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第二十八章旋转全章高频重点题型突破
基础拿分：高频题型归纳
题型1 旋转的概念与旋转角
题型2 旋转的性质（对应边、对应角）
题型3 中心对称与关于原点对称的坐标
题型4 旋转作图
核心提升：重难题型归纳
题型1 旋转与三角形综合
题型2 旋转与四边形综合
题型3 旋转中的线段最值
题型4 旋转中的面积/路径问题
题型专练：高频重难特训
◆题型1 旋转的概念与旋转角
1.如图，ABC 经过旋转后得到DEC ．
（1）旋转中心是点______，旋转角是______；
（2）点A 的对应点是点______；
（3）线段AC 的对应线段是______；
ABC
的对应角是______．
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【答案】
C
ACD
（或
BCE
）
D
线段DC
DEC
【分析】把一个平面图形绕平面内某一定点转动一个角度，叫做图形的旋转，这个定点叫做旋转中心，
转动的角叫做旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，旋转前后的图形全等．
【详解】解：（1）∵ABC 经过旋转后得到DEC ，
∴旋转中心是点C，旋转角是
ACD
（或
BCE
）；
（2）点A 的对应点是点D；
（3）线段AC 的对应线段是线段DC ；
ABC
的对应角是
DEC
．
2.如图，将Rt
ABC
△
绕着直角顶点A 旋转得到Rt
ADE
△
，DE 经过点B ，
34
C
，则旋转角的度数为（
）
A．34
B．56
C．68
D．78
【答案】．C
【分析】根据旋转的性质，三角形内角和，求得
DAB
的度数即可；
【详解】解：
Rt
,
90
ABC
BAC
，
34
C
，
90
56
ABC
C
，
根据旋转的性质，得
DAB
CAE
，AD
AB
，
E
C
，
ABD
ADB
，
设
DAB
CAE
，
180
1
90
2
2
DAB
ABD
ADB
，
180
2
CAE
C
，
180
1
CBE
E
，且
2
1
，
CBE
CAE
，
180
ABD
ABC
CBE
，
1
90
56
180
2
，
1
34
2
，
解得
68
，
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故
68
DAB
CAE
；
3．在平面直角坐标系中，点
1,2
A
绕点P 旋转后得到点
5, 2
B
，则旋转中心P 的坐标为（
）
A．
4,3
B．
5,3
C．
6,3
D．
7,3
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，旋转中心到旋转前后对应点的距离相等，因此旋转中心P 在线段AB 的垂直
平分线上，求出AB 的垂直平分线方程，即可结合选项得到P 的坐标.
【详解】∵旋转中心到对应点的距离相等，即PA
PB
，
∴点P 在线段AB 的垂直平分线上，
已知
1,2
A
，
5, 2
B
，
∴AB 的中点坐标：横坐标为1 5
3
2
，纵坐标为
2
2
0
2
，即AB 中点为
3,0
，
设点
,
P m n ，则
2
2
2
1
2
PA
m
n
，
2
2
2
5
2
PB
m
n
，
∵PA
PB
，
∴
2
2
2
2
1
2
5
2
m
n
m
n
,
解得：
3
m
n
，则点P 的坐标为
3,
n
n
，
设线段AB 的垂直平分线解析式为
0
y
kx
b k
，
将点
3,
P n
n
与
3,0 代入解析式中，
得
3
0
3
n
k n
b
k
b
，解得
1
3
k
b
，
∴线段AB 的垂直平分线解析式为
3
y
x
，
将各选项的点代入，只有C
6,3 满足．
4.如图所示，直角AOB 顺时针旋转后与
COD
△
重合，若
127
AOD
，则旋转角度是________．
【答案】37/37 度
【详解】解：由图可知，OB
OD
、
是对应边，
BOD
是旋转角，
所以，旋转角
127
90
37
BOD
AOD
AOB
．
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◆题型2 旋转的性质（对应边、对应角）
5. 一个图形经过旋转有以下说法，其中正确的说法是（
）．
①对应线段平行；②对应线段相等；③对应角相等；④图形的形状和大小都没有发生变化．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】D
【详解】解：∵旋转是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小，
