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第二十九章圆全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角）
题型2 点与圆的位置关系
题型3 垂径定理及其推论
题型4 圆周角定理
题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积
核心提升：重难题型归纳
题型1 圆与三角形综合
题型2 圆与四边形综合
题型3 圆中的最值问题
题型4 圆中的计算综合
题型专练：高频重难特训
◆题型1 圆的概念（弦、弧、圆心角）
1.下列说法正确的是（
）
A．任意两点之间的部分叫做弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．圆的两条弦所对的两条弧一定是等弧
D．圆上任意两点之间的部分叫做弧
【答案】D
【分析】本题考查圆的弦、弧、等弧的概念辨析，需根据各概念的定义逐一判断选项正
误．
【详解】解：A、弦的定义是连接圆上任意两点的线段，A 选项中“任意两点之间的部分”
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表述不符合弦的定义，故此选项错误，不符合题意；
B、等弧的定义是在同圆或等圆中能够互相重合的弧，长度相等的弧不一定在同圆或等圆
中，也不一定能重合，故此选项错误，不符合题意；
C、只有在同圆或等圆中，相等的弦所对的优弧与优弧、劣弧与劣弧才是等弧，两条弦不
一定相等，即使相等所对的弧也可能一条是优弧一条是劣弧，故此选项错误，不符合题意；
D、弧的定义是圆上任意两点之间的部分，与D 选项表述一致，故此选项正确，符合题
意．
故选：D．
2．如图，ABCD 中，
10
DC
，
6
CB
，以A 为圆心，AD 长为半径画弧，交边AB 于点E ；
则BE 的长（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质得
6
AD
CB
,
10
AB
DC
,再根据题意得AD
AE
,
即可得出答案．
【详解】解：∵在
ABCD 中，
∴
6
AD
CB
,
10
AB
DC
,
根据题意，得
6
AE
AD
,
∴
10
6
4
BE
AB
AE
．
3．已知
O 中最长的弦为6cm，则
O 的半径为（
）cm．
A．2
B．3
C．6
D．12
【答案】B
【分析】本题考查了圆的基本知识；熟练理解圆中最长的弦是直径是解题的关键．
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根据圆中最长的弦是直径以及同圆或等圆中，直径是半径的2 倍，即可求得结果．
【详解】解：
O 中最长的弦长为6cm，
O
的直径的长为6cm，
O
的半径为3cm ．
故选B．
4．如图所示，MN 为
O 的弦，
50
N
，则
MON
的度数为（
）
A．50
B．60
C．70
D．80
【答案】D
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，熟练掌握圆的半径相
等（等腰三角形的判定）是解题的关键．
先根据圆的半径相等得出等腰三角形，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理计
算
MON
的度数．
【详解】解：∵OM 、ON 是
O 的半径，
∴OM
ON
，
∴
50
M
N
（等腰三角形两底角相等），
∵在MON 中，
180
M
N
MON
，
∴
180
180
50
50
80
MON
M
N
，
故选：D ．
5．如图，AB 为
O 的直径，点C，D 是
O 上位于AB 异侧的两点，分别连接
,
,
,
AD BD CB CD ．若AD
BD
，则
DCB
的度数为（
）
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A．30
B．45
C．60
D．75
【答案】B
【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出
90
AOD
BOD
，再根据圆周角定理得
出答案．
【详解】解：连接OD ，
∵AD
BD
，AB 为
O 的直径，
∴AD
BD
，
∴
90
AOD
BOD
，
∴
1
1
90
45
2
2
DCB
BOD
6．如图
O 中，A、B、C 均为圆上的点，下列说法：①若AB
BC
，则AB
BC
；②若
AOB
BOC
，则AB
BC
；③若AB
BC
，则
AOB
BOC
；④若
AOB
BOC
，
则O 点到弦AB
BC
、
的距离相等．其中正确的个数有（
）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【答案】D
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【分析】本题主要考查圆心角、弧、弦心距的关系，根据“在同圆或等圆中，如果两个圆
心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量
也相等”进行判断即可．
【详解】解：∵在同圆或等圆中，如果两个圆心角对应的两条弧、两条弦或两条弦的弦
心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．
∴①若AB
BC
，则AB
BC
，所以，此说法正确；
②若
AOB
BOC
，则AB
BC
，所以，此说法正确；
③若AB
BC
，则
AOB
BOC
，所以，此说法正确；
④若
AOB
BOC
，则O 点到弦AB
BC
、
的距离相等，所以，此说法正确；
∴说法正确的是①②③④，共4 个，
故选：D．
7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90 ,
20
ACB
A
，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、
AC 于点D、点E，则弧BD 的度数为（
）
A．28
B．60
C．55
D．40
【答案】D
【分析】本题考查了圆心角，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义；
先求出
B
，再根据等腰三角形的性质求出
BCD
，
BCD
即为弧BD 的度数，即可得解．
【详解】解：
90 ,
20
ACB
A
，
90
70
B
A
，
CB
CD
，
70
CDB
B
，
180
70
70
40
BCD
