文档文本内容
专题02 三角形全等的基本判定方法
常考题型·精准突破
题型1 全等的性质和SAS 综合（高频）
题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合（高频）
题型3 全等的性质和SSS 综合（高频）
题型4 全等的性质和HL 综合（难）
综合攻坚·知能拔高
常考题型·精准突破
◆题型1 全等的性质和SAS 综合
1．
【答案】(1)证明：∵
=
AF
DC ，
∴AF
CF
DC
CF
-
=
-
，
即AC
DF
=
．
在ABC
V
和DEF
V
中：
AC
DF
A
D
AB
DE
Ð
Ð
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
(SAS)
ABC
DEF
V
V
≌
．
(2) BC
EF
=
，且BC
EF
∥
，证明如下：
由（1）得ABC
DEF
V
V
≌
，
∴BC
EF
=
，
ACB
DFE
Ð
Ð
=
．
∴
BCF
EFC
Ð
= Ð
，
∴BC
EF
∥
．
综上，BC
EF
=
，且BC
EF
∥
．
2．
【答案】(1)解：ABC
AEC
V
V
≌
，理由如下：
∵CA 平分
BCE
Ð
，
∴
ACB
ACE
Ð
= Ð
，
在ABC
V
和
AEC
△
中，
BC
EC
ACB
ACE
AC
AC
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABC
AEC
V
V
≌
．
（2）解：由（1）已得：ABC
AEC
V
V
≌
，
∴
BAC
EAC
Ð
= Ð
，
AEC
B
Ð
= Ð ，
∴
2
BAF
BAC
EAC
DAE
DAF
EAC
DAE
DAF
Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
+ Ð
，
∵
2
BAF
CAD
Ð
= Ð
，
CAD
EAC
DAE
Ð
= Ð
+ Ð
，
∴
2
2
EAC
DAE
DAF
EAC
DAE
Ð
+ Ð
+ Ð
=
Ð
+ Ð
，
∴
DAE
DAF
Ð
= Ð
，
∵
15
DAF
Ð
=
° ，
85
B
Ð
=
° ，
∴
15
DAE
Ð
=
°，
85
AEC
Ð
=
° ，
∴
85
15
70
ADE
AEC
DAE
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°．
3．
【答案】(1) AC
BD
=
，理由如下：
∵
AOB
COD
Ð
= Ð
，
∴
AOB
COB
COD
COB
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，∴
AOC
BOD
Ð
= Ð
，
在AOC
V
和BOD
V
中，
OA
OB
AOC
BOD
OC
OD
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴AC
BD
=
．
（2）解：由（1）可得，
AOC
BOD SAS
V
V
≌
，
∴
OAC
OBD
Ð
= Ð
，
在AOQ
V
和BPQ
V
中，
BQP
AQO
Ð
= Ð
，
OAQ
QBP
Ð
= Ð
，
∴
50
BPQ
AOQ
Ð
= Ð
=
°
∴
180
180
50
130
APD
BPQ
Ð
=
°- Ð
=
°-
° =
°．
◆题型2 全等的性质和ASA(AAS)综合
4．
【答案】(1)证明：∵
BAF
CAE
Ð
= Ð
，
∴
BAF
FAC
CAE
FAC
Ð
- Ð
= Ð
- Ð
，
∴
BAC
FAE
Ð
= Ð
，
∵AB
AD
=
，
B
D
Ð
= Ð
，
∴
ABC
ADE ASA
V
V
≌
，
∴BC
DE
=
．
（2）解：由（1）得
ABC
ADE
△
≌△
，
∴
35
D
B
Ð
= Ð
=
°
∵
78
GFD
AFB
Ð
= Ð
=
°
∴
180
67
DGB
GFD
D
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°
∵DE
AC
P
，
∴
67
ACG
DGB
Ð
= Ð
=
° ，
∴
67
35
32
CAB