∴旋转后对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小都不发生变化，即②③④正确；
旋转后对应线段不一定平行，可能相交，因此①错误；
故正确的说法是②③④，选D
6．如图，将ABC 绕顶点C 旋转得到
A B C
△
，且点B 刚好落在A B
上．若
30
A
，
40
BCA
，则
A BA
等于（
）
A．35
B．40
C．95
D．65
【答案】B
【分析】由旋转得
30
A
A
，BC
B C
，
ABC
B
，再结合等腰三角形和三角形外角的性质即
可解答．
【详解】解：∵ABC 绕顶点C 旋转得到
A B C
△
，
∴
30
A
A
，BC
B C
，
ABC
B
，
∴
B
BC
B
，
又∵
40
BCA
，
B BC
是A BC
的外角，
∴
70
B
A
C
BCA
B
，
∴
70
ABC
B BC
，
∴
180
40
A BA
ABC
B BC
．
7．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
B
，
6
AB
，
8
BC ，将ABC 绕点A 逆时针旋转90得
AB C
△
，连接B C
，
则AB C
的周长为（
）
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A．16
2 10
B．18
C．18
2 10
D．24
【答案】A
【分析】利用勾股定理求出AC 的长，根据旋转的性质得到
6
A
B
B
A
及
90
BAB
，进而证得
AB
BC
∥
，通过构造直角三角形求出B C
的长，最后计算周长即可．
【详解】解：在Rt
ABC
△
中，
90
B
，
6
AB
，
8
BC
，
∴
2
2
2
2
6
8
10
AC
AB
BC
，
∵将ABC 绕点A 逆时针旋转90得
AB C
△
，
∴
6
A
B
B
A
，
90
BAB
，
∵
90
ABC
，
∴
180
ABC
BAB
，
∴AB
BC
∥
，
过点B作B H
BC
于点H ，则四边形ABHB 为矩形，
∴
6
B H
AB
，
6
BH
AB
，
∴
8
6
2
HC
BC
BH
，
在Rt
B HC
△
中，
2
2
2
2
6
2
2 10
B C
B H
HC
，
∴AB C
的周长为
6 10
2 10
16
2 10
AB
AC
B C
．
8.如图,△ABC 与△DEF 关于点O 成中心对称,则线段BC 与EF 的关系是___________.
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【答案】平行且相等
【分析】根据△ABC 与△DEF 关于O 点成中心对称，得出对应边之间的关系即可得出答案．
【详解】∵△ABC 与△DEF 关于O 点成中心对称.
∴线段BC 与EF 的关系是：平行且相等.
故答案为平行且相等.
【点睛】考查了中心对称的性质，熟记中心对称对应边的关系是解决问题的关键.
◆题型3 旋转的性质（对应边、对应角）
9.在平面直角坐标系中，点
5,6
A
关于原点对称的点的坐标是（
）
A．
5, 6
B．
5, 6
C．
5,6
D．
6, 5
【答案】B
【分析】关于原点对称的两个点，横纵坐标均互为相反数即可得到答案．
【详解】解：∵在平面直角坐标系中，关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，
已知点A 的坐标为
5,6
，5
的相反数为5，6 的相反数为6
，
∴点A 关于原点对称的点的坐标为
5, 6
10.某智能手机包含如下四个标志，这些图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】解：选项A：既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
选项B：是轴对称图形，不符合题意；
选项C：是轴对称图形，不符合题意；
选项D：是中心对称图形，不符合题意．
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11.设点A 的坐标为
,a b ，将点A 绕坐标原点旋转180得到点A，则点A的坐标为（
）
A．
,a b
B．
,a
b
C．
,a
b
D．
,a b
【答案】C
【分析】根据题意，点A 和点A关于原点中心对称，由点A 坐标求出点A的坐标即可．
【详解】解：∵点A是点A 绕坐标原点旋转180得到的，
∴点A 与点A关于原点中心对称，
∵点A 的坐标为
,a b ，
∴点A的坐标为
,a
b
．
◆题型4 旋转作图
12.如图，在平面直角坐标系中，ABC 的顶点
3,3
A
，
1,1
B
，
4,2
C
．
(1)将ABC 向x 轴负半轴方向平移4 个单位得到
1
1
1
A B C
△