，
弧BD 的度数为40，
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故选：D ．
◆题型2 点与圆的位置关系
1．已知
O 的半径为10cm ，点A 为平面内一点，且
8cm
OA
，则点A 与
O 的位置关系是
（
）
A．点A 在
O 上
B．点A 在
O 内
C．点A 在
O 外
D．无法判断
【答案】B
【详解】
O 的半径
10cm
r
，点A 到圆心O的距离
8cm
OA
，
OA
r
．
点A 在
O 内．
2．如图，点B 是圆内一个定点，且点B 到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离
为8，则经过点B 的弦MN 的长度取值范围是（
）
A．4
8
MN
B．6
10
MN
C．4
6
MN
D．8
10
MN
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理、垂径定理、线段的最值问题，熟练掌握垂径定理和勾股
定理是解题的关键．当MN 经过O、B 时，线段MN 的长度最长，当MN
OB
时，线段MN
的长度最短，分别求解即可．
【详解】解：∵点B 到圆上最近一点的距离为2，到圆上最远一点距离为8，
∴经过点B 的弦MN 最大时，MN 是圆的直径，此时MN 的最大值为2
8
10
，
当MN
OB
时，线段MN 的长度最短，
如图，连接OM ，
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在Rt OBM 中，
90
MBO
，
1
10
5
2
OM
，
5
2
3
OB
，
∴
2
2
4
MB
OM
OB
，
∴
2
8
MN
MB
，
∴MN 的最小值为8，
∴8
10
MN
．
故选：D．
3. 圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，则该圆的半径是___________．
【答案】．2
【分析】本题考查了利用点与圆的位置关系求半径，根据圆外一点到圆上的点的最大距
离是10，最小距离是6，得出直径为10
6
4
，即可求出该圆的半径，
【详解】解：∵圆外一点到圆上的点的最大距离是10，最小距离是6，
∴10
6
2
2
，
故答案为：2．
◆题型3 垂径定理及其推论
1．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
，若
50
BOC
，则
BAD
的度数是（
）
A．35
B．30
C．25
D．20
【答案】C
【分析】连接OD ，先根据垂径定理得
50
BOD
BOC
，再根据圆周角定理求解即
可得．
【详解】解：如图，连接OD ，
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∵弦CD
AB
，
∴
50
BOD
BOC
，
由圆周角定理得：
1
25
2
BAD
BOD
2．已知⊙O 的直径为20，AB，CD 分别是⊙O 的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则
AB，CD 之间的距离是_____．
【答案】5 3
6
或5 3+6
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1 所示，过O 作OE
CD
，
交CD 于点E，交AB 于点F，连接OA，OC，由AB/ /CD ，得到OF
AB
，利用垂径定理
得到E 与F 分别为CD 与AB 的中点，在直角三角形AOF 中，利用勾股定理求出OF 的长，
在三角形COE 中，利用勾股定理求出OE 的长，由OE
OF
即可求出EF 的长；当两条弦位
于圆心O 两侧时，如图2 所示，同理由OE
OF
求出EF 的长即可．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O 一侧时，如图1 所示，
过O 作OE
AB
，交CD 于点E，交AB 于点F，连接OA，OC，
AB / /CD ，
OE
CD
，
∴F、E分别为AB、CD 的中点，
1
AF
BF
AB
8
2
，
1
CE
DE
CD
5
2
，
在Rt COE中，OC
10
，CE
5
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
= 10
5 =5 3
OE
OC
CE
，
在Rt AOF中，OA
10
，
8
AF
，
根据勾股定理得：
2
2
2
2
= 10
8 =6
OF
OA
AF
，
则
5 3
6
EF
OE
OF
；
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当两条弦位于圆心O 两侧时，如图2 所示，同理可得
5 3
6
EF
OE
OF
，
综上，弦AB 与CD 的距离为5 3
6
或5 3
6
，
故答案为：5 3
6
或5 3
6
．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理
是解本题的关键．
3．如图，在⊙O 中，弦AB 的长为4，圆心O到弦AB 的距离为2，则
AOC
的度数为______．
【答案】45
【分析】先根据垂径定理可得
1
2
2
AC
AB
，再根据等腰直角三角形的判定与性质即可
得．
【详解】解：由题意得：OC
AB
，
4
AB
，
1
2
2
AC
AB
，
2
OC
，
AC
OC
，
Rt AOC
是等腰直角三角形，
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45
AOC
，
故答案为：45．
【点睛】本题考查了垂径定理、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解
题关键．
4.下列语句中：①直径是弦；②平分弦的直径垂直于弦；③长度相等的弧是等弧；④经
过圆心的每一条直线都是圆的对称轴；⑤相等的圆心角所对的弧长相等．其中正确的序号
是______．
【答案】①④
【分析】本题考查了圆的基本概念，关键是掌握相关的圆的相关概念．
根据圆的基本性质，包括弦的定义、垂径定理、等弧的概念、圆的对称性以及弧长与圆
心角和半径的关系，判断各语句的正确性．
【详解】解：①直径是圆中最长的弦，正确；
②平分弦的直径垂直于弦，需弦非直径，否则不一定垂直，错误；
③等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，错误；
④圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是对称轴，正确；
⑤弧长由圆心角和半径共同决定，半径不等时相等的圆心角所对弧长不一定相等，错误．
故答案为①④．
5．如图①是某商家的充气拱门广告牌，图②是该广告牌的示意图，拱门可看作同心圆的
一部分，其中内跨度
8
AB
米，拱门内部分圆高度
3.2
CD
米，求该拱门内圆所在圆的半径．
【答案】4.1米
【分析】本题考查圆的知识，解题的关键是掌握垂径定理，勾股定理，进行解答，连接OB ，
设圆的半径为r ，
3.2
OD
r
米根据勾股定理，则
2
2
2
OB
OD
BD
，即可．
【详解】连接OB ，
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∵OC
AB
，
∴
1
4
2
AD
BD
AB
米，
设圆的半径为r ，
∴
3.2
OD
r
米，
在Rt BOD 中，
2
2
2
OB
OD
BD
，
∴
2
2
2
3.2
4
r
r
，解得：
4.1
r
，
∴
O 的半径为4.1米．
◆题型4 圆周角定理
1．下列说法正确的是（
）
A．顶点在圆周上的角叫做圆周角
B．两边都和圆相交的角叫做圆周角
C．等于圆心角一半的角叫做圆周角
D．顶点在圆上，且两边都与圆相交的角叫做圆周角
【答案】D
【分析】本题考查圆周角定义，熟记圆周角定义是解决问题的关键．
根据圆周角定义：顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，逐项验证即可
得到答案．
【详解】解：A、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错
误，不符合题意；
B、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
C、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法错误，不符合题意；
D、顶点在圆周上，且角两边与圆周相交的角叫做圆周角，选项原说法正确，符合题意；
故选：D．
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2．如图，A、B、C 是
O 上的点，若
60
AOB
，则
ACB
的度数为（
）
A．60
B．50
C．40
D．30
【答案】D
【分析】根据圆周角定理得到
1
2
ACB
AOB
，即可直接得出答案．
【详解】解：∵
60
AOB
，
∴
1
30
2
ACB
AOB
．
3．如图，AB 是
O 的直径，C ，D 是
O 上的两点，
25
CDB
，则
ABC
的度数为（
）
A．25
B．50
C．65
D．90
【答案】C
【分析】首先根据AB 是直径得出
90
ACB
，然后利用圆周角定理的推论得出
25
CAB
CDB
，最后利用直角三角形两锐角互余即可得出答案．
【详解】∵AB 是
O 的直径，
90
ACB
．
∵
CAB
和
CDB
都是BC 所对的圆周角，
∴
25
CAB
CDB
，
90
65
ABC
CAB
．
4．如图，四边形ABCD内接于
O ，点B 是劣弧AC 的中点，
70
ADC
，连接AC ，则
BAC
的度数为________．
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【答案】35
【分析】首先利用圆内接四边形对角互补求出
B
，然后利用等弧所对的圆周角相等求解．
【详解】解：∵四边形ABCD内接于
O ，
70
ADC
∴
180
110
B
D
∵点B 是劣弧AC 的中点
∴
1 180
35
2
A
C
B
◆题型5 弧长、扇形面积与圆锥侧面积
1．一个扇形的圆心角为60，扇形的面积为3π ，则扇形半径是______．
【答案】3 2
【分析】根据扇形面积公式列方程求解，舍去不符合题意的负根即可．
【详解】解：设扇形的半径为r ，
根据题意，得
2
60π
3π
360
r
，
则
2
18
r
解得
3 2
r
或
3 2
r
（不符合题意，舍去），
扇形的半径是3 2 ．
2．一个扇形的半径是3，面积为6，那么这个扇形的圆心角的度数是______．
【答案】．240
【分析】将已知的半径和面积代入扇形面积公式，即可求解得到圆心角．
【详解】解：设该扇形的圆心角为n，已知扇形半径
3
r ，面积
6
S
，
根据扇形面积公式
2
π
360
n r
S
扇形
，得
2
π 3
6π
360
n
，整理得9 π
2160
n
，解得：
240
n
，
即这个扇形的圆心角是240．
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3．已知扇形的半径长为9，扇形的圆心角的度数为120，则该扇形的面积是________．
【答案】27π
【分析】直接代入扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∵扇形的圆心角为120，其半径为9，
∴
2
120
1
π
9
π 81
27π
360
3
S
扇形
4．已知台钟的时针长9cm ，从上午6 点到上午10点，时针扫过的面积为________
2
cm ．
【答案】27
【分析】本题考查了扇形的面积计算及时钟角度问题的综合应用，根据时针转动的时间
求出扇形的圆心角是解题的关键．
时针扫过的面积为扇形面积，台钟的时针长9cm ，即扇形半径为9cm ，时针从上午6 点
到上午10点移动4 小时，时针4 小时转4
360
120
12
，即时针扫过的圆心角为120，利用
扇形面积公式即可求解．
【详解】解：时针扫过的面积即为扇形面积，台钟的时针长9cm ，即扇形半径为9cm ，
从上午6 点到10点，时针共走了10
6
4
小时，
时钟一圈为12小时，对应360，因此时针转过的圆心角为：
4
360
120
12
，
∴时针扫过的面积为
2
2
120
9
27 cm
360
．
故答案为：27．
5．如图，圆锥的母线长OA=6，底面圆的半径为3
2 ，一只小虫在圆线底面的点A 处绕圆锥
侧面一周又回到点A 处，则小虫所走的最短路程为___________（结果保留根号）
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【答案】6
2
【分析】利用圆锥的底面周长等于侧面展开图的弧长可得圆锥侧面展开图的圆心角，求
出侧面展开图中两点间的距离即为最短距离．
【详解】∵底面圆的半径为3
2 ，
∴圆锥的底面周长为2× 3
2 ＝3，
设圆锥的侧面展开图的圆心角为n．
∴
6
3
180
n
，
解得n＝90°，