ACG
B
Ð
= Ð
- Ð
=
°-
° =
°（三角形外角性质）
5．
【答案】(1)证明：∵CD是ABC
V
的AB 边上的高，EF
DC
^
，
∴
90
ADC
CFE
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
DAC
ACD
Ð
+ Ð
=
° ，
∵
90
ACE
Ð
=
°，
∴
90
FCE
ACD
Ð
+ Ð
=
°，
∴
FCE
DAC
Ð
= Ð
，
在ADC
V
和CFE
V
中，
90
ADC
CFE
DAC
FCE
AC
CE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ADC
CFE
△
≌△
；
(2)证明：由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，
∴CD
EF
=
，
∵CD
BD
=
，
∴BD
EF
=
，
在
BDH
△
和
EFH
△
中，
90
BDH
EFH
BHD
EHF
BD
EF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
BDH
EFH
V
V
≌
，
∴DH
FH
=
；
（3）解：由（1）可得ADC
CFE
V
V
≌
，
∴AD
CF
=
，CD
EF
=
，
由（2）可得DH
FH
=
，
∵BD
CD
=
，
4
DC =
，
∴
4
BD
CD
EF
=
=
=
，
∵
8
ABC
HCE
S
S
=
V
V
，
∴1
1
4
8
4
2
2
AB
CH
´
= ´
´ ，
∴
8
AB
CH
=
，
∵
4
AB
AD
BD
AD
CD
CF
CD
FH
CH
CD
DH
CH
=
+
=
+
=
+
=
-
+
=
-
+
，
∴
4
8
DH
CH
CH
-
+
=
，
∴
4
9
DH
CH
+
=
，
∴
4
10
DH
CH
CH
+
+
=
，
∴
4
10
CD
CH
+
=
，
∴4
4
10CH
+
=
，
∴
4
5
CH =
，
∴
32
8
5
AB
CH
=
=
．
6．
【答案】(1)解：AD
CF
=
，理由如下：
∵CE
CD
^
，EF
AC
^
，
90
A
Ð
=
°，
∴
90
DCE
CFE
A
Ð
= Ð
=
= Ð
°，
∴
90
ACD
ACE
Ð
+ Ð
=
° ，
90
FEC
ACE
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
ACD
FEC
Ð
= Ð
，
在ACD
V
和FEC
V
中，
90
A
CFE
ACD
FEC
CD
EC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AD
CF
=
．
（2）解：∵AB
AC
=
，
6
AB =
，
∴
6
AC =
，
∵
2
AD =
，
90
A
Ð
=
°，即AB
AC
^
，
∴
1
1
2 6
6
2
2
ACD
S
AD AC
=
×
=
´ ´
=
V
，
由（1）已证：ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AC
EF
=
，
2
AD
CF
=
=
，
∴AB
EF
=
，
4
AF
AC
CF
=
-
=
，
∵EF
AC
^
，
∴
90
EFM
Ð
=
° ，
在ABM
V
和
FEM
△
中，
90
A
EFM
AMB
FME
AB
FE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABM
FEM
V
V
≌
，
∴AM
FM
=
，
又∵
4
AM
FM
AF
+
=
=
，
∴
1
2
2
AM
FM
AF
=
=
=
，
∴
4
CM
CF
FM
=
+
=
，
∴
1
1
4 6
12
2
2
BCM
S
CM AB
=
×
=
´ ´
=
V
，
∵
BNC
△
的面积为
1S ，四边形ADNM 的面积为
2
S ，
∴
1
2
1
2
CMN
CMN
S
S
S
S
S
S
-
=
+
-
+
V
V
BCM
ACD
S
S
-
=
V
V
12
6
=
-
6
=
．
