
AD
，求
O 的半径．
(3)在（2）的条件下，Rt
ABC
△
的外心和内心的距离等于______．
【答案】(1)135
(2) 2
(3) 5
【分析】（1）内心O是三角形三条角平分线的交点，故OA平分
CAB
，OB 平分
CBA
．在Rt
ABC
△
中，
90
CAB
CBA
，因此
45
OAB
OBA
，再由三角形内
角和定理得
135
AOB
．
（2）设半径为r，由切线长定理得
6
BE
BD
，
4
AF
AD
，
CE
CF
r ．于是三
边可表示为
4
AC
r
，
6
BC
r
，
10
AB
．利用勾股定理建立关于r 的方程，即可求得
答案．
（3）由（2）知
6
AC
，
8
BC ，
10
AB
．直角三角形的外心位于斜边中点，设斜边AB
的中点为M ，则M 到切点D 的距离为1，而
2
OD
r
且OD
AB
，在Rt OMD中利用勾
股定理可求得外心与内心的距离．
试卷第12页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）解：
O 是ABC 的内切圆，
OA
平分
CAB
，OB 平分
CBA
，
在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
90
CAB
CBA
，
1 (
)
45
2
OAB
OBA
CAB
CBA
，
180
45
135
AOB
．
（2）解：设半径为r，连接OE 、OF ，
O 是ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
由切线长定理得：
6
BE
BD
，
4
AF
AD
，CE
CF
，
90
C
，OE
BC
，OF
AC
，
四边形OECF 是正方形，
CE
CF
r ，
4
AC
AF
CF
r
，
6
BC
BE
CE
r
，
4
6
10
AB
AD
BD
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
(4
)
(6
)
10
r
r
，
解得：
2
r
或
12
r
（舍去负值），
O
的半径
2
r
．
（3）解：由（2）知
6
AC
，
8
BC ，
10
AB
，
设斜边AB 的中点为M ，则M 是Rt
ABC
△
的外心，
分别连接
,
OM OD ，
4
AD
，
10
AB
，
1
5
2
AM
AB
，
5
4
1
MD
AM
AD
，
OD 是内切圆半径，OD
AB
，
2
OD
r
，
在Rt OMD中，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
5
OM
OD
MD
，
Rt ABC
的外心和内心的距离为5 ．
试卷第13页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
◆题型4 正多边形与圆
1．已知正多边形一个内角的度数是150，那么该正多边形中心角的度数是_____．
【答案】．30
【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出
正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数．
【详解】解：
该正多边形的一个内角为150，
该正多边形的一个外角为180
150
30
，
任意多边形的外角和为360，
该正多边形的边数
360
12
30
n
，
正多边形的中心角和为360，
该正多边形的中心角为360
30
12
．
2．如图，有一个亭子，它的地基是半径为4m 的正六边形，则地基的面积为________
2
m
．
【答案】24 3
【分析】根据正六边形的性质，把面积转化为6 个等边三角形的面积和计算即可．
试卷第14页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：正六边形的每个中心角为360
60
6
，
则正六边形分成6 个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为4m ，
如图，ABC 是其中一个正三角形，其中
4m
AB
BC
AC
，
过点A 作AD
BC
于点D，则
1
2m
2
BD
BC
，
由勾股定理得
2
2
2 3m
AD
AB
BD
，
∴正六边形的面积为
2
1
1
6
6
4
2 3
24 3 m
2
2
BC AD
3．如图，AB 为
O 的内接正多边形的一边，已知
40
AOB
，则这个多边形内角和为______．
【答案】1260
【分析】本题主要考查了正多边形和圆，熟练掌握相关知识是解题的关键．
先求出边数，进而即可得解．
【详解】解：多边形边数
360
9
40
n
，
∴内角和为
180
9
2
1260
．
故答案为：1260．
试卷第15页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
◆题型1 切线综合
1．如图，在
O 中，点A 为
O 上一点，点D 是AC 的中点，BC 是
O 的直径．过点A 作
O 的切线交BC 的延长线于点E ，连接OD 并延长交AE 于点F ，连接CF ．
(1)求证：CF 与
O 相切；
(2)若
1 2