如图，AA′的长就是小虫所走的最短路程，
∵∠O=90°，OA′=OA=6，
∴AA′＝
2
2
6
6
6 2
．
故答案为：6
2 ．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，考查圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几
何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．
试卷第16页，共38页
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.6．如图，已知圆锥的底面半径2cm ，母线长6cm
(1)圆锥的高OM
cm．侧面展开扇形BOC 的圆心角°
(2)求圆锥的全面积．
【答案】(1)4 2 ；120
(2)
2
16π cm
【分析】（1）利用勾股定理求高；设侧面展开扇形BOC 的圆心角为x，再根据扇形弧长
等于底面周长列式求解；
（2）分别求出圆锥底面面积和侧面积，再求和即可．
【详解】（1）解：由题可知
2
AM
BM
cm
，OM
AB
，
2
2
2
2
6
2
4 2
OM
OA
AM
cm
；
设侧面展开扇形BOC 的圆心角为x，则
π
6
π
,
180
30
x
x
BC
c m
，
又底面周长为
2π 2
4π cm
，
π
4π
30
x
，解得
120
x
，
则侧面展开扇形BOC 的圆心角为120；
（2）解：圆锥底面积为
2
2
π
2
4π cm
，
圆锥的侧面积为
2
π
π
2 6
12π
S
rl
cm
侧面
，
所以圆锥的全面积为
2
4π
12π
16π cm
．
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7．如图，水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm，截面中有水部分弓形的高为6cm，
求截面中有水部分弓形的面积．
【答案】144
36 3
3
【分析】本题考查的是垂径定理、勾股定理、扇形及三角形的面积，掌握相关结论解答
此题的关键．连接
,
OA OB ，作OE
AB
，由题意得：
12
6
6cm
OE
，
12cm
OA
OB
，
推出
2
2
30 ,
6 3cm
OBE
BE
OB
OE
，求出
2
12 3cm,
60
AB
BE
BOE
即可求
解；
【详解】解：连接
,
OA OB ，作OE
AB
，如图所示：
由题意得：
12
6
6cm
OE
，
12cm
OA
OB
，
∴
2
2
30 ,
6 3cm
OBE
BE
OB
OE
，
∴
2
12 3cm,
60
AB
BE
BOE
，
∴
2
120
AOB
BOE
，
∴
2
1
36 3cm
2
AOB
S
AB OE
V
，
2
2
120
144
12
cm
360
3
AOB
S
扇形
，
∴截面中有水部分弓形的面积
2
144
36 3 cm
3
AOB
AOB
S
S
扇形
试卷第18页，共38页
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8．如图，AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于点E，连结AC
BC
，
．
(1)求证：
ACO
BCD
；
(2)若
6
30
CD
A
，
，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)4π
【分析】本题主要考查了求扇形面积、垂径定理、圆周角定理，掌握扇形面积公式是解
题的关键．
（1）根据垂径定理得到BC
BD
，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据圆周角定理求出
BOC
，进而可得
AOC
，根据正弦的定义求出OC ，利用
扇形面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵AB 是
O 的直径，弦CD
AB
，
∴BC
BD
，
∴
A
BCD
，
∵OA
OC
，
∴
A
ACO
，
∴
ACO
BCD
；
（2）解：∵
30
A
，
∴
60
BOC
，
∴
120
AOC
，
∵AB 是
O 的直径，弦CD
AB
，
∴
1
3
2
CE
CD
，
试卷第19页，共38页
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在Rt
COE
△
中，
2 3
60
CE
CO
sin
，
∴扇形OAC （阴影部分）的面积
2
120
(2 3)
4
360
，
答：阴影部分的面积为4．
◆题型1 圆与三角形综合
1．如图，已知AB 是
O 的直径，点C 为
O 上一点，过点C 的切线交BA 延长线于点P ，
且PC
BC
．
(1)求证：AP
AC
；
(2)过点C 作CD
AB
∥
交
O 于点D ，若
8
AB
，求CD的长．
【答案】(1)证明：连接OC ，
∵点C 为
O 上一点，过点C 的切线交BA 延长线于点P ，
∴
90
OCP
，即
90
OCA
PCA
，
∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ACB
，
∴
90
OCA
BCO
，
∴
BCO
PCA
，
∵PC
BC
，
∴
P
B
，
试卷第20页，共38页
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∵OB
OC
，
∴
B
BCO
P
，
∴
P
PCA
，
∴AP
AC
；
(2) 4
【分析】（1）连接OC ，证明
90
ACB
，
BCO
PCA
，
P
B
，进一步可得
B
BCO
P
，可得
P
PCA
，可证明AP
AC
；
（2）连接OD ，证明ACO 与
COD
△
是等边三角形，即可得到答案．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接OD ，
∵
90
OCP
，
∴
90
P
POC
PCA
OCA
，
∵
P
PCA
，
∴
POC
OCA
，
∴AC
AO
CO
，
∴ACO 是等边三角形，
∴
60
AOC
，
∵CD
AB
∥
，
∴
60
OCD
AOC
，
∵
1
4
2
OC
OD
AB
，
∴
COD
△
是等边三角形，
∴
4
CD
CO
．
◆题型2 圆与四边形综合
1.如图，在矩形ABCD中，
6cm
AB
，
12cm
BC
，点P 从点A 出发沿AB 以1cm / s 的速
