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第二十五章 一元二次方程全章高频重点题型突破
◆题型1 一元二次方程的概念与一般形式
1.【详解】A。
,0
1
-
2
=
+
x
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，符合一元二
次方程 的定义。
B.方程
x
x
3
.
2 =
，移项可得
0
3
2
=
−x
x
，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是整式方程，
符合一元二次方程 的定义。
C.方程
2
1
.
2
2
=
+ x
x
，左边是分式形式，不满足一元二次方程是整式方程的条件，所以不是一元二次方
程。
D.方程
x
x
2
1
3
2
=
−
，移项可得
0
1
2
3
2
=
−
−x
x
，只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，并且是
整式方程，符合一元二次方程 的定义。
2.【详解】移项整理得
0
5
-
9
-
)3
2
2
=
+
−
x
x
m
x
m
（
∵不含一次项，∴
0
9
2
=
−
m
，解得
3
=
m
。
,0
3
−
m
3
m
综上
3
−
=
m
3.【详解】把
1
−
=
x
代入
0
2
2
=
+
−
m
x
x
中得
0
1
-
2
-
1
-
2
=
+
m
）
（
）
（
解得
3
−
=
m
4.【详解】移项得
0
3
2
2
=
−
+ x
x
， 所以 a=2, b=1, c=-3
◆题型2 直接开平方法
5（1）. 【详解】
81
=
x
9
=
x
6. 【详解】
25
16
=
x
5
4
=
x
7.【详解】
49
)1 2 =
−
x
（
7
1
=
−
x
-7
1
-
x
7
1
=
=
−
或
x
6
,8
2
1
−
=
=
x
x
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8.【详解】
9
)1
2
2 =
−
x
（
3
1
2
=
−
x
3
1
2
3
1
2
−
=
−
=
−
x
x
或
1
,2
2
1
−
=
=
x
x
◆题型3 配方法
9.
17
)
4
(
16
1
16
8
1
8
2
2
2
=
+
+
=
+
+
=
+
x
x
x
x
x
21
17
4
17
,4
=
+
=
+
=
=
n
m
n
m
10.【详解】
2
)
4
(
18
16
16
8
18
8
2
2
2
+
+
=
+
−
+
+
=
+
+
x
x
x
x
x
0
2
4
0
)
4
2
2
＞
）
（
（
+
+
+
x
x
所以代数式x2 + 8x + 18的值总大于0。
◆题型4 公式法
11.【详解】
33
16
49
)
2
(
)
2
(
4
7
4
2
,7
,2
2
2
=
−
=
−
−
−
=
−
−
=
=
−
=
ac
b
c
b
a
4
33
7
2
-
2
33
7
-
2
4
2
−
−
=
=
−
−
=
）
（
a
ac
b
b
x
4
33
7
4
33
7
1
−
=
−
+
−
=
x
4
33
7
4
-
33
-
7
-
2
+
=
=
x
12.【详解】
方程没有实数根。
＜
）
=
=
=
−
=
=
=
=
0
-4
12
-
8
3
1
4
-
2
2
(
4
3
,
2
2
,1
2
2
ac
b
c
b
a
13.【详解】 展开整理：
2x2 −4x + 8x + 5 = 0
2x2 + 4x + 5 = 0
a = 2, b = 4, c = 5
Δ = b2 −4ac = 16 −4 × 2 × 5 = 16 −40 = −24 < 0
∴ 原方程无实数根。
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◆题型5 因式分解法
14.【详解】原方程化为：3(x −3) = −2x(x −3)
3(x −3) + 2x(x −3) = 0
(x −3)(3 + 2x) = 0
∴x −3 = 0 或 3 + 2x = 0
∴x1 = 3, x2 = −3
2
15.【答案】 C
◆题型6 选择最优解法
16.【详解
8
,0
0
8
0
2
0
)
8
(
2
2
1
=
=
=
−
=
=
−
x
x
x
x
x
x
或
17.【详解】
2
1
3
-
4
2
3
2
-
2
2
4
3
2
-
2
4
4
8
12
1
2
4
)
3
2
(
4
1
,3
2
,2
2
2
2
=
=
=
−
−
=
=
−
=
−
=
−
=
=
=
=
a
ac
b
b
x
ac
b
c
b
a
2
1
3
,
2
1
3
2
1
−
−
=
+
−
=
x
x
18.