AF EF
∶
∶，
2
CF
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明：连接OA，
BC 是
O 直径，点C 在
O 上，
D 是AC 的中点，
AOF
COF
，
在
AOF
△
和COF 中，
OA
OC
AOF
COF
OF
OF
，
, ,
AOF
COF S A S
≌
，
90
OCF
OAF
，
OC
FC
，
OC 是
O 的半径，
CF 与
O 相切．
(2)4 3
2
【分析】（1）连接OA，通过AOF
COF
≌
证OC
FC
，再结合点C 在
O 上，即可
得证；
（2）阴影部分的面积为
OCFA
OCA
S
S
四边形
扇形
，通过线段转化即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：
AF
CF
，
是
O 的切线，
试卷第16页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
AF
CF
＝
，
1 2
2
AF
EF
CF
：
＝：，
＝
，
2
4
AF
EF
＝，
＝
，
90
FCE
＝
，
2
1
sin
4
2
FC
E
EF
，
30
E
＝
，
90
60
CFE
E
＝
，
180
60
2
CFE
OFC
OFA
＝
＝
，
90
30
FOC
OFC
＝
，
2
4
OF
FC
＝
＝
，
由勾股定理得，
2 3
OC＝
，
1
2 3
2
2 3
2
FOC
S
＝
＝
，
2
4 3
OFC
OCFA
S
S
四边形
＝
＝
，
2
60 π 2 3
2
360
OAC
S
扇形
＝
＝
，
阴影部分的面积为
4 3
2
OCFA
OCA
S
S
四边形
扇形
＝
◆题型2 切线中的计算综合
1．如图在Rt
ABC
△
中，
90
C
，D 是EF 的中点，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OB 长
为半径的圆经过点D，交BC 于点E，交AB 于点F．
(1)求证：AC 是
O 的切线；
试卷第17页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
(2)若
2
CE
，
4
CD
，求
O 的半径．
【答案】(1)见详解
(2)5
【分析】此题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的
关键是正确的作出所需要的辅助线，再利用平行线的性质、矩形的性质、垂径定理等知识解
题．
（1）连接OD ，证明OD
BC
∥
，则
90
ODA
C
，再根据圆的切线的判定定理证明
AC 是
O 的切线；
（2）设
O 的半径为r ，则OB
OG
r
，作OG
BE
于点G ，证明四边形ODCG 是矩形，
在Rt
OBG
△
中根据勾股定理列方程即可求出r 的值．
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
OD
OB
，
ODB
OBD
，
D 是EF 的中点，
DF
DE
，
OBD
DBC
\ Ð
= Ð
，
ODB
DBC
，
OD
BC
∥
，
90
ODA
C
，
AC 经过
为的半径OD 的端点D ，且AC
OD
，
AC
是
O 的切线．
（2）解：如图，设
O 的半径为r ，则OB
OD
r
，
试卷第18页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
作OG
BE
于点G ，则BG
EG
，
90
OGB
，
90
ODC
C
OGC
，
四边形ODCG 是矩形，
2
CE
，
4
CD
，
4
OG
CD
，CG
OD
r
，
2
BG
EG
r
，
2
2
2
OB
OG
BG
Q
，
2
2
2
4
(
2)
r
r
，
解得
5
r
，
O
的半径长为5．
2．如图，AB 是
O 的直径，射线BC 交
O 于点D，E 是劣弧AD 上一点，且AE
DE
，
过点E 作EF
BC
于点F，延长FE 和BA 的延长线交于点G．
(1)证明：GF 是
O 的切线；
(2)若
6,
6 2
AG
GE
，求
O 的半径．
【答案】(1)证明：如图，连接OE ，
试卷第19页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∵AE
DE
，
∴
ABE
CBE
，
∵OE
OB
，
∴
OBE
OEB
，
∴
OEB
FBE
，
∴BF
OE
∥
，
∵EF
BC
，
∴
90
BFE
，
∴
90
BFE
OEG
，
∴OE
GE
，
∴GF 是
O 的切线
(2)3
【分析】（1）连接OE ，因为AE
DE
，所以对应的圆周角相等，可推出OE 与BC 的平行
关系；又因为EF
BC
，所以OE
EF
，结合OE 是半径，根据切线判定定理即可证明；
（2）设
O 半径为r ，则
6
GO
GA
AO
r
，因为OE
GE
，所以GOE 是直角三角形，
根据勾股定理列方程即可求解r ．
【详解】（1）略．
（2）解：设
O 的半径为r，
6,
6 2
AG
GE
，
∵在Rt
GOE
△
中，
2
2
2
OE
GE
OG
，
∴
2
2
2
6 2
6
r
r
，