试卷第21页，共38页
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度向点B 移动；同时，点Q 从点B 出发沿BC 以2cm / s 的速度向点C 移动．
(1)几秒钟后
DPQ
△
的面积等于
2
28cm ；
(2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D 恰好落在以点Q 为圆心，PQ 为半径的
圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2 秒或4 秒
(2)存在，
6 13
18
秒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本
题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设运动x 秒钟后
DPQ
△
的面积为
2
28cm ，利用割补法将
DPQ
△
的面积用含x 的式
子表式出来，列方程，解出x 即可．
（2）PQ 为半径的圆正好经过点D 即为PQ
QD
，即
2
2
PQ
QD
，根据勾股定理将
2
PQ 、
2
QD 分别用x 表示出来，列方程求出x 的值即可．
【详解】（1）解：设运动x 秒钟后
DPQ
△
的面积为
2
28cm ，
则
cm
AP
x
，
6
cm
BP
x
，
2 cm
BQ
x
，
12
2
cm
CQ
x
，
ADP
CDQ
BPQ
DPQ
ABCD
S
S
S
S
S
矩形
，
1
1
1
28
2
2
2
AB BC
AD AP
CD CQ
BP BQ
，
1
1
1
72
12
6
2
6
12
2
28
2
2
2
x
x
x
x
，
2
6
8
0
x
x
，解得：
1
2
x
，
2
4
x
．
答：运动2 秒或4 秒后
DPQ
△
的面积为
2
28cm ．
（2）假设运动开始后第x 秒时，满足条件，则：QP
QD
，
∵
2
2
2
2
2
(6
)
(2 )
QP
PB
BQ
x
x
，
2
2
2
2
2
(12
2 )
6
QD
QC
CD
x
，
试卷第22页，共38页
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∴
2
2
2
2
(12
2 )
6
(6
)
(2 )
x
x
x
，
整理，得：
2
36
144
0
x
x
，解得：
18
6 13
x
，
∵0
6 13 18
6
，
∴运动开始后第
6 13
18
秒时，点D 恰好落在以点Q 为圆心，PQ 为半径的圆上．
◆题型3 圆中的最值问题
1．如图，在边长为6 的正方形ABCD中，E 、F 分别为边AB 、BC 的动点，且
4
EF
，
点M 为EF 的中点，点N 为边AD 上的一动点，则MN
CN
的最小值为______．
【答案】6 5
2
【分析】延长CD 到点G ，使GD
CD
，连接BM ，证得CN
MN
GN
MN
，当G ，
N ，M 三点共线时，MN
CN
的值最小，证得点M 的轨迹在以B 为圆心，2 为半径的圆弧
上，圆外一点G 到圆上一点M 距离的最小值
2
GM
GB
，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：如图，延长CD到点G ，使GD
CD
，连接BM ，
∵四边形ABCD是正方形，
∴
90
ADC
ABC
，
6
BC
CD
，
∵GD
CD
，
∴AD 是线段CG 的垂直平分线，
∴CN
GN
，
MN
CN
MN
GN
，
试卷第23页，共38页
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当G ，N ，M 三点共线时，MN
CN
的值最小，
∵
90
ABC
，点M 为EF 的中点，
4
EF
，
1
2
2
BM
EM
FM
EF
，
∴点M 的轨迹在以B 为圆心，2 为半径的圆弧上，
∴圆外一点G 到圆上一点M 距离的最小值为
2
GM
BG
BM
BG
，
6
CD
GD
，
12
CG
CD
GD
，
2
2
2
2
6
12
6 5
BG
BC
CG
，
MN
CN
的最小值是
2
6 5
2
BG
．
2．如图是一个圆锥与其侧面展开图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6．
(1)求这个圆锥的侧面展开图中
ABC
的度数；
(2)如果A 是底面圆周上的一点，从点A 拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到点A，求这根
绳子的最短长度．
【答案】(1)120
(2)这根绳子的最短长度为6 3
【分析】（1）结合侧面展开图是以6 为半径，4为弧长的扇形，由弧长公式求圆心角；
（2）在侧面展开图中，由两点之间线段最短得绳子的最短长度为AC 的距离．
本题考查圆锥的几何性质，勾股定理、垂直定理，属于基础题．
【详解】（1）解：设
ABC
的度数为n ，
底面圆的周长等于
6
2
2
180
n
，
解得
120
n
．
（2）解：连接AC ，过B 作BD
AC
于D ，
试卷第24页，共38页
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∴
2
CD
AD
AC
AD
，
，
90
BDA
∵由（1）得
120
n
∴
60
ABD
∵
90
BDA
则
30
DAB
由
6
AB
，
∴
3
BD
，
∴
2
2
6
3
3 3
AD
，
∴
2
6 3
AC
AD
，
即这根绳子的最短长度是6 3 ．
◆题型4 圆中的计算综合
1．如图是某影视城的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的相关数据．于
是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，
20cm
AB
CD
，
200cm
BC
，且AB 、CD与水平地面都是垂直的．根据以上数据，
请你帮助黄红同学计算出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？
【答案】520cm
试卷第25页，共38页
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【分析】首先根据圆切线的性质，得出OF
BC
，然后根据四边形ABCD是矩形得出
/ /
AD
BC ，进而得出OE
AD
，EF
AB
，再设半径为r，根据勾股定理，列出方程，即可
解得半径，进而得解.