【详解】
0
)
5
(
)1
2
2
2
=
−
−
−
x
x
整理，得（
因式分解，得
0
)
6
3
)(
4
=
+
+
x
x
（
0
6
3
0
4
=
−
=
+
x
x
或
2
,4
2
1
=
−
=
x
x
◆题型7 根的判别式
19.【答案】 A
20.【答案】 k ≤1 且 k ≠0
◆题型8 根与系数的关系
21.【详解】由韦达定理：m + n =
5
3，mn =
1
3
∴m + n −mn = 5
3 −1
3 = 4
3
22.
【详解】设两根为 x1, x2，由题意 x1 + x2 = 0
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由韦达定理：x1 + x2 = k = 0
∴k = 0
方程化为 x2 −3 = 0，x2 = 3，x = ±√3
∴x1 = √3, x2 = −√3
23.【详解】由韦达定理：x1 + x2 = −
4
2 = −2，x1x2 = −
3
2
(1)
(x1 −3)(x2 −3)
= x1x2 −3(x1 + x2) + 9
= −3
2 −3 × (−2) + 9
= −3
2 + 6 + 9
= 27
2
(2)
(x1 −x2)2
= (x1 + x2)2 −4x1x2
= (−2)2 −4 × (−3
2)
= 4 + 6
= 10
◆题型1 增长率/降低率问题
1．
【详解】设平均增长率为 x，则：
2500(1 + x)2 = 3600
(1 + x)2 = 3600
2500 = 1.44
1 + x = ±1.2
x = 0.2 = 20% 或 x = −2.2（不合实际，舍去）
∴ 平均增长率为 20%。
2．
【详解】设年平均下降率为 x，则：
40000(1 −x)2 = 32400
(1 −x)2 = 32400
40000 = 0.81
1 −x = ±0.9
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x = 0.1 = 10% 或 x = 1.9（不合实际，舍去）
∴ 年平均下降率为 10%。
3.【详解】(1) 设每轮传播中平均一台电脑感染 x 台电脑。
第一轮后共有 (1 + x) 台被感染；
第二轮后共有 (1 + x)2 台被感染。
(1 + x)2 = 25
1 + x = ±5
x = 4 或 x = −6（不合实际，舍去）
∴ 每轮传播中平均一台电脑感染 4 台电脑。
(2) 四轮后共有 (1 + 4)4 = 54 = 625（台）
625 > 600
∴ 四轮感染后，被感染的电脑超过 600 台。
◆题型2 几何面积问题
4．【详解】设道路宽为 x m。
利用平移法，两条“之”字路可平移为矩形两条边的宽度：
绿化部分长 (30 −x) m，宽 (20 −x) m。
(30 −x)(20 −x) = 551
600 −30x −20x + x2 = 551
x2 −50x + 49 = 0
(x −1)(x −49) = 0
x = 1 或 x = 49
∵x < 20（宽为 20 m）
∴x = 49 不合实际，舍去。
∴ 道路的宽为 1 m。
5．【详解】设一段长为 x cm，则另一段长 (20 −x) cm。
两个正方形边长分别为
x
4 cm 和 20−x
4 cm。
(x
4)
2
+ (20 −x
4
)
2
= 17
x2 + (20 −x)2
16
= 17
x2 + (20 −x)2 = 272
x2 + 400 −40x + x2 = 272
2x2 −40x + 128 = 0
x2 −20x + 64 = 0
(x −8)(x −12) = 0
x = 8 或 x = 12
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∴ 铁丝剪成的两段长度分别为 8 cm 和 12 cm。
◆题型3 握手/互赠问题
6.【详解】设毕业晚会上一共有 n 位同学。
每人给其他 (n −1) 人各送一张，共 n 人：
n(n −1) = 90
n2 −n −90 = 0
(n −10)(n + 9) = 0
n = 10 或 n = −9（不合实际，舍去）
∴ 毕业晚会上一共有 10 位同学。
7.【详解】于老师向每位同学赠送：共 x 张
同学间互赠：共 x(x −1) 张
x + x(x −1) = 2304
x + x2 −x = 2304
x2 = 2304
x = ±48
∵x > 0，∴x = 48
∴ 该班级有 48 名学生。
◆题型4 营销利润问题
8.【详解】设每件降价 x 元，则每件盈利 (40 −x) 元，每天售出 (10 + 2x) 件。
(40 −x)(10 + 2x) = 700
400 + 80x −10x −2x2 = 700
−2x2 + 70x + 400 = 700
2x2 −70x + 300 = 0
x2 −35x + 150 = 0
(x −5)(x −30) = 0
x = 5 或 x = 30
∵ 尽可能让利于顾客，∴ 取较大降价。