，画出图形并直接写出点
1A 的坐标；
(2)以原点O为旋转中心，将ABC 顺时针旋转90后得到
2
2
2
A B C
△
，画出图形并直接写出点
2
A 的坐标．
【详解】(1)如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求：
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点
1A 的坐标为
1,3
；
(2)如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求，点
2
A 的坐标为
3, 3
．
13.如图，在10 10
的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1 个单位长度，ABC 的三个顶点均在小方
格的格点上．
(1)画出ABC 向下平移4 个单位长度后的
1
1
1
A B C
△
；
(2)画出ABC 关于点O成中心对称的图形
2
2
2
A B C
△
；
(3)画出ABC 绕点O顺时针旋转90后的
3
3
3
A B C
△
．
【分析】（1）将ABC 三个顶点向下平移4 个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可；
（2）作出A、B、C 关于点O对称的对应点，然后顺次连接即可；
（3）将点A，B，C 绕点O 顺时针旋转90得到点
3A ，
3
B ，
3
C ，再首尾顺次连接得出图形．
【详解】(1)如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求；
(2)如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求；
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(3)如图，
3
3
3
A B C
△
即为所求；
◆题型1 旋转与三角形综合
1．已知ABC 是等腰直角三角形，
90
ACB
，直线m 是过点C 的任一条直线，AE
m
于点E，BD
m
于点D；
(1)如图（1），求证：AE
DE
BD
；
(2)当直线m 绕点C 旋转到如图（2）时，上述（1）中结论是否还成立？若不成立，请写出AE 与DE 和BD
的正确数量关系，并加以证明．
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(3)当直线m 绕点C 旋转到如图（3）时，请直接写出AE 与DE 和BD 的数量关系．
【分析】（1）先利用同角的余角相等判断出
CAE
BCD
，进而得出
(AAS)
ACE
CBD
≌
，最后用线
段的和差即可得出结论；
（2）先利用同角的余角相等判断出
CAE
BCD
，进而得出
(AAS)
ACE
CBD
≌
，最后用线段的和差
即可得出结论；
（3）先利用同角的余角相等判断出
CAE
BCD
，进而得出
(AAS)
ACE
CBD
≌
，最后用线段的和差
即可得出结论．
【详解】（1）证明：
90
ACB
，
90
ACE
BCD
，
,
AE
m BD
m
，
90
AEC
BDC
，
90
ACE
CAE
，
CAE
BCD
，
ABC 是等腰直角三角形，
90
ACB
，
AC
BC
，
(AAS)
ACE
CBD
≌
，
,
AE
CD CE
BD
，
CD
DE
CE
DE
BD
，
AE
DE
BD
；
（2）（1）中结论不成立，新结论为：AE
BD
DE
证明：
90
ACB
，
90
ACE
BCD
，
,
AE
m BD
m
，
90
AEC
BDC
，
90
ACE
CAE
，
CAE
BCD
，
ABC 是等腰直角三角形，
90
ACB
，
AC
BC
，
(AAS)
ACE
CBD
≌
，
,
AE
CD CE
BD
，
CD
CE
DE
BD
DE
，
AE
BD
DE
；
（3）证明：
90
ACB
，
90
ACE
BCD
，
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,
AE
m BD
m
，
90
AEC
BDC
，
90
ACE
CAE
，
CAE
BCD
，
ABC 是等腰直角三角形，
90
ACB
，
AC
BC
，
(AAS)
ACE
CBD
≌
，
,
AE
CD CE
BD
，
CD
CE
DE
BD
DE
，
AE
BD
DE
．
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，同角的余角相等，掌握“三垂线模
型”是解题的关键．
◆题型2 旋转与四边形综合
1．在平面直角坐标系中，四边形OABC 是矩形，点
0,0
O
，点
6,0
A
，点
6,8
B