【详解】设其切点为F，连OF ，交AD 于点E
∵BC 是
O 的切线
∴OF
BC
∵四边形ABCD是矩形
∴
/ /
AD
BC
∴OE
AD
，EF
AB
．
设
O 半径为r,
在Rt AOE
中，
100
2
2
AD
BC
AE
∴
20
OE
r
∵
2
2
2
AE
OE
OA
即
2
2
2
100
(
20)
r
r
∴
260
r
260
2
520(cm)
答：圆弧形门的最高点离地面的高度为520cm ．
一、选择题
1．如图，点A 、B 为
O 上两点，连接OA、OB ，分别以A 、B 为圆心，以大于1
2 AB 的长
为半径作弧，两弧交于点M ，作射线OM 交
O 于点C ，连接AC 、BC ，若
65
A
，则
AOB
的度数为（
）．
试卷第26页，共38页
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A．90
B．100
C．110
D．120
【答案】B
【分析】由作图可得OM 平分
AOB
，再根据OA
OC
，易得
65
ACO
，利用三角形
内角和定理求出
50
AOC
，即可得出结果．
【详解】解：由作图可得OM 平分
AOB
，
∴
2
AOB
AOC
，
∵OA
OC
，
65
A
，
∴
65
ACO
A
，
∴
180
50
AOC
A
ACO
，
∴
100
AOB
．
2．若
O 的半径为4cm ，点A 到圆心O的距离为5cm ，那么点A 与
O 的位置关系是（
）
A．点A 在圆外
B．点A 在圆上
C．点A 在圆内
D．不能确定
【答案】A
【分析】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d 与圆半径r 的大小关系，当
d
r
>
时点在圆外，当
d
r 时点在圆上，当d
r
时点在圆内；
【详解】
O 的半径为4cm ，点A 到圆心O的距离为5cm ，
5cm
4cm
d
r
，
点A 与
O 的位置关系是点A 在圆外．
3．如图，AB 为
O 的直径，C 、D 是
O 上两点，若
50
ABC
，则
D
的度数为（
）
试卷第27页，共38页
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A．30
B．40
C．50
D．60
【答案】B
【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：
90
ACB
，根据直角三角形的两个锐角
互余，可得：
40
A
，根据同弧所对的圆周角相等可得：
40
D
A
．
【详解】解：
AB 为
O 的直径，
90
ACB
，
50
ABC
，
90
40
A
ABC
，
BC
BC
，
40
D
A
．
4．如图，A 、B 、C 是
O 上的点，若
80
AOB
，则
ACB
的度数为（
）
A．80
B．50
C．40
D．160
【答案】C
【详解】解：∵, ,
A B C 是
O 上的点，且
80
AOB
，
∴
1
40
2
ACB
AOB
5．如图，
O 的直径
10m
AB
，弦CD
AB
于E，
8
CD
m ，则AE 的长为（
）
试卷第28页，共38页
学科网（北京）股份有限公司
A．9m
B．8m
C．7m
D．6m
【答案】B
【分析】连接OC ，易知
5m
OC
，由垂径定理得
4m
CE
，由勾股定理得
3m
OE
，
所以
5
3
8m
AE
．
【详解】解：连接OC ，
AB 是
O 的直径，弦CD
AB
于E，
8
CD
m ，
1
4m
2
CE
CD
，
在Rt
OEC
△
，
90
OEC
，
5m
OC
，
4m
CE
，
2
2
3m
OE
OC
CE
，
5
3
8m
AE
OA
OE
．
二、填空题
6．判定命题“如果
2
2
a
b
，那么a
b
”是假命题，只需要举一个反例，这个反例可以是
________．
【答案】
2
a
，
2
b （答案不唯一）
【分析】题中条件为
2
2
a
b
，结论为a
b
，则只需找出满足
2
2
a
b
且a
b
的一组,a b 即
可．
【详解】解：当
2
a
，
2
b 时，
2
22
4
a
，
2
2
2
4
b
，
满足
2
2
a
b
，但2
2
，不满足a
b
，
试卷第29页，共38页
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∴
2
a
，
2
b 可作为该命题的反例．
7．下列命题中，不正确的是________
①圆心角相等，所对的弧相等②平分弦的直径垂直于弦③长度相等的弧是等弧
④等弧所对的圆周角相等⑤同圆或等圆中，长度相等的弧所对的圆周角相等．
【答案】①②③
【详解】解：①只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧才相等，本命题缺少前提
条件，故①不正确；
②平分非直径的弦的直径垂直于弦，若被平分的弦是直径，两条直径互相平分但不一定
垂直，本命题缺少限制条件，故②不正确；
③能够完全重合的弧才是等弧，长度相等的弧不一定能完全重合，故③不正确；
④等弧可以完全重合，必在同圆或等圆中，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，
故④正确；
