文档文本内容
1 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
第三十章直线与圆的位置关系全章高频重点题型突破
◆题型1 直线与圆的位置关系判定
1.【答案】5
【详解】解：∵
O 的半径为5，直线AB 与
O 相切，
∴圆心O到直线AB 距离等于5；
故答案为：5．
2.【答案】2
【详解】∵直线和圆相切时，OH=5，
又∵在直角三角形OHA 中，HA=AB÷2 =4，OA=5，
∴OH=3．
∴需要平移5-3=2cm．
故答案是：2．
3.【答案】相切
【详解】解：过点M 作MC
OA
，交OA于点C ，
在Rt OMC 中，
4cm
OM
，
30
BOA
，
∴
1
2cm
2
CM
OM
．
∵
M 的半径是2cm ，点M 到直线OA的距离是2cm ，
∴
M 与直线OA的位置关系是相切．
4.【答案】A
【详解】解：由题意得，圆的半径
6cm
r
，圆心到直线的距离
8cm
d
8cm
6cm
d
r
根据直线与圆位置关系的判定规则，当圆心到直线的距离大于圆的半径时，直线与圆相离.
直线与圆的位置关系是相离
2 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
5.【答案】D
【详解】解：连接PA ，作PC
AB
于点C ，由垂径定理得：
1
1
2 3
3
2
2
AC
AB
，
在直角PAC
中，由勾股定理得：
2
2
2
PA
PC
AC
，
即
2
2
2
1
( 3)
4
PA
，
2
PA
，
P
e
的半径是2．
将
P 向上平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
1
2
3
；
将
P 向下平移，当
P 与x 轴相切时，平移的距离
2 1
1
．
故选：D
◆题型2 切线的性质与判定
1. 【答案】B
【详解】∵①不在同一直线上的三点确定一个圆，三点共线，无法确定圆，∴①错误；
∵②根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦是正确的，∴②正确；
∵③三角形的内心是角平分线交点，到三边距离相等，∴③正确；
∵④垂直于半径且过半径外端的直线才是切线，∴④错误；
∴正确说法有②和③，共2 个．
故选：B．
2. 【答案】40
【详解】
BA与
O 相切于点A ，
OA
AB
，
90
OAB
，
50
AOB
，
90
40
B
AOB
，
故答案为：40 ．
3.【答案】(1)见解析
(2)6
3 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
∵AB 为
O 的直径，CB 与
O 相切于点B，
∴CB
AB
，
∴
90
B
，
∵CD
CB
，OD
OB
，
∴
2
2
2
2
2
CD
OD
CB
OB
OC
，
∴ODC 是直角三角形，且
90
ODC
，
∵OD 是
O 的半径，且CD
OD
，
∴CD是
O 的切线；
（2）解：∵
90
ODE
B
，
∴
2
2
2
DE
OD
OE
，
∵
4,
8
AE
DE
，OD
OA
，
∴
2
2
2
8
4
OA
OA
，
解得
6
OA
，
∴
O 的半径长为6 ．
4.【答案】(1)证明见解析
(2) 9
4
【详解】（1）证明：如图，连接AO ，DO ，作OE
AC
于点E ．
∵AB
AC
，O为BC 的中点，
∴AO 平分
BAC
．
∵AB 与
O 相切于点D ，
∴OD 是
O 的半径，OD
AB
，
4 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵OE
AC
，AO 平分
BAC
，
∴OD
OE
．
∴OE 也是
O 的半径，
∴AC 是
O 的切线；
（2）解：在Rt BDO 中，
4
BD
，
5
BO
，
∴
2
2
2
2
5
4
3
OD
BO
BD
．
设AD
x
，则
4
AB
AD
BD
x
．
∵AB
AC
，O为BC 的中点，
∴AO
BC
，即
90
AOB
．
在Rt ADO 中，
2
2
2
2
9
AO
AD
OD
x
；
在Rt ABO 中，
2
2
2
2
(
4)
25
AO
AB
BO
x
，
∴
2
2
9
(
4)
25
x
x
，
展开化简得8
9
9
x
，解得
9
4
x
，
∴
9
4
AD
．
◆题型3 切线长定理
1.【答案】24
【详解】解：
PA 和PB 是
O 的两条切线，
12
PA
PB
，
同理可得：DA
DC
，EB
EC
，
PDE
△
的周长
PD
DE
PE
PD
DC
EC
PE
PD
DA
EB
PE
m
24 c
PA
PB
．
2.【答案】(1)证明：连接OC ，
直线DC ，DA 分别切
O 于点C ，
5 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
CD
AD
，
在ADO 与CDO中，
CD
AD
OC
OA
OD
OD
，
SSS
ADO
CDO
≌
，
AOD
COD
，
1
2
AOD
AOC
，
1
2
B
AOC
，
B
AOD
，
∴BC
OD
∥
；
(2) BC 的长
7
3
．
【详解】（1）略；
