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第一章 有理数全章高频重点题型突破
◆题型1 正数和负数——用正负数表示具有相反意义的量
1.【答案】C
【详解】解：
1
1
0
- -
= >
，是正数；
3
3
0
- -
= - <
，是负数；
6
6
0
- +
= - <
，是负数；
2
2
0
3
3
-
=
>
，是正数；
11
11
0
5
5
æ
ö
- +
= -
<
ç
÷
è
ø
，是负数；
综上，负数共有3个．
2.【答案】
7
+
85
【分析】此题主要用正负数来表示具有意义相反的两种量：选平均分90 分为标准记为0 分，超出部分为
正，低于的部分为负，直接得出结论即可．
【详解】解：选平均分90 分为标准记为0 分，超过部分为正，不足的部分为负，
则：小丽得97 分，超出平均分7 分，记作7
+ 分；
小军得分记作5
- 分，低于平均分5 分，他实际得分是90
5
85
-
=
（分）．
3.【答案】
50
-
130
【分析】根据正负数的意义，题目规定向南走为正，则与南方向相反的向北走记为负，两人行走方向相
反，两人的距离为两人行走路程的和，据此分析求解．
【详解】由正负数表示相反意义的量可得，向北走50 米记作50
-
米，
计算两人相距的距离：
80
50
130
+
=
（米）．
4.【答案】50
+
/50
【详解】解：根据题意，水位下降被记作负，上升与下降是具有相反意义的量，所以上升50米记作50
+
米．
◆题型2 有理数的分类
5. 【答案】正数集合：
3
6,
,8.9,0.3
4
ì
ü
+
í
ý
î
þ
&
整数集合：
6, 3,0
+
-
负有理数集合：
1
3, 2
, 3.4
2
ì
ü
-
-
-
í
ý
î
þ
正分数集合：3 ,8.9,0.3
4
ì
ü
í
ý
î
þ
&
【分析】根据正数、整数、负有理数、正分数的定义对给出的数逐一判断分类即可．
【详解】略
◆题型3 数轴的三要素及应用
6.【答案】C
【分析】根据数轴上的点左移减，右移加，可得答案．
【详解】解：点P 从数轴上表示2 的点出发，先向左移动3 个单位，表示2
3
1
-
= - ，
再向右移动7 个单位，表示为1 7
6
- +
=
，
即点P 最终表示的数是6．
7.【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴、实数大小比较、相反数、绝对值有关内容，根据数轴得出
0
b
a
a
b
- <
<
< - <
，即可判断出答案．
【详解】解：根据数轴可得
0
a <
，
0
b >
，a
b
<
，
0
b
a
a
b
\- <
<
< - <
．
A、a
b
<
，正确
B、Q a
b
<
，
a
b
\
=
，错误；
C、Q a
b
<
，
a
b
\
>
，错误；
D、
a
b
<
Q
，\ a
b
= - ，错误．
8.【答案】D
【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可．
本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键．
【详解】
解：A．
单位长度不同，
该选项错误，不符合题意；
B．
负数的标记位置错误，
该选项错误，不符合题意；
C．
没有原点，
该选项错误，不符合题意；
D．
表示正确，
该选项正确，符合题意；
故选：D．
9.【答案】4 或8
- / 8
- 或4
【分析】设与A 点相距6 个单位长度的点所对应的有理数为x ，根据数轴上两点间的距离公式列方程，
分情况求解即可．
【详解】解：设与A 点相距6 个单位长度的点所对应的有理数为x ，
由题意得
2
6
x - -
=
，即
2
6
x +
=
，
去绝对值得
2
6
x +
=
或
2
6
x +
= - ，
解得
4
x =
或
8
x = - ．
10.【答案】如图即为所求．
【分析】根据数轴的特点把各数在数轴上表示出来即可．
【详解】略
◆题型4 相反数的概念与性质
11.【答案】D
【分析】根据相反数和倒数的定义解答即可．
【详解】解：2022
-
的相反数是2022，2022 的倒数是
1
2022 ．
12.【答案】B
【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为0 ，据此列出一元一次方程，求解方程即可
得到x 的值.