．以点O 为中心，顺
时针旋转矩形OABC，得到矩形ODEF，点A，B，C 的对应点分别为D，E，F，记旋转角为
0
90
．
(1)如图①，当
30
时，求点D 的坐标；
(2)如图②，当点E 落在OC 的延长线上时，求点D 的坐标；
(3)当点D 落在线段AC 上时，求点E 的坐标（直接写出结果即可）．
【答案】．(1)
3 3,3
D
(2)
4.8,3.6
D
(3)点E 的坐标为
6,8
【分析】（1）过点D 作DM⊥x 轴于M，由旋转的性质得出OD＝AO＝6，α＝∠MOD＝30°，由直角三
角形的性质得DM＝3，
3 3
OM
即可得出点D 的坐标；
（2）过点D 作DN⊥OA 于N，可得△DON∽△EOF，可得对应边成比例即可求出DN＝3.6，ON＝4.8
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即可得出点D 的坐标；
（3）连接AC,OE，CE 作EG⊥x 轴于G，可证出AC∥OE，四边形OACE 是平行四边形，得出
OA=CE=OG=6 ,GE=OC=8，即可得出答案．
【详解】（1）如图，过点D 作DM⊥OA 于M
由旋转可知：OD＝OA＝6，∠DOM＝30°
∴DM＝3，
3 3
OM
，
∴
3 3,3
D
（2）如图，过点D 作DN⊥OA 于N
则有：∠DNO＝∠F＝90°
又∵
DON
EOF
，
∴△DON∽△EOF，
∴ND
OD
ON
EF
OE
OF
∵EF＝OD＝6，OE＝10，OF＝8，
∴DN＝3.6，ON＝4.8
∴
4.8,3.6
D
（3）连接AC,OE，OB,CE 作EG⊥x 轴于G，如图所示：
由旋转的性质得：∠AOB＝∠DOE，OD＝AO，OB=OE
∵四边形OABC 是矩形
∴AC=OB，∠AOB＝∠CAO，
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∵OD＝AO
∴∠DAO＝∠ADO，
∴∠DOE＝∠ADO，
∴AC∥OE，
∵AC=OB，OB=OE
∴AC=OE
∴四边形OACE 是平行四边形
∴OA=CE=OG=6 ,GE=OC=8
∴点E 的坐标为（6，8）．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、平行四边形的判定与
性质、旋转变换的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，
属于中考压轴题．
◆题型3 旋转中的线段最值
1.如图①，在平行四边形ABCD 中，AB＝5cm，BC＝2cm，∠BCD＝120°，CE 平分∠BCD 交AB 于点
E，点P 从A 点出发，沿AB 方向以1cm/s 的速度运动，连接CP，将PCE 绕点C 逆时针旋转60°，
使CE 与CB 重合，得到
QCB
△
，连接PQ．
(1)求证：PCQ 是等边三角形；
(2)如图②，当点P 在线段EB 上运动时，PBQ 的周长是否存在最小值？若存在，求出PBQ 周长的最
小值；若不存在，请说明理由；
【答案】(1)见解析
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(2)（2＋3 ）cm．
【分析】（1）根据旋转的性质，证明△PCE≌△QCB，然后根据全等三角形的性质和等边三角形的判定
证明即可；
（2）利用平行四边形的性质证得△BCE 为等边三角形，然后根据全等三角形的性质得到△PBQ 的周长
为2+CP，然后垂线段最短可由直角三角形的性质求解即可；
【详解】（1）证明：∵PCE 绕点C 逆时针旋转60°，使CE 与CB 重合，得到
QCB
△
，
∴△PCE≌△QCB，
∴CP=CQ，∠PCE =∠QCB，
∴△CPQ 是等腰三角形，
∵∠BCD=120°，CE 平分∠BCD，
∠DCE＝∠BCE＝
1
2 ∠BCD＝60°，
∴∠PCQ=∠PCE＋∠ECQ＝∠BCQ＋∠ECQ＝∠BCE＝
1
2 ∠BCD＝60°，
即∠PCQ＝60°，
∴△PCQ 为等边三角形.
（2）存在
∵CE 平分∠BCD，
∴∠BCE=60，
∵在平行四边形ABCD 中，
∴AB CD，
∴∠ABC=180°﹣120°=60°，
∴△BCE 为等边三角形，
∴BE=CB=2cm，∠CBE＝60°，
∵PCE 绕点C 逆时针旋转60°，使CE 与CB 重合，得到
QCB
△
，
∴△PCE≌△QCB，
∴EP=BQ，
∴△PBQ 的周长＝PB＋BQ＋PQ=PB+EP+PQ=BE+PQ=2+CP，
∴CP⊥AB 时，△PBQ 周长最小，
当CP⊥AB 时，∠CPB＝90°，
∴∠BCP＝180°－∠CPB－∠CBE＝30°，
∴PB＝1
2 BC＝1cm，
∴CP＝
2
2
3
BC
PB
cm，
∴△PBQ 周长最小为（2＋3 ）cm．