∴ 每件降价 30 元。
9.【详解】设每个台灯涨价 x 元，则售价为 (40 + x) 元，销量为 (600 −10x) 个。
(1) 每个利润为 (40 + x −30) = (10 + x) 元。
(10 + x)(600 −10x) = 10000
6000 −100x + 600x −10x2 = 10000
−10x2 + 500x −4000 = 0
x2 −50x + 400 = 0
(x −10)(x −40) = 0
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x = 10 或 x = 40
当 x = 10 时，售价 = 40 + 10 = 50 < 60，不合题意。
当 x = 40 时，售价 = 40 + 40 = 80 ≥60，符合题意。
∴ 台灯的定价为 80 元。
(2) 月销售量 = 600 −10 × 40 = 200（个）
∴ 商场应进货 200 个。
◆题型5 含参方程与判别式
10..m < 6 且 m ≠2
11.【详解】Δ = m2 −4 × 3 × (−2) = m2 + 24
∵m2 ≥0
∴m2 + 24 ≥24 > 0
即 Δ > 0 恒成立
∴ 无论 m 取何值，方程总有两个不相等的实数根。
◆题型6 根与系数的关系变形求值
12.【详解】（1）Δ = (m −2)2 −4 × 1 × (−m)
= m2 −4m + 4 + 4m
= m2 + 4
∵m2 ≥0
∴m2 + 4 ≥4 > 0
即 Δ > 0 恒成立
∴ 无论 m 取何值，方程都有两个不相等的实数根。
（2）由韦达定理：x1 + x2 = −(m −2) = 2 −m，x1x2 = −m
1
1
2
1
2
1
−
=
+
+
+
x
x
x
x
2
4
2
1
1
2
-
=
−
=
−
−
=
+
−
+
m
m
m
m
13.【详解】由韦达定理：m + n = 2(a + 1)，mn = a2 + 5
方程有实数根：Δ = 4(a + 1)2 −4(a2 + 5) = 4(a2 + 2a + 1 −a2 −5) = 4(2a −4) = 8a −32 ≥0
∴a ≥4
(1)
(m −1)(n −1) = mn −(m + n) + 1
= a2 + 5 −2(a + 1) + 1
= a2 + 5 −2a −2 + 1
= a2 −2a + 4 = 28
a2 −2a −24 = 0
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(a −6)(a + 4) = 0
a = 6 或 a = −4
∵a ≥4，∴a = −4 舍去。
∴a = 6
(2)
①当7 为底边长时，此时方程x2 −2(a + 1)x + a2 + 5 = 0有两个相等的实数根。
2
0
)
5
(
4
)1
4
2
2
=
=
+
−
+
=
a
a
a
解得
（
不能构成三角形
，
＜
方程变为
+
=
=
=
+
−
7
3
3
3
0
9
6
2
n
m
x
x
②当7 为腰长时，设m=7。
将m=7 代入方程，
得
0
5
)1
(
14
-
49
2
=
+
+
+
a
a
解得
4
10
=
=
a
a
或
当a=10 时，方程变为
0
105
22
2
=
+
−
x
x
，解得x=7 或x=15
不能组成三角形
＜
+
15
7
7
当a=4 时，方程变为
7
3
,0
21
10
2
=
=
=
+
−
x
x
x
x
或
解得
综上，ABC
的周长为17.
◆题型7 整体思想与换元法
14..x = 0 或 x = 2
15.
【详解】∵(5 −3x) = −(3x −5)
∴−4(5 −3x) = −4 × [−(3x −5)] = 4(3x −5)
原方程化为：(3x −5)2 + 4(3x −5) + 3 = 0
设 y = 3x −5，方程化为：
y2 + 4y + 3 = 0
(y + 1)(y + 3) = 0
y = −1 或 y = −3
当 3x −5 = −1 时，3x = 4，x =
4
3
当 3x −5 = −3 时，3x = 2，x =
2
3
∴x1 = 4
3 , x2 = 2
3
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1．B
2．D
3．B
4．A
5. B
6. C
7. m <
13
4
8.n = 6
9.300(1 + 𝑥)2 = 363
10.20%
11.2(1 + x)2 = 128 。
12. 7
13.【详解】（1）（直接开平方法）
2x2 = 16
x2 = 8
x = ±2√2
∴x1 = 2√2, x2 = −2√2
（2）（因式分解法）
2x(x −8) = 0
2x = 0 或 x −8 = 0
∴x1 = 0, x2 = 8
（3）x2 −4x = 1
x2 −4x + 4 = 1 + 4
(x −2)2 = 5
x −2 = ±√5
x = 2 ± √5
∴x1 = 2 + √5, x2 = 2 −√5
14.