解得
3
r ，
即
O 的半径为3．
试卷第20页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
◆题型3 圆与坐标系/一次函数综合
1．在平面直角坐标系中，
( 2,0),
(0,2)
A
B
，连接AB ，
(1,0)
P
，以P 为圆心，1 个单位长
度为半径作
P ，Q 为
P 上一点，连接
,
AQ BQ ，记ABQ 的面积为S，则S 的取值范围
为_____．
【答案】3
2
3
2
S
【分析】ABQ 中AB 长度固定，面积S 随点Q 到直线AB 的距离变化而变化.先求出AB 的
长度和直线AB 的解析式，再求出圆心P 到直线AB 的距离，结合
P 的半径得到圆上点Q 到
AB 的最小距离和最大距离，最后根据三角形面积公式计算S 的取值范围．
【详解】设直线AB 的解析式为y
kx
b
，代入
,
A B 坐标得：
2
0
2
k
b
b
，解得
1
2
k
b
，
即直线AB 的解析式为
2
y
x
，
过圆心P 作PD
x
轴，
把
1
x 代入
2
y
x
中得
3
y
，
点D 的坐标为
1,3 ，
已知
2,0 ,
1,3
A
D
2
2
(
2 1)
(0
3)
3 2
AD
，
设PG
d
，
1
1
2
2
ADP
S
AD d
AP DP
，
1
1
3 2
3 3
2
2
d
，
3
2
2
d
，
P 的半径
1
r ，
试卷第21页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
圆上点Q 到直线AB 的距离的最小值为
3 2
1
2
d
r
，最大值为
3 2
1
2
d
r
，
由三角形面积公式
1
2
S
AB h
，其中h 为点Q 到直线AB 的距离，代入
2 2
AB
得：
1
2 2
2
2
S
h
h
当
3 2
1
2
h
时，
3 2
2
1
3
2
2
S
当
3 2
1
2
h
时，
3 2
2
1
3
2
2
S
故S 的取值范围为3
2
3
2
S
．
◆题型4 切线中的动点/最值问题
1．如图，正方形ABCD的边长为8，以C 为圆心，3 为半径作
C ，点P 为⊙C 上的动
点，连接BP ，并将BP 绕点B 逆时针旋转90得到BP，连接CP，在点P 运动的过程
中，CP长度的最小值是_______．
【答案】8 2
3
/ 3 8 2
【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理，三角形全等的判定与性质，旋转的性质
和最值问题．
连接AP
CP
，
，证明
SAS
ABP
CBP
≌
，得到
3
AP
CP
，点P在以A 为圆心，3 为
试卷第22页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
半径的
A上，当P在对角线CA 上时，CP最小，再利用勾股定理求对角线CA 的长，即可
得出CP长度的最小值．
【详解】解：连接AP
CP
，
，
∵正方形ABCD，
∴AB
BC
，
90
ABC
，
∵将BP 绕点B 逆时针旋转90得到BP，
∴BP
BP
，
90
P BP
，
∴
90
ABP
ABP
CBP
，
∴
SAS
ABP
CBP
≌
，
∴
3
AP
CP
，
∴点P在以A 为圆心，3 为半径的
A上，
如图，当P在对角线CA 上时，CP最小，
在Rt
ABC
△
中，
8
AB
BC
，
∴
2
2
8 2
AC
AB
BC
，
即CP长度的最小值为
8 2
3
AC
AP
，
故答案为：8 2
3
．
试卷第23页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
一、选择题
1．Rt
ABC
△
中，
90
C
，
3
BC ，
4
AC
，以点C 为圆心，以2 为半径画圆，则直线AB
与
C 的位置关系是（
）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，通过计算圆心C 到直线AB 的距离，与半径
比较判断位置关系．
【详解】解：∵
90
C
，
3
BC ，
4
AC
，
∴
2
2
5
AB
AC
BC
，
1
3 4
6
2
ABC
S
△
，
∴AB 边上的高为
12
2
6
5
5
，
即圆心到直线的距离是12
2.4
5
，
∵2.4
2
，
∴直线AB 与
C 相离，
故选：A．
2．如图，直线l 与半径为r 的
O 相交，且点O到直线l 的距离为7，则r 的值可以是（
）
A．3
B．4
C．7
D．10
【答案】D
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，解题关键在掌握直线与圆的位置关系和圆心到
直线的距离与半径的关系之间的联系是解题的关键．
直接根据直线与圆的位置关系得到半径
7
r
，再逐项判断即可．
【详解】解：∵直线l 与半径为r 的O 相交，且点O 到直线l 的距离
7
d
，
试卷第24页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∴半径
7
r
．
∴只有D 选项符合题意．
故选D．
3．已知
O 与直线l 无公共点，若
O 半径为6cm，则圆心O到直线l 的距离可以是（
）