【点睛】此题主要考查了旋转图形变化的应用、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、全等三
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角形的判定与性质、勾股定理、30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关性质是解题的关键．
◆题型4 旋转中的面积/路径问题
1.把两个等腰直角三角形ABC 和ADE 按图1所示的位置摆放，将ADE 绕点A 按逆时针方向旋转，如图2 ，
连接BD ，EC ，设旋转角为
(0
360 )
．
(1)如图1，BD 与EC 的数量关系是______，BD 与EC 的位置关系是______；
(2)如图2 ，
1 中BD 与EC 的数量关系和位置关系是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，当点D 在线段BE 上时，求证：BE
CE
；
(4)当旋转角______( 填度数) 时，ABD 的面积最大．
【答案】(1) BD
EC
，且BD
EC
，理由见解析
(2)成立，理由见解析
(3)见解析
(4)90或270
【分析】
1 由AB
AC
，AD
AE
，则AB
AD
AC
AE
，可得答案；
2 利用SAS 证明ABD
ACE
≌
，得BD
EC
，作BD 的延长线EC 交EC 于点F ，交AC 于点G ，由全
等知
ABD
ACE
，又
AGB
FGC
，则
90
GAB
GFC
，从而证明；
3 由
BAD
CAE SAS
≌
，得
180
135
ADB
AEC
ADE
，则
45
135
45
90
BEC
AEC
；
4 点D 的轨迹是以A 为圆心AD 为半径的圆，在ABD 中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，
ABD 的面积最大，从而得出答案．
【详解】（1）解：结论：BD
EC
，且BD
EC
，理由如下：
AB
AC
∵
，AD
AE
，
AB
AD
AC
AE
，
BD
EC
∴
；
AB
AC
，点D ，E 分别在AB ，AC 上，
BD
EC
；
故答案为：BD
EC
；BD
EC
；
（2）解：成立，
理由：根据旋转的性质可得：AD
AE
，AB
AC
，
BAD
CAE
，
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ABD
ACE SAS
≌
，
BD
EC
∴
，
作BD 的延长线EC 交EC 于点F ，交AC 于点G ，
ABD
ACE
≌
△
△
，
ABD
ACE
，
AGB
FGC
，
90
GAB
GFC
，
BD
EC
；
（3）证明：如图3中，当点D 在线段BE 上时，
90
BAD
BAC
DAC
DAC
，
90
CAE
DAE
DAC
DAC
，
BAD
CAE
，
又
AB
AC
∵
，AD
AE
，
BAD
≌
CAE SAS ，
180
135
ADB
AEC
ADE
，
45
135
45
90
BEC
AEC
，
BE
CE
；
（4）解：由题意知，点D 的轨迹是以A 为圆心AD 为半径的圆，
在ABD 中，当AB 为底时，点D 到AB 的距离最大时，ABD 的面积最大，
当AD
AB
时，ABD 的面积最大，
旋转角为90或270，
故答案为：90或270．
【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，
三角形的内角和定理，旋转的性质等知识，证明BAD ≌CAE 是解题的关键．
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一、选择题
1．下列图形的运动，属于旋转的是（
）
A．电梯上下运行
B．推拉窗户
C．钟表指针转动
D．滑雪板直线滑行
【答案】C
【详解】解：旋转是图形绕定点转动的图形变换，平移是图形沿直线移动的变换，
A：电梯上下运行，属于平移变换，故该选项不合题意；
B：推拉窗户，属于平移变换，故该选项不合题意；
C：钟表指针绕钟表中心定点转动，属于旋转，故该选项符合题意；
D：滑雪板直线滑行，属于平移变换，故该选项不合题意．
2．如图所示，在ABC 中，
130
BAC
，将ABC 绕点C 逆时针旋转得到，点A，B 的对应点分别为D，
E，连接AD ．当点A，D，E 在同一直线上时，则旋转角
ACD
的度数是（
）
A．80
B．70
C．60
D．50
【答案】A
【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：
130 ,
EDC
BAC
CA
CD
，求出
50
DAC
ADC
即可求解；
【详解】解：由旋转可知：