(3)解：点M 是线段BE 的中点，理由如下：
∵CE
CD
^
，EF
AC
^
，
90
BAC
Ð
=
° ，
∴
90
CE
C
D
F
AD
Ð
Ð
=
=
= Ð
° ，
∴
90
ACD
D
Ð
+ Ð
=
°，
90
ACD
ECF
Ð
+ Ð
=
°，
∴
D
ECF
Ð
= Ð
，
在ACD
V
和FEC
V
中，
90
CAD
F
D
ECF
CD
EC
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACD
FEC
V
V
≌
，
∴AC
EF
=
，
∵AB
AC
=
，
∴AB
EF
=
，
在ABM
V
和
FEM
△
中，
90
BAM
F
AMB
FME
AB
FE
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ABM
FEM
V
V
≌
，
∴BM
EM
=
，
即点M 是线段BE 的中点．
◆题型3 全等的性质和SSS 综合
7．
【答案】(1)
证明：∵AB
BC
CD
BC
+
=
+
，即AC
BD
=
，
在EAC
V
与FBD
V
中，
EA
FB
EC
FD
AC
BD
=
ì
ï
=
í
ï
=
î
，
∴
SSS
EAC
FBD
V
V
≌
，
∴
E
F
Ð
= Ð
；
（2）解：∵EAC
FBD
V
V
≌
，
40
A =
°
∠
，
80
D
Ð
=
° ，
∴
80
ECA
D
Ð
= Ð
=
°，
40
FBD
A
Ð
= Ð
=
°，
∴
180
180
40
80
60
BPC
FBD
ACE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
-
-
=
o
o
o
o ，
∴
60
EPF
BPC
Ð
= Ð
=
° ．
8．
【答案】(1)
证明：∵点A 、D 、C 、B 在同一条直线上，AD
BC
=
，
∴AC
BD
=
，
又∵AE
BF
=
，CE
DF
=
．
∴
SSS
ACE
BDF
V
V
≌
，
∴
EAC
FBD
Ð
Ð
=
，
∴AE
FB
P
(2)
证明：∵连接EF 交CD 于点G ．
∴
AGE
BGF
Ð
Ð
=
，
∵
EAC
FBD
Ð
Ð
=
，AE
BF
=
．
∴
AGE
BGF AAS
V
V
≌
，
∴AG
BG
=
，
∵AD
BC
=
∴AG
AD
BG
BC
-
=
-
，即：CG
DG
=
．
9．
【答案】(1) BF
DE
=
，
理由如下：
∵AF
BE
^
，
90
BAF
DAE
\Ð
= Ð
=
° ，
在
ABF
△
与ADE
V
中，AB
AD
=
，
BAF
DAE
AF
AE
Ð
= Ð
=
，
∴
ABF
ADE SAS
V
V
≌
BF
DE
\
=
；
（2）解：在ABC
V
与ADC
V
中，
,
,
,
AB
AD AC
AC BC
DC
=
=
=
∴
ABC
ADC SSS
V
V
≌
，
110
ABC
ADC
\Ð
= Ð
=
° ，
BAC
DAC
Ð
= Ð
，
1
45
2
BAC
DAC
BAF
Ð
= Ð
=
Ð
=
°，
180
25
ACD
ADC
DAC
\Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°．
◆题型4 全等的性质和HL 综合
10．
【答案】(1)证明：∵CF
BD
^
，
∴
90
CFB
CFD
Ð
= Ð
=
°，
在Rt CFD
V
和Rt CFB
V
中，
CF
CF
CD
CB
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt CFD
Rt CFB HL
V
V
≌
，
∴BF
DF
=
，即F 为BD 的中点；
(2)证明：∵
90 ,
BFC
CAB
CEA
BEF
Ð
= Ð
=
° Ð
= Ð
，
∴
ABD
ACE
Ð
= Ð
，
180
90
BAD
CAB
Ð
=
°- Ð
=
° ，
又∵
,
90
AB
AC
CAE
BAD
=
Ð
= Ð
=
°，
∴
CAE
BAD ASA
V
V
≌
，
∴CE
BD
=
，
由（1）知：F 为BD 的中点，
∴
2
CE
BD
BF
=
=
.