⑤同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，故
⑤正确．
综上所述，不正确的是①②③．
8．如图，A ，B ，C 是
O 上的点，OC
AB
，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，若
5
OA
，
则BC 的长为______．
【答案】5
【分析】连接OB ，可得OA
OB
，根据垂直平分线的性质可得OB
BC
，即可得出
5
BC
OA
．
【详解】解：如图，连接OB ，
试卷第30页，共38页
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∵A ，B ，C 是
O 上的点，
∴OA
OB
，
∵OC
AB
，垂足为点D ，且D 为OC 的中点，
∴AB 是OC 的垂直平分线，
∴OB
BC
，
∴
5
BC
OA
．
9．．已知图1、图2 中两个半圆的半径相等，
1
2
O
O
、
分别是两圆的圆心，图1 中的阴影部分
面积为
1S ，图2 中的阴影部分面积为
2S ，那么
1S 与
2S 之间的大小关系是
1S ______
2S ．
【答案】
【分析】设两个圆的半径都是r，则图1 中长方形的长为2r ，宽为r，图2 中三角形的底
为2r ，高为r，图1 中阴影部分的面积
1S 为长方形的面积减去半圆的面积，图2 中阴影部分
的面积
2S 为半圆的面积减去三角形的面积，再进行比较所得面积的大小．
【详解】解:设两个半圆的半径都是r，则图1 中长方形的长为2r ，宽为r，
2
1
1
2
2
r
r
S
r
2
2
1
2
2
r
r
2
1
2
2
r
2r
≈0.43
图2 中三角形的底为2r ，高为r，
2
2
1
1
2
2
2
r
S
r
r
2
2
1
2
r
r
2
1
1
2
r
2
0.57r
≈
∴
1
2
S
S
．
试卷第31页，共38页
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10．如图，已知点A ，B ，C 在
O 上，若
40
ACB
，则
AOB
______ 度．
【答案】．80
【分析】由圆周角定理即可得到答案．
【详解】解：∵AB
AB
，
∴
2
80
AOB
ACB
．
11．如图，OE
AB
于E，
16
AB
，
6
OE
，则
O 的半径为___________．
【答案】10
【分析】连接OB ，然后根据垂径定理及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接OB ，如图所示：
∵OE
AB
，
16
AB
，
∴
1
8
2
BE
AB
，
∴在Rt BEO 中，由勾股定理可得：
2
2
10
OB
BE
OE
，
试卷第32页，共38页
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即
O 的半径为10．
【答案】
三、解答题
12．文物修复师在修复破损文物时，经常通过几何推理还原其原貌．如图1，某修复师修复
一件破碎的古代瓷器束口盆（盆口原貌为圆形）时，仅凭一块碎片便能推算出其原始口径尺
寸．图2 是修复师根据碎片切面绘制的几何示意图：碎片边缘为圆弧AB ，设圆弧所在圆的
圆心为O，半径OC
AB
于D，连接OB ．已知
12cm
AB
，
2cm
CD
，求盆口半径OB 的
长度．
【答案】10cm
【分析】本题主要考查了垂径定理以及勾股定理，由垂径定理得出
试卷第33页，共38页
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1
6 cm
2
AD
BD
AB
，设这个盆口半径OB 的长为cm
r
，则
2 cm
OD
r
，再利用勾
股定理即可得出r．
【详解】解：由题意得：
12cm
AB
，OC
AB
，
∴
1
1 12
6 cm
2
2
AD
BD
AB
，
设这个盆口的半径OB 的长为cm
r
，则
2 cm
OD
r
，
在Rt BOD 中，
由勾股定理得：
2
2
2
6
2
r
r
，
解得：
10
r
，
答：这个盆口半径OB 的长为10cm ．
13．如图，在
O 中，BD
AC
，
A
D
．求证：
(1) AB
CD
；
(2) BE
CE
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧与弦之间的关系，全等三角形的性质与判定，
熟知圆的相关知识是解题的关键。
（1）可证明AB
CD
，则可证明AB
CD
；
（2）先证明
B
C
，再利用ASA 证明ABE
DCE
≌
，则可证明BE
CE
．
【详解】（1）证明：∵BD
AC
，
∴BD
AD
AC
AD
，
∴AB
CD
，
试卷第34页，共38页
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∴AB
CD
；
（2）证明：∵AD
AD
，
∴
B
C
，
又∵
A
D
，AB
CD
，
∴
)
(ASA
DCE
ABE
，
∴BE
CE
．
14．如图，点
,
,
,
A B C D 都在
O 上，AD
CB
．求证：
ABD
CDB
≌
△
△
．
【答案】证明见解析
【分析】本题主要考查同圆中等弦、同弧所对圆周角相等，以及三角形全等的判定定理；
利用AAS 即可证明ABD
CDB
≌