130 ,
EDC
BAC
CA
CD
，
∴
180
50
ADC
EDC
，
∴
50
DAC
ADC
，
∴
180
80
ACD
DAC
ADC
，
故选：A
3．下列选项所示的图案中，可以看作由某个“基本图案”绕某个点旋转得到的是（
）
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A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】观察各选项图形，判断是否存在一个基本图案绕某点旋转一定角度后能与自身重合即可．
【详解】解：A. 该图形可以看作由一个菱形绕中心旋转120，240后得到，符合题意；
B、C、D 均不能由某个基本图案绕某点旋转得到，不符合题意．
4．如图，将AOB 绕点O 按逆时针方向旋转55后，得到COD ．若
25
AOB
，则
BOC
的度数是（
）
A．20
B．25
C．30
D．55
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得旋转角
55
AOC
，再根据
BOC
AOC
AOB
计算即可．
【详解】解：∵AOB 绕点O按逆时针方向旋转55后得到COD，
∴
55
AOC
，
又∵
25
AOB
，
∴
55
25
30
BOC
AOC
AOB
．
5．如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为
0 4
A
，，
11
B ，，
2 2
C ，，将ABC 向右平移3 个单位，得
到
A B C
△
，点A ，B ，C 的对应点分别为A，B，C，再将
A B C
△
绕点B顺时针旋转90，得
A B C
△
，
点A，B，C的对应点分别为A、B、C则点A的坐标为（
）
A．
3
2
，
B．
5 0
，
C．
6 0
，
D．
61，
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【答案】B
【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，
旋转变换的性质正确作出图形，可得结论．
【详解】解：如图，
5 0
A
，．
故选：B．
6．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB 在x 轴上，点
3,0
B
，点
1,2
D
，将正方形ABCD
绕点A 逆时针旋转，每次旋转90，当第2023次旋转结束时，点C 的坐标是（
）
A．
1, 2
B．
1,2
C．
2, 3
D．
3, 2
【答案】D
【分析】将矩形ABCD绕点O 逆时针旋转，每次旋转90，则每旋转4 次则回到原位置，根据
2023
4
505
……3，即可得到第2023次旋转结束时，点C 的坐标
【详解】解：如图，
由题可知，将矩形ABCD绕点O 逆时针旋转，每次旋转90，
∴每旋转4 次则回到原位置，
∵2023
4
505
……3，
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∴第2023次旋转结束后，图形逆时针旋转了270，
∵点
3,0
B
，点
1,2
D
，
∴
3,2
C
，
∴第2023次旋转结束时，点C 的坐标是
3, 2
，
故选：D．
【点睛】此题考查了点的坐标变化规律，找到点的最终位置是解题的关键．
二、填空题
7．如图，将ABC 绕点A 顺时针旋转一定角度得到AED ，若线段
5
AB
，则AE 的长等于_______．
【答案】5
【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：
5
AE
AB
；
故答案为5．
8．把点
2,4
P
绕原点O 逆时针旋转90，则点P 的对应点的坐标是______．
【答案】
4,2
【分析】本题考查了坐标与图形的变化——旋转，熟练掌握旋转变换的性质是解题的关键，作出图形更
形象直观；作出图形，过点P 作PA
x
轴于点A，作PB
y
轴于点B，过点P作P A
y
轴于点A，作P B
x
轴于点B，根据点A 的坐标求出PA 、PB 的长度，根据旋转变换只改把图形的位置，不改变图形的形状与
大小求出P A
、P B
的长度，即可得解.
【详解】解：过点P 作PA
x
轴于点A，作PB
y
轴于点B，过点P作P A
y
轴于点A，作P B
x
轴于点B，如图所示：
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∵点
2,4
P
，
∴
4
PA
，
2
PB
，
∵点
2,4
P
绕原点O 逆时针旋转90得到点P，
∴
4
P A
PA
，
2
P B
PB
，
∴点P的坐标是
4,2
.
故答案为：
4,2
.