11．
【答案】(1)证明：∵
,
DE
AB DF
AC
^
^
，
∴
90
AED
AFD
Ð
= Ð
=
°，
∵AE
AF
=
，AD
AD
=
，
∴
,
Rt ADE
Rt ADF H L
V
V
≌
，
∴
DAE
DAF
Ð
= Ð
，
∴AD 平分
BAC
Ð
．
（2）解：∵ADE
ADF
V
V
≌
，
∴
3
DF
DE
=
=
，
∵
10,
AB
AC
+
=
∴
1
1
3
15
2
2
2
ABC
ABD
ADC
S
S
S
AB DE
AC DF
AB
AC
=
+
=
×
+
×
=
+
=
V
V
V
．
12．
【答案】(1)证明：∵在ABC
V
中，
90
ACB
Ð
=
°，DE
AB
^
于点E，
90
ACB
AED
AEF
\Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
在ADE
V
和ABC
V
中，
AED
ACB
DAE
BAC
AD
AB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
ADE
ABC AAS
V
V
≌
，
(2)证明：连接AF ，
由（1）得：ADE
ABC
V
V
≌
，
AE
AC
\
=
，
90
ACB
AEF
Ð
= Ð
=
°
Q
，
AEF
\V
和
ACF
△
是直角三角形，
在Rt AEF
V
和Rt
ACF
△
中，
AF
AF
AE
AC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt AEF
Rt ACF HL
V
V
≌
，
EF
FC
\
=
；
（3）解：由（1）得：ADE
ABC
V
V
≌
，
∴
2 1
3
DE
BC
BF
FC
=
=
+
=
+ = ，
3 1
4
DF
DE
EF
DE
CF
\
=
+
=
+
=
+ =
．
综合攻坚·知能拔高
一、单选题
1．C
2．C
3．C
4．C
二、填空题
5．50
6．25°/25 度
7．3
8．12
三、解答题
9．
【答案】（1）解：AC 平分
BAD
Ð
，理由如下：
在ABC
V
和ADC
V
中，
AB
AD
CB
CD
AC
AC
ì
ïí
ï
=
=
î
=
SSS
ABC
ADC
\V
V
≌
，
BAC
DAC
\Ð
= Ð
，
AC
\
平分
BAD
Ð
；
（2）解：在ABD
V
中，AB
AD
=
，AC 平分
BAD
Ð
，
AC
BD
\
^
，
\筝形ABCD 的面积为：1
6
24
2
AC
´
´
=
，
8
AC
\
= ．
10．
【答案】(1)见解析
(2)130°
【详解】（1）证明：
BE
FC
=
Q
BE
EC
FC
EC
\
+
=
+
即BC
FE
=
90
A
D
Ð
= Ð
=
°
Q
在Rt
ABC
△
和Rt DFE
V
中
AB
DF
BC
FE
=
ì
í
=
î
Rt
Rt
HL
ABC
DEF
\
V
V
≌
（2）解：∵
25
B
Ð
=
°，
90
A
Ð
=
°
∴
65
ACB
Ð
=
°
∵Rt
Rt
ABC
DEF
△
≌
△
∴
65
DEF
ACB
Ð
= Ð
=
°
∴
130
DEF
ACB
a
Ð
= Ð
+ Ð
=
°
11．
【答案】(1)证明：∵AD 是ABC
V
的中线，
∴BD
CD
=
，
∵BE
AD
^
，CF
AD
^
，
∴
90
BED
CFD
Ð
= Ð
=
°，
在BED
V
和CFD
V
中，
90
BED
CFD
BDE
CDF
BD
CD
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
∴
BED
CFD AAS
V
V
≌
，
∴DE
DF
=
．
（2）解：由（1）BED
CFD
V
V
≌
，
∴DE
DF
=
，BE
CF
=
，
∵BE
AD
^
，CF
AD
^
，
∴
90
BEG
CFA
Ð
= Ð
=
°，
∵
BGE
CAF
Ð
= Ð
，
∴
BEG
CFA AAS
V
V
≌
，
∴GE
AF
=
，
∵
2
DE =
，
∴
4
GE
DE
DF
FG
FG
=
+
+
=
+
，
∴AF
FG
AG
=
+
，
∴4
FG
FG
AG
+
=
+
，
∴
4
AG =
．
12．
【答案】(1)
COE
OBD
V
V
≌
解：
OB
OC
^
Q
，CE
OA
^
，BD
OA
^
，
90
ODB
CEO
BOC
\Ð
= Ð
= Ð
=
° ，
90
BOD
COE
\Ð
+ Ð
=
° ，
90
COE