．
【详解】证明：点
,
,
,
A B C D 都在
O 上，
∵AD
CB
，
∴AD
CB
，
∴
ABD
CDB
，
同理：
A
C
，
在ABD 和CDB 中
ABD
CDB
A
C
AD
CB
，
∴
ABD
CDB AAS
≌
．
15．如图，在
O 中，弦AB 垂直平分半径OC ．
试卷第35页，共38页
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(1)求
C
的度数；
(2)若
O 的半径为r ，求弦AB 的长．
【答案】(1)60
(2) 3r
【分析】本题考查的是垂径定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌
握垂径定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键．
（1）由已知条件得出
1
1
2
2
OD
OC
OB
，证出
30
OBD
，得出
60
BOC
，证出
OBC
△
是等边三角形，即可得出结果；
（2）由垂径定理得出
1
2
BD
AB
，由勾股定理得出方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：
弦AB 垂直平分半径OC ．
90
BDO
，
1
1
2
2
OD
OC
OB
，
30
OBD
，
6
90
30
0
BOC
，
OB
OC
，
OBC
是等边三角形，
60
C
；
（2）解：
O 的半径为r ，
AB 垂直平分半径OC ，
1
2
BD
AB
，
1
2
OD
r
，
在Rt BOD 中，
2
2
2
OB
OD
BD
，
即
2
2
2
1
1
2
2
r
r
AB
，
解得：
3
AB
r
或
3
AB
r
（舍去），
试卷第36页，共38页
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弦AB 的长为3r ．
16．如图，在
O 中，直径AB 与弦CD 相交于点P，
40
CAB
，
66
APD
．
(1)求
B
的大小；
(2)已知圆心O 到BD 的距离为4，求AD 的长．
【答案】(1) 26
(2)8
【分析】（1）由同弧所对的圆周角相等求得
40
CAB
CDB
，根据三角形外角性质
求解即可；
（2）过点O 作OE
BD
于点E，则
4
OE
，根据垂径定理以及三角形中位线定理即可求
解．
【详解】（1）解：根据同弧所对的圆周角相等可得到
40
CAB
CDB
，
∵
66
APD
，
APD
B
CDB
，
∴
66
40
26
B
；
（2）解：过点O 作OE
BD
于点E，则圆心O 到BD 的距离
4
OE
，BE
DE
，
∵O 是AB 的中点，
∴OE 是ABD 的中位线，
∴
2
8
AD
OE
．
17．如图，AB 为
O 的直径，C ，D 为圆上的两点，OC
BD
∥
，OC 交AD 于点E ．
试卷第37页，共38页
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(1)求证：
AOC
COD
；
(2)若
16
AD
，
4
CE
，求
O 的半径．
【答案】(1)∵AB 是
O 的直径，
∴
90
ADB
．
又∵OC
BD ，
∴
90
AEO
ADB
，
即OC
AD
．
∴AC
CD
．
∴
AOC
COD
．
(2)10
【分析】（1）由直径所对的圆周角
ADB
为直角与
//
OC BD ，得OC 垂直于AD ，根据垂
径定理可得OC 平分弧AD ，进而可证对应圆心角
AOC
COD
．
（2）设圆O 半径为r，则OE 长度可表示为
4
r
；由垂径定理可知E 为AD 中点，得AE
长度为AD 的一半；在Rt OAE 中，根据勾股定理列关于r 的方程，求解即可得到半径．
【详解】（1）略
（2）解：设
O 的半径为r ，
∵
4
CE
，
∴
4
OE
OC
CE
r
．
∵
16
AD
，由（1）知，OC
AD
，
∴
1
8
2
AE
AD
．
在Rt AOE 中，由勾股定理
2
2
2
AE
OE
OA
，
代入得
2
2
2
8
(
4)
r
r
，
解得
10
r
．
因此，
O 的半径为10．
试卷第38页，共38页
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18．如图，ABC 内接于
O ，AB 是
O 的直径．
(1)尺规作图：过点O 作OD
BC
∥
交
O 于点D ．（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，设OD 交AC 于点M，求证：AM
CM
．
【答案】(1)如图，OD 即为所求：
(2)证明：
AB 是
O 的直径，
90
ACB
，
OD
BC
∥
，
90
AMO
ACB
，
OD
AC
，
AM
CM
．
【分析】（1）作
DOA
B
交
O 于点D ，根据平行线的判定可得OD
BC
∥
，则OD 即
为所求；
（2）由AB 是
O 的直径，得到
90
ACB
，再根据平行线的性质得到
90
AMO
ACB
，即OD
AC
，再根据垂径定理即可证明．
【详解】（1）略
（2）略
小学
初中
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