9．点P 和点Q 关于原点中心对称，已知点P 坐标为
2,3
，则点Q 坐标为___．
【答案】
2, 3
【分析】本题考查了成中心对称，根据点P 和点Q 关于原点中心对称，得出点P 和点Q 的纵坐标互为相
反数，横坐标互为相反数，据此即可作答．
【详解】解：∵点P 和点Q 关于原点中心对称，
∴点P 和点Q 的纵坐标互为相反数，横坐标互为相反数，
∵点P 坐标为
2,3
，
∴点Q 坐标为
2, 3
．
故答案为：
2, 3
．
10．坐标轴上的点的坐标特征：x 轴上的点的______坐标为0；y 轴上的点的______坐标为0；点
,x y 关于
原点对称的点的坐标为（______，_______）．
【答案】纵
横
x
y
【分析】本题考查平面直角坐标系中坐标轴上点的坐标特征，以及关于原点对称的点的坐标规律，直接
根据相关知识点填空即可．
【详解】解：根据平面直角坐标系的定义，可得：x 轴上的点的纵坐标为0 ，y 轴上的点的横坐标为0 ；
关于原点对称的点的横、纵坐标均为原坐标的相反数，因此坐标
,x y 关于原点对称的点的坐标为
,x
y
．
11．如图，ABC 和DEC 关于点C 成中心对称，若
2,
3,
90
AC
AB
BAC
，则AE 的长是_____．
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【答案】5
【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，勾股定理，由中心对称图形的性质可得A、C、D 三点
共线，
2
3
90
DC
AC
DE
AB
D
BAC
，
，
，据此求出AD 的长，再利用勾股定理可得AE 的长．
【详解】解：∵ABC 和DEC 关于点C 成中心对称，
∴A、C、D 三点共线，
2
3
90
DC
AC
DE
AB
D
BAC
，
，
，
∴
4
AD
AC
CD
，
∴
2
2
2
2
3
4
5
AE
AD
DE
，
故答案为：5．
12．在如图所示的平面直角坐标系中，
1
1
OA B 是边长为2 的等边三角形，作
2
2
1
B A B 与
1
1
OA B 关于点
1
B 成中
心对称，再作
2
3
3
B A B 与
2
2
1
B A B 关于点
2
B 成中心对称，…，如此作下去，则
2025
2025
2024
B
A
B
的顶点
2025
A
的坐
标是___________．
【答案】
4049, 3
【分析】此题主要考查了坐标与图形变化--旋转问题，解题的关键是推出点A 的横坐标、纵坐标规律．首
先根据
1
1
OA B 是边长为2 的等边三角形，可得
1A 的坐标为
1, 3 ，
1
B 的坐标为
2,0 ；然后根据中心对称的
性质，分别求出点
2
A 、
3A 、
4A 的坐标各是多少；最后总结出
n
A 的坐标的规律，即可求出
2025
A
的坐标．
【详解】解：
1
1
OA B 是边长为2 的等边三角形，
1A 的坐标为
1, 3 ，
1
B 的坐标为
2,0 ，
2
2
1
B A B 与
1
1
OA B 关于点
1
B 成中心对称，
点
2
A 与点
1A 关于点
1
B 成中心对称，
2
2 1
3
，2 0
3
3
，
点
2
A 的坐标是
3,
3
，
2
3
3
B A B 与
2
2
1
B A B 关于点
2
B 成中心对称，
点
3A 与点
2
A 关于点
2
B 成中心对称，
2 4
3
5
，2 0
(
3)
3
，
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点
3A 的坐标是
5, 3 ，
3
4
4
B A B 与
2
3
3
B A B 关于点
3
B 成中心对称，
点
4A 与点
3A 关于点
3
B 成中心对称，
2 6
5
7
，2 0
3
3
，
点
4A 的坐标是
7,
3
，
…，
1
2 1 1
，3
2 2 1
，5
2 3 1
，7
2 3 1
，…，
n
A 的横坐标是2
1
n ，当n 为奇数时，
n
A 的纵坐标是3 ，当n 为偶数时，
n
A 的纵坐标是
3
，
2025
2025
2024
B
A
B
的顶点
2025
A
的坐标是
4049, 3 ，
故答案为
4049, 3
三、解答题
13．如图，平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点的坐标分别为
1,2
A
，
4,1
B
，
3,3
C
．
(1)将ABC 先向左平移4 个单位长度，再向上平移1 个单位长度，画出平移后的图形
1
1
1
A B C
△
（点A ，B ，C
的对应顶点分别为
1A ，
1
B ，
1
C ）；
(2)画出ABC 绕原点O顺时针旋转90的图形
2
2
2
A B C
△
，（点A ，B ，C 的对应顶点分别为
2
A ，
2
B ，
2
C ）．
【详解】(1)如图，
1
1
1
A B C
△
即为所求；
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(2)如图，
2
2
2
A B C
△
即为所求；
14．如图，在Rt
ABC
△
中，
90
BAC
，AB
AC
，D，E 是斜边BC 上的两点，且
45
DAE
，将ADC
绕点A 顺时针旋转90，得到
AFB
△
，连接EF ，求证：DE
FE
．
【答案】DE
FE
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，先结合将ADC 绕点A 顺时针旋转90，
得到
AFB
△
，AF
AD
，
90