【详解】解：Q 代数式4
3
x - 与2
9
x - 的值互为相反数，
4
3
2
9
0
x
x
\
-
+
-
=
，
去括号得 4
3
2
9
0
x
x
- +
-
=
，
合并同类项得 6
12
0
x -
=
，
移项得 6
12
x =
，
系数化为1得
2
x =
.
13.【答案】
3
3
-
3
-
【详解】解：
1
3
3
- -
=
；
2
3
3
-
+ -
=
；
3
3
3
-
- +
=
．
14.【答案】C
【分析】根据相反数的几何意义，互为相反数的两个点关于原点对称，即原点是这两点连线的中点，根
据数轴上的两点之间距离即可确定原点位置．
【详解】解：由图可知，点A 与点D 之间相隔6 个单位长度，
Q点A 和点D 表示的数互为相反数，
\原点在线段AD 的中点处，
由图可知，
3
AC
CD
=
=
，
\原点是点C ．
◆题型5 绝对值的求法与基本应用
15. 【答案】D
【详解】解：
2022
2022
-
=
．
16.【答案】C
【分析】根据绝对值的几何意义，由各点到原点的距离进行判断即可．
【详解】解：观察数轴可知：点P 到原点的距离为3，
∴3
- 到原点的距离为3．
∴到原点的距离与3
- 到原点的距离相等的点是点P．
17.【答案】B
【分析】根据给出的x 的取值范围，判断出
2
x-
和
3
x-
的正负，再利用二次根式和绝对值的性质化简，
再合并同类项得到化简结果．
【详解】解：
2
3
x
<
<
Q
，
∴
2
0,
3
0
x
x
-
>
-
<
，
\原式
2
3
2
3
1
x
x
x
x
=
-
+
-
=
-
+ -
= ．
18.【答案】B
【分析】根据数轴可得1
2
a
<
<
，得到
1
0
a- >
，进而化简式子
2
1
a -
．
【详解】解：根据算术平方根的性质：
2x
x
=
，
\原式可转化为：
2
1
1
a
a
-
=
- ，
由数轴可知，实数a 的取值范围是1
2
a
<
<
，因此
1
0
a- >
，
1
1
a
a
-
=
- ，
\化简结果为
1
a -
19.【答案】A
【分析】利用非负数的性质求出x 与y 的值，然后计算
2026
x
y
+
的值即可．
【详解】解：
2
3
0
x
y
-
+
+
=
，
∵
2
0
-
³
x
，
3
0
y +
³
，
∴
2
0
x -
=
，且
3
0
y +
= ，
∴
2
x =
，
3
y
-
=
，
∴
2026
2
20
02
6
6
2
2
3
1
1
é
ù
=
+ -
= -
=
ë
û
+
x
y
20.【答案】D
【分析】本题考查了绝对值．根据绝对值的性质得到
1
6
x - =
或
1
6
x - = - ，解之即可．
【详解】解：∵
1
6
x -
=
，
∴
1
6
x - =
或
1
6
x - = - ，
∴
7
x =
或
5
x = - ，
故选：D．
21.【答案】6 或2
【分析】本题主要考查了绝对值的定义与有理数的减法运算，熟练掌握绝对值的性质并结合条件筛选出
符合要求的数是解题的关键．
先根据绝对值的定义求出x 、y 的可能值，再结合x
y
>
筛选出符合条件的组合，最后计算x
y
-
的值．
【详解】解：∵
2
x =
，
∴
2
x =
或
2
x = - ，
∵
4
y =
，
∴
4
y =
或
4
y = - ，
∵ x
y
>
，
∴
2
x =
，
4
y = - 或
2
x = - ，
4
y = - ，
当
2
x =
，
4
y = - 时，
2
4
2
4
6
x
y
-
=
- -
=
+
=
；
当
2
x = - ，
4
y = - 时，
2
4
2
4
2
x
y
-
= - - -
= - +
=
；
故答案为：6 或2．
22.【答案】2 （答案不唯一）