C
Ð
+ Ð
=
°，
BOD
C
\Ð
= Ð
．
Q
90
ODB
CEO
Ð
= Ð
=
°，OB
OC
=
，
COE
OBD AAS
\V
V
≌
．
（2）解：
50cm
OA =
Q
，
10cm
AD =
，
50 10
40cm
OD
OA
AD
\
=
-
=
-
=
．
Q由（1）可知COE
OBD
V
V
≌
，
40cm
CE
OD
\
=
=
．
13．
【答案】(1)①见解析；②
70
CGE
Ð
=
°
(2) FG
BG
DF
=
+
，见解析
【详解】（1）解：①证明：∵
70
EAC
DAB
Ð
= Ð
=
°，
∴
DAB
BAE
BAE
EAC
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
，
即
DAE
BAC
Ð
= Ð
，
在ABC
V
与ADE
V
中，
AB
AD
DAE
BAC
AC
AE
=
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
SAS
ABC
ADE
V
V
≌
；
②解：∵ABC
ADE
V
V
≌
，
∴
C
E
Ð
= Ð
，
∵
AOC
GOE
Ð
= Ð
，
∴
180
180
70
CGE
E
GOE
C
AOC
CAE
Ð
=
°- Ð
- Ð
=
°- Ð
- Ð
= Ð
=
°，
故
70
CGE
Ð
=
° ．
（2）解：FG
BG
DF
=
+
，
理由：过点A 作AH
BC
^
于点H ，如图所示：
∴
90
AHC
AHB
Ð
= Ð
=
°，
∵AF
DE
^
，垂足为F ，
∴
90
AFE
AFD
Ð
= Ð
=
°，
∴
90
AHB
AFE
Ð
= Ð
=
°，
在ACH
V
和AFE
V
中，
90
AHB
AFE
C
E
AC
AE
Ð
= Ð
=
°
ì
ï
Ð
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
AAS
ACH
AFE
V
V
≌
，
∴AH
AF
=
，
∵AG
AG
=
，
∴
Rt
Rt
HL
AFG
AHG
V
V
≌
，
∴FG
HG
=
，
∵AD
AB
=
，AF
AH
=
，
∴
Rt
Rt
HL
AFD
AHB
V
V
≌
，
∴BH
DF
=
，
∴FG
HG
BG
BH
BG
DF
=
=
+
=
+
．
14．
【答案】（1）解：过点E 作EF
AD
∥
，如图所示：
∵AD
BC
P
，
∴AD
BC
EF
∥
∥
，
∴
2
30
0
DEF
C
E
D
C F
Ð
Ð
°
=
° Ð
=
=
Ð
=
,
，
∴
20
30
50
DEC
DEF
CEF
Ð
°
Ð
°+
°
= Ð
+
=
=
．
（2）解：
90
F
G
Ð
Ð
-
=
° ，
过程如下：
∵点F 是ADE
V
内角平分线交点，
∴1
1
2
2
ADE
FDE
AED
FED
Ð
Ð
= Ð
= Ð
,
,
∴
1
2
ADE
AED
FDE
FED
Ð
+ Ð
= Ð
+ Ð
∵
180
F
FDE
FED
Ð
+ Ð
+ Ð
=
° ，
180
ADE
AED
A
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
则
1
1
1
180
(
)
180
(180
)
90
2
2
2
F
ADE
AED
A
A
Ð
Ð
Ð
Ð
Ð
=
-
+
=
°-
°+
°
°-
=
延长BC 至点T ，如图所示：
∵点G 是BCE
V
外角平分线交点，
∴
1
1 180
2
2
GEC
AEC
BEC
Ð
=
Ð
=
°- Ð
，
1
1 180
2
2
ECG
ECT
BCE
Ð
=
Ð
=
°- Ð
∵
180
G
GEC
ECG
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
∴
180
G
GEC
ECG
Ð
=
°- Ð
+ Ð
∴
1
180
180
180
2
G
BEC
BCE
é
ù
Ð
=
°-
°- Ð
+
°- Ð
ë
û
1
180
180
180
2
BEC
BCE
=
°-
°- Ð
+
°- Ð
1
180
360
2
BEC
BCE
=
°-
°- Ð
- Ð
1
1
180
180
2
2
BEC
BCE
æ
ö
=
°-
°-
Ð
-
Ð
ç
÷
è
ø
1
1
180
180
2
2
BEC
BCE
=
°-
°+
Ð
+
Ð
1 (
)
2
BEC
BCE
Ð
Ð
=
+
∵
180
BEC
BCE
B
Ð