【详解】(1) 设每月盈利的平均增长率为 x。
2(1 + x)2 = 4.5
(1 + x)2 = 2.25
1 + x = ±1.5
x = 0.5 = 50% 或 x = −2.5（不合实际，舍去）
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∴ 每月盈利的平均增长率为 50%。
(2) 4 月份盈利 = 4.5 × (1 + 50%) = 4.5 × 1.5 = 6.75 （万元）
15.【详解】(1) 设平均增长率为 x。
100(1 + x)2 = 144
(1 + x)2 = 1.44
1 + x = ±1.2
x = 0.2 = 20% 或 x = −2.2（不合实际，舍去）
∴ 平均增长率为 20%。
(2) 设涨价 y 元，则售价为 (40 + y) 元，销量为 (600 −10y) 个。
每个利润为 (40 + y −30) = (10 + y) 元。
(10 + y)(600 −10y) = 10000
6000 −100y + 600y −10y2 = 10000
y2 −50y + 400 = 0
(y −10)(y −40) = 0
y = 10 或 y = 40
∵ 尽可能让消费者得到实惠，∴y = 10
售价 = 40 + 10 = 50 元
16.【详解】设运动时间为 t 秒，则 AP = t cm，BQ = 2t cm
PB = (6 −t) cm
(1) △PBQ 的面积 =
1
2 × PB × BQ =
1
2 (6 −t) ⋅2t = t(6 −t)
t(6 −t) = 8
6t −t2 = 8
t2 −6t + 8 = 0
(t −2)(t −4) = 0
t = 2 或 t = 4
∵Q 在 BC 上运动，BQ ≤BC，即 2t ≤8，t ≤4
同时 P 在 AB 上，AP ≤AB，即 t ≤6
∴t = 2 或 t = 4 均满足。
∴ 经过 2 秒或 4 秒后，△PBQ 的面积等于 8 cm
2。
(2) △ABC 的面积 =
1
2 × 6 × 8 = 24 cm
2
若 PQ 将 △ABC 分成面积相等的两部分，则 △PBQ 的面积 = 12 cm
2
t(6 −t) = 12
t2 −6t + 12 = 0
Δ = 36 −48 = −12 < 0
∴ 方程无实数解。
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∴ 线段 PQ 不能将 △ABC 分成面积相等的两部分。
17.
【详解】(1) Δ = [−2(m −1)]2 −4(m2 −5) = 4(m −1)2 −4(m2 −5)
= 4(m2 −2m + 1) −4m2 + 20
= 4m2 −8m + 4 −4m2 + 20
= −8m + 24 ≥0
m ≤3
(2) 由韦达定理：x1 + x2 = 2(m −1)，x1x2 = m2 −5
x1
2 + x2
2 −x1x2 = (x1 + x2)2 −3x1x2
= 4(m −1)2 −3(m2 −5)
= 4m2 −8m + 4 −3m2 + 15
= m2 −8m + 19 = 12
m2 −8m + 7 = 0
m = 1 或 m = 7
由（1）知m ≤3，所以m=1
故m 的值为1.
18.【详解】（1）
3
4
4
4
1
4
4
)1
(
4
)1
2
(
)1
(
1
4
)1
2
-
2
2
2
2
2
2
−
=
−
−
+
+
=
+
−
+
=
+
−
+
=
k
k
k
k
k
k
k
k
（
4
3
,0
3
4
0
＞
解得
＞
，即
＞
数根
方程有两个不相等的实
k
k −
（2）由根与系数的关系，得
1
,1
2
2
2
1
2
1
+
=
+
=
+
k
x
x
k
x
x
2
1
2
1
x
x
x
x
=
+
1
1
2
2 +
=
+
k
k
4
3
＞
k
1
2
1
2
0
1
2
+
=
+
+
k
k
k
，即
＞
.2
0
,1
1
2
2
=
=
+
=
+
k
k
k
k
或
解得
2
0
4
3
=
=
k
k
k
舍去
，
＞
又
