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… 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________
2026-2027 学年九年级上册数学单元自测(广东专用)
第二十六章 二次函数
建议用时：120 分钟，满分：120 分
一、选择题（本大题共10 小题，每小题3 分，共30 分）
1．下列函数中，二次函数是（ ）
A．y＝﹣4x+5
B．y＝x（2x﹣3） C．y＝ax2+bx+c
D．
2．对于抛物线
，以下说法正确的是（ ）
A．开口向下
B．对称轴为直线
C．顶点坐标为
D．当
时，
随
的增大而减小
3．在同一坐标系中，画函数
、
、
的图象，它们共同特点是（ ）
A．开口向上
B．都是关于
轴对称的抛物线，且
随
的增大而增大
C．开口大小相同
D．都关于
轴对称的抛物线
4．已知抛物线
过原点，你认为c 的值应为（ ）
A．
B．0
C．
D．
5．函数
与
在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外
用栅栏围成，栅栏总长度为
，门宽为
．若饲养室长为
，占地面积为
，则
关于
的函数表
达式为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．若点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+a 上的三点，则y1，y2，y3 的大小关
系为（ ）
A．y3＞y1＞y2
B．y1＞y3＞y2
C．y3＞y2＞y1
D．y1＞y2＞y3
8．已知抛物线y＝x2－x－1 与x 轴的一个交点的坐标为(m，0)，则代数式m2－m＋2019 的值为( )
A．2015
B．2016
C．2019
D．2020
9．一次函数
与二次函数
的图象如图所示，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
或
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像的一部分，给出下列命题：①abc＞0；②b=-a；③9a-3b+c=0；
④m（am+b）≥a-b（m 为任意实数）；⑤4ac-b2＜0，其中正确的命题有（ ）
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
二、填空题（本大题共5 小题，每小题3 分，共15 分）
11．已知函数
，若它是二次函数，则函数解析式为___________．
12．将抛物线C1：y＝x2﹣4x+1 先向左平移3 个单位，再向下平移2 个单位得到将抛物线C2，则抛物线C2
的解析式为：_______________．
13．如已知二次函数
，当
时，y 的取值范围为_____________．
14．在平面直角坐标系中，若抛物线
与
轴有两个交点，则
的取值范围是__________．
15．在“弘扬科学家精神，共筑科技强国梦”为主题的物地学科节中，格格同学设计制作了“火箭”升空
实验装置，已知该“火箭”的升空高度（米）与飞行时间（秒）满足函数表达式
，则“火
箭”升空的最大高度为______米．
三、解答题（一）（本大题共3 小题，每小题8 分，共24 分）
16．已知二次函数
．
(1)求该函数图象的对称轴、及顶点坐标；
(2)当
为何值时，
随
的增大而增大．
17．已知二次函数的图象顶点坐标是
，且经过
．
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此
卷
只
装
订
不
密
封
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○……………… 线………………○………………
(1)求这个二次函数的表达式；
(2)判断点
是否在这条抛物线的图象上．
18. 某县为促进经济发展从马来西亚引进一种高档水果，某商场经销这种水果，原价每千克50 元，为了减
少产生水果烂损进行降价促销，连续两次降价后每千克32 元，且平均每次下降的百分率相同．
(1)求平均每次下降的百分率；
(2)若每千克盈利10 元，每天可售出500 千克，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，
经市场调查发现，若每千克每涨价1 元，日销售量就减少20 千克，那么每千克应涨价多少元该商场每天
盈利最多？最多是多少元？
四、解答题（二）（本大题共3 小题，每小题9 分，共27 分）
19．如图是乒乓球发球器某次发球过程的部分示意图，已知球台
的长约为
，球网
在球台
的
中点处（点A 是
的中点），球网
的高度约为
，发球点的高度
为
，当乒乓球到
的
距离为
时，乒乓球离球台
的最大高度是
，
，
．设乒乓球距离发球点C 的水
平距离为
，乒乓球距离球台
的竖直高度为
，以
所在直线为x 轴，
所在直线为y 轴建
立如图所示的平面直角坐标系，乒乓球的运动轨迹可视为一条抛物线．
(1)求乒乓球运动轨迹所在抛物线的函数表达式；
(2)请你判断乒乓球发球器此次发出的球是否有效（球是否越过球网
并落在球台
上），并说明理由．
20．露营已成为一种休闲时尚活动，各式帐篷成为户外活动的必要装备．其中抛物线型帐篷（图1）支架
简单，携带方便，适合一般的休闲旅行使用．
【建立模型】如图2，该款帐篷搭建时张开的宽度
，顶部高度
．请在图2 中建立合适的平
面直角坐标系，并求帐篷支架对应的抛物线函数关系式；
【运用模型】每款帐篷张开时的宽度和顶部高度会影响容纳的椅子数量，图3 为一张椅子摆入该款帐篷后
的简易视图，椅子高度
，宽度
，若在帐篷内沿AB 方向摆放一排此款椅子，最多可摆放
多少张椅子？
21．如图，已知二次函数的图像经过点
、
和原点O．P 为二次函数图像上的一个动点，过点
P 作x 轴的垂线，垂足为
，并与直线OA 交于点C．
(1)直接写出二次函数的解析式： ；当点P 在直线OA 的上方时，求线段PC 的最大值；
(2)当
时，探索是否存在点P，使得
为等腰三角形，如果存在，求出P 的坐标；如果不存在，请
说明理由．
五、解答题（三）（本大题共2 小题，每小题12 分，共24 分）
22．定义：在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标等于它的横坐标的二倍，那么称该点为“二倍点”．如
，
，
都是“二倍点”．
(1)下列函数图象上只有一个“二倍点”的是_____（填序号）；
①
；②
；③
(2)已知二次函数
（m，n 均为常数）的图象与直线
只有一个交点，且该交点是“二倍
点”．
①求二次函数的表达式．
②是否存在一个常数t，使得当
时，二次函数的最小值恰好等于
？若存在，请直接写出t 的
值；若不存在，请说明理由．
23．【生活情境】
为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中一个长
，宽
的长方形水池
进
行加长改造（如图①，改造后的水池
仍为长方形，以下简称水池1）．同时，再建造一个周长为
的矩形水池
（如图②，以下简称水池2）．
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【建立模型】
如果设水池
的边
加长长度
为
（
）（
），加长后水池1 的总面积为
（
），则
关
于
的函数解析式为：
（
）；设水池2 的边
的长为（
）（
），面积为
（
），
则
关于
的函数解析式为：
（
），上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如
图③．
【问题解决】
(1)水池2 面积的最大值是
；当水池1 的面积大于水池2 的面积时，的取值范围是 ；
(2)在
范围内，求两个水池面积差的最大值和此时
的值；
(3)假设水池
的边
的长度为（
），其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水
池3 的总面积
（
）关于（
）（
）的函数解析式为：
（
）．若水池3 与水池2 的
面积相等时，
（
）有唯一值，直接写出
的值．