A．7cm
B．6cm
C．5cm
D．4cm
【答案】A
【分析】本题考查直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题的关键．
由直线与圆无公共点可知两者相离，圆心到直线的距离大于半径，据此判断即可．
【详解】解：根据题意得，
O 与直线l 无公共点，
则直线l 与
O 相离，
因此圆心O到直线l 的距离大于6cm，
选项中只有7cm>6cm ，
故选：A．
4．如图，直线l 与半径为r 的
O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，则r 的取值范围是（
）
A．
6
r
B．
6
r
C．
6
r
D．
6
r
【答案】A
【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题的关键是通过比较圆心到直
线距离d 与圆半径大小关系完成判定．根据直线与圆相交、相切、相离的定义判定．直线l
与半径r 的
O 相交，且点O 到直线l 的距离
6
d
，
6
r
d
即可得到问题的选项．
【详解】解：∵直线l 与半径r 的
O 相交，且点O 到直线l 的距离为6，
∴
6
r
，
故选：A．
试卷第25页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，半径为2 的
P 的圆心P 的坐标为
3,0
，将OP 沿x
轴正方向平移，使
P 与y 轴相切，则平移的距离为（
）
A．1
B．1 或5
C．3
D．3 或5
【答案】B
【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相
切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：
P 位于y 轴左侧和
P 位于y 轴
右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：
P 的圆心P 的坐标为( 3,0)
，
3
OP
，
P 的半径为2，
2
AP
BP
，
1
OA
，
5
OB
，
当
P 位于y 轴左侧且与y 轴相切时，平移的距离为1，
当
P 位于y 轴右侧且与y 轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离为1或5，
故选：B．
6．已知：
O 的半径为2cm ，圆心到直线l 的距离为1cm，将直线l 沿垂直于l 的方向平移，
使l 与
O 相切，则平移的距离是（
）
试卷第26页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
A．1cm
B．1cm或2cm
C．2cm 或3cm
D．1cm或3cm
【答案】D
【分析】本题考查了直线和圆的位置关系以及平移的性质，是基础知识要熟练掌握．
根据直线和圆相切的数量关系，可得点O 到l 的距离为1cm，可向上或向下平移，使l
与
O 相切，即可得出答案．
【详解】解：如图，当直线l 经过点B 时，
1cm
OB
，
当直线l 平移至直线l，且切点为点A 时，此时
2 1 1cm
AB
；
当l 移动到l ，且切点为点C 时，则
2 1
3cm
BC
；
综上所述，l 与
O 相切时，平移的距离是1cm或3cm ．
故选D．
二、填空题
7．如图，AB 为
O 的直径，
1cm,
2cm
AB
BC
，当AC ________cm时，直线AC 与
O
相切．
【答案】1
【分析】直线AC 与
O 相切时，
=90
BAC
，根据勾股定理即可求出AC ．
【详解】解：当
=90
BAC
时，直线AC 与
O 相切，
∴
2
2
2
2
( 2)
1
1
AC
BC
AB
（cm），
试卷第27页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
故答案为：1．
【点睛】本题考查了切线的判定，掌握切线的判定和性质是解题关键．
8．如图，
O 是ABC 的内切圆，D
E
F
，，
为切点．若
2
AD
，
6
BC
，则ABC 的周长
为______．
【答案】16
【分析】设BF
x
，则
6
CF
x
，由切线长定理可得
2
AE
AD
，BD
BF
x
，
6
CE
CF
x ，进而即可求解．
【详解】解：设BF
x
，则
6
CF
x
，
∵
O 是ABC 的内切圆，D
E
F
，，
为切点，
∴
2
AE
AD
，BD
BF
x
，
6
CE
CF
x ，
∴ABC 的周长
2
2
2
6
16
AB
BC
AC
AD
BF
CF
x
x
．
9．如图，若Rt
ABC
△
的内切圆
O 与BC
CA
AB
，
，
分别相切于点D
E
F
，，
，且
90
5
12
A
AB
AC
，
，
，则
O 的半径OD _______．
【答案】2
【分析】利用勾股定理求出
13
BC
，再利用切线的性质得到OF
AB
，OE
AC
，所
以四边形OFAE 为正方形，设OE
AE
AF
r
，利用切线长定理得到
5
BD
BF
r
，
12
CD
CE
r
，所以5
12
13
r
r
，然后求出r ,即可求解．
试卷第28页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