FAD
，又因为
45
DAE
，故
EAD
EAF
，然后根据AE
AE
，
AF
AD
，证明
AFE
ADE
≌
，即可作答．
【详解】解：∵将ADC 绕点A 顺时针旋转90，得到
AFB
△
，
∴AF
AD
，
90
FAD
，
∵
45
DAE
，
∴
90
45
45
EAF
，
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即
EAD
EAF
，
∵AE
AE
，AF
AD
∴
AFE
ADE
≌
，
∴DE
FE
．
15．如图，在等腰直角
ACF
△
中，AC
AF
，ABE 是由
ACF
△
绕点A 按顺时针方向旋转得到的，连接EF 、
BC ．
(1)求证：EF
BC
；
(2)当旋转角为40°时，求
BCF
的度数．
【答案】(1)见解析
(2)25°
【分析】（1）根据旋转性质和等腰直角三角形的性质，证明△ACB≌△AFE，即可得出结论；
（2）根据旋转角的定义得出∠CAB＝40°，再根据AB=AC，得到∠ACB＝70°，根据△ACF 是等腰直角
三角形，得出∠ACF＝45°，通过∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF，即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵△ABE 是由△ACF 绕点A 按顺时针方向旋转得到的，
∴△ABE≌△ACF，
∴AE＝AF，AB＝AC；∠BAE＝∠CAF，
∴∠BAC＝∠EAF，
∵△ACF 是等腰直角三角形，
∴AE＝AF＝AB＝AC，
∴△ACB≌△AFE（SAS），
∴EF＝BC；
（2）解：∵旋转角为40°，
∴∠CAB＝40°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝70°，
∵△ACF 是等腰直角三角形，
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∴∠ACF＝45°，
∴∠BCF＝∠ACB﹣∠ACF＝25°．
【点睛】本题考查了旋转性质和等腰三角形的性质以及全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定
方法是解答本题的关键．
16．如图所示，ABO 和CDO关于点O 中心对称，
(1)请用尺规作图作出点D，连接AD 、CD．
(2)求证：AD
BC
．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查中心对称图形的性质、平行四边形的判定与性质，正确画出图形是解答的关键．
（1）根据中心对称图形的性质，只需在BO 的延长线上截取OD
OB
，则点D 即为所求作，连接AD 、
CD即可；
（2）根据中心对称图形的性质和平行四边形的判定证明四边形ABCD是平行四边形，进而利用平行四边
形的对应边相等可得结论．
【详解】（1）解：如图，点D 即为所求作，连接AD 、CD；
（2）解：∵ABO 和CDO关于点O 中心对称，
∴OA
OC
，OD
OB
，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC
．
17．如图，在正方形ABCD中，点M 是BC 边上的任一点，连接AM 并将线段AM 绕M 顺时针旋转90得
到线段MN ，在CD边上取点P 使CP
BM
，连接NP ，BP ．连接AQ 交BP 于点E．
(1)判断四边形BMNP 的形状，并加以证明；
(2)若点M 为BC 的中点，且正方形ABCD的边长为4，求EP 的长度．
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【答案】(1)四边形BMNP 是平行四边形，证明见解析
(2)
2 5
5
EP
【分析】（1）先证明ABM
BCP
，再由性质得到
AM
BP 、
BAM
CBP
，等量代换得到
90
CBP
AMB
，得到AM
BP
，根据旋转的性质得到AM
MN
，AM
MN
即可得到结论；
（2）先证明MQ 是BCP 的中位线，得到Q 是CP 中点，易证ABE
QPE ，根据线段成比例即可求出
答案．
【详解】（1）四边形BMNP 是平行四边形，
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB
BC
，
90
ABC
C
，
在ABM 与BCP 中，
AB
BC
ABC
C
BM
CP
∴ABM
BCP
，
∴
AM
BP，
BAM
CBP
，
∵
90
BAM
AMB
，
∴
90
CBP
AMB
，
∴AM
BP
，
∵将线段AM 绕M 顺时针旋转90得到线段MN ，
∴AM
MN
，AM
MN
，
∴MN
PB
∥
，MN
PB
，
∴四边形BMNP 是平行四边形
（2）∵点M 为BC 的中点，且正方形ABCD的边长为4，
∴
2
BM
CP
，
∴
2 5
BP
，即
2 5
BE
EP
又MN
PB
∥
∴MQ 是BCP 的中位线，
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∴Q 是CP 中点，
∴
1
PQ ，
又ABE
QPE ，
∴
1
4
EP
PQ
BE
AB
，
∴
2 5
5
EP
．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、中位线、相似三角形的性质、正方形的性质、平行四边
形的判定和性质等，综合性较强，解题关键是熟练掌握相关知识点的判定和性质．
小学
初中