【分析】本题考查了绝对值，有理数的大小比较，应牢固掌握绝对值的意义．写出一个绝对值小于3 的
整数即可．
【详解】解：绝对值小于3 的整数可以是2 ，
故答案为：2 （答案不唯一）．
23.【答案】0
【分析】本题考查绝对值的性质及有理数的乘法运算，由于绝对值小于3.5 的有理数中包含0，根据有理
数乘法法则，0 与任何数相乘都得0，因此乘积为0．
【详解】解：∵绝对值小于3.5 的有理数包括0，
∴所有有理数的乘积为0．
故答案为：0．
24.【答案】(1)收工时该检修小组在A 地的东边，距离A 地5 千米
(2)该检修小组这一天行驶的总路程为45千米
【详解】（1）解：4
7
9
8
6
5
2
4
5
+
-
+ +
- -
-
=
（千米），
答：收工时该检修小组在A 地的东边，距离A 地5 千米；
（2）解：4
7
9
8
6
5
2
4
45
+ +
+ -
+ + + +
+ - + -
+ -
=
（千米），
答：该检修小组这一天行驶的总路程为45千米．
25.【答案】(1)40km
(2) 4L
【分析】本题考查的是绝对值的含义，有理数的加法与乘法的实际应用．
（1）把记录数据的绝对值相加即可得到答案．
（2）由总路程乘以单位耗油量即可得到答案．
【详解】（1）解：
3
8
10
6
7
6
40 km
- + - + +
+ -
+ +
+ +
=
．
答：小王接送教师这天出租车的总行程是40km．
（2）解：
40 0.1
4 L
´
=
．
答：小王接送教师这天共耗油4L．
◆题型6 有理数的大小比较
26.【答案】
<
>
【分析】（1）根据负数小于0 的性质直接判断；
（2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断．
【详解】解：（1）∵负数都小于0 ，
∴
2
0
5
-
<
；
（2）∵
3
3
4
4
-
=
，
4
4
5
5
-
=
，3
4
4
5
<
，
∴
3
4
4
5
-
> -
．
27.【答案】液态氧
【分析】本题考查正数和负数，根据有理数的大小比较方法，比较三种液体的沸点温度．
【详解】解：由表可知，液态氧的沸点为183
-
℃，液态酒精的沸点为78℃，液态氨的沸点为33.4
-
℃．
由于183
33.4
78
-
< -
<
，
因此液态氧的沸点最低．
故答案为：液态氧．
.
◆题型1 绝对值的非负性与、最值与分类讨论综合
1．【答案】(1)①
2
x +
；②1 或5
-
(2)3
(3)5，5
-
【分析】（1）根据数轴上两点之间距离公式进行解答即可；
（2）根据绝对值的几何意义可知，
2
1
x
x
+
+
- 表示x 的点与表示2
- 的点，表示1 的点的距离之和，得
出当x 表示的点在2
- 与1 之间时，这个距离之和最小，求出结果即可；
（3）根据
2
1
3
4
21
x
x
y
y
+
+
-
´
-
+
+
=
得出当2
1
x
- £
£ ，4
3
y
- £
£
时，符合题意，得出的
2
1
x
x
+
+
- 最小值为3，
3
4
y
y
-
+
+
的最小值为7，求出x
y
-
的最大值和最小值即可．
【详解】（1）解：（1）①由题意得：
( 2)
2
AB
x
x
=
- -
=
+
，
故答案为：
2
x +
．
②由题意得：
2
3
x +
= ，
∴
2
3
x +
= ± ，
解得：
1
x = 或
5
x = - ．
故答案为：1 或5
- ．
（2）解：由绝对值的几何意义可知，
2
1
x
x
+
+
- 表示x 的点与表示2
- 点，表示1 的点的距离之和，
∴当2
1
x
- £
£ 时，
2
1
x
x
+
+
- 有最小值，
取
0
x =
代入，
可得：0
2
0 1
3
+
+
-
=
，
∴最小值为3．
故答案为：3．