【详解】解：如图，连接
,
OF OE ，
90
A
，
5
AB
，
12
AC
，
2
2
13
BC
AC
AB
，
AB 、AC 与
O 分别相切于点E 、F ，
OF
AB
，OE
AC
，
四边形OFAE 为正方形，
设OE
r
，
则AE
AF
r
，
ABC 的内切圆
O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，
5
BD
BF
r
，
12
CD
CE
r
，
5
12
13
r
r
，
2
r
，
即
2
OD
．
故答案为：2 ．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆和内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；
三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了勾股定理和切线的性质．解决本
题的关键是掌握三角形的内切圆和内心．
10．如图，在圆内接四边形ABCD中，若
40
B
，则
D
的度数为______度．
【答案】140
【分析】根据圆内接四边形的性质解答即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
试卷第29页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∴
180
B
D
，
∵
40
B
，
∴
140
D
．
11．若一个正多边形中心角的度数为40，则这个正多边形的边数是_________．
【答案】．9
【分析】根据正多边形的性质求解即可．
【详解】解：∵正多边形中心角的度数
360
边数，
∴该正多边形的边数
360
9
40
．
12．如图，正六边形ABCDEF 的周长为18，则它的外接圆的半径为____________．
【答案】3
【分析】本题考查了正多边形与中心角，等边三角形的判定与性质，把握正六边形的中
心角，半径与边长的关系是解题的关键．
先根据正六边形的性质求得AOB 是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解答．
【详解】解：连接OA
OB
，
，
∵正六边形ABCDEF
∴
60
AOB
OA
OB
，
，
∴AOB 是等边三角形，
试卷第30页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∴OA
OB
AB
，
∵正六边形ABCDEF 的周长为18，
∴
18
6
3
OA
OB
AB
，即它的外接圆的半径为3．
故答案为3．
三、解答题
13．如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2 所示，该地基的平面示意图可以近
似的看作是半径为5m 的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．
【答案】30m
【分析】本题考查了圆内接六边形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相关知
识点是解题的关键．
根据题意得到
360
60
6
AOB
．AB
BC
CD
DE
EF
AF
，得到AOB 是
等边三角形，得出
5m
AB
OA
，即可得到答案．
【详解】解：
六边形ABCDEF 是正六边形，
360
60
6
AOB
．AB
BC
CD
DE
EF
AF
，
OA
OB
，
AOB
是等边三角形，
5m
AB
OA
，
正六边形ABCDEF 的周长
6 5
30m
．
14．如图，I 是△ABC 的内心，AI 的延长线交△ABC 的外接圆于点D．DB 与DI 相等吗？为什
么？
试卷第31页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
【答案】DB＝DI，理由见解析
【分析】连接BI，根据圆周角定理得到∠DBC＝∠DAC，根据三角形内心的概念得到
∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的判定定理证明
即可．
【详解】解：DB＝DI，
理由如下：连接BI，
由圆周角定理得，∠DBC＝∠DAC，
∵I 是△ABC 的内心，
∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠CAD，
由三角形的外角的性质可知，∠DIB＝∠IBA+∠ABI，又∠DBI＝∠DBC+∠IBC，
∴∠DIB＝∠DBI，
∴DB＝DI．
【点睛】此题考查的是三角形的内接圆的性质、圆周角定理、三角形外角的性质和等腰
三角形的性质，掌握三角形的内心是三个角平分线的交点、同弧所对的圆周角相等和等角对
等边是解决此题的关键．
15．如图，ABC 中AB
AC
，D 为AC 边上一点，
I 为ABD 内切圆，G 、E 、F 为切
点．
试卷第32页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：BE
CF
；
(2)若
10
BD
，
4
CD
，求BE 的长．