（2）解：∵ADO
CDO
≌
，
∴
2
70
ADC
CDO
180
110
AOC
ADC
，
70
BOC
，
12
AB
，
6
OB
，
BC
的长
70 π
6
7 π
180
3
．
3.【答案】．3；
1
2 a
b
c
【详解】解：如图；
设AC 、AB 、BC 与
O 的切点分别为D、E、F；
在Rt
ABC
△
，
90
C
，
12cm
AC
，
9cm
BC
；
根据勾股定理
2
2
15cm
AB
AC
BC
；
6 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
四边形OFCD 中，OD
OF
，
90
ODC
OFC
C
；
则四边形OFCD 是正方形；
由切线长定理，得：AD
AE
，CD
CF
，BE
BF
；
则
1
2
CD
CF
AC
BC
AB
；
即：
1
12
9 15
3
2
r
．
当AC
b
，BC
a
，AB
c
，
由以上可得：
1
2
CD
CF
AC
BC
AB
；
即：
1
2
r
a
b
c
．
则
O 的半径r 为：
1
2 a
b
c
．
4.【答案】(1)135
(2) 2
(3) 5
【详解】（1）解：
O 是ABC 的内切圆，
OA
平分
CAB
，OB 平分
CBA
，
在Rt
ABC
△
中，
90
C
，
90
CAB
CBA
，
1 (
)
45
2
OAB
OBA
CAB
CBA
，
180
45
135
AOB
．
（2）解：设半径为r，连接OE 、OF ，
O 是ABC 的内切圆，切点分别为D 、E 、F ，
由切线长定理得：
6
BE
BD
，
4
AF
AD
，CE
CF
，
90
C
，OE
BC
，OF
AC
，
四边形OECF 是正方形，
CE
CF
r ，
4
AC
AF
CF
r
，
6
BC
BE
CE
r
，
4
6
10
AB
AD
BD
，
在Rt
ABC
△
中，由勾股定理得：
2
2
2
(4
)
(6
)
10
r
r
，
解得：
2
r
或
12
r
（舍去负值），
7 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
O
的半径
2
r
．
（3）解：由（2）知
6
AC
，
8
BC ，
10
AB
，
设斜边AB 的中点为M ，则M 是Rt
ABC
△
的外心，
分别连接
,
OM OD ，
4
AD
，
10
AB
，
1
5
2
AM
AB
，
5
4
1
MD
AM
AD
，
OD 是内切圆半径，OD
AB
，
2
OD
r
，
在Rt OMD中，由勾股定理得：
2
2
2
2
2
1
5
OM
OD
MD
，
Rt ABC
的外心和内心的距离为
5 ．
◆题型4 正多边形与圆
1.【答案】．30
【详解】解：
该正多边形的一个内角为150，
该正多边形的一个外角为180
150
30
，
任意多边形的外角和为360，
该正多边形的边数
360
12
30
n
，
正多边形的中心角和为360，
该正多边形的中心角为360
30
12
．
2.【答案】24 3
【详解】解：正六边形的每个中心角为360
60
6
，
8 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
则正六边形分成6 个全等的正三角形，则每个正三角形的边长为4m ，
如图，ABC 是其中一个正三角形，其中
4m
AB
BC
AC
，
过点A 作AD
BC
于点D，则
1
2m
2
BD
BC
，
由勾股定理得
2
2
2 3m
AD
AB
BD
，
∴正六边形的面积为
2
1
1
6
6
4
2 3
24 3 m
2
2
BC AD
3.【答案】1260
【详解】解：多边形边数
360
9
40
n
，
∴内角和为
180
9
2
1260
．
故答案为：1260．
◆题型1 切线综合
2．【答案】(1)证明：连接OA，
BC 是
O 直径，点C 在
O 上，
D 是AC 的中点，
AOF
COF
，
在
AOF
△
和COF 中，
OA
OC
AOF
COF
OF
OF
，
, ,
AOF
COF S A S
≌
，
90
OCF
OAF
，
9 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
OC
FC
，
OC 是
O 的半径，
CF 与
O 相切．
(2) 4 3
2
【详解】（1）略
（2）解：
AF
CF
，
是
O 的切线，
AF
CF
＝
，
1 2
2
AF
EF
CF
：
＝：，
＝
，
2
4
AF
EF
＝，
＝
，
90
FCE
＝
，
2
1
sin
4
2
FC
E
EF
，
30
E
＝
，
90
60
CFE
E
＝
，
180
60
2
CFE
OFC
OFA
＝
＝
，
90
30
FOC
OFC
＝
，
2
4
OF
FC
＝
＝
，
由勾股定理得，
2 3
OC＝
，
1
2 3
2
2 3
2
FOC
S
＝
＝
，
2
4 3
OFC
OCFA
S
S
四边形
＝
＝
，
2
60 π 2 3
2
360
OAC
S
扇形
＝
＝
，
阴影部分的面积为
4 3
2
OCFA
OCA
S
S
四边形
扇形
＝
◆题型2 切线中的计算综合
1．【答案】(1)见详解
(2)5