+ Ð
+ Ð
=
°
∴
180
BEC
BCE
B
Ð
Ð
+
=
°- Ð
则
1
1
180
90
2
2
G
B
B
Ð
=
°- Ð
=
°-
Ð
AD
BC
Q
P
，
180
A
B
°
\Ð + Ð
=
，
即1
1
90
2
2
A
B
Ð
Ð
=
°-
，
∵
1
90
2
F
A
Ð
Ð
=
°+
∴
1
1
90
(90
)
180
2
2
F
B
B
Ð
Ð
Ð
=
°+
°-
=
°-
，
故
1
1
(180
)
(90
)
90
2
2
F
G
B
B
Ð
Ð
Ð
Ð
°
°
°
-
=
-
-
-
=
．
(3)延长BF 至点G ，使得FG
FB
=
，如图所示：
∵点F 是CE 的中点，
∴EF
CF
=
∵
EFG
CFB FG
FB
Ð
= Ð
=
,
∴
SAS
EFG
CFB
V
V
≌
∴EG
BC
G
CBF
=
Ð
= Ð
,
，
∴EG
BC
P
，
∵AD
BC
P
，
∴AD
EG
P
，
∴
BEG
A
Ð
= Ð ，
∵AE
BC
=
，
∴AE
EG
=
，
∵AD
BE
=
，
∴
SAS
ADE
EBG
V
V
≌
，
∴
2
DE
BG
BF
=
=
．
15．
【答案】(1)
解：BE
CF
^
，证明：
∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
在Rt
ACF
△
和Rt
CBE
△
中，
CF
BE
AC
BC
=
ì
í
=
î
，
∴
Rt
Rt
HL
ACF
CBE
V
V
≌
，
∴
CBE
ACF
Ð
= Ð
，
又∵
90
ACF
FCB
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
90
CBE
FCB
Ð
+ Ð
=
°，
∴
180
90
CHB
CBE
FCB
Ð
=
°- Ð
+ Ð
=
° ，
∴BE
CF
^
；
(2)①
2
2
=
-
AF
m
n；
②如图为所求作；
2
2
AF
n
m
=
-
．
（2）①∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
∵CD
CF
^
，DM
AC
^
，
∴
90
DMC
DCF
°
Ð
= Ð
=
，
∴
90
DCA
ACF
Ð
+ Ð
=
o ，
∵
90
ACB
Ð
=
°
∴
90
FCB
ACF
Ð
+ Ð
=
° ，
∴
FCB
DCM
Ð
= Ð
，
∵l
CB
∥
，
∴
FCB
AFC
Ð
= Ð
，
∴
DCM
AFC
Ð
= Ð
，
在
DCM
△
和CAF
V
中，
90
DMC
CAF
DCM
AFC
DC
CF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），
∴DM
AC
=
，AF
MC
=
，
∵AC
CB
=
，
∴DM
CB
=
，
在DMG
V
和
BCG
△
中，
90
DGM
CGB
DMG
GCB
DM
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），
∴MG
CG
=
，
∵AC
m
=
，AG
n
=
，
∴
=
=
-
=
-
MG
CG
AC
AG
m
n，
∴
2
2
2
2
AF
MC
CG
m
n
m
n
=
=
=
-
=
-
；
②∵
90
ACB
Ð
=
°，l
CB
∥
，
∴
90
CAF
Ð
=
°，
∵CD
CF
^
，DM
AC
^
，
∴
90
DMC
DCF
°
Ð
= Ð
=
，
∴
90
DCM
ACF
Ð
+ Ð
=
o ，
90
DCM
CDM
Ð
+Ð
=
°，
∴
ACF
CDM
Ð
= Ð
，
在
DCM
△
和
ACF
△
中，
90
DMC
CAF
CDM
ACF
DC
CF
Ð
= Ð
=
°
ì
ïÐ
= Ð
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMC
CAF
V
V
≌
），
∴DM
AC
=
，AF
MC
=
，
∵AC
CB
=
，
∴DM
CB
=
，
在DMG
V
和
BCG
△
中，
90
DGM
CGB
DMG
GCB
DM
CB
Ð
= Ð
ì
ïÐ
= Ð
=
°
í
ï
=
î
，
∴
(AAS
DMG
BCG
V
V
≌
），
∴MG
CG
=
，
∵AC
m
=
，AG
n
=
，
∴
=
=
-
=
-
MG
CG
AG
AC
n
m，
∴
2
2
2
2
AF
MC
CG
n
m
n
m
=
=
=
-
=
-
．