【答案】(1)见解析
(2)
7
BE
【分析】本题考查了三角形内切圆的性质，切线长定理；
（1）根据切线长定理可得AG
AF
，BG
BE
，根据AB
AC
，由线段的差相等，即
可求解；
（2）设BE
x
，则
10
DE
DF
x
，根据BE
CF
，即可求解．
【详解】（1）∵
I 为ABD 内切圆，G 、E 、F 为切点，
∴AG
AF
，BG
BE
∵AB
AC
，
∴AB
AG
AC
AF
即BG
CF
∴BE
CF
（2）设BE
x
，
∵
10
BD
，
∴
10
DE
DF
x
∵
4
CD
，
∴
14
CF
CD
DF
x
∵BE
CF
，
∴
14
x
x
，解得
7
x
，
∴
7
BE
16．如图，O 是以等腰ABC 的腰AB 为直径所作的圆，点D 是
O 与底边AC 的交点，自
D 点作DE
BC
，垂足为点E ，过点B 作
O 的切线BF ，交AC 于F
试卷第33页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：DE 是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为5，
3
DE
，求此时DF 的长．
【答案】(1)证明：∵AB
BC
，
∴
A
C
．
∵DE
BC
，
∴
=90
DEC
，
∴
+
=90
CDE
C
．
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
，
∴
+
=90
A
ABD
，
=90
CDE
BDE
，
∴
=
BDE
C
A
．
∵BO
OD
，
∴
OBD
ODB
，
∴
+
=90
BDE
ODB
，
∴DE
OD
，
∴DE 是
O 的切线；
(2) 10
3
【分析】（1）先根据等腰三角形的性质得
A
C
，再根据“同角的余角相等”得
=
BDE
C
A
，然后根据等腰三角形的性质得
OBD
ODB
，即可得DE
OD
，进而
得出答案；
（2）作DG
AB
，根据等腰三角形的性质得BD 平分
ABC
，再根据角平分线的性质得
3
DG
DE
，接下来根据勾股定理求出
=4
OG
，进而得出
1
BG ，
9
AG
，再根据勾股定
理求出AD ，最后根据平行线分线段成比例得出答案．
【详解】（1）略
（2）过点D 作DG
AB
，交AB 于点G，
试卷第34页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
∵AB
CB
，
=90
ADB
，
∴BD 平分
ABC
．
∵DE
BC
，DG
AB
，
∴
3
DG
DE
．
在Rt
ODG
△
中，
=5
OD
，
=3
DG
，
∴
2
2
=
4
OG
OD
DG
，
∴
1
BG ，
9
AG
．
在Rt ADG 中，
9
AG
，
=3
DG
，
根据勾股定理，得
2
2
9
3
3 10
AD
．
∵BF 是
O 的切线，
∴
90
ABF
AGD
，
∴DG
BF
∥
，
∴AD
AG
DF
BG
，
即3 10
9
= 1
DF
，
解得
10
3
DF
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，等腰三角形的性质，直径所对的圆周角是
直角，平行线分线段成比例，勾股定理，角平分线的性质等，勾股定理是求线段长的常用方
法．
17．如图，AB 是
O 的直径，点D 在AB 的延长线上，点C 在
O 上，
,
30
CA
CD
CDA
．
试卷第35页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
(1)求证：CD是
O 的切线；
(2)若
O 的半径为6，求点A 到CD所在直线的距离．
【答案】(1)见解析
(2)9
【分析】（1）已知点C 在
O 上，先连接OC ，由已知CA
CD
，
30
CDA
，得
30
CAO
，
30
ACO
，所以得到
60
COD
，根据三角形内角和定理得
90
DCO
，
即能判断直线CD与
O 的位置关系．
（2）要求点A 到CD所在直线的距离，先作AE
CD
，垂足为E，由
30
CDA
，得
1
2
AE
AD
，在Rt OCD 中，半径
6
OD
，所以
2
12
OD
OC
，
18
AD
OA
OD
，从
而求出AE ．
【详解】（1）∵ACD是等腰三角形，
30
D
，
∴
30
CAD
CDA
．
连接OC ，
∵AO
CO
，
∴AOC 是等腰三角形，
∴
30
CAO
ACO
，
∴
60
COD
，
在
COD
△
中，又∵
30
CDO
，
∴
90
DCO
∴CD是
O 的切线，即直线CD 与
O 相切．
试卷第36页，共30页
学科网（北京）股份有限公司
（2）过点A 作AE
CD
，垂足为E．
在Rt OCD 中，∵
30
CDO
，
∴
2
12
OD
OC
，
6 12
18
AD
AO
OD
，
在Rt
ADE
△
中，
∵
30
EDA
，
∴点A 到CD边的距离为：
9
2
AD
AE
．
【点睛】此题考查的知识点是切线的判定与性质，解题的关键是运用直角三角形的性质
及30°角所对直角边的性质．
37 / 37
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