（3）解：∵
2
1
3
4
21
x
x
y
y
+
+
-
´
-
+
+
=
，
∴当2
1
x
- £
£ ，4
3
y
- £
£
时，符合题意，
此时，
2
1
x
x
+
+
- 的最小值为3，
3
4
y
y
-
+
+
的最小值为7，
∴x
y
-
的最大值为：1 ( 4)
5
- -
=
，
x
y
-
的最小值为：2
3
5
- -
= - ．
故答案为：5；5
- ．
【点睛】本题主要考查了列代数式，绝对值和数轴，借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有
关距离的问题，反之，有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题．这种相互转化在解决某些问题时
可以带来方便．
◆题型2 数轴上的动点问题
2．【答案】(1)2
(2) B ，C 两点之间的距离是6.5 个单位长度
(3)点M 表示的数为1008
【分析】本题考查数轴上点的移动，两点间的距离，熟练掌握平移规则，两点间的距离公式是解题的关
键：
（1）根据平移规则，列式计算即可；
（2）求出点B 的运动时间，进而求出点C 表示的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（3）根据题意，得到每2 次移动，整体向右移动1 个单位长度，进行求解即可．
【详解】（1）解：3
5
4
2
- +
=
；
（2）点B 运动了
2.5
3.5
6
- -
=
个单位长度，
运动时间为6
2
3
¸
=
（秒）．
这段时间点C 运动了1 3
3
´ =
个单位长度．
因为点C 从原点出发，
所以点C 运动到3 所在点的位置，
所以B ，C 两点之间的距离是
3
3.5
6.5
- -
=
个单位长度；
（3）5 1
2
3
4
5
6
7
2021
- - +
- +
- +
-
+
-
+
L
2022
2023
2024
2025
2026
-
+
-
+
5
( 1
2)
( 3
4)
( 2023
= - + - +
+ - +
+
+ -
+
L
2024)
( 2025
2026)
+ -
+
5 1013
= - +
1008
=
．
所以点M 表示的数为1008．
◆题型3 有理数与数轴的综合应用
3．【答案】(1)
3
7
(2)
4
3t
- -
1 t
- +
3
2t
+
【分析】本题考查在数轴上表示有理数、数轴上两点之间的距离、有理数的运算及整式的加减运算，关
键是熟练应用知识点解题；
（1）①由题意易得点A 表示的数为4
- ，点B 表示的数为1
- ，点C 表示的数为3，然后问题可求解；②
根据两点间距离公式可进行求解；
（2）①根据题意及数轴上有理数的表示方法可进行求解；②由①可得：
,
MN PN ，进而问题可求解．
【详解】（1）①由题意得：点A 表示的数为4
- ，点B 表示的数为1
- ，点C 表示的数为3，则A 、B 、C
在数轴的位置如图所示：
②点A 到点B 的距离
1
4
3
AB = - - -
=
；点A 到点C 的距离
3
4
7
AC =
- -
=
；
故答案为3，7 ；
（2）①点P 表示的数为：4
3t
- -
；
点M 表示的数为：1 t
- + ；
点N 表示的数为：3
2t
+
；
②答：不变，
∵
3
2
1
4
MN
t
t
t
=
+
- - +
=
+ ，
1
4
3
3
4
PM
t
t
t
= - +
- - -
=
+
，
∴
4
4 4
3
4
16
3
13
MN
PM
t
t
-
=
+
-
+
=
-
=
，
∴4MN
PM
-
的值不随着时间t 的变化而变化，值为：13．
1．B
2．A
3．B
4．A
5. C
6. D
7. -24