【详解】（1）证明：如图，连接OD ，
10 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
OD
OB
，
ODB
OBD
，
D 是EF 的中点，
DF
DE
，
OBD
DBC
\ Ð
= Ð
，
ODB
DBC
，
OD
BC
∥
，
90
ODA
C
，
AC 经过
为的半径OD 的端点D ，且AC
OD
，
AC
是
O 的切线．
（2）解：如图，设
O 的半径为r ，则OB
OD
r
，
作OG
BE
于点G ，则BG
EG
，
90
OGB
，
90
ODC
C
OGC
，
四边形ODCG 是矩形，
2
CE
，
4
CD
，
4
OG
CD
，CG
OD
r
，
2
BG
EG
r
，
2
2
2
OB
OG
BG
Q
，
2
2
2
4
(
2)
r
r
，
解得
5
r
，
O
的半径长为5．
2．【答案】(1)证明：如图，连接OE ，
11 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∵AE
DE
，
∴
ABE
CBE
，
∵OE
OB
，
∴
OBE
OEB
，
∴
OEB
FBE
，
∴BF
OE
∥
，
∵EF
BC
，
∴
90
BFE
，
∴
90
BFE
OEG
，
∴OE
GE
，
∴GF 是
O 的切线
(2)3
【详解】（1）略．
（2）解：设
O 的半径为r，
6,
6 2
AG
GE
，
∵在Rt
GOE
△
中，
2
2
2
OE
GE
OG
，
∴
2
2
2
6 2
6
r
r
，
解得
3
r ，
即
O 的半径为3．
◆题型3 圆与坐标系/一次函数综合
1.【答案】3
2
3
2
S
【详解】设直线AB 的解析式为y
kx
b
，代入
,
A B 坐标得：
2
0
2
k
b
b
，解得
1
2
k
b
，
即直线AB 的解析式为
2
y
x
，
过圆心P 作PD
x
轴，
12 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
把
1
x 代入
2
y
x
中得
3
y
，
点D 的坐标为
1,3 ，
已知
2,0 ,
1,3
A
D
2
2
(
2 1)
(0
3)
3 2
AD
，
设PG
d
，
1
1
2
2
ADP
S
AD d
AP DP
，
1
1
3 2
3 3
2
2
d
，
3
2
2
d
，
P 的半径
1
r ，
圆上点Q 到直线AB 的距离的最小值为
3 2
1
2
d
r
，最大值为
3 2
1
2
d
r
，
由三角形面积公式
1
2
S
AB h
，其中h 为点Q 到直线AB 的距离，代入
2 2
AB
得：
1
2 2
2
2
S
h
h
当
3 2
1
2
h
时，
3 2
2
1
3
2
2
S
当
3 2
1
2
h
时，
3 2
2
1
3
2
2
S
13 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
故S 的取值范围为3
2
3
2
S
．
◆题型4 切线中的动点/最值问题
1．【答案】8 2
3
/ 3 8 2
【详解】解：连接AP
CP
，
，
∵正方形ABCD，
∴AB
BC
，
90
ABC
，
∵将BP 绕点B 逆时针旋转90得到BP，
∴BP
BP
，
90
P BP
，
∴
90
ABP
ABP
CBP
，
∴
SAS
ABP
CBP
≌
，
∴
3
AP
CP
，
∴点P在以A 为圆心，3 为半径的
A上，
如图，当P在对角线CA 上时，CP最小，
在Rt
ABC
△
中，
8
AB
BC
，
∴
2
2
8 2
AC
AB
BC
，
即CP长度的最小值为
8 2
3
AC
AP
，
故答案为：8 2
3
．
14 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
1．A
2．D
3．A
4．A
5.
B
6.
D
7.
1
8.
16
9.
2
10.
140
11.
9
12.
3
13.
30m
14.
DB＝DI
15. （1）∵
I 为ABD 内切圆，G 、E 、F 为切点，
∴AG
AF
，BG
BE
∵AB
AC
，
∴AB
AG
AC
AF
即BG
CF
∴BE
CF
(2)
7
BE
16. (1)证明：∵AB
BC
，
∴
A
C
．
∵DE
BC
，
∴
=90
DEC
，
∴
+
=90
CDE
C
．
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
，
∴
+
=90
A
ABD
，
=90
CDE
BDE
，
∴
=
BDE
C
A
．
∵BO
OD
，
∴
OBD
ODB
，
∴
+
=90
BDE
ODB
，
∴DE
OD
，
15 / 15
学科网（北京）股份有限公司
学科网（北京）股份有限公司
∴DE 是
O 的切线；
(2) 10
3
17. （1）∵ACD 是等腰三角形，
30
D
，
∴
30
CAD
CDA
．
连接OC ，
∵AO
CO
，
∴AOC 是等腰三角形，
∴
30
CAO
ACO
，
∴
60
COD
，
在
COD
△
中，又∵
30
CDO
，
∴
90
DCO
∴CD是
O 的切线，即直线CD与
O 相切．
(2)9